北京市八一中学2013届高三上学期周练数学理4

八一中学2013届高三（上）数学周练（四）

一、选择题（每题6分,共54分.）

1. 已知等差数列?an?中，a1?1，a3??3，则a1?a2?a3?a4?a5?（ ） A．17 B. 15 C. -15 D. 16

2. 下列四个函数中，以?为最小正周期，且在区间(,?)上为减函数的是（ ） A．y=sin2x B. y=2cosx C. y=cos3. 若函数y?sin?2x???的一条对称轴为x?

?2x D. y=tan(-x) 2?3

，则它的一个单调区间为（ ）

A.?,? B.??,? C.??,? D. ??,?

33??36??43??22? ?4. 在?ABC中，若sin2A?sin2B?sin2C，则?ABC的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

5.若mn=1，则y?xm和y?xn在同一直角坐标系下的图象不可能是（ ） ．．．

??2??????????????

A． B. C. D.

6.要得到函数y?sinx?cosx的图象，只需将函数y?cosx?sinx的图象（ ）

??个单位长度 B.向右平移个单位长度 423?C.向右平移?个单位长度 D.向左平移个单位长度

4A.向左平移

?23 (x?1)?7. 已知函数f(x)??，则f(x)的最小值为（ ） ?1?4sin(?x?) (?x?1)32? A． -4 B．2 C．23 D．4 8.已知函数f(x)?cos2x?sinx，那么下列命题中假命题是（ ） ．．．

A.既不是奇函数也不是偶函数 B.f(x)在[-?,0]上恰有一个零点 C.f(x)是周期函数 D.f(x)在(,

????上是增函数 2?

9. 在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f(x)?k(x?2)?3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题： ①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条； ②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条； ③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条； ④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条. 其中所有真命题的序号是（ ） ．．．A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④

二.填空题（前6道每题5分,第16题6分,共36分.） 10.

设

集

合

A={2x-2x+7?3?x-3，> 0}B??x?1??4?x?1，则4，则

AB=_______________.

11. 在△ABC中，若a=2，b?c?7，cosB=?yCBAxb=_______________.

12. 点A是函数f(x)=sinx的图象与x轴的一个交点（如图所示），若图中阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，那么边AB的长等于_______________.

13. 已知函数f(x)?2si?n(x??的图像如图所示，则

O?7?f??12???_______________. ?14. 已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，当0?x?3时，f(x)的图象如右图所示，那么不等式f(x)cosx?0的解集是 .

15. 在?ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a=8,b=10, ?ABC的面积为203, 则?ABC中最大角的正切值是_______________. 16. 已知函数f(x)?sinx x（1）判断下列三个命题的真假：

①f(x)是偶函数；②f(x)?1 ；③当x?3? 时，f(x)取得极小值. 2其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）

n?n??f()?f(?)（2）满足666的正整数n的最小值为_______________.

三.解答题（每题15分,共60分.） 17. 已知函数f(x)?2sinxxxcos?23sin2?3． 444（I）求函数f(x)的最小正周期；

（II）求f(x)在区间［0，2?］上的最大与最小值以及对应的x的值.

18. 在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a?2，b?（Ⅰ）求c的值及?ABC的面积S； （Ⅱ）求sin(2A?C)的值.

19. 设函数f(x)?x2?ax?bln(x?1)(a,b?R,a?2).

(Ⅰ) 当b?1且函数f(x)在其定义域上为增函数时，求a的取值范围； (Ⅱ) 若函数f(x)在x?1处取得极值，试用a表示b； (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，讨论函数f(x)的单调性.

7，B?60?.

20. 对于集合M，定义函数fM(x)????1,x?M,对于两个集合M，N，定义集合

1,x?M.?. 已知A={2,4,6,8,10}，B={1,2,4,8,16}. M?N?{xfM(x)?fNx()??1}（Ⅰ）写出fA(1)和fB(1)的值，并用列举法写出集合A?B；

（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求Card(X?A)?Card(X?B)的最小值；

（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P,Q?A

八一中学2013届高三（上）数学周练（四）答案 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 答案 10. ?15．A D A C D C B B 9 D B，且(P?A)?(Q?B)?A?B？

??2?1?,1? 11.4 12． 13. 0 14． (?,?1)(0,1)(,3)

22??2?

