新北区教育科学“十二五”规划课题结题报告

附件7：

新北区教育科学“十二五”规划课题

结题报告

课 题 类 别 区 级

学 科 分 类 高 中 数 学

课 题 名 称 高中生数学交流能力的培养研究

课 题 负 责 人 丁 雄 伟

负责人所在单位 新 北 区 安 家 中 学

填 表 日 期 2014 年 4 月

拟 结 题 时 间_____2013年12月________________

新北区教研室制

2014年3月

目 录

摘要--------------------------------------------------------------------- 第一章 绪论-------------------------------------------------------------- 1.1 数学交流提出的背景---------------------------------------------------- 1.2数学交流的研究现状------------------------------------------------------------- 1.2.1国外数学交流的研究状况--------------------------------------------- 1.2.2我国数学交流的研究状况--------------------------------------------- 1.3研究的思路与方法---------------------------------------------------------------- 1.3.1研究的思路--------------------------------------------------------- 1.3.2研究的方法--------------------------------------------------------- 1.4本课题创新之处--------------------------------------------------------- 第二章 数学交流的概述---------------------------------------------------- 2.1数学交流概念的界定---------------------------------------------------- 2.2数学交流的类型------------------------------------------------------ 2.3数学交流在教学中的价值体现------------------------------------ 2.3.1 数学交流在完善数学认知中的价值体现----------------------- 2.3.2数学交流在确立学生主体地位中的价值体现------------------ 2.3.3数学交流在培养学生合作交流能力中的价值体现-------------- 2.3.4数学交流在改进教师教学方式中的价值体现----------------- 2.4数学交流能力培养的理论基础-------------------------- 第三章 高中学生数学交流的现状调查和分析---------------------- 3.1高中学生数学交流现状的调查------------------------------- 3.1.1调查的目的------------------------------------------ 3.1.2调查的设计思想------------------------------------ 3.1.3调查方法----------------------------------------- 3.1.4调查对象----------------------------------------- 3.1.5数据处理------------------------------------------- 3.1.6调查结果----------------------------------------- 3.2调查结果分析------------------------------------ 3.2.1缺乏数学交流环境--------------------------- 3.2.2数学语言的运用能力较差------------------- 3.2.3教师对数学交流能力的认识有限-------------- 3.2.4数学交流中缺乏质疑探究精神-------------- 3.2.5某些数学交流缺乏互动性------------------ 3.2.6许多数学交流请教的意图明显-----------------

第四章 在高中教学中培养学生数学交流能力的实践研究---------------

4.1在良好交流的情境和氛围中培养交流能力-------------------------- 4.1.1合理分配交流伙伴,扩大交流范围----------------------------- 4.1.2加强师生互动,提高交流效率------------------------------------- 4.1.3组织适当的课前﹑课堂﹑课后讨论-------------------------------- 4.2在数学语言的训练中培养交流能力----------------------------------- 4.2.1加强学生对数学语言的认识和理解-------------------------------- 4.2.2提高教师数学语言的准确性------------------------------------ 4.2.3引导学生进行数学语言的叙述训练------------------------------ 4.3引导学生积极思考,暴露学生思维以培养交流能力------------------ 4.3.1在概念教学中培养学生的交流能力----------------------------- 4.3.2在知识小结中培养学生的交流能力-------------------------------- 4.3.3在解题教学中培养学生的交流能力------------------------------ 4.4充分挖掘教材资源,合理设计教学，培养交流能力--------------------- 4.5以科学地评价促进有效交流 ------------------------------------- 第五章 课堂中数学交流的实践案例及实践小结---------------------- 5.1案例 一道证明线线垂直的教学实录-------------------------- 5.2总结--------------------------------------------------- 参考文献--------------------------------------------------- 附录：调查问卷---------------------------------------------- 致谢-------------------------------------------------------

摘 要

数学已日益成为现代文化的重要组成部分。学会数学交流己成为各国数学课程共同关注的重要内容。通过数学交流，个体的思维活动得到了表述、辨析、澄清和巩固，数学交流可以不断使学生完善认识结构，确立学生的主体地位，还能培养学生的创造能力。目前我国高中数学课堂教学中“数学交流”的现状不理想，对“数学交流”的重视程度依然不够。本文针对我国目前高中数学教学中“数学交流”的现状，指出新课程下在高中数学教学中进行“数学交流”的重要性以及在课堂教学中如何进行“数学交流”。

本文在研究国内外关于数学交流文献的基础上，阐述了数学交流的一些有关概念：数学交流的涵义﹑数学交流的分类，数学交流的价值和数学交流能力的评价。通过对高中学生数学交流情况的问卷调查，分析了我国目前高中数学教学中数学交流的现状和问题。结合高中学生年龄特点和我校学生实际，提出了在高中数学教学中实施数学交流的策略。

关键词：数学交流 教学策略 高中教学

Abstract

Mathematics has played an important role in modern culture. What is most

significant is that the common concern of mathematics subject in many countries has been related to how to learn mathematical communication. Through mathematical communication, individual thinking activities have been expressed, analyzed, clarified and consolidated. It may make students continuously improve the structure of understanding, establish the dominant position of students, as well as develop the creative ability of students. Nowadays the status quo of mathematical communication in senior high mathematics teaching in China is not ideal. Besides, not enough

attention has paid to mathematical communication. Considering the current status quo of mathematical communication in senior high mathematics teaching in China, the paper points out that the importance of carrying out mathematical communication in senior high mathematics teaching guided by the new curriculum and how to carry out it in class teaching.

Based on the study into domestic and international literature of mathematical communication, the paper explains some concepts of mathematical communication: the meaning, classification, value and evaluation of mathematical communication. Through the study into the questionnaire about mathematical communication of senior high students, it analyzes the current status quo and problems of mathematical communication in China. By combination of the aged features of senior high students and our school students, I proposed the strategies of carrying out mathematical communication in mathematics teaching in senior high schools.

Key words: mathematical communication; teaching strategy; senior high teaching

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第一章 绪论

1.1 数学交流提出的背景

人类文明的发展和进步是以人与人之间的交流为基础的，人的认识、情感、意志和行为都是在与他人的交流中得到发展的。作为一种文化，数学保留并记录了人类文化发展的状态，而文化的传承与发展都离不开交流从数学教育的本质来看，数学不仅要教会学生知识，更重要的是教给学生思维方法和学习数学的方法，这个过程离不开交流和沟通。

在我国历史上，有很多杰出的教育家，他们的教育思想中都蕴含有交流的成分。大教育家孔子说，“三人行，必有我师焉。”又说，“敏而好学，不耻下问。”这其中都有交流的影子。《学记》中有“独学而无友，则孤陋而寡闻”的诗句，它提倡学习者在学习过程中互相切磋，彼此交流。《礼记》中说，“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也知困，然后能自强也。故曰教学相长也”，教学相长即教师的教和学生的学是互相促进的。在西方的教育中，人们也很早就重视教学中的交流了。捷克大教育家夸美纽斯认为，学生可以从教师的教学中获得知识，也可以通过别的学生的教学来获得知识。美国著名教育家杜威提倡在教学中成立合作学习小组，通过学生的互相交流来学习。

教学中离不开交流，数学作为模式的科学自然也不例外。数学课堂中离不开“数学交流”。在数学课堂教学过程中，各个教学环节中都存在交流。无论是课堂提问、老师讲解﹑学生看书（与教材交流）都存在着交流。美国数学教育家波利亚在谈论数学教学时认为，数学学习的最好实践机会是由小组作业提供的。这里的“小组作业”实质上就是一种交流模式，它体现了以学生为主体，以学生发展为本的教育思想。荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说“数学学习的过程就是要通过数学语言，用它特定的符号、词汇、句法和成语去交流，去认识世界。”

因此，课堂教学活动实质是学生的思维活动，是教与学互动的过程，无论是教师还是学生都应认识到交流的价值和重要性。因此研究数学交流对于学生数学学习和教师数学教学有着积极的意义。

1.2数学交流的研究现状

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1.2.1国外数学交流的研究状况

在数学教育领域，交流的重要性长期没有受到应有的重视，更没有被作为一个重要的课程目标。然而，不能忽视这样一个事实数学在当今学科中的用途急剧增加，重要的原因之一是数学能简明地表达和交流思想。

较早提出“数学交流”的是1981年英国“学校数学调查委员会”向政府提交的《Cockcroft》报告中提出：数学提供了一种有力的﹑简洁的和准确无误的交流信息的手段，正是这一点构成了学生之所以学习数学的最为重要的理由。这里提出数学交流主要出于对数学教育价值的考虑。在英国1995年修订的国家数学课程标准中，虽然没有在目标中列出“数学交流”，但在使用和应用数学的目标之下，有一项就是“发展数学语言，并进行交流。这项目标贯穿于四个学段。交流的内容从具体到抽象，体现了各学段的不同要求。

真正把“数学交流”作为学校数学教育目的提出的是美国数学教师理事会(NCTM)在1989年制定的《美国学校数学课程与评价标准》。这份文件将学校数学内容分为解决问题、数学交流、数学推理、数学联系四条线索，并详细制定了从幼儿园到年级各年级对“数学交流”的要求和评价标准。1998年的《学校数学的原则与标准讨论稿》给出了十条数学课程标准，其中标准8就是“交流”，对“数学交流”，作出了具体的要求，包括四个方面：(1)组织和强化他们的数学思维以使之与他人交流；(2)连续而清楚地向同伴、老师及他人表达数学思想；(3)通过思考他人的想法和策略扩展他们自己的数学知识；(4)将数学语言作为一种数学表达的精确方式加以使用。在2000年的《学校数学的原则与标准》中，再次强调“数学交流”这一标准，并把“数学交流”能力作为六项能力之一。可见，“数学交流”在美国的数学课程中一直占有重要的地位。

除英美以外，很多其他国家也纷纷在国家颁布的课程标准和数学分类目标中，明确提出“数学交流”的目标。法国教学大纲在目的中提到使学生“能准确地表述”“使学生在书写和口头方面形成能清楚表述的习惯”。

