分段函数与复合函数

分段函数

1.已知函数f（x）＝??3x?2,x?1,?x?ax,x?1,2若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

?log3x,x?012. 已知函数f(x)??x，则f(f())?

9?2,x?0A.4

B.

1 4 C.-4 D-

1 4【答案】B

1111【解析】根据分段函数可得f()?log3??2，则f(f())?f(?2)?2?2?，

9994所以B正确.

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ??log2(1?x),x?0，则（f2009）的值为( )

?f(x?1)?f(x?2),x?0A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

4.设函数g(x)?x?2(x?R)，（A）??2(x)?x?4,x?g(x),f(x)?{gg(x)?x,x?g(x).则f(x)的值域是

9?9??9?,0??(1,??) （B）[0,??) （C）[?,??)（D）??,0??(2,??)

4?4??4?【答案】D

【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。 依

题

意

知

?x2?2?(x?4),x?x2?2?f(x)?22??x?2?x,x?x?2，

2??x?2,x??1或x?2f(x)?2

??x?2?x,?1?x?2?log2x,x?0,?5.若函数f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

1??2（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C

【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。 由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。

a?0a<0????f(a)?f(?a)??loga?loga或?log(?a)?log(?a)2112???2?2?a?0?a?0?????a?1或-1?a?0 1或?1a???a?a?2?【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

?26.已知函数f(x)??x?1,x?0,则满足不等式f(1?x2)?f(2x)的x的范围是_____。

x?0?1,?1?x2?2x[解析] 考查分段函数的单调性。??x?(?1,2?1) ?2??1?x?0?x2?4x?6,x?07.设函数f(x)??则不等式f(x)?f(1)的解集是（ ）

?x?6,x?0A(?3,1)?(3,??) B (?3,1)?(2,??) C (?1,1)?(3,??) D (??,?3)?(1,3) 【答案】A

【解析】由已知，函数先增后减再增 当x?0，f(x)?2f(1)?3令f(x)?3, 解得x?1,x?3。

当x?0，x?6?3,x??3

故f(x)?f(1)?3 ，解得?3?x?1或x?3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解

8.设函数y?f(x)在(??,??)内有定义，对于给定的正数K，定义函数

(?)K,?f(x),fx fK(x)??K,f(x)?K.?取函数f(x)?2?x。当K=

1时，函数fK(x)的单调递增区间为【 C 】 2A ．(??,0) B．(0,??) C ．(??,?1) D ．(1,??) 解: 函数f(x)?2?x1x1?()，作图易知f(x)?K??x?(??,?1]?[1,??)， 22故在(??,?1)上是单调递增的，选C.

?1,x?0?1?x9.若函数f(x)?? 则不等式|f(x)|?的解集为____________.

3?(1)x,x?0??3【答案】??3,1?

【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x?01? （1）由|f(x)|???11??3?x?0.

3???x3?x?0?x?01??xx （2）由|f(x)|????1?1???1?1?0?x?1.

3????????33??3?3??? ∴不等式|f(x)|?1的解集为?x|?3?x?1?，∴应填??3,1?. 3?x2,10.设f?x????x,值域是（ ）

x?1，g?x?是二次函数，若f?g?x??的值域是?0,???，则g?x?的x?11,??? B.???,?1???0,??? A.???,?1???C.?0,??? D. ?1,???

C.

答案:C.

??(3a?10x?3a??(x?1)11.已知f(x)??，是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是x??loga??????????????(x?1)__________

?x2?2x?5???(x?0)?12.函数f(x)??0??????????????????(x?0)?的奇偶性是_______________

??x2?2x?5???(x?0)?1?2a????????(0?a?)n?6?n213.若数列{an}满足an?1?? ，且a1?，a20=________

7?2a?1???(1?a?1)nn??2?2?x?1??(x?0)?14.设函数f(x)??1 ，若f(x0)?1，则x0的取值范围是_____________

