2011届高考数学复习好题精选 圆锥曲线的综合问题 理
更新时间:2023-03-08 07:34:17 阅读量: 综合文库 文档下载
圆锥曲线的综合问题(理)
题组一 直线和圆锥曲线的位置关系问题 2
2
x2y2
1.若直线mx+ny=4和⊙O:x+y=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1
94的( )
A.至多一个 B.2个 C.1个 D.0个 解析:由直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点得
4
m2+n2<4,点(m,22>2,m+n
交
点
个
数
为
x2y2x2y2
n)表示的区域在椭圆+=1的内部,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点
9494个数为2个. 答案:B
2.抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,4)是抛物线上一点,则经过点F、M且与( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 解析:由于圆经过焦点F且与准线l相切,由抛物线的定义知圆心在抛物线上,又因为圆经过抛物线上的点M,所以圆心在线段FM的垂直平分线上,即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,结合图形易知有两个交点,因此一共有2个满足条件的圆. 答案:C
3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且△OAB(O为坐标原点)的面积为22,则m6+m4=________.
2
??y=2px,
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立?
?x=my-m,?
l相切的圆共有
消去x得y2-2mpy+2pm=0, ∴y1+y2=2pm,y1y2=2pm,
(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=4p2m2-8pm. p?
又焦点??2,0?在x-my+m=0上,∴p=-2m, ∴|y1-y2|=4m4+m2, 1p
∴S△OAB=×|y1-y2|=22,
22-mm4+m2=2,平方得m6+m4=2.
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答案:2
题组二 直线与圆锥曲线相交中的弦长问题 4.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y=k(x+2)(k>0)与拋物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k= ( ) 12222A. B. C. D. 3333解析:过A、B作拋物线准线l的垂线,垂足分别为A1、B1, 由拋物线定义可知,|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|, ∵2|BF|=|AF|,
∴|AA1|=2|BB1|,即B为AC的中点.
??y=k(x+2),从而yA=2yB,联立方程组?2?消去x得:
??y=8x
8??y+y=,AB8ky2-y+16=0,∴??
k
??yA·yB=168??3yB=k,22
??消去yB得k=. 32??2yB=16答案:D
5.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
( )
A.3 B.4 C.32 D.42 解析:设直线AB的方程为y=x+b,
?y=-x2+3?
由??x2+x+b-3=0?x1+x2=-1, ??y=x+b
11
得AB的中点M(-,-+b),
22
11
又M(-,-+b)在直线x+y=0上可求出b=1,
22
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∴x2+x-2=0,
则|AB|=1+12(-1)2-4×(-2)=32. 答案:C
6.(2008·全国卷Ⅱ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于________. 解析:F(1,0),∴直线AB的方程为y=x-1.
??y=x-1,?2?x2-6x+1=0?x=3±22. ?y=4x?
∵|FA|>|FB|,由抛物线定义知A点的横坐标为3+22,B点的横坐标为3-22. |FA|xA+14+222+26+42
=====3+22. |FB|xB+14-222-22答案:3+22
题组三 最值与取值范围问题 x2y27.(2009·银川模拟)已知对?k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实
5m数( )
A.(0,1) B.(0,5) C.x2+2(1-λ)k2x-(1-λ)(k2+λ)=0, 由题意知:λ-(1-λ)k2≠0,
-2k2(1-λ)-(1-λ)(k2+λ)
∴x1+x2=,xx=,
λ-(1-λ)k212λ-(1-λ)k2k2λ2
∴y1y2=k(x1-1)(x2-1)=,
λ-(1-λ)k22
m的取值范围是
?????????∵OM·ON=0,且M、N在双曲线右支上,
x1x2+y1y2=0??
∴?x1+x2>0??x1x2>0
??
??λ
k>??1-λ
k2=
2
λ(1-λ)
λ2+λ-1
λ(1-λ)λ??2>5-12??λ+λ-11-λ?<λ<. 23
??λ2+λ-1>0综上,知5-12
≤λ<. 23
x2y2611.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
ab3(1)求椭圆C的方程;
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(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值.
c6??=,解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意?a3
??a=3,x22
∴b=1,∴所求椭圆方程为+y=1.
3(2)设A(x1,y1),B(x2,y2). ①当AB⊥x轴时,|AB|=3. ②当AB与x轴不垂直时, 设直线AB的方程为y=kx+m. 由已知|m|3232
=,得m=(k+1). 2241+k
3,求△AOB2
把y=kx+m代入椭圆方程,
整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, -6km3(m2-1)
∴x1+x2=2,x1x2=2.
3k+13k+1
?36km-12(m-1)?
∴|AB|=(1+k)?2?
?(3k+1)23k2+1?
2
2
222
12(k2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1)== (3k2+1)2(3k2+1)212k2
=3+4=3+
9k+6k2+112
≤3+=4.
2×3+6
13
当且仅当9k2=2,即k=±时等号成立.
k3当k=0时,|AB|=3. 综上所述,|AB|max=2.
∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值:
12
(k≠0) 12
9k+2+6
k
Smax=×|AB|max×
1233=. 22
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