2016届瑞金一中高三上学期数学理科周练试卷17

2015—2016学年第一学期瑞金一中周练高三数学（理科）试题17 1.13

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．已知集合M??xy?ln?1?2x??,集合N??yy=ex?3?x?R?则CRM?N?( )

A．??x|x1?D ??2?? B．?y|y?0? C．???x|0?x?1?2?? D．?x|x?0? C D D 2. 如图，按英文字母表A、B、C、D、E、F、G、H、…的顺序 A B B C B C C D D 有规律排列而成的鱼状图案中，字母“O”出现的个数为( )

C D D A．27 B．29 C．31 D．33

3．从随机编号为0001，0002，??????5000的5000名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）

A．4966 B．4967 C．4968 D．4969 4．写出不大于1000的所有能被7整除的正整数．．．，下面是四位同学设计的程序框图， 其中正确的是（ ）

A． B． C． D．

5．函数f(x)?(1)x3?x的零点所在区间为 （ ）

A．(0,1)

B．(113,132)

C．(2,1)

D．（1，2）

6．实数a使得复数

a?i11?i是纯虚数，b??0xdx,c??1201?xdx则a,b,c的大小关系是 （ ） A．a?b?c B．a?c?b C．b?c?a D．c?b?a

7．下列四种说法中，错误的个数有 （ ）

①命题“?x∈R，均有x2?3x?2≥0”的否定是：“?x∈R，使得x2—3x-2≤0”

②方程x?1?|y?1|?(2z?1)2?0的解集为???1,1,1???2?

③“命题p? q为真”是“命题p?q为真”的必要不充分条件；

④集合A?{0,1},B?{0,1,2,3,4},满足A?C?B的集合C的个数有7个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知sinx?m?3m?5,cosx?4?2mm?5(?2?x??),则tanx2?（ ）

A．m?39?m B． |m?39?m| C．-15或5 D． 5

9．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平 桌面后，记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x?y为偶数”， 事件B为

“x,y中有偶数且x?y”，则概率P(B|A) 等于（ ）

A．

13 B．

12 C．16 D．

14 10．已知a?0，若不等式loga?3x?loga?1x?5?n?6n对任意n?N*恒成立，则实数x的取值范围是( )

A．[1,??) B．(0,1] C．[3,??) D．[1,3]

11．已知?(x)?x(x?m)2在x?1处取得极小值，且函数f(x)，g(x)满足

f(5)?2,f'(5)?3m,g(5)?4,g'(5)?m，则函数F(x)?f(x)?2g(x)的图象在x?5 处的切线

方程为（ ）

A．3x?2y?13?0 B．3x?2y?13?0或x?2y?3?0 C．x?2y?3?0 D．x?2y?3?0或2x?3y?13?0

12．已知函数f(x)?2015(x?1)?20172015x?1?2015sinx在x?[?t,t]上的最大值为M,最小值为N,则M?N的值为（ ）

A．0 B． 4032 C．4030 D．4034

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．若?是第二象限角，其终边上一点P(x,5)，且cos??2x4，则sin?? ． ??14．设x，y满足约束条件?x?0?y?0，若z?y?1的最小值为(x2?15?3)的展开式的

?xx?1x?3a?y4a?1(a?0)常数项的140，则实数a的值为 ．

15．已知一个正三棱柱,一个体积为

4?3的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的表面 积是 ．

．设双曲线x2y216a2?b2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线

于A、B两点OuuuPr，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若

??OuurA??O(uuuB?,r??)，R???316，则该双曲线的离心率为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知数列?an?的首项aan?11?1，点An(n,a)在直线y?kx?1上，当n?2时，均有nan?1a?1?an nan?1（1）求?an?的通项公式 （2）设b2ann?(n?1)!?3n,求数列?bn?的前n项和Sn

18．（本小题满分12分）

我市“水稻良种研究所”对某水稻良种的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究。他们分别记 录了3月21日至3月25日的昼夜温差及每天30颗水稻种子的发芽数，并得到如下资料

日期 3月21日 3月22日 3月23日 3月24日 3月25日 温差x（0C） 10 11 13 12 9 发芽数y(颗) 15 16 17 14 13

(1)请根据以上资料，求出y关于x的线性回归方程；据气象预报3月26日的昼夜温差为140

C,请你预测3月26日浸泡的30颗水稻种子的发芽数（结果保留整数）。

(2)从3月21日至3月25日中任选2天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望EX和方差DX。 nnn(参考公式及参考数据iyi?nx?y2b??xi?1，a?y?bx，

n?xiyi?832,i?615)

?x22i?xii?nxi19. （本小题满分12分）

一个四棱椎的三视图如图所示：

（1）请画出此四棱锥的直观图，并求证：PC⊥BD；

（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角

为30o？若存在， 求DQDP 的值；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

12，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在与椭圆???C交于A,B两点的直线l：y?kx?m(k?R)，使得OA??2???OB?????OA??2???OB?

成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明

由.

21．（本小题满分12分）

已知

f(x)?x3?9x2cos??48xcos??18sin2?,g(x)?f'(x)，且对任意的实数t均有g(1?e?|t|)?0,g(3?sint)?0，

（1）求cos??2cos?的值。 （2）若?(x)?13x3?2x2cos??xcos?，设h(x)?ln?'(x)，对于任意的x?[0,1]，不等式h(x?1?m)?h(2x?2)恒成立，求实数m的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线l:?cos??12与曲线C:??2cos?相交于A、B两点，O为极点。 (1)求∠AOB的大小．

（2）设把曲线C向左平移一个单位再经过伸缩变换???x'?2x'?y得到曲线C?，设?M(x,y)为曲

?y线C?上任一点，求x2?3xy?2y2的最小值，并求相应点M的坐标.