2??x????????(x?0)(-∞，-1)∪（1，+∞）

?x2?2x,x?015.函数f(x)?? 为奇函数，则g(x)=_______________

?g(x),?????x?0?x2?1,(0?x?1)16.函数f(x)??2 的反函数是_______________

?x?1,???????x?0)?x2?x?1,(x?1)?17. 函数f(x)??1 值域是______________

?,?????????????x?1)?xf(???(x??0???x?)?0?x?( ,若?0??(x??0)??)?g(x)?(x?1)2f(x?1)18. 函数，且

y?g(x)的反函数为y?g?1(x)，则y?g?1(?4)=_____________

解析 令g(?4)?a,则g(a)??4，有(a?1)f(a?1)??4

?12??a?1(a?1)2??4a?1或?0??4或?a?1(a?1)2?1 ，解得a??1

玩转函数第十招

第10招：玩转分段函数

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 一、分段函数的定义域和值域

分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

??x?4,x?2?例1求函数y??x?3,0?x?1的定义域和值域

?2x?3,?1?x?0?二、分段函数的求值

在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式

?ex,x?0.1例1、（辽宁理）设g(x)??则g(g())?__________

2?lnx,x?0.?2x?1(x?2),?e2、（2006山东）设f(x)??2(x?1)log?3?3、 已知f(x)(x?2).则f[f(2)]? A.0 B.1 C.2 D.3

? －log3(x + 1)(x>6)

? ?x－6 ，若记? 3(x≤6)

1f?1(x)为f(x)的反函数，且a?f?1(),则

9f(a?4)? . ?x?2?2(x1)?,114925?4 、设f(x)??1 则f[f()]? ( ） A. B. C.? D.

2213541(x?1).?2?1?x?sin?x(x?0),11115、 已知f(x)??则f(?)?f()的值为 .

66?f(x?1)?1(x?0).三、分段函数的单调性

例（2006北京理）、已知f(x)??值范围是

?(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，那么a的取

?logax,x?113（D）[,1)

11

73四、分段函数的图象 1.作出函数y?x?x?1?的图象

（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)

2. 函数 y 1 0 A

1 x 17y?elnx?|x?1|的图象大致是 （ ）

y 1 -1 0 B x y 1 0 C 1 x y 1 0 D 1 x

五、分段函数的反函数 （2006年安徽卷）函数y???2x,x?0 的反函数是（ ） 2?x,x?0??x?x2x,x?0,x?0,x?0????2x,x?0??A．y??2 B．y?? C． D．y?? y??2????x,x?0???x,x?0??x,x?0???x,x?0??六、分段函数的解析式

1、在同一平面直角坐标系中，函数y?f(x) 和y?g(x)的图象关于直线y?x对称. 现将

y 3 2 1 y?g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再

沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两 条线段组成的折线（如图2所示），则函数f(x)

的

表

达

式

-2 0 x 1 为 （ ）

?2x?2,?1?x?0,?A．f(x)??x

?2,0?x?2.??2?2x?2,1?x?2,?C．f(x)??x

?1,2?x?4.??2?2x?2,?1?x?0,?B．f(x)??x

?2,0?x?2.??2?2x?6,1?x?2,?D．f(x)??x

?3,2?x?4.??2

2、（2006年上海春卷）已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，

f(x)?x?x4，则当x?(0,??)时，f(x)? .

3、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x?0时,f(x)?七、分段函数的最值

(2005上海高考题)对定义域分别是

x2?2x?3.求f(x)的解析式.

D,Dfg的函数y?f(x),y?g(x).规定：

?f(x)g(x),当x?D且x?D,fg??当x?Df且x?Dg 函数h(x)??f(x),?当x?Dg且x?Df??g(x),（I）若函数f(x)?1,g(x)?x2，写出函数h(x)的解析式； x?1（II）求问题（I）中函数h(x)的最大值；

八、分段函数的奇偶性

判断函数f(x)???x(1?x)(x?0),的奇偶性

(x?0).?x(1?x)九、与分段函数有关的不等式问题

2??(x?1).(x?1)1、设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的取值范围是__________

??4?x?1.(x?1)(x?0)?1　　2已知f(x)??，则不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________