日本中学数学大纲把“获得数学表达”作为目的之一。

新加坡在其标准(2000)中提出的“使用数学作为一种交流的工具”，交流的活动有：有关数学概念和学习经验的全班和小组的讨论；解释﹑说明和表达结果或结论，比如解释所用的方法和策略，在问题解决和探索中对结果的解释和表达；

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解释和使用表征，比如模型﹑图像﹑图表﹑图形等。

澳大利亚在数学课程目标中强调“培养学生学会数学交流”，把“学生充分掌握数学表达、数学表示和数学应用技能，以便应用数学解释有关信息与他人沟通联系”作为教育目的之一。

1996年7月，在西班牙举办的第八届国际数学教育大会上，把“课堂中的数学交流”作为第一工作组的议题，讨论的中心即是课堂中的数学交流。联合国教科文组织“国际21世纪教育委员会”在其《学习：内在的财富》报告中指出“21世纪教育需要的手段之一就是对话﹑交流﹑讨论，教育质量在一定程度上取决于一个社会网络之中相互交流的质量。”

纵观世纪发达国家的数学课程改革，其改革的特点之一就是注重“数学交流”。

1.2.2我国数学交流的研究状况

在我国传统的数学教学中，数学交流能力的培养一直没有受到重视。近年来，我国数学教育理论界才开始逐步认识到数学交流的重要价值。90年代初，东北师范大学的沈呈民、孙连举和李善良先生在他们的《数学交流及其能力的培养》一文中对数学交流作了系统的阐述，提出了数学交流的广义和狭义概念，指出数学语言是数学交流的载体，论述了数学交流的过程和原理，给出了培养数学交流能力的一些策略。90年代末、21世纪初，随着国内数学教育改革的发展以及与国际数学教育界交流的日趋频繁，数学交流更加引起广泛关注。曹才翰和章建跃先生在他们所著的《数学教育心理学》中把“数学交流”作为课堂教学问题之一，从“数学交流的意义”、“教师向学生学习”和“学生的自学”三个方面叙述，指出了在传统的课堂教学模式中进行数学交流比较困难，指出教师通过交流可以了解学生，而学生把领悟的数学思想方法“表达出来或记录下来”并进行必要的反思有利于培养学生的自学能力。丁亿先生在《数学交流的价值及其内容形式》中对数学交流的价值及其内容与形式给予了阐述，徐鹤年老师在《数学交流与学生素质的提高》描述了数学交流与学生数学素质的提高的密切联系。中国人民大学附中的周建华老师在《“数学交流”教学的课堂文化》探讨了“数学交流”的课堂文化，即主体性、合作性和开放性。另外还有很多数学教育工作者从课堂教学，案例分析等各方面对数学交流进行了讨论。

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2001年，国家教育部颁布的全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）的基本理念之一，就是“有效的数学学习活动表现为自主探究与合作交流”，并且《标准》中多次提到“合作交流”，“与他人交流思维过程”。2003年的《普通高中数学课程标准（实验）》不仅在课程目标中对数学交流有要求，更是将“数学交流”贯穿在整个知识领域中，如在知识领域中提出了“使学生运用集合语言进行表达和交流。”在几何教学中使学生“学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。”在框图教学中，学会“与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。”等等。

纵观我国近年来的数学课程标准，注重“数学交流”也已成为我国新课程改革的一大亮点，是促进学生发展的有力保证。“数学交流”已不仅仅是数学教育目标，它更是一种有效的学习方式，一种有效的教学方式。

但在数学教育的实践中，数学交流还没有引起足够的重视。为了了解目前我国课堂数学交流的现状，有研究者分别对高中数学交流现状作了调查和分析[3]。从调查的结果来看，灌输式的教学方法仍然占据着当今教坛的主要地位。教师没有注意到数学交流的重要性，学生缺乏数学交流的意识和愿望。课后以个人学习为主，复习考试以个人准备为主，很少与人讨论；从教科书方面来看，偏重知识的逻辑体系，在考虑有利于培养学生数学交流能力方面尚有欠缺；在对学生的评价方面，更多地关注结果分数，而忽视对学生学习过程的评价。因此，在数学教育中应该要重视数学交流活动的设置和数学交流能力的培养，为数学教育提供一条培养学生创造性的有效途径。本文正是基于这样的现实背景，对高中学生数学交流能力培养的现实意义以及如何在数学教学中有意识地培养学生的数学交流能力作一些实践研究。

1.3研究的思路与方法

1.3.1研究的思路

(1)通过对相关资料的学习研究，从理论的层面上探讨数学交流的基本内涵与特征；挖掘数学交流的教育功能及价值，以对整个课题形成理论指导。

(2)通过学生在课外的数学交流活动及教师在课堂中的有效创设，获得学生对此的真实感受，探索数学交流的意义。

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(3)通过对高中数学交流现状的调查与分析，结合本校学生的特点，探索培养高中生数学交流能力的教学策略。

(4)以课程改革精神为指导，以新课程标准为纲要，挖掘教材交流资源，对高中生数学交流的内容﹑交流的方式﹑评价方式等进行归纳总结，以体现高中生数学交流能力对学生发展方面所起的促进作用。

1.3.2研究的方法

(1)文献研究

利用图书馆、网络等查阅文献,收集数学交流、数学能力、数学素养等方面的资料以其支撑理论；分析、综合、概括相关研究的新成果，形成与研究课题相关的科学认识，为下一步的研究提供理论与现实的依据。

(2)行动研究法。坚持理论联系实际，在研究中实践，在实践中研究。通过对学生数学交流行为的研究，展开对数学交流意义与效果的分析，并在不断研究的过程中提高认识，优化数学交流的途径与策略。

(3)调查研究法。课题研究初期，通过调查法，认真调查目前高中学生的数学交流状况，掌握真实而详细的第一手资料，为研究工作的顺利展开奠定基础；课题实施过程中，通过调查法，获取数学交流与自身数学素养的有关信息。

(4)个案分析法。收集典型的学生数学交流的案例进行分析研究，从中挖掘和提炼科学有效的交流措施，及时予以推广。

1.4本课题的创新之处

综观己有研究，有研究者从理论的角度阐述数学交流能力的重要性；有研究

者就数学交流的课堂教学模式进行了有效的研究，总结出培养数学交流能力的基本步骤；有研究者就交流的形式，如数学知识的交流、问题解决的交流、数学体验的交流等进行了研究；还有研究者对高中生数学交流的现状进行了调查与分析等。

数学课有不同的课型，就教学内容看，有新授课、复习课、试卷评讲课，新教材中还有探究实践课等，就课堂组织形式看，有教师学生主讲式、小组讨论式、实践探究式等。本文重点就是聚焦课堂，通过案例剖析，就数学交流能力的情境

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性和课堂组织形式进行研究，研究不同情境内容、不同课堂组织形式下进行数学交流能力培养的关键、主要环节、注意事项等，从实践的角度对高中生数学交流能力的培养进行有效研究。

第二章 数学交流的概述

2.1数学交流概念的界定

“交流”一词在《辞海》中的解释为互相沟通。并举例如“文化交流。”交流是个体之间以一种共同、可理解的方式分享想法、信仰、思想和感情的过程。

“数学交流”，一词来源于国外，它的英文是mathematical communication。 数学课堂中离不开数学交流，教师的讲授﹑提问，学生的听课﹑对问题的回答与质疑等，都是数学交流的形式；课外进行的数学活动，学生之间的问题探讨或论文报告中，也存在着数学交流。那么，究竟什么是数学交流呢？对此国内外外不同的研究者给出了不同的界定。下面就讲述几种不同的对数学交流该了概念的认识：

（1）数学交流就是运用表达数学概念﹑关系﹑问题﹑方法﹑思想的数学语言，传递信息﹑情感与观念的过程[4]，它包括两个方面，即通过交流去学习数学与学会数学地交流。

(2) 所谓数学交流是指数学信息接收、加工、传递的动态过程[5]。 (3) 数学交流是运用数学语言，以听、说、读、写等方式接受和表达主体对数

学的认识和情感的一种活动[6]。

(4) 数学交流是指用文字、符号、动作、模象等为载体，对数学的概念、关系、规律、应用等的认识和感受进行表达、接受和转换[7]。

(5)美国数学教师协会（NCTM）发表的《中小学数学课程与评估标准》中，对数学交流的表述是，会对自己的数学思想进行组织和澄清，并能清楚地、前后一致地表达自己的数学思想，能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识，并能学会使用精确的数学语言。由以上内容可以看出，认为学生应通过交流去学习数学，并且要学会数学地交流。

事实上，不同的视角和着眼点，就会得出对数学交流不同的认识。从概念的广义、狭义来看，一般存在如下三种不同层次的理解：（1）广义理解，指探索数

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学和应用数学解决问题的动态过程，在科学技术和日常生活中哪里使用数学，哪里就有数学交流；（2）狭义理解，指数学学习与教学中使用数学语言、数学方法进行各类数学活动的动态过程；（3）数学化理解，指运用表达数学概念、关系、问题、方法、思想的数学语言，传递信息、情感与观念的过程。

本文所要研究的数学交流是数学教与学中的数学交流，因此将数学交流定义为数学交流是指在数学教学与学习中，运用数学语言﹑数学思想方法，以听﹑说﹑读﹑写等方式接受和表达主体对数学知识的认识﹑感受及体验的一种活动。

从定义中可以看出，数学交流存在于教学与学习两个过程中；进行数学交流的工具或载体是数学语言、数学思想方法等，最基本的载体是数学语言：进行数学交流是多信道的，它要通过听、说、读、写等方式来达到交流的目的；进行数学交流的内容是多方面的，是丰富多彩的，可以说包括数学知识的各个方面。我们应帮助学生学会对自己的数学思想进行组织和澄清并能清楚地、前后一致地表达自己的数学思想能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识，并能学会使用精确的数学语言。