53或-33 16. ①②, 9 (各3分).

f(x)?sinxxxx?xπ??3(1?2sin2)?sin?3cos?2sin???．6分 2422?23?17解：（I）

?f(x)的最小正周期T?2π（7分） ?4π．

12（2）

?xπ??π4π?x??0,2??，??????,? （9分）

?23??33?xπ4???时，即x?2?时，f(x)取得最小值?3；（12分） 233xπ??当??时，即x?时，f(x)取得最大值2（15分）（少写x值只扣1分，不重复2323当扣）

18解：（I） （Ⅰ）分)

a?2，b?7,B?60?，由余弦定理可得b2?a2?c2?2accosB.(2

1?7?c2?4?2?c?2?.(4分)?c2?2c?3?0. ?c?3或c??1（舍）.

2?c?3. (5分)?S?11333acsinB??3?2?.(7分) ?2222（Ⅱ）在?ABC中，b=7，B?60?， ?72.(9分) ?sinA==sin60°sinA27.(13分)721. (117分)

a

?sin(2A?C)?sin(120??A)?219解：（I）解：(Ⅰ) 当b?1时，函数f(x)?x?ax?ln(x?1)，其定义域为(?1,??).(1

分)∴f?(x)?2x?a?1.(2分)∵函数f(x)是增函数，∴当x>-1时，x?111f(x)?2x?a??0恒成立.(3分)即当x>-1时，a?2x?恒成立.∵当

x?1x?1112?2?x?1???2?22?2，且当x=-1时取得等号.(5x?1x?12x??1时，2x?分)

∴a的取值范围为(??,22?2]. (Ⅱ) ∵f?(x)?2x?a?b，且函数f(x)在x?1处取得极值，∴ f?(1)?0.(7分) x?1

(x)=2x-a+∴b?2a?4.(8分)此时f￠2a-4=x+12(x-1)(x-a-4)2 .当a-4=1，

2x+1即a=6时，f?(x)?0恒成立，此时x?1不是极值点.∴b?2a?4?a?6，且a?2?.(10分)少条件分析扣一分

2(x-1)(x-（Ⅲ）由f'(x)=①当a<2时，

x+1a-4)2得

a?4??1.∴当?1?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0. 2∴当a<2时，f(x)的单调递减区间为(?1,1)，单调递增区间为(1,??).（11分）

a?4a?4?1. ∴当?1?x?，或x?1时，f?(x)?0；当22a?4a?4?x?1时，f?(x)?0.∴当2?a?6时，f(x)的单调递减区间为(,1)，单调22a?4)，(1,??).（13分） 递增区间为(?1,2a?4a?4a?4?1. ∴当?1?x?1，或?x时，f?(x)?0；当1?x?③当a?6时，222a?4)，单调递增区间为(?1,1)，时，f?(x)?0.∴当a?6时，f(x)的单调递减区间为(1,2a?4(,??) （15分） 2②当2?a?6时，?1?综上所述：当a<2时，f(x)的单调递减区间为(?1,1)，单调递增区间为(1,??)；当

a?4a?4,1)，单调递增区间为(?1,)，(1,??)；22a?4a?4)，单调递增区间为(?1,1)，(,??). 当a?6时，f(x)的单调递减区间为(1,222?a?6时，f(x)的单调递减区间为(20解：（Ⅰ）fA(1)=1，fB(1)=-1，A?B?{1,6,10,16}. （4分）

（Ⅱ）（Ⅱ）根据题意可知：对于集合C,X，①若a?C且a?X，则

Car(d?C(Ca(?rd(X{}a?)；Ca(r?dC?)X②若a?C且

a?X，则

C{?X})a?. C?ardCX所以 要使Card(X?A)?Card(X?B)的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响Card(X?A)?Card(X?B)的值；集合X不能含有A素.

B之外的元

所以当X为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card(X?A)?Card(X?B)取到最小值4. （10分）

（Ⅲ）因为 A?B?{xfA(x)?fB(x)??1}，所以 A?B?B?A.由定义可知：

fA?B(x)?fA(x)?fB(x).

所以 对任意元素x，f(A?B)?C(x)?fA?B(x)?fC(x)?fA(x)?fB(x)?fC(x)，

fA?(B?C)(x)?fA(x)?fB?C(x)?fA(x)?fB(x)?fC(x). 所以 f(A?B)?C(x)?fA?(B?C)(x).所以 (A?B)?C?A?(B?C). 由 (P?A)?(Q?B)?A?B知：(P?Q)?(A?B)?A?B.

所以 (P?Q)?(A?B)?(A?B)?(A?B)?(A?B).所以 P?Q????.所以 P?Q??，即

P=Q.

因为 P,Q?A

B，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为27?128.（15分）

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