?1　　(x?0)?x?1??2e,x?2,3、（山东理）设f(x)= ? 则不等式f(x)>2的解集为 2??log3(x?1),x?2,(A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞）(D)（1，2）

?1(x为有理数)4、 设f(x)=?，使所有x均满足x·f(x)≤g(x)的函数g(x)是（ ）

?0(x为无理数)A．g(x)=sinx B．g(x)=x C．g(x)=x2 D．g(x)=|x| 十、分段函数与方程的根

??1?x2(|x|?1)1、.函数f(x)=?，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足

??|x|(|x|?1)A.a<0

B.0≤a<1

C.a=1

D.a>1

2、设定义为R的函数f(x)???lgx?1,x?1,?则关于x的方程f2(x)?bf(x)?c?0

x?0.??0,有7个不同的实数解的充要条件是 （ ）

A. b?0且c?0 B. b?0且c?0 C. b?0且c?0 D. b?0且c?0 3、设函数

f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，

f(1)?f(3)?0.

且在闭区间[0,7]上，只有 （Ⅰ）试判断函数y （Ⅱ）试求方程

?f(x)的奇偶性；

f(x)?0在闭区间[?2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.

十二、开放性自义分段函数

1. 定义在R的任意函数f(x)，都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)?lg(10?1)，那么 （ ） A.

x1g(x)?x，h(x)?lg(10x?10?x?2) B. g(x)?[lg(10x?10?x]，

21h(x)?[lg(10x?1)?x]

2xxxxxxC. g(x)?,h(x)?lg(10?1)? D. g(x)??,h(x)?lg(10?1)?.

2222

?(?2x?3)(x?2)(x?1),1（II）

8(x?1).?x?23九、1（答：(??,?2]?[0,10]）；2（答：(??,]）

2七、答案（I）h(x)??

浅析复合函数的定义域问题

一、复合函数的构成

设u?g(x)是A到B的函数，y?f(u)是B'到C'上的函数，且

B?B'，当u取遍B中的元素时，y取遍C，那么y?f(g(x))就是A到C上的函数。此函数称为由外函数y?f(x)和内函数u?g(x)复合而成的

复合函数。 说明：

⑴复合函数的定义域，就是复合函数y?f(g(x))中x的取值范围。 ⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。 ⑶f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。

例1．设函数f(x)?2x?3,g(x)?3x?5，求f(g(x)),g(f(x))． ⑷若f(x)的定义域为M，则复合函数f(g(x))中，g(x)?M． 注意：g(x)的值域M?M'． 例2：

⑴若函数f(x)的定义域是[0，1]，求f(1?2x)的定义域； ⑵若f(2x?1)的定义域是[-1，1]，求函数f(x)的定义域；

⑶已知f(x?3)定义域是??4,5?，求f(2x?3)定义域．

要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答：

⑴ 函数f(1?2x)是由A到B上的函数u?1?2x与B到C上的函数y?f(u)复合而成的函数．

?函数f(x)的定义域是[0，1]，

∴B=[0,1]，即函数u?1?2x的值域为[0，1]． ∴0?1?2x?1，

'1， 21∴函数f(1?2x)的定义域[0，]．

2⑵ 函数f(2x?1)是由A到B上的函数u?2x?1与B到C上的函数y?f(u)复合而成的

∴?1??2x?0，即0?x?函数．

?f(2x?1)的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-1?x?1，

∴?3?2x?1?1,即u?2x?1的值域是[-3，1]， ∴y?f(x)的定义域是[-3，1]．

则f[g(x)]的定义域就是不等式g(x)?A的x的f(x)的定义域为A，

集合；若已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域就是函数g(x) (x?A)的值要点2：若已知