数学交流能力培养是为使学生能通过交流去学习数学以及学会数学地交流。通过问题情境的创设可以激发学生数学交流的欲望，通过对学生的数学语言的培养能使学生掌握数学交流的工具，通过改革现行课堂教学模式构建有利于学生数学交流能力培养的课堂教学模式，通过多形式的数学实践活动为学生提供更多的数学交流的机会，促进学生的数学交流能力的提高，从而改变学生的学习方式和教师的教学方式。

2.2数学交流的类型

数学交流有很多不同的形式，按照不同的分类标准、不同的理论依据，交流可以分为不同的类型。

2.2.1按交流的内容分类 有两种不同的观点：

一种观点是将数学交流划分为知识形态的交流和感情形态的交流，其中知识形态的交流表现为数学思想的表达、数学思想的接受和数学思维载体的转换感情形态的交流表现为师生在课堂上的感情交流，即师生利用语言﹑表情﹑体态等抒发情感需要﹑兴趣﹑态度﹑意志等，激发热情，互相感染，互相促进。

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另一种观点是将数学交流大致可分为：数学知识的交流、数学体验的交流和解决问题的交流

（1）数学知识的交流

数学知识的交流是较为普遍的数学交流。当教师或学生以口头或书面的方式把自己对某一数学知识，如概念﹑法则﹑定理﹑公式﹑方法等的理解向他人表述，并试图去理解别人的观点时，就是进行数学知识的交流。知识的交流实质是知识的传递，加工和再传递。通过这种交流，学习者可以澄清自己的认识，加深对知识的理解。

例如，学习直线斜率，师生通过分析“坡度”这一学生熟悉的概念，得到研究直线倾斜程度的量—斜率。这个过程中，教师的讲授、学生的听与回答问题，以及和教师的探讨，是以知识为住的数学交流。通过数学交流，学习者可以澄清自己的思想，理解他人的意思，有助于巩固基本的数学知识。

（2）数学体验的交流

数学体验交流的内容是数学学习过程中的感受﹑情绪﹑认识﹑观点等种种认知和情感体验。认知体验包括在认知过程中对某一现象的概括性认知，对他人及自己学习过程和结果的评价，对学习活动的喜厌程度等。情感体验包括在认知过程中产生的厌烦﹑喜爱﹑惊诧﹑赞叹等情绪和对某方面的喜好﹑厌恶等情感。比如，学生自我总结一堂课的主要内容和关键问题，评价他人的见解与解题方法，分析学习内容的难易程度等，都属于认知体验的交流在学习过程中对数学美的欣赏，因认知障碍而产生的厌烦﹑畏惧心理，对某类知识学习的偏爱，对他人思维巧妙性的赞叹，都属于情感体验的交流。不同的学习者由于自身条件和学习环境的不同，所形成的数学体验也各不相同。例如，在学习立体几何中，有的同学有较强的空间想象能力，通过数形结合，加深对事物本质的理解，在学习中的积极性较高，因此掌握知识较牢固相反，有些同学没有这种数学体验，那么学习兴趣将不会很高。同样，学习者在学习过程中的不同的成功体验也影响着学习者本人；再则，不同的学习习惯也导致数学体验的不同。层次思维严密的学习者在处理问题时将会比较严谨。具有不同体验层次的学习者进行数学交流，将有助于扩展或加深双方对数学的理解和认识，相互促进，提高学习的效率。然而，因为数学体验对于本人来说是具体的，但对于他人而言相对比较抽象，不容易相互理解。因

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此，进行数学体验的交流比较困难。

（3）解决问题的交流

解决问题的交流，是指学习者在思考问题，整理思路的基础上，选择适当的数学语言，采用合适的表达方式，将解决问题的思路﹑解法和结果，或者困惑与障碍予以表述的过程，也包括反思与评价，是数学思想方法的交流。解决问题的交流在当今十分重要，它要求人们改变以往一个人独自冥思苦想的解题习惯，采取与他人协商﹑合作的方式，共享观点与资料，以求得问题的解决。

例如：求通过点（2，2），且与坐标轴围成的面积为1的直线方程。学生可

xy能采取不同的解题方法，如设直线方程为y?2?k(x?2)或设为??1来求直

ab线方程，在交流中，,我们发现，这些不同的解决办法的产生是由于学生的数学认知结构不同产生的，而个人的数学认知结构是由长期的数学学习形成的相对固定的模式。

例如：某工厂生产甲﹑乙两种产品，生产1t甲产品需要A种原料4t﹑B种原料12t，生产的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t﹑B种原料9t产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t﹑B种原料60t,如何安排生产才能使利润最大？

为理解题意，可将已知数据整理成下表： (t) 甲种产品(1t) 乙种产品(1t) 现有库存(1t) 60 10 1 9 1 4 12 A种原料(t) B种原料 利 润（万元） 2 这是一个实际问题，在解决过程中，交流者首先要进行数学化处理：从非数学问题到数学问题，从具体到抽象，实际上，题目已经对实际问题情景作了数学化处理，把与目标问题无关或者关系不大的元素舍弃，抽象为数学语言，有利于

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数学交流。只要画出如图所示的表格，这样问题就转化为一个线形规划问题。解这个问题的交流中，首先是具体问题的探讨，进而是数学化过程的交流。。

2.2.2按交流的形式分类

在数学教学与学习的过程中，数学交流的具体形式可为：师生互动﹑小组讨论﹑应用探究。

师生互动：师生互动数学交流在现在数学课堂教学中较为普遍，教师通过设置好问题串，引导学生理解相关知识。

小组讨论：小组讨论数学交流是在一定的数学情境或围绕某一数学问题进行的交流探讨。通过讨论，教师可以了解学生掌握知识的程度，发现学生在学习中存在问题。通过小组讨论，学生不仅可以提高数学表达能力，而且可以培养学生的合作交流能力，体现学生的主体地位，不断完善自己。

应用探究：应用探究数学交流是在数学活动如研究性学习中，参与者通过实验、调查、询问等形式，对问题探究过程中所伴随的数学交流。这种形式的数学交流内容更为丰富，学生通过口头的、书面的形式，相互表达自己的思想，不仅是数学知识的交流，还有应用数学的意识、策略等方面的交流，这种一边活动一边交流的形式，促使学生数学素质的不断提高。

这几种形式的数学交流形式并不是单一存在，有时候一种场合存在多种形式的数学交流。

2.3数学交流在教学中的价值体现

新课程下，丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，为终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学课程追求的基本理念。在教学过程中进行“数学交流”，将有利于新课程改革的目标和教学理念的实现。

从宏观的角度看，“数学交流是完善数学认知的重要手段，数学交流有助于 增强学生学习数学的热情和信心，数学交流有助于提高和发展学生的数学素养，数学交流是培养学生合作交流能力的有效途径”[1]；从微观的角度看“数学交流可以使数学思维形象化、有助于思维的发展，数学交流可以使学生更精确地使用数学语言和常规的符号表达思想，数学交流能够使学生反思自己的认识和解决问题的方法，数学交流可以使学生认识到另外视角的观点和策略。”[2]

在学校教育中，数学交流能力培养具有重要意义。数学交流能力的培养主要

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有以下价值体现：

2.3.1 数学交流在完善数学认知中的价值体现

首先，数学交流能帮助学生达成对事物全方位的理解。由于学生所处文化环境﹑家庭背景和自身思维方式的不同，因此对相同的数学内容往往表现出个性化的认识和理解。在数学交流活动中，通过交谈﹑讲述﹑书写﹑倾听和阅读，可以帮助学生从不同的角度理解数学知识，形成对问题的全方位的理解。在数学课堂交流中，让学生提供多种证明方法，一题多解，正是帮助学生全方位理解数学知识的一种有效手段。

例如：设sn是等比数列的前n项和，且s3?s6?2s9，求公比q

a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)生1：直接代公式得??(?)化简得：

1?q1?q1?qq3?q6?2q9(??)，从而q?1 生2：当q?1时（?）无意义

?na1,q?1?生3：由等比数列的前n项和公式sn??a1(1?qn)应该进行分类讨论，

,q?1?1?q?而事实上当q?1时，原等式不成立。(??)可化简为2q6?q3?1?0

生4：令t=q3,得2t2?t?1?0，通过换元可求出q

生1：我忘记等比数列的前n项和要分类讨论，次外通过换元法使得方程更简单，体现了化归思想。

生5；老师还有更简单的方法，s3,s6?s3,s9?s6成等比数列，则

11(s3?s6)?s6(s3?s6)s6?s3s9?s621???2??s3s6?s3s6?s3s6?s32 11即q3??,从而q?3?22同学们恍然大悟。

其次，数学交流为促进学生的数学理解提供了一条有效途径。

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数学交流既能保持数学思维的简洁﹑快速，又能克服数学思维中存在的过程和结果的模糊性。数学思维是借助于数学语言在头脑中进行的，内部语言活动常常是简化的﹑压缩的﹑跳跃的，从而使得数学思维在一种简略了的结构中进行，因此极大地提高了数学思维活动的速度和效能。但是这种“简略”也使主体的数学思维处于一种混沌状态，缺乏严密的联系。数学交流恰好为这个问题的解决提供了可能。因为，数学交流可以帮助学生在非正式的直觉的观念与抽象的数学语言符号之间建立起联系，还可以帮助学生把实物的﹑图画的﹑符号的﹑口头的以及心智描绘的数学概念联系起来。当学生用口头﹑书面或计算机语言，把自己对知识的理解表达出来让对方明白的时候，他必须选择合适的表达方式，整理要表达的内容，必须把握住问题的本质，以辨析﹑澄清某些模糊认识。也就是说，进行数学交流，既包括对数学语言表达方式的选择，又包括对头脑中的思维成果进一步澄清﹑组织﹑巩固等一系列再加工的过程。

学生通过积极的讨论，对已知问题提出自己的看法或者建议，对问题也有了新的认识与思考。交流又使得学生对数学问题有敏锐的意识，同时促使学生养成质疑的习惯，激发他们的问题探究意识，发展数学探究与数学应用能力。学生在交流过程中如果得到他人的肯定，会增强学习数学的信心。有效的数学交流帮助学生认识自己，展现自己，提高自身的数学素质。

