物理实验报告_非线性混沌电路及其同步控制

非线性混沌电路及其同步控制

摘 要 本实验借助数字和模拟示波器，对非线性负阻的伏安特性以及蔡式非线性混沌电路进行研究。实验探究了混沌发生的条件、主要途径和相关特征图像、混沌同步发生的条件和特点。实验中利用示波器采集数据并用Excel画出负阻的伏安特性曲线，观察并记录蔡式电路中其周期振荡、倍周期震荡、乃至混沌的整个演变过程。得出混沌对初始条件具有敏感性的结论，并计算出费根鲍姆常数。

关键词 非线性，负阻，混沌，费根鲍姆常数，混沌同步

一、引言

1963年，洛伦兹（Lorenz）在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系。这就是非周期与不可预见性之间的联系。他还发现了混沌现象“对初始条件的极端敏感性” 。他为他的理论打了一个有趣的比方，他说“一只蝴蝶扇动翅膀，就可能在千里以外的地方引发一场飓风”，足以见得微小的初始条件对结果有着巨大的影响。这就是众所周知的“蝴蝶效应”。

迄今为止，最丰富的混沌电路实在非线性电路中观察到的。而蔡式电路是可以产生混沌行为最简单的电路，通过对参数的控制使通向“混沌”的必经之路得以观察。本次试验，加深了我们对非线性和混沌的理解。

二、原理

2.1 混沌及其特点

混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动，其主要特征是系统行为对初始条件的敏感

性。系统由倍周期分叉通向混沌，是由定态过渡到混沌的主要条件。 费根鲍姆常数：费根鲍姆发现，动力学系统中分叉点处参量μ的取值μ适常数??n 的收敛服从普

?n?1?μn=4.699，?被称为费根鲍姆常数。在本实验中取n=2，我们定义一个

μn??n?1

非线性参数（为费根鲍姆常数的近似值），?'??2?μ1。该参数可以表征一个非线性系统

μ3??2区域混沌的速度，?'越趋近于?，系统进入混沌就越快。 2.2有源非线性电阻

负阻定义为：当电阻的端电压增加时，流过电阻的电流却随之减少，表现为U-I特性曲

线的斜率为负，这样的电阻称为负阻。自然界中不存在负阻，只有当电路上有电流通过时，才会产生负阻。

常见的实现负阻的电路由正阻和运算放大器构成，其伏安特性曲线如下图1.

图1、有源非线性负阻伏安特性曲线简图 2.3蔡氏非线性电路

如下图2，是一个典型的蔡氏非线性电路。电路中非线性电阻Rn的作用有两个，一是抵消损耗电阻R的阻值，二是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。它是非线性电路的核心器件，是电路系统产生非线性运动的必要条件。

图2、蔡氏非线性电路图

蔡氏电路可以产生丰富的混沌现象。在一定的初始条件下，微调可变电阻的阻值，我们可以观察到示波器上CH1和CH2的XY模式李萨如图出现了由单周期→双周期→四倍周期→

八倍周期→2n周期→阵发混沌→三倍周期→单倍吸引子→稳定双吸引子的混沌现象。但是，混沌现象对初始值有很大的依赖性。可变电阻的阻值只有在一个很小的范围内，我们才能够观察到混沌现象。其他大部分值的情况下，只能观察到电路的稳定态。 2.4混沌同步

所谓混沌同步是指一个系统的混沌动力学轨道收敛于另一个系统的混沌动力学轨道，以致两个系统在以后的时间里始终保持步调的一致。同步的目的就是在一个相同的具有任意初始条件的响应系统中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹。

本实验中的混沌同步系统是由两个相同的蔡氏电路和一个单向耦合系统构成的。相同的蔡氏电路是指两个电路的元件的参数尽可能的接近，这是确保混沌同步能够实现的基本条件。驱动—响应方法将系统分为驱动子系统和响应子系统。由于单项耦合系统的存在，驱动系统的运动状态会影响感应系统，而感应系统的运动状态则不会影响驱动系统。 下图3，是混沌同步系统的实验图。