域。

⑶ 函数f(x?3)是由A到B上的函数u?x?3与B到C上的函数y?f(u)复合而成的函数．

?f(x?3)的定义域是[-4，5),

∴A=[-4,5)即?4?x?5，

∴?1?x?3?8即u?x?3的值域B=[-1，8）

又f(2x?3)是由A'到B'上的函数u'?2x?3与B到C上的函数y?f(u)复合而成的函数，而B?B',从而u'?2x?3的值域B'?[?1,8) ∴?1?2x?3?8 ∴2?2x?11, ∴1?x?11 211）． 2∴f(2x?3)的定义域是[1，

例3：已知函数f(x)定义域是（a,b），求F(x)?f(3x?1)?f(3x?1)的定义域．

b?1?a?1?x???a?3x?1?b?33解：由题，?，??，

a?1b?1a?3x?1?b???x??33??a?1b?1?? 当?33，即b?a?b?2时，F(x)不表示函数；

??a?b?a?1b?1??当?33，即a?b?2时，F(x)表示函数， ??a?ba?1b?1,)． 其定义域为(33说明：

① 已知f(x)的定义域为(a,b)，求f(g(x))的定义域的方法：

求f(g(x))的定义域。实际上是已知中间变量的u的f(x)的定义域为(a，b)，

取值范围，即u?(a，b)，g(x)?(a，b)。通过解不等式a?g(x)?b求得x的

已知

范围，即为f(g(x))的定义域。

② 已知f(g(x))的定义域为(a,b)，求f(x)的定义域的方法：

f(x)的定义域。实际上是已知复合函数

f(g(x))直接变量x的取值范围，即x?(a，b)。先利用a?x?b求得g(x)的范围，则g(x)的范围即是f(x)的定义域,即使函数f(x)的解析式形式所要求定义域真包含g(x)的值域，也应以g(x)的值域做为所求f(x)的定义域，因为要确保所求外含数f(x)与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数f(x)将失去解决问题

若已知f(g(x))的定义域为(a，b)，求

的有效性。换元法其实质就是求复合函数f(g(x))的外函数定义域不等于内函数g(x)的值域，那么

f(x)，如果外函数f(x)的

f(x)就确定不了f(g(x))的最值或值域。

例4：已知函数f(x)?x?1?x,(x?1)

求f(x)的值域。

x?1，(x?1)；

则有g(u)?u2?u?1，(u?0)

分析：令u(x)?复合函数

f(x)是由u(x)?x?1与g(u)?u2?u?1复合而成，而g(u)?u2?u?1，

(u?0)的值域即f(x)的值域，但g(u)?u2?u?1的本身定义域为R,其值域则不等于复合函数f(x)的值域了。

x2例5：已知函数f(x?3)?lg2，求函数f(x)的解析式，定义域及奇偶性。

x?6x22 分析：因为f(x?3)?lg2定义域为{x|x??6或x?6}

x?6u?32 令u?x?3，u?3；则f(u)?lg，且u?3

u?3x?3,x?3， 所以 f(x)?lg定义域不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。 x?3x?3 然而只就f(x)?lg解析式而言，定义域是关于原点对称的，且

x?3f(?x)??f(x)，所以是奇函数。就本题而言f(u)就是外函数其定义域决定于内函数u?x2?3，u?3的值域，而不是外函数f(u)其解析式本身决定的定义域了。

22．求有关复合函数的解析式，

例6．①已知 f(x)?x2?1,求f(x?1)；

②已知 f(x?1)?(x?1)2?1，求f(x)．

1 ，求f(x)； x112 ②已知f(x?)?x?2，求f(x?1)．

xx例7．①已知f(x?1)?x?要点3：

f(x)求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可。

已知f[g(x)]求f(x)的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法就是在f[g(x)]中把关于变量x的表达式先凑成g(x)整体的表达式，再直接把g(x)换成x而得f(x)。

换元法就是先设g(x)?t，从中解出x（即用t表示x），再把x（关于t的式子）直接代入f[g(x)]中消去x得到f(t)，最后把f(t)中的t直接换成x即得f(x)，这种

已知

代换遵循了同一函数的原则。

例8．①已知f(x)是一次函数，满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)；

②已知3f(x)?2f()?4x，求f(x)．

要点4：

⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。

1x

⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知

f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(?x)、1f()等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。 x二、练习：