2.3.2数学交流在确立学生主体地位中的价值体现

由于数学交流中需要有自己的观点，这就促进学生在交流前主动探索﹑思考形成自己的观点，在交流过程中又要对自己的想法加以反思或加以说明，并把日常语言转化为数学语言，从而做出令人信服的论证来说服别人，这一切都有利于学生独立思考能力和创造能力的培养。传统的数学课堂教学方式一般以组织教学﹑讲授知识﹑巩固知识﹑运用知识和检查知识来展开，其基本做法是以纪律教育来维持组织教学，以师讲生听来传授新知识，以背诵﹑抄写来巩固己学知识，以多做练习来运用新知识，以考试测验来检一查学习效果。这样的教学方式，在新一轮数学教育课程改革理念下，它的缺陷越来越显现出来。传统的数学课堂教学方式以知识的传授为核心，把学生看成是接纳知识的容器。按照上述五步进行教学，虽然强调了教学过程的阶段性，但却是以学生被动的接受知识为前提的，没有突出学生的实践能力和创新精神的培养，没有突出学生学习的主体性，主动性

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和独立性。新课标要求变革传统的教学模式，变“讲授知识”为“主动求知”，强调学生的“自主探究”。在数学课堂中进行数学交流的教学，采取师生﹑生生互动的合作学习方式，作为学习主体的学生，必须主动积极地参与数学教学活动的全过程，而不是被动地接受外来知识。在师生﹑生生交流过程中，学生能畅所欲言，踊跃讨论，提出疑问，发表看法，使自己对数学问题的认识由浅入深，由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识。由此可见，数学交流可以激发学生积极参与，成为真正的学习主体，改变传统数学教学方式，形成互动、合作﹑交流的新型数学课堂教学方式。

2.3.3数学交流在培养学生合作交流能力中的价值体现

信息技术的发展，经济一体化的要，使交流与合作成为21世纪的一大主流。联合国教科文组织1997在年召开了以“学会合作”为中心议题的大会。在当前社会中，交流己不限于专业之内，跨专业的合作日趋频繁，计算机的普及，增多了国内以及国际间交流与合作的机会。交流与合作已经渗透到社会的各个方面，是人们日常生活所不可缺少的，迅速﹑合理﹑有效的交流与合作是现代人应具备的素质。

数学交流是培养交流意识和交流能力﹑合作意识和合作能力的有效途径。因为数学之所以能够广泛使用，原因之一是“数学提供了一种有力的﹑简洁的﹑准确无误的交流信息的手段”。数学交流把课堂转化为数学学习的社团——不再是简单的学生个体的集合，而是形成相互合作﹑交流﹑活泼的相互促进的学习小组。在数学交流中，教师与学生，学生与学生意识到自己既是受到充分尊重的独立学习者，又是他人的伙伴与协作者。因此，数学交流对于培养学生互助﹑合作的精神，发展学生的交往能力，具有积极的意义。

在数学交流过程中，学生都积极参与教学，有表现自己才能的机会，交流讨论中，既可以看到自已的长处，又可以发现自已的潜力，自我效能感增强，从而更加努力，更有信心投入学习。波利亚指出普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学知识的约占全部学生的百分之三十，而其余的百分之七十则几乎用不到任何数学知识。数学知识与数学能力、数学思想方法以及在数学学习中获得的自信、科学的态度、理性的精神等相比，后者显然更为重要。

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2.3.4数学交流在改进教师教学方式中的价值体现

在传统的数学教学中，交流的方式几乎是单向的。教师从学生简单的﹑重复性的﹑模仿性的回答中很难了解他们对所学知识的理解情况，更难以了解他们的思维过程。而在师生积极合作与交流的数学教学中，学生能够对所学知识内容发表自己的看法而不仅仅是说出下一个步骤或最后的答案是什么。这样，教师就可以从同学们的看法中发现学生理解的过程﹑理解的深刻程度，有没有独到的见解，还存在哪些问题及存在这些问题的原因在哪里，教师就可以在下一步的教学中设计出更加适合学生实际的教学情境，提出更有利于让学生深入思考的问题。另一方面，由于及时发现了学生存在的理解上的问题及其原因，并通过交流及时得到了纠正，学生学习中的问题就不会积累下来，这样会使学习过程变得自然亲切﹑水到渠成。

例如：求过点P（3，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

xy生1：由题可设所求直线方程为；??1，且点（3，2）在直线上，得a?5

aa师：考虑全面了吗？

学生适当交流，发现直线过原点时，截距仍相等，此时直线方程设为y?kx，从而求得：k?2 3通过这题的交流，老师可以及时发现学生理解上存在的问题及原因，并通过交流及时得到纠正，比直接告诉学生答案更好。事实上，此题还可以变式为：

（1）求过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程。 （2）问过点P （3，2），且在两坐标轴上围成的绝对值相等的直线有几条？ 最后，由于学生都是在自己已有认知结构基础上重构新的知识，通过交流他们得到对同一知识不同角度理解的信息，从而有利于学生对知识的全面理解，也就提高了教学效率和效果。

这些交流为教师的教学提供了很好的信息，根据这些信息，教师及时改变教学策略，完善教学内容。

2.4数学交流能力培养的理论基础

没有理论指导的实践是盲目的实践，没有理论的支持，实践就只能停留在狭隘经验的层面上，没有普遍的指导意义。因此，数学交流能力的培养需要从学生

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学习数学的心理特点加以分析，只有站在相关理论的角度的探讨才是科学合理的。从心理学的角度来看，促进高中课堂中数学交流的理论主要有建构主义理论、多元智力结构理论。

2.4.1建构主义理论

在研究儿童认知发展基础上产生的建构主义，不仅形成了全新的数学学习理论，也形成全新的数学教学理论。

(1)建构主义的数学学习观

建构主义的数学学习观认为“所有的学生学习数学都在进行大量的创造，他们按照自己的想法去理解所学的东西时，就像在创造一种理论去弄懂这些东西。他们不只是简单地复习学过的内容，而是用新的观点去发现原有想法，因此每个学生的数学知识都打上了自己的烙印。”数学学习的心理过程，不仅仅是一个认识过程，而且还交织着情感过程、意志过程、以及个性心理特征等。学习不应被看成学生对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身己有知识和经验为基础主动的建构过程。相对于一般的认识活动而言，学习活动的一个主要特点在于这主要是“顺应”“同化”的过程，也即不断地对主体已有的认识结构作出必要的发展或变革。学生学习活动的特殊性还在于这主要是在学校这样一个特定的环境中、在教师的直接指导下进行的，显然，这就更为清楚地表明了学习这样一种特殊的建构活动的社会性质。

(2)建构主义的数学教学观

建构主义的数学教学模式是以学生为中心，在整个教学过程中教师起组织、主导和促进作用，教师利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识意义的建构。在这种模式中，学生是知识意义的主动建构者，而不是外界刺激的被动接受者。教师是教学过程的组织者、主导者、意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的传授者、灌输者；数学教材所提供的知识不再是教师传授的内容，而是学生主动建构意义的对象；各种教学媒体也不再是帮助教师传授知识的手段、方法，而是用来创设情境、进行协作学习和会话交流，即作为学生主动学习、协作式探索的认知工具。

（3）建构主义对课堂教学的启示

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建构主义不仅从理论上阐述了交流对学习的重要意义，而且对如何实施数学交流给出了指导性意见。

建构主义理论为数学教学提供了新的视角：（1）充分尊重教师指导下的学习主体。建构主义者强调，学生在教师、同学的协作下建构对新知识的理解，学生对知识的深层次理解是在数学交流中形成的。在数学交流的过程中，双方通过不断提问—反馈—反思—概括获得对问题的真正理解其次，数学学科逐级抽象的特征给人们提供了一种特有的思考方式—抽象化和模型化。数学模型是理解数学的钥匙。例如数列是离散函数的模型，指数函数是连续函数的模型。数学概念的原理、数学方法的背景，都是教师备课必须优先考虑的问题，或者从现实中来，或者从学生“头脑的现实”中来。教师和学生在数学模型的支撑下，共同建构数学的教与学。。（2）关注数学活动中的自主探索和合作交流。学生的数学知识建构离不开数学活动，问题情境为学生参加数学活动提供了素材。数学高度抽象的特点使问题情境的设置尤为重要，面对好的问题情境，会激发学生的好奇心和求知欲，会尝试着自己去解决问题，学生会利用己学知识和已有的经验，尽力去搜寻与问题相关的知识并把它们有效组织起来解决问题，这种基于学习者个体的独立思考和自主探索是十分必要的。但需关注的是，上述探索过程中，不同学生所取得的效果是不同的。因此，需要学生之间进行合作交流。在学习者独立思考和自主探索中自己解决不了的数学问题，经过合作交流往往可能得以解决。这是因为每个学生都有自己的知识基础，他们各自可能无法解决数学问题，经过合作交流，各人把自己的认识、理解和有关信息表达出来，经过比较、组合或融合，很可能就把数学问题解决了。由于各人解决问题的途径方法不一样，通过交流，可以交换思想相互学习，这对学生的思维发展和今后的数学学习是大有裨益的。什么内容、什么时机最适宜交流，教师怎样恰当引导都非常重要，不恰当的滥用合作交流，以及放任交流都是不可取的。数学交流是为了达到对知识的深层次的理解，而建构主义强调学习的自我监控、自我调节，因此数学交流过程中有不断的反思、修正思维策略，概括和总结数学思想方法的过程。（3）不能将自主建构绝对化，不能否认数学知识的传授。按照建构主义的理论，学习的过程是自我生成的过程，是由内向外的生长，而不是由外向内的灌输。因此在教学中需要充分发挥学生的自主性、主动性和创造性，鼓励学生对学习内容的自我理解，使学习过程成为一

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个富有个性化的过程，体现学生的再创精神。但是，对于学校教育下的中学生来说，知识的传授，教师的讲授仍然十分重要和非常基本的教学方式，是帮助学生完成“由内向外生长”的有效途径。数学是高度抽象和高度形式化的科学，对大多数学生来说，单凭学生的自主性是很难完成建构的，也是很不经济的。因此，不能否认传授，只是怎么讲才能把握住数学内容的本质，促进学生的有效建构，需要我们广大教师在教学实践中认真思考总结。