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数f(x)?|x?4|?|x?a|

（1）若f(x)的最小值为3，求a的值； （2）当a?1时, 若g(x)?2x?1f(x)?2m的定义域为R，求实数m的取值范围

1．13周练参考答案

一、选择题：1—5 ABCBB 6 —10 CCDAA 11—12 CB 二、填空题： 13．104 14．-1 15．183 16．233

三、解答题：17．解：（1）点A(n,an?1na)在直线y?kx?1上，当n?1或n?2时有

n??a3?a?2k?12?a3?a2a?ka?2?k?1,当n?2时有，a3??a2?1，?k?1，2?k?1?2。

a1a2a1a2a1a1又?an?1a?1?an?an?1?an?1?an?n，因为 nan?1anan?1an?1aann?a?an?1???a2?a1?n!，即an?n!…………………6分 n?1ana1（2）bann?2(n?1)!?3n?2n?3n …………………8分

利用乘公比错位相减法求的s1)?3n?13n?(n?2?2………………12分 18．解：（1）因为x?11,y?15 所以b?832?5?11?15615?5?112?0.7,于是a?15?0.7?11?7.3

故线性回归方程为?y?0.7x?7.3………………3分

当x?14,y?0.7?14?7.3?17.1?17，即3月26日浸泡的30颗水稻种子的发芽数17颗……………6分

C211(2) 因为X?0,1,2p(x?0)?3?3C23?CC2510p(x?1)?2C2?6p(x?2)?C2?1

510C2510

X 0 1 2 P 3 6 1

1010 10 所以EX?4………10分 DX?EX2?(EX)295?25…………12分

19．解：（1）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，

连接AC、BD交于点O，连接PO ．PD=PB,OB=OD?PO ⊥BD （……2分） 因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PC． ……………6分

（2）由三视图可知，BC＝2，PA＝22，假设存在这样的点Q，

因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，………8分 在△POD中，PD＝22，OD＝2，则∠PDO＝60o

， 在△DQO中，∠PDO＝60o

，且∠QOD＝30o

．所以DP⊥OQ． Q

所以OD＝2，QD＝22． 所以DQDP?14……………12分 O 20. 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为x2y2a2?b2?1?a?b?0?，半焦距为c.

依题意e?ca?12，由右焦点到右顶点的距离为1，得a?c?1． 解得c?1，a?2．所以b2?a2?c2?3．

Cx2的标准方程是4?y2所以椭圆3?1．…………4分

（Ⅱ）解：存在直线l，使得???OA??2???OB?????OA??2???OB?成立.理由如下：

?由?y?kx?m,?x2y2得(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0．??4?3?1,

??(8km)2?4(3?4k2)(4m2?12)?0，化简得3?4k2?m2．

设A(xyy8km4m2?121,1),B(x2,2)，则x1?x2??3?4k2，x1x2?3?4k2．

若???OA??2???OB?????OA??2OB????成立，

即???OA??2???OB?2????OA??2???OB?2，等价于???OA?????OB??0．

所以x1x2?y1y2?0．x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?0，…………6分

(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2?0，

(1?k2)?4m2?123?4k2?km?8km3?4k2?m2?0, 化简得，7m2?12?12k2． 将k2?7m2?1代入3?4k2?m2中，3?4(7m2?1)?m21212， 解得，m2?34．又由7m2?12?12k2?12，m2?127， 从而m2?1227，m?721或m??2721． 所以实数m的取值范围是(??,?22721]?[721,??)………12分 21. 解: （1）?g(x)?f'(x)?3x2?18xcos??48cos?

?1?e?|t|?(1,2],3?sint?[2,4] 由题意知 g(x)?0在x?(1,2]恒成立 g(x)?0在x?[2,4]恒成立 故 g(2)?0且g(4)?0

即有

g(2)?12?36cos??48cos??0g(4)?48?72cos??48cos??0?36?36cos??0?cos??1?cos??1

由cos??1?cos??12 ?cos??2cos??2…………6分 （2）由（1）知?(x)?13x3?x2?x??'(x)?x2?2x?1?(x?1)2 h(x)?ln?'(x)?ln(x?1)2?2ln|x?1|

h(x?1?m)?2ln|x?m|,h(2x?2)?2ln|2x?1|

?x?[0,1]?|2x?1|?2x?1,?ln|2x?1|?ln(2x?1) h(x?1?m)?h(2x?2)?0?|x?m|?2x?1

2x?1?x?m?2x?1?x?1?m?3x?1

???x?m??x?m

当x?[0,1]时， ?x?1?[?2,?1],3x?1?[1,4]??1?m?1

?x?m,?m?[0,1] 综上 所以?1?m?0…………12分

22. 选修4—1：几何证明选讲

解：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点， ∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，

∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，

∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；……5分

（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形 ∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，

．…………10分

23. 选修4—4：坐标系与参数方程 解；（1）画图易求得∠AOB=2?3…………5分 (2) 曲线C:??2cos?化为直角坐标方程为(x?1)2?y2?1，向左平移一个单位再经过伸缩变

换???x'?2x2得到曲线C?的直角坐标方程为x'?y2?1，设M(2c?si n所以

??y?y4o,?sx2?3xy?2y2=3?2cos(2????3) ??k??3时，x2?3xy?2y2的最小值为1

此时点M的坐标为????1,33?…………10分 ?2??或?????1,??2???24. 解;(1)?|x?4|?|x?a|?|(x?4)?(x?a)|?|a?4|?|a?4|?3?a?1或a?7 （2）当a?1时,g(x)?2x?1f(x)?2m 的定义域为R，f(x)?2m?0 在R上恒成立

即f(x)?2m?0在R上无解，因为f(x)?|x?4|?|x?1|?3 所以2m??3 即m??32…………10分

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