１．已知f(2x?1)?x2?2x，求f(22?1)和f(22?3)． 解：令2x?1?22?1，设x?2，

f(22?1)?(2)2?22?2?22,

2?1，

f(22?3)?(2?1)2?2(2?1)?3?22?22?2?1．

?x?1,x?0２．已知f(x)?x2?1,g(x)??，求f(g(x))．

2?x,x?0?分析：f[g(x)]是用g(x)替换y令2x?1?22?3，设x??f(x)中的x而得到的，问题是用g(x)中的x?1替换呢，还是用2?x替换呢？所以要按x?0、x?0分类； 注：g[f(x)]是用f(x)替换y?g(x)中的x而得到的，问题是用f(x)替换g(x)中

22的x?1呢，还是替换2?x呢？所以要看x?1?0还是x?1?0，故按x2?1?0、x2?1?0分类。

?x2?2xx?0，?Key:f[g(x)]??；

2?xx?0??4x?3，?x2?2，x?1?2注：g[f(x)]??3?x，?1?x?1。

?x2?2，x??1?三、总结：

１．复合函数的构成；

?f(u)，u?g(x)，则我们称y?f(g(x))是由外函数y?f(u)和内

函数u?g(x)复合而成的复合函数。其中x被称为直接变量，u被称为中间变量。复合函数中直接变量x的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u的取值范围，即是g(x)的值域，是外函数y?f(u)的定义域。

设函数y２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法： ⑴定义域求法：

；求外函数的?g(x)?b解x）

定义域只要求中间变量的值域范围（由a?x?b求g(x)的值域）。已知一个复合函数求

求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由a另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。 ⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法．

四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： ⑴ 当

f(x)为整式或奇次根式时，x?R；

； f(x)为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）

⑶ 当f(x)为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；

0⑷ 当f(x)为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如f(x)?x，

1?2。 f(x)?x?2中x?0）

x⑸ 当f(x)是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量x的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹ 分段函数y?f(x)的定义域是各段上自变量x的取值集合的并集。 ⑵ 当

⑺ 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻ 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼ 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。 ⑽ 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A ?B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：

(1)、已知f(x)的定义域，求f?g(x)?的定义域

思路：设函数f(x)的定义域为D，即x?D，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)?D，解得x?E，E为f?g(x)?的定义域。

例1. 设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。 解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u?(0，1)，所以f的作用范围为（0，1） 又f对lnx作用，作用范围不变，所以0?lnx?1 解得x?(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）

1，则函数f?f(x)?的定义域为______________。 x?11解析：先求f的作用范围，由f(x)?，知x??1

x?1即f的作用范围为?x?R|x??1?，又f对f(x)作用

例2. 若函数f(x)?所以f(x)?R且f(x)??1，即f?f(x)?中x应满足??x??1

?f(x)??1?x??1?即?1，解得x??1且x??2

??1??x?1故函数f?f(x)?的定义域为?x?R|x??1且x??2?

（2）、已知f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域

思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以x?E，E为f(x)的定义域。

例3. 已知f(3?2x)的定义域为x??1，2，则函数f(x)的定义域为_________。

??解析：f(3?2x)的定义域为?1，2，即x??1，2，由此得3?2x??1，5 所以f的作用范围为?1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x??1，5 即函数f(x)的定义域为?1，5

????????????x2例4. 已知f(x?4)?lg2，则函数f(x)的定义域为______________。

x?8x2x22?0 解析：先求f的作用范围，由f(x?4)?lg2，知2x?8x?82解得x?4?4，f的作用范围为(4，??)，又f对x作用，作用范围不变，所以x?(4，??)，即f(x)的定义域为(4，??)

（3）、已知f?g(x)?的定义域，求f?h(x)?的定义域

思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，f的作用范围为E，

2又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)?E，解得x?F，F为f?h(x)?的定义域。

例5. 若函数f(2x)的定义域为?1，1，则f(log2x)的定义域为____________。 解析：f(2)的定义域为?1，1，即x??1，1，由此得2??，2?