2.4.2加德纳的多元智力结构理论

哈佛大学的霍华德.加德纳教授，多年致力于认知发展的研究，他认为，传统的智力观过于狭窄，把智力主要限于语言和数理逻辑能力方面，忽略了对人的发展具有同等重要性的其他方面，如音乐、空间感知、肢体动作、人际交往等方面。加德纳认为，智力并不是某种神奇的，是可以用测验来衡量的东西，也不是只有少数人拥有。相反，智力是每个人都不同程度地拥有并表现在生活各个方面的能力。所以能够在特定的情景中解决问题，并能有所创造，这就是智力。由此，加德纳将智力定义为“智力是在特定文化背景或社会中解决问题或制作产品的非常重要的能力”并提出了“多元智能理论”。按照加德纳的观点，人类具有语言智力音乐智力、逻辑数理智力、空间智力、内省智力和人际智力七种。他认为，通常每个的智力并非一种而是几种智力在相互作用。

多元智能理论对数学教学的启示：教学形式要多样化，千篇一律的“教师讲，学生听”的教学方式，显然不利于学生的智力发展，不利于发展学生的各项潜能。因此，在课堂教学中，教师要充分调动学生的多种智能，通过数学交流组织和巩固思维，分析、评价别人的数学思维策略，使用数学语言清楚地表达自己的数学思想，挖掘自己的数学潜能，在潜移默化中提高自己的数学思维能力。

第三章 高中学生数学交流的现状调

查和分析

3.1.1调查的目的

本次研究就高中学生数学交流的态度，在数学交流的内容方法，数学交流中存在障碍以及教师的教学方法等方面进行了研究，其目的是构建多向交流的动态的课堂教学模式，全体学生积极主动地参与数学过程，学生学会交流﹑学会表达

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数学信息﹑学会倾听，对别人的发言做出判断和评价，完善自己的理解，提高学生的数学交流能力，提高学生学习兴趣，提高数学学业成绩。

3.1.2调查的设计思想

本实验把研究方向定位于高中数学教学过程中学生数学交流能力的调查和培养,旨在运用现代教育理论指导数学教学的改革,在提高数学教学质量和水平的同时,探索培养中学生数学交流能力的有效途径和方法.本实验着重从以下几方面对高中学生数学交流能力进行调查：①学生的基本交流意识；②数学交流的障碍；③数学交流的状况

3.1.3调查方法和数据处理

设计数学交流现状调查表一份[3]，进行问卷调查(无记名).调查共发放问卷135份，去除无效的和填写错误的问卷，得到有效问卷126份，然后采用Microsoft Excel对数据进行统计。

3.1.4调查对象

为搞清数学交流对不同层次学生数学学习的影响，我选取了常州市安家中学2011年入学的3个学习情况有明显差异的高一（1）班﹑高一（2）班和高一 （3）班的学生作为调查对象。常州市安家中学是常州市的一所普通高中。其中，高一（1）（2）是重点班，其中有部分同学未达到分班分数。高一（3）班是普通班，其中有一半学生未到录取分数线。

3.1.5调查结果

(1)学生的基本交流意识

表1 学生的基本交流意识

问题

选项

选

百分比

择人数 （﹪）

在数学学习中，如果遇到问题，你会

自己思考,不让人知道 与同学讨论 请教老师 放弃

在讨论数学

15 81 25 5 44

11.9 64.29 19.84 3.97 34.92

提出自己的观点

18

问题时,你更愿意

在数学课堂中,你回答问题的

情况是怎样的

题

倾听他人发表观点

不与别人讨论，只想自己的观点 很少回答老师的问题 从不主动回答老师的问题 想到了答案，就积极举手回答问

67 15 7 69 50

53.17 11.91 5.6 54.76 39.64

从表1的各项统计数据可以看出，学生的基本交流意识有待加强。学生对数学交流的重要性认识不够深刻，数学交流意识淡漠，在数学交流过程中也不够积极主动。11.9%的学生遇到问题时选择自己思考，64.29%的学生选择与同学讨论，只有19.84%的学生选择请教老师,甚至还有3.97%的学生选择放弃。这说明部分学生缺乏数学交流意识，而且相当一部分学生忽视教师在交流中所起的作用，遇到问题请教老师的学生比较少,还有极少数学生学习态度不够认真,遇到问题选择放弃.在讨论数学问题时，34.92%的学生愿意提出自己的观点，而53.17%的学生选择倾听，更有11.91%的学生只想自己的观点，不与别人讨论；课堂上教师提问时，有54.76%的学生不主动回答问题，5.6%的学生即使老师点名也不乐意回答，只有39.64%的学生想到了答案才积极举手回答，情况令人担忧。

(2)数学交流障碍

从表2可以看出,对数学交流产生障碍的因素有很多种,这些因素影响了数学交流的顺利进行。

表2 数学交流障碍统计

问题

选项

选择人数

在数学课上，当同学与老师对某一问题的理解不一致时，老师会

你认为自己不能顺利听数学课的主要原因是

让同学发表自己的看法 建议同学与老师课后个别交流 不予理睬 上课的内容太难 师生间缺乏必要的交流 教学表达不够清晰明白 其它

34 89 3 28 39 34 25

百分比（﹪）

26.98 70.64 2.38 22.22 30.95 26.98 19.85

19

在讨论数学问题时，你觉得自己

经过思考能较好地使用数学语言说明问题

习惯使用日常语言来表达,但也能说清楚

由于使用日常语言阻碍交流

44 34.92

58 46.03

24 19.05

从表2的各项数据统计可以看出影响数学交流的因素很多，主要表现为： ①教学进度约束数学交流。在数学课上，当学生与老师的理解不一致时,老师有时建议学生课后与之交流或者有时甚至不予理睬。这主要是因为高中教学任务繁重，教师为了赶进度而无暇顾及课堂数学交流。30.95%的学生在回答“自己不能顺利听数学课的原因”问题时也认为是因为“师生间缺乏必要的交流”。

②数学语言表达能力欠缺影响数学交流。在讨论数学问题时,有46.03%的学生习惯用日常语言来表达,其中19.05%的学生由于使用日常语言而无法交流。也有20.63%的学生认为自己上课不能顺利听讲的原因是因为教师教学表达不够清晰明白。无论学生还是教师数学语言表达能力欠缺都毫无疑问会影响数学交流的顺利进行。

(3)数学交流状况

表3 数学交流状况

问题

选项

选择人数

在讨论数学问题时,你更愿意

提出自己的观点 倾听他人发表观点

不与别人讨论,只想自己的观点

在数学学习中，你和同学数学交流是怎样的

从来没有与同学进行关于数学的交流 偶尔与同学讨论交流,只是互相参考答案 与同学互相参考答案,对答案不同的问题一起进行讨论研究

与同学交流,不仅是参考答案,而且一起探讨解题思路、方法

在讨论时如果遇到

听同学的意见

9

7.14

30

23.81

44 67 15 3 21 72

百分比（％）

34.92 53.17 11.91 2.38 16.67 57.14

20

与同学意见不同时，你不听同学的意见

19 会

试图从同学的意见中寻找错误并给予修正 98 与老师讨论时,你老师将解决方法或问题答案直接给出 5 喜欢

老师讲,自己不懂的时候,再和老师讨论 53 自己讲,不理解时,再和老师共同讨论 23 师生共同讨论,重点难点老师能够指出,并45

总结方法等

在讨论时如果遇到不听老师的意见 3 与老师意见不同时，你接受老师的意见

40 会

试图从老师的意见中寻找错误并给予修正 83 课后你主要与哪些和比自己数学学习水平低的同学 4 人交流数学问题

和比自己数学学习水平高的同学 77 和与自己学习水平差不多的同学 33 老师

12 其他人(如好朋友,家长,亲戚,老师等)

4

从表3统计的数据可以看出,数学交流的状况不容乐观,存在如下一些问题：①交流缺乏探索精神，常常流于形式。在数学学习中，16.67%的学生间交流只是互相参考答案，并不作任何深入研究；57.14%的学生互相参考答案仅对答案不同的问题一起进行讨论研究；只有23.81%的学生在与同学交流时，不仅是参考答案，而且一起探讨解题思路﹑方法等。在讨论中，与同学意见不同时，有2.38%的学生不愿深入探索，选择接受同学的意见；与教师意见不同时，有31.75%的学生选择接受老师意见。

②交流缺乏互动性，往往表现为单向交流。不管是课堂学习还是课外讨论问题，师生﹑学生的数学交流有时缺乏互动效应，往往表现为单向交流。在学生之间讨论数学问题时，只有34.92%的学生勇于提出自己的观点，而53.17%的学生则仅是“倾听他人发表观点”。在课外和老师讨论数学问题时，42.06%的学生只是听老师讲，自己很少开口，只是在不懂的时候才问一问；35.72%的学生倾向于和老师共同讨论问题；另外有18.25%的学生喜欢自己讲，不理解时再和老师讨论；还有3.97%的学生则希望老师将解决方法或问题答案直接给出即可。

21

15.08 77.78 3.97 42.06 18.25 35.72

2.38 31.75 65.87 3.17 61.11 26.19 9.53 3.17

③课外交流伙伴有限，请教意图明显。课外数学交流，可以不受课堂纪律和教学进度的约束，交流本应该是丰富多彩的，交流的伙伴也应该是很多的，然而从“课后主要与哪些人交流”这个问题的答案来看，事实并非如此。该问题是多选题，很多学生选了不止一项，统计的结果是：有61.11%的学生只和比自己水平高的学生交流，他们认为和比自己水平高的学生交流可以得到学习方法和解题思路，提高自己的水平；有26.19%的学生喜欢和自己水平差不多的同学交流，因为他们认为水平差不多的同学和自己思考问题的层次差不多,便于交流顺利进行；只有3.17%的学生愿意和比自己水平低的同学交流；也有3.17%的学生选择和其他人；如朋友﹑家长﹑亲戚﹑老师等交流。