图3、混沌同步电路图

三、实验

3.1 实验步骤

1、设计实验装置，测定非线性负阻的伏安特性曲线。实验装置如下图4所示：

图4、非线性负阻伏安特性测量电路

2、按照上图3 搭建非线性电路，改变R的阻值，观察并记录非线性电路的各种运动状态，同时测量非线性负阻两端的电压

3、在图3 的基础上，在电容C2上并联一可变电容，观察C2变化时非线性电路的运动状态；记录不同R值时运动状态改变点的C2值，计算非线性参数?'。

4.按照上图3搭建混沌同步电路图。观察记录同步、去同步状态；调节响应系统可变电阻，观察其参数对同步的影响。

四、数据处理与结果分析

1、非线性负阻的伏安特性数据，详见附页一和附页二。改变原始数据的象限，可得非

线性负阻的伏安特性曲线如下图5：

图5、非线性负阻的伏安特性曲线

分析：

在测定非线性负阻的时候，我们会遇到了两个拐点，非线性负阻在拐点的附近变化非常快，为了较为准确的测量拐点的位置，我将电压分成多段测量，初步得到拐点位置的近似值。在近似拐点的位置增多测量数，可以更加精确的得到拐点附近的数据，使得图形更加精确。

2.试验中观测到非线性电路从周期到混沌，经历了单周期、双周期、四周期、八周期、阵发混沌、三周期、单倍吸引子、稳定双倍吸引子的状态。各状态的示波器截取图像详见附页3和附页4。

各个状态测定的负阻电压值如下表1 所示：

表1、非线性电路各状态下的负阻电压值 状态 第一次测量 单周期 5.92 双周期 5.91 八周期 5.73 阵发混沌 5.67 三周期 5.69 单倍吸引子 5.41 分析：

第二次测量 -5.61 -5.34 -5.12 -5.1 -5.08 -4.71 调节蔡氏电路的时候，首先粗调可变电阻的阻值，在趋近混沌现象附近，改用细调阻值的方法，使得示波器上显示混沌试验现象。由此可见，混沌现象对于初始值很敏感。使用XY模式观测李萨如图，调节可变电阻，可以发现蔡氏电路系统逐渐由单周期过渡到双周期、四倍周期、八倍周期、阵发混沌、三倍周期、单吸引子和稳定双吸引子的图像。在调节电阻的过程中，会发现四周期和八周期的图像越来越难以观察，这时候只能通过调节示波器扫描电压才能观察到四周期到八周期、以及八周期到阵发混沌的过渡。

3.改变C2的值以后，测得的数据如下表2 所示：

表2、C2的变化数据以及非线性参数的计算 电容值 R1态时（uF） 双倍周期时 0.00557 四倍周期时 0.00805 八倍周期时 0.00867 阵发混沌时 0.00935 δ' 4 R2态时（uF） 0.00058 0.00327 0.00392 0.00472 4.138 由此可以得出：δ'（R1）<δ'（R2），说明较大的电阻会使系统更快趋于混沌状态。 分析：与调节可变电阻类似，改变蔡氏电路的电容值也会使系统产生混沌。通过实验我们发

现，混沌的出现对于电容的变化也很敏感。微调电容值就可能使混沌现象出现或者消失。由此也可证明，混沌现象对于初始值有很大的依赖性。除此以外，我们还发现，非线性参数与费根鲍姆常数的差距越小，系统从稳定趋向混沌就越快。

4.混沌同步实验

观察实验发现，当耦合电阻从5.1KΩ逐渐减小时，响应子系统从混乱逐渐变为与驱动子系统同步，C1和C1’的李萨茹图则逐渐从去同步变到准同步，最终达到同步。去同步、准同步、同步的李萨茹图详见附页5。

同时，当系统达到同步时，当调节响应系统电阻值时，不会改变驱动系统的稳定态；而改变驱动系统的电阻值时，同步系统就会趋于混乱。

分析：同步系统分为驱动系统和响应系统两个部分。驱动系统的微小变化会改变响应系统的状态；可是由于单向耦合电路的存在，响应系统的变化则不会对驱动系统产生影响。

五、总结

本实验通过对非线性负阻的应用，以蔡氏电路为桥梁，通过使用示波器来检测混沌的发

生。实验中测出了负阻的伏安特性曲线和非线性参数，同时观测到了混沌发生的过程以及混沌同步发生的过程。本实验使我们充分认识到混沌现象既有随机性又有规律性的特征。

六、参考文献

[1] 熊俊主编. 近代物理实验[M]. 北京: 北京师范大学, 2007.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ntn7.html