?2?x??????x?1??1?f的作用范围为?，2?

?2?又f对log2x作用，所以log2x??，2?，解得x?2即f(log2x)的定义域为

?2，4

??1????2，4

?评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：

21、 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。 答案：[?1,1]

2、 已知函数f(3?2x)的定义域为[?3,3]，求f(x)的定义域。 答案：[?3,9]

3、 已知函数y?f(x?2)的定义域为(?1,0)，求f(|2x?1|)的定义域。

13(?,0)?(1,)2 答案：22?x?x??2?，则f???f??的定义域为（ ）

2?x?2??x? A. ??4,0???0,4? B. ??4,?1???1,4? C. ??2,?1???1,2? D. ??4,?2???2,4?

x??2??2,?2?x?2?0得，f(x)的定义域为?x|?2?x?2?。故?解：选C.由，解得

22?x??2??2.?x?4、设f?x??lg?x??2?x???4,?1???1,4?。故f???f??的定义域为??4,?1???1,4?

?2??x?132233?1?1??ax?,??x?,???2?2a22a［解析］由已知，有? ??1x3a3????,???x?a.??2?2a2?213（1）当a?1时，定义域为{x|??x?}；

221a33（2）当?a，即0?a?1时，有???，

2a22a2a3定义域为{x|??x?a}；

22331a（3）当?a，即a?1时，有???，

2a22a213定义域为{x|??x?}.

2a2a13故当a?1时，定义域为{x|??x?}；

2a2aa3当0?a?1时，定义域为{x|??x?a}.

225、已知函数f(x)的定义域为x?(?,)，求g(x)?f(ax)?f()(a?0)的定义域。

xa［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明 已知函数y?f(g(x)).若u?g(x)在区间(a,b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y?f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y?f(g(x))在区间(a,b ）上是增函数.

证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使a?x1?x2?b

因为u?g(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)?g(x2),记u1?g(x1),

u2?g(x2)即u1?u2,且u1,u2?(c,d)

因为函数y?f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)?f(u2),即

f(g(x1))?f(g(x2))，

故函数y?f(g(x))在区间(a,b）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

增 ↗ 减 ↘ y?f(u) u?g(x) y?f(g(x)) 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数y?f(g(x))的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；

ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：y?f(u)与u?g(x)。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y?f(g(x))为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y?f(g(x))为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数y?log1(x2?2x?3)的单调区间，并用单调定义给予证明 2解：定义域 x?2x?3?0?x?3或x??1

单调减区间是(3,??) 设x1,x2?(3,??)且x1?x2 则

2y1?log1(x1?2x1?3) y2?log1(x2?2x2?3)

2222(x1?2x1?3)?(x2?2x2?3)=(x2?x1)(x2?x1?2) ∵x2?x1?3 ∴x2?x1?0 x2?x1?2?0

122∴(x1?2x1?3)>(x2?2x2?3) 又底数0??1

2∴y2?y1?0 即 y2?y1 ∴y在(3,??)上是减函数 同理可证：y在(??,?1)上是增函数 ［例］2、讨论函数f(x)?loga(3x2?2x?1)的单调性. ［解］由3x2?2x?1?0得函数的定义域为

1{x|x?1,或x??}.

3则当a?1时，若x?1，∵u?3x2?2x?1为增函数，∴f(x)?loga(3x2?2x?1)为增

22函数.

13∴f(x)?loga(3x2?2x?1)为减函数。

若x??，∵u?3x2?2x?1为减函数.

2当0?a?1时，若x?1，则f(x)?log)为减函数，若x??a(3x?2x?12f(x)?log)为增函数. a(3x?2x?11，则3例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围. 解：∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2-a>0是减函数

由y=loga (2-a)在［0，1］上x的减函数，知y=logat是增函数， ∴a＞1

由x?［0，1］时，2-a?2-a＞0,得a＜2, ∴1＜a＜2

当00是增函数 xxxxx由y=loga (2-a)在［0，1］上x的减函数，知y=logat是减函数， ∴0

x

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