3.2调查结果分析

通过以上对课堂数学交流情况的问卷调查分析，笔者发现目前高中数学交流的现状并不乐观，在数学交流中存在的问题是多方面的。在课堂上的数学交流大多停留在教师提问、学生回答上，没有将数学交流能力的培养落到实处，对数学交流还存在一些错误的认识，究其原因，概括而言主要有以下几个方面：

[8]

3.2.1缺乏主动数学交流的环境

在目前的高中数学课堂教学中，教师讲得多，学生与教师之间﹑同学之间的探讨比较少。教师发出数学信息，学生被动接受的多，反馈的信息比较少。有时候制造了一种假象“大多数学生都听懂了”。实际上，由于学生缺乏主动交流的意向，在似懂非懂的情况下，有些人混过了时间。这也使得一些学生养成了惰性，宁可被动地接受，不愿意主动地与他人进行交流。

即使偶尔有一些交流，也是师生问答式的，比较单一。学生接受的信息是否理解，只有等到教师批改作业时，才发现问题，可是作业中所表现的问题只是一部分，而实际课堂上存在的问题由于没有机会提出，也没有机会交流，很快被遗忘，久而久之问题越积越多因此，教师不能了解全面学生学习中的问题，而学生由于问题的积压，对学习数学逐步丧失信心，害怕向老师提问，不敢与老师交流。有些学生就对学习失去兴趣，产生强烈的自我保护意识，从而封闭自己不愿意去交流了。事实上学生的学业负担也是很重的，为了完成各学科的学习任务，大部分学生疲于奔命﹑自顾不暇，没有时间和精力与他人探讨问题，也没有时间和同学交流学习方法﹑心得体会等。学生之间也缺少交流的氛围，即使偶尔交流，也

22

往往局限于解题方法﹑答案等，很少对问题进行深入的研究探讨，难以通过交流取得实质性的进步。

3.2.2数学语言的运用能力较差

数学语言是表达数学思维的科学语言，具有简练﹑抽象﹑严密和形式多样等特点。由于语言是交流的工具，语言中的障碍是造成学生在听课﹑阅读时造成误解﹑错误的根源。学生在交流中使用语言的常见障碍主要表现为误解文字语言的语意，符号语言的识别﹑理解困难多，读不懂图表语言，语言转换能力差等等。数学交流要顺利进行，要求交流双方不仅自己用数学语言表达的数学思想要能被人理解，而且与此同时自己也要能听懂别人所表达的数学思想。而有的学生数学语言能力弱，常出现不知如何用数学语言表达﹑不知表达什么﹑表达含糊不清，或者不明白他人数学语言表达的思想等现象，因此严重影响了与他人有效的和高效的数学交流。

3.2.3教师对数学交流能力的认识有限

课堂中教师是主导，很难想象缺乏交流意识的教师能培养出具有较高交流能力的学生来。有的教师以教学进度﹑教学内容太多为借口，忽视学生学习的主动性，认为课堂教学不需要提出问题与同学交流，不需要给学生开展交流的时间。课堂上以讲授为主，很少进行课堂方面的交流，并未认识到数学交流在教学中的作用和对学生认知结构和学习情感的影响。大部分学生在向教师提问时感到紧张，害怕在课堂上发言，回避与教师和同学进行思维交锋与争辩。

在应试教育的压力下只注重如何解题，对学生解题过程的书写虽有一定的要求，但是忽视解题过程中必要的文字说明或者有的教师的交流是形式上的假交流，他们不断地提问，但是问题没有深度，没有实际意义或者交流中当学生有时冒出一些思维的火花，有的教师认为与自己所讲思路不符而置之不顾。试想教师如果不能在课堂教学中提供合适的数学交流内容，不能或不组织多种合适的交流形式，没有给学生一个好的示范，那么学生必然对数学交流缺乏兴趣，更不能在学习过程中体验交流所带来的成功喜悦。在学习过程中很少去进行数学交流，从而导致了学生听、说、读、写数学的能力发展不均衡。

3.2.4数学交流中缺乏质疑探究精神

23

孔子说过“疑是思之始，学之端”。在数学交流过程，学生缺乏对模糊的知识提出质疑探究的勇气与习惯，部分学生甚至显示出“遇难则退”的惰性。“不敢想、不敢问或者不愿意想和问”是很多学生在数学交流中存在的问题。

现代认知心理学认为，理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、进而获得心理意义的过程。学生通过不断“提问—反馈—反思—概括”，获得对问题的清晰认识和深层理解。教师在课堂教学中只有着眼于学生的深层次的理解和认知，才能真正促进学生高水平思维的形成和发展。

然而目前课堂教学中，教师有时为问而问，提出一些毫无启发性的问题诸如“等不等啊”、“对不对啊”等，学生不用经过认真的思考就能作出正确的回答，这样的提问引发不起师生交流的深化，也引不起学生之间的信息的融合与碰撞、升华与创新。又如，在课堂提问中经常可以看到教师一呼学生百应，齐声回答“对”“错”或“懂了”“不懂”，让教师分不清真假，也掩盖了“不出声”或“未明白”的声音。再如，在课堂教学中，教师表面上在倾听学生的论述而内心却并未留意，或倾听的只是那些能够满足自己需要的声音，这是因为教师在备课时就已对相关问题形成了某种“标准思路”，在教学中也就希望能沿着这条“标准思路”顺利进行，一旦出现与此相左的“非标准思路”，就会加以排斥。凡此种种，都只是形式上的反馈和表层次的交流或虚假交流，徒具交流的形式，而无实质性内容。究其原因，教学设计不当可能是重要因素之一：一是问题比较简单，无须学生深入思考和讨论就能回答和解决，已有研究表明，在教师的提问中有80℅的问题只需要死记硬背的知识就能够解决；二是问题比较复杂，但由于思考时间太短、交流不充分和深入，没能达到激发思想、训练思维、丰富见解的效果。所以教师在教学设计中一定要注意问题的选择和设计，用恰当的方式将问题转换为交流和对话的主题，以促进学生的深层理解和认识。

3.2.5某些数学交流缺乏互动性

课外的数学交流，学生可以不受课堂纪律和时间的限制，本来应该是丰富多彩的，互相交流的伙伴也应该是各式各样的：老师，同学，家长等等。然而，事实并非如此，61.11℅的学生只愿意和比自己数学学习水平高的同学交流讨论，

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12.7℅的学生倾向于和老师或家长交流；21.6℅的学生喜欢和数学学习水平差不多的同学讨论问题，还有3.17℅的学生喜欢和比自己数学学习水平低的同学交流。之所以选择以上不同的交流伙伴，和水平高的同学交流的学生认为，可以提供自己解题思路，学习方法等等；和水平低的学生交流的学生说，可以从不同的方面思考问题，提高自己的数学学习信心。但是，多数学生在交流中倾向于“请教”，而不是共同探讨问题。

在我国目前中小学课堂教学交流中，仍以教师面向全班同学的单向交流为主，即主要是“教师—全班”交流，这种交流缺乏有效反馈，基本上是一种单向的演讲行为，或曰独白性言语行为，不具有指向个体交流行为的内容的丰富性和形式的双向性。“教师—学生个体”交流较少；教师与小组之间的交流也较贫乏，小组在教学中并没有真正成为实质性的具有交流价值的功能实体；学生与学生之间更是缺乏有效的交流和互动。不管是在课堂学习还是在课外的问题讨论，师生的数学交流、学生与学生的讨论交流有时缺乏互动效应，一方“滔滔不绝”，另一方“洗耳恭听”，而不是相互讨论交流。在数学课堂中，54.76℅的学生表示没有主动回答过问题，更不会提出问题；在课外时间与老师讨论问题时，42.06℅的学生只是听老师讲，自己很少开口，只是在听不懂的时候，才问一问；35.72℅的学生倾向于和教师共同讨论问题;另外有18.25℅的学生自己讲，不理解时再和老师共同讨论；还有3.79℅的学生只希望老师给出答案和结果即可。

3.2.6许多数学交流请教的意图明显

交流是激活思维、深化认识的活动。它不仅关注“知”，即结论本身；更关注“智”，即过程和方法。在交流中将思维过程这个隐性的东西，用外显的语言形式展示，传统的课堂教学重结果交流、轻过程交流，只注重静态的逻辑结构分析和结论性知识的学习，而不注意思维过程的暴露和知识创新活动过程的复演。忽视过程的交流和学习，就是忽视思维中介的典型表现，致使思维断裂而失去连续性，思维的终点会像断线的风筝，无法牢固地确定在原有认知结构的锚桩上，这正是导致机械学习的重要原因。

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第四章 在高中教学中培养学生数学交流

能力的实践研究

针对以上课堂教学中的数学交流存在的问题，改善目前课堂教学中数学交流的现状，培养高中生数学交流能力的主要途径，笔者认为，概括而言，主要包括以下几个方面：

4.1在良好交流的情境和氛围中培养交流能力

加强数学交流，需要教师为学生搭建数学交流的平台，创设适宜交流的情景和氛围，让每个学生都行动起来，乐在其中，学有所获。因此，创造一个“民主、平等、和谐”的课堂氛围，使学生共同探索学习，这是实施数学交流的关键。这就要求教师不仅要讲究教学语言的艺术性，让学生听得清楚，容易理解，产生兴趣，吸引学生主动参与课堂教学交流，还要致力于建立平等的师生之间、学生之间的人际关系，创造良好的课堂数学交流环境，增进情感交流，使师生间的情感逐步由“接近”、“亲近”向“信赖”、“共鸣”升华，更要尊重、理解学生的情感，正确处理学生在数学交流过程中的判断结果。当学生回答错误时，教师不能急于否定或指责；当学生思维受阻时，教师应该设置铺垫给予启发和引导，或者从另一个角度重新提出问题；当学生思路与教师思路不一致时，教师应该让学生表达清楚，并给予恰当评价，不能“一言堂”；而当学生经过思考、交流，终于茅塞顿开，教师应该毫不掩饰自己的兴奋，给以热情的赞赏和鼓励。总之，要使师生在情感交流过程中，缩短距离，收到“亲其师，信其道”的理想效果。

4.1.1合理分配交流伙伴,扩大交流范围

按照一定的原则例如，按数学能力强弱搭配，座位安排等原则，把学生分成若干数学学习小组，组内异质，组间同质，每个小组内部都能互相交流，—人一组，选出一名组长负责课堂教学的交流讨论。小组除了平时的讨论交流外，定期一周或两周召开小组会议，总结对近期所学内容的掌握情况，讨论共同存在的问题。同时鼓励组与组之间积极交流，互相学习，扩大交流伙伴的范围，共同评价和交流。从调查来看，大部分学生倾向于和数学学习水平高的同学或老师交流探讨问题，交流伙伴比较单一。和“高手”交流有其积极的一面，能及时清除思维过程中的障碍，快速解决问题。但是，“高手”的思维容易受到己经成熟的数学

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认知结构的影响，数学模式转换快，思维的跳跃性比较大，长期只和“高手”交流，特别是只和老师交流，学生的数学思维比较单一，容易形成思维定势。相反，水平相同的学生之间的探讨和谐轻松，容易引起共鸣，还可以互相拓宽思维，从不同的角度研究问题，这对于数学创新思维的发展和数学知识的灵活应用都有积极的作用。因此，在教学中，老师可以鼓励学生扩大数学交流伙伴的范围，除了老师和同学，家长亲戚也是很好的交流伙伴，从事不同的行业工种，对数学的实际应用有不同的理解。

4.1.2加强师生互动,提高交流效率

要调动每个学生积极参与数学交流，还必须采取师生互动﹑灵活多样的数学交流方式。“教师对学生教得越多，从而给学生独立地获取知识，独立思考和行动提供的机会越少，那么教学过程的活力和效果就越低，相反地，如果在教学过程中紧密结合教师的讲解而让学生开展生动活泼的认识活动，那么这样的教学过程在使学生掌握知识和得到智力发展方面都是富有成效的”（前苏联教育学家达尼洛夫）。因此，教师应在数学交流中创造条件，让学生反思、回顾、评议，批判地听取他人意见，及时发现知识理解上的正误，自觉地矫正错误。通过自我评价和相互评价，使不同层次的学生都能真正的掌握知识、领略成功的喜悦、增强数学学习的自信心，促进学生的共同进步。

课堂教学中常用的有讲演式﹑讨论式和活动探究式等数学交流形式。在教学中，教师要依据具体内容﹑学生具体情况灵活选择一种或几种。比如，对于概念和命题的教学，多采用讲演式，但也可以采用讨论式或者活动探究式，把数学家发现或创造的过程再现，让学生亲历知识的产生发展过程，建构某一个概念，证明某个结论，提高解决问题的能力，同时在亲自操作的过程中培养学生的数学交流能力和协作精神。

4.1.3组织适当的课前﹑课堂﹑课后讨论

（1）课前自学环节数学交流能力的培养

根据学生的精力与特点，课前设计100字左右的书面指导意见，学生据此开展自学中的数学交流活动。我认为教师的自学指导可从以下几个层次对学生的交流进行启发导：

第一，指导学生对课本、教学参考书等教学资源进行基本的与物交流。如逐

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段提炼知识要点；进一步明晰当堂课的任务、重点、难点；从为什么要研究、怎样研究、为什么这样研究、如何用恰当的形式表达新课的内容等方面展开思考、进行理理，做出自己的解答。

第二，指导交流从浅表向纵深推进。如指导学生通过联想和搜索将所学内容与生活生产实际、与科普杂志科普书籍中相关的内容相联系;将所学的知识与已学过知识尽可能的联系，寻求统一的解释；把将学的知识与己学过的知识进行方法论角度的联系，以获得方法的启迪和方法论体系的完善等。

第三，根据课程知识的特点，适时地介绍对数学语言进行加工的策略。行为是有机体内部的信息流程决定的。人类加工信息的能量是有限的。因此，在学习中目标难度要适中，要有层次性。实践中发现，课前预习己从原先的一般通读了解向以下方面转化：第一，学生开始有意识地拓宽和应用教学信息资源，大多数同学在课前己阅读教材以外不止一本课外参考书籍，并相互比较﹑甄别，在课堂交流，他们会引入不同书上的观点进行讨论；第二，学生自己已学会有效地运用先行组织者策略，完成了先行组织者的工作；第三，思维加工的范围拓宽，使生活经验及已学过知识在新知识学习过程中的迁移能力提高，迁移面也在扩大。

（2）课堂教学环节数学交流能力的培养

课堂讨论是由教师给出一个中心议题或者所要解决问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解﹑互相讨论，为师生之间﹑学生之间的多向交流提供了一个很好的环境。讨论时学生运用数学语言进行提问﹑反驳﹑论证等多种活动，并与别人的思想进行比较，以达到对数学知识的深层次的理解。适当的课堂讨论不仅有助于培养学生的数学交流能力，而且有助于激发学生的学习热情，增进知识的理解。

为使课堂讨论发挥积极的教学功能，首先应特别注意创设适宜交流的问题，激发学生交流欲望。这些问题情景应切合学生的认知水平，接近学生的实际生活背景，并且适宜学生进行交流。因此最好是本节课里学生已有的知识与新知识形成的最激烈的矛盾和冲突，是学生最易产生混淆﹑感觉最难理解和掌握的地方。维果茨基提出的“最近发展区”的理论指出，人的发展存在己有的发展水平和潜在的发展水平，两者之间的差异就是“最近发展区”。也就是说提出的问题要由易到难，深浅适宜，在学生的“最近发展区”内，让大多数学生感到跳一跳才能够解决，让学生之间能进行深层次的交流和思维碰撞，使学生在交流中取得实质

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性的进步。

案例 函数的奇偶性的教学

学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们设计如下问题：判

?1?f(x)?2x???3?a?2?6,2a?2??上的奇偶性。不少学生有??在区间断函数

?2f(?x)?f(x)立即得到f(x)为奇函数。教师设问：（1）区间?3?ax?6,2a??有什么

2y?x意义？（2）一定是偶函数吗？通过对这两个问题的思考，学生认识到函

?1?f(x)?2x????2?只有在a?2或a?1即数的奇偶性是与定义域息息相关的，函数

定义域关于原点对称时才是奇函数。教师通过创设纠错情境，引导学生分析错误原因，及时弥补了学生在知识上和逻辑推理上的缺陷，增强了思维的严谨性。

其次，教师要选择恰当的时机组织学生讨论交流，不能什么问题都拿来讨论，什么内容都进行小组合作学习在交流过程中，教师还要做好指导工作，及时对讨论交流进行调控，使之对学生的学习有实质性的效果。注意防止滥用交流和放任自流。

（3）课后延伸环节数学交流能力的培养

现行数学课程的时间，基本上限定于教室以内，这在时间﹑空间和内容上都受到了一定程度限定，不利于学生能力的提高，开辟课堂以外的学习，用“数学头脑”去分析和解决现实问题，作为课堂教学延伸，课外交流自由度更大，教师要积极建立课外交流机制，例如引导学生组织帮扶小组，建议学生根据自己的意愿寻找学习伙伴，成立数学学习兴趣小组等

教材的每一章后面大多有链接知识和探究﹑实习作业，它是同学们进行研究性学习的很好材料，也是开发人文资源的宝贵素材。研究性学习是一个很好的个性化学习方式，是课堂教学的补充和拓展。

如在必修4，在学习了数列中的分期付款后，链接了现值与终值，这是利息计算中的两个基本概念，先让学生制定调查研究专题，从教科书﹑课外阅读书以及网络中查找有关银行存款利息和利税的内容，由学生自己根据实际需要，分组到银行﹑信用社﹑税务局等到相关部门进行原始数据的搜集，通过对数据的分析﹑整理，建立一个数学模型。这样不仅能培养学生的数学素养，进一步感受数学

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x方法和思想，了解数学家们是如何研究数学的，感受灿烂的数学文化，而且更能加深学生个人的体验﹑自主性和合作性，学会学习和促进人的全面素质的发展。在学习圆台的侧面积公式后，提出了一个课题：圆柱﹑圆锥﹑圆台三者的图形与侧面积之间有什么联系？有一个学习小组第二天就告诉我，经过他们的发现圆柱﹑圆锥﹑圆台有共同点：当圆台上底直径与下底直径等长时，就成了圆柱；当圆台上底直径为零时，就成了圆锥。同时，三者的侧面积只要记住圆台侧面积公式

s??(R?r)l即可。当R?r时，有圆柱侧面积s?2rRl，当r?0时，有圆锥侧面

积s??Rl。还有一个小组也发现了类似的性质，并得到另外一个结论：当梯形上底为0时，便成了三角形，所以面积公式也可相通。我肯定了他们的研讨结果，同学们的学习数学兴趣更浓了。

4.2在数学语言的训练中培养交流能力

数学语言是数学知识和数学思维的载体[9]，也是进行数学思维和数学交流的重要工具。我们每天关于数学的讲话、聆听、回答、讨论、阅读、解题都要使用数学语言。因此，在数学交流能力培养的教学实践中，加强数学语言的训练应成为我们教学的一个重点。

数学教育家斯托利亚尔指出“学生知识表面化的根源往往是数学语言的学习中语义处理和句法处理之间配合不当。形式和内容的脱节实质上就是数学语言的符号和公式同它们所表示的东西脱节。”案例中，学生的数学语言匾乏的表面现象暴露出一个事实—学生的数学知识结构混乱，这直接影响了他对数学知识的掌握和理解，影响着数学这门课的学习效果。基于此，在数学课堂上，教师应该为学生提供机会，注重培养学生理解、提炼、互译数学语言的能力。

4.2.1加强学生对数学语言的认识和理解

数学语言是数学思维的工具和载体[9]，数学交流能力是运用数学语言进行知识信息，情绪感受，思想观点的交流能力，掌握数学语言是顺利进行交流的基础，数学语言是数学思维的载体，是数学思维的外部形式，是表达工具，又是交流工具，前苏联数学教育家斯托利亚尔认为，数学教学也就是数学语言的教学

[10]

，学生只有理解和使用数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言才能有

效的进行数学交流。学生掌握了数学语言就等于掌握了进行数学思维，数学表达

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和交流的工具。数学语言的学习、掌握直接关系到数学的学习。如数学语言不过关，就难以阅读和交流，难以准确表达自己的思想，难以听懂、看懂别人用数学语言表达的观点。

数学语言有其特殊的学习特点，教师应注意对学生数学语言学习的指导，使学生“学会学习”。调查显示，有不少学生的学习困难或错误就是产生于对数学语言的不理解。如：点p(x,y)在圆x2?y2?2x?4y?1?0,求x2?y2,y?1的最值，x?1很多同学对所求式子不理解。实际上这是解析几何的一个特征：用几何意义理解代数思想，x2?y2,y?1分别表示圆上点与原点距离的平方和圆上点与点（-1，1）x?1连线的斜率，在利用图象可以解决此题。这样，通过语言间的互化训练，不但使学生熟悉了数学语言，还为学生找到了解题方法。在数学教学将三种语言有机结合起来，既有利于对数学概念、定理、公式、法则的理解，也有利于数学交流能力的提高。

加强概念学习指导，丰富学生数学语言词感，引导学生对符号进行加工的意识和习惯是促进学生对数学语言的理解的好方法。数学概念是数学学习的核心，数学的判断、推理等思维形式都建立在概念的基础上，数学中不同的概念，是用不同的词汇来表述的，要简要、清楚、准确地表达数学观点，就必须加强概念学习，引导学生从概念的内涵和外延上作深入的剖析、掌握概念的名称和符号、挖掘概念之间的内在联系，形成正确的概念体系和知识结构在学生感知数学符号的过程中，则要注意引导学生对符号进行加工。加强数学语言之间的相互译训练，重视数学语言间的互化训练，有时同一个数学内容可以用文字语言，图形语言，符号语言多种形式表达。它们均有自己的结构，有自己的特点。如集合的交

文字语言：由所有属于集合A且集合B的元素组成的集合。 符号语言：A?B??xx?A且x?B?

图像语言：（图中阴影部分）

每遇到一个新的内容用符号语言描述时要启发学生这个知识与我们前面学过的哪些知识有联系和区别，有什么样联系和区别，包含的什么样的意义，代表

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怎样的数学过程等等。所有这些问题都可以有效地帮助学生理解数学符号的意义对相同的数学内容善于用不同数学语言进行表示，引导学生对数学的自然语言、图象语言图形和图表、符号语言之间的相互转化，以帮助学生理解不同数学语言内在联系和尤其是符号自身的数学意义，对于符号语言的学习，要给学生指出符号的来源，代表的基本含义和使用场合。例如，对于集合符号“∪”有的学生虽然知道它的名称，可是对其真正含义并不是很理解，这就在使用中造成了错误。

又如：在得到直线与平面垂直的定义后，可出以下两个辨析题，以加强学生对概念的理解。

（1）如果直线和平面内的无数条直线都垂直，那么直线与该平面垂直（×）

（强调任意性）

（2）a??,b???a?b （ √）

（如直线垂直于平面，则直线垂直于平面内的任意一条直线）

4.2.2提高教师数学语言的准确性

数学教师对于数学语言的掌握对于学生学习数学语言至关重要，因为教师的教学直接影响着学生的学习。教师应通过相互听课，相互观摩学习，逐步提高自身的数学语言表达能力。文字语言和日常语言比较接近，它是由数学词汇构成的短语或句子。

荷兰著名数学家弗赖登塔尔说过，数学学习的过程就是要通过数学语言，用它特定的符号、词汇、句法和成语去交流，去认识世界。从某种意义上讲，数学语言也可以称为符号语言。数学语言包括语义和句法两部分。所谓语义是指语言的表达式与它表示的对象之间的关系，它揭示了数学表达式的内在数学含义。如：

a?b?b?a这一表达式的语义内容是，对于“×”这种运算来说元素的先后次序

不同并不影响运算结果。所谓句法是指语言的形式结构，而不管它的表达意义，也不管它在实际情况中表示什么。如按“项”的构成，

1在句法上是正确的，a?a 32

但却没有意义。数学语言的句法是以逻辑为其基本结构的。先定义各种符号，并在定义符号的同时规定符号之间的正确组合规则。由于缺乏对数学的语义和句法的理解，学生常常感到将数学语言转化为口头语言比较困难。因此，在教学中，应使学生在熟悉数学语言的句法基础上，重视对语义内容的理解和掌握。

例如：点，线，面的位置关系可用集合语言表示如：点A在直线l上：A?l，直线l在平面?内：l??。学生在表述直线与平面的位置关系时容易说成直线l属于平面?，没有理解直线与平面都是由点组成的集合。

4.2.3引导学生进行数学语言的叙述训练

学生掌握数学语言，是一个渐进的过程，学生在这一过程中，通过观察、分析、交流和讨论得到的是个朦胧结论，经过加工提炼后才能形成真正的数学语言，使其具有科学性和逻辑性、形象性和生动性、简洁性和启发性、规范性和准确性。对于学生来说，加工和提炼过程又是一个渐进过程，这一过程，要尽可能让更多的学生把自己观察思考的结果表述出来。在众多的表述中，教师要做耐心的指导学生进行有顺序的描述过程，概括结论，说明思路，把自己观察、分析、交流和讨论得到的结论有序地进行描述，逐步删减多余的文字、符号和图形，再加上恰当的数学术语，创造出新的数学语言。让学生渐渐从不知如何开口到会用，进而善用数学语言表达自己的思想。在这样的培养中，学生不仅感受到学数学的乐趣，更重要的是学生获得了知识和方法。

案例：准备一块三角形的纸片,做一个试验:

AACBDBDC?

过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后竖起放置在桌面上(BD,CD与桌面接触)。

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面?垂直？

（3）你能得出怎样的结论？ 学生首先会说对折三角形，后来补充当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD

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所在的直线与桌面所在的平面?垂直，最后在老师的启示下学生终于得出“如果直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直与这个平面”。 这种概括能力的培养，时机最多最好的是课堂交流。

AABDCCDB

一般有几种较好的方式：第一种，让学生A表述（表述不正确或不完全正

?确），又让学生B表述，直到某个学生表述完全正确为止。第二种，让学生A表述（表述不正确或不完全正确），通过启发再让学生A表述，直到学生表述完全正确为止。当然无论是课内还是课外的交流讨论，教师都要认真注意学生的每一句话，对学生语言表述中的错误要及时给予评析和指导。进行这方面的训练途径很多，比如，可以让学生模仿老师的语言进行叙述，也可以让学生用尽量简洁的语言叙述自己的解题思路，或者以争论的形式让学生表达自己的观点等。

4.3引导学生积极思考,暴露学生思维以培养交流能力

4.3.1在概念教学中培养学生的交流能力

在传统教学中，数学概念都是教师直接给出或由几道例题引出，整个过程是以教师为中心，学生被动接受的过程。这种教学忽视概念的形成过程、忽视结论的推导过程、忽视方法的思考过程，学生并没有真正理解、吸收概念。因此，教师应抓住概念学习这一契机，在概念的形成、巩固等过程中关注数学交流能力的培养，让学生在自主地参与猜测、讨论、探索和交流的过程中，从本质上体会概念，使之确实成为他们自己的知识。

[案例一]等差数列 （片段一：定义等差数列）

1.复习回顾：师：上节课我们学习了数列的定义及通项公式,那么什么叫数列？什么是数列?an?的通项公式。

师生归纳总结得到：

从函数的观点看，数列可看成是定义域为N﹡（或它的子集?1,2,?,n?）的函数，当自变量从小到大的依次取值时，所对应的一列函数值。数列的通项公式

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an?f?n?是该函数的解析式。

2.创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子）

（1）在过去三百年多年中，人们分别在以下时间里测到了哈雷慧星：

1682，1758，1834，1910，1986，（ ）

你能预测出下一次出现的大致时间吗？

学生立即活跃起来

学生1：从数据可以发现，每隔76年哈雷慧星出现一次，故下次出现的时间约为2062年。

（2）①德国数学家高斯八岁时计算1+2+3+〃〃〃+100=? 时，所用到的数列：1，2，3，4，...，100

②姚明刚进NBA一周里每天训练发球的个数依次是：．

6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 ③匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）:

111122,23,23,24,24,25,25,26 2222

引导学生观察：上面的数列①、②、③有什么共同特点?

对于数列（1），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ； 对于数列（2），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ； 对于数列（3），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；

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发现这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们把有这一特点的数列叫做等差数列（板书课题）。

（二）新课探究

1、（完善黑体字形成）等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

上面三个数列都是等差数列，公差依次是 ， ， 。 你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么？强调：

①“从第二项起”（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）； ②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的基本特征）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

2、等差数列定义的数学表达式（在理解概念的基础上，引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式）：

an?an?1?d(d是常数,n?N且n?2)

试一试：（加深对概念的理解）

① 9 ，8，7，6，5，4，……是等差数列吗？ ②常数列３，３，…，３，…是等差数列吗？ ③数列1，4，7，11，15，19是等差数列吗？ 可见，公差d可以是正数、负数，也可以是0；

④若数列?an?满足：an?1?an?d(d是常数,n?N且n?2) ，则数列?an?是等差数列吗？（此题易判断错，强调理解定义必须准确，也为后续内容埋下伏笔）

4.3.2在复习课中培养学生的交流能力

在数学教学中，复习课是教学中的一个重要环节，一单元结束或一章结束时，往往要进行复习。不少教师此时往往越俎代庖，自己将本章或本单元的知识结构、知识点、等等抛给学生，让学生熟记。如此做法，实际上是不相信学生的能力，更是错过了培养学生数学交流能力的大好机会。教师应充分利用章末或单元末小

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