假设检验习题答案

1．假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取16件，测得平均重量为820克，标准差为60克，试以显著性水平?=0.01与?=0.05，分别检验这批产品的平均重量是否是800克。

解：假设检验为H0:?0?800,H1:?0?800 (产品重量应该使用双侧 检验)。采用t分布的检验统计量t?x??0。查出?＝0.05和0.01两个水

?/n820?800?1.667。因为

60/16平下的临界值(df=n-1=15)为2.131和2.947。t?t<2.131<2.947，所以在两个水平下都接受原假设。

2．某牌号彩电规定无故障时间为10 000小时，厂家采取改进措施，现在从新批量彩电中抽取100台，测得平均无故障时间为10 150小时，标准差为500小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加(?=0.01)？

解：假设检验为H0:?0?10000,H1:?0?10000 （使用寿命有无显著增加，应该使用右侧检验）。n=100可近似采用正态分布的检验统计量

z?x??0。查出?＝0.01水平下的反查正态概率表得到临界值2.32到

?/n2.34之间（因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值，因此本题的单侧检验显著性水平应先乘以2，再查到对应的临界值）。计算统计量值

z?10150?10000?3。因为z=3>2.34(>2.32)，所以拒绝原假设，无故障

500/100

1

时间有显著增加。

3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600?

解: H0:??1600, H1:??1600,标准差σ已知,拒绝域为Z?z?,

2取??0.05,n?26,

z??z0.025?z0.975?1.962,由检验统计量

Z?x??1??/n?61371600?1?.2,接受5H0:??11600., 950/266即,以95%的把握认为这批产品的指标的期望值μ为1600.

4.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05)?

解: H0:??2.64, H1:??2.64,已知标准差σ=0.16,拒绝域为

Z?z?,取??0.05,z??z0.025?1.96,

22n?100,由检验统计量

接受H1:??2.64,

Z?x??2.62?2.64??3.33?1.96,

?/n0.06/100即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响.

5．某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐，测得其重量为(单位：克):195，510，505，498，503，492，792，612，407，506.假定重量服从正态分布，试问以95％的显著性检验机器工作是否正常?

解: H0:??500 vs H1:??500,总体标准差σ未知,拒绝域为

2

t?t?(n?1),n?10,经计算得到x=502, s=6.4979,取

2??0.05,t0.025(9)?2.2622,由检验统计量

t?x??502?500??0.9733<2.2622, 接受H0:??500

s/n6.4979/10即, 以95%的把握认为机器工作是正常的.

6，一车床工人需要加工各种规格的工件，已知加工一工件所需的时间服从正态分布N(?,?)，均值为18分，标准差为4.62分。现希望测定，是否由于对工作的厌烦影响了他的工作效率。今测得以下数据：

21.01, 19.32, 18.76, 22.42, 20.49, 25.89, 20.11, 18.97, 20.90

试依据这些数据（取显著性水平??0.05），检验假设：

2H0:??18,H1:??18。

解：这是一个方差已知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题， 检验统计量为

Z?x?18?/n。

代入本题具体数据，得到Z?20.874?184.62/9?1.8665。

检验的临界值为Z0.05?1.645。

因为Z?1.8665?1.645，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设

H0，即认为该工人加工一工件所需时间显著地大于18分钟。

7，《美国公共健康》杂志（1994年3月）描述涉及20143个个体的一项大规模研究。文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%到71.6%），在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差

3

为7.5%。设样本来自正态总体N(?,?)，?,?均未知。试取显著性水平

22??0.05检验假设：H0:??38.4,H1:??38.4。

解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题， 检验统计量为

t?x?38.4s/n。

代入本题具体数据，得到t?40.5?38.47.5/15?1.0844。

检验的临界值为t0.025(14)?2.1448。

因为t?1.0844?2.1448，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H0，即认为平均摄取量显著地为38.4%。

8，自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值为8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体N(?,?)，?,?均未知。试依据这一样本取显著性水平??0.01检验假设：H0:??8.42,22H1:??8.42。

解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题， 检验统计量为

t?x?8.42s/n。

代入本题具体数据，得到t?8.3?8.420.025/9??14.4。

检验的临界值为?t0.01(8)??2.8965。

4

因为t??14.4??2.8965（或者说t?14.4?2.8965），所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设H0，即认为铜含量显著地小于8.42%。 9，测得某地区16个成年男子的体重（以公斤计）为

77.18, 80.81, 65.83, 66.28, 71.28, 79.45, 78.54, 62.20

69.01, 77.63, 74.00, 77.18, 61.29, 72.19, 90.35, 59.47

设样本来自正态总体N(?,?)，?,?均未知，试取??0.05检验假设：H0:??72.64,22H1:??72.64。

解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题， 检验统计量为

t?x?72.64s/n。

代入本题具体数据，得到t?72.668?72.648.338/16?0.0134。

检验的临界值为t0.025(15)?2.1315。

因为t?0.0134?2.1315，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H0，即认为该地区成年男子的平均体重为72.64公斤。

10，一工厂的经理主张一新来的雇员在参加某项工作之前至少需要培训200小时才能成为独立工作者，为了检验这一主张的合理性，随机选取10个雇员询问他们独立工作之前所经历的培训时间（小时）记录如下

208， 180，232，168，212，208，254，229，230，181

设样本来自正态总体N(?,?)，?,?均未知。试取??0.05检验假

22 5

设：H0:??200,H1:??200。

解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题， 检验统计量为

t?x?200s/n。

代入本题具体数据，得到t?210.2?20027.28/10?1.1824。

检验的临界值为t0.05(9)?1.8331。

因为t?1.1824?1.8331，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H0，即认为培训时间不超过200小时。

11 设我国出口凤尾鱼罐头，标准规格是每罐净重250克，根据以往经验，标准差是3克。现在某食品工厂生产一批供出口用的这种罐头，从中抽取100罐检验，其平均净重是251克。假定罐头重量服从正态分布，按规定显著性水平α = 0.05，问这批罐头是否合乎标准，即净重确为250克？ 解：（1）提出假设。现在按规定净重为250克，考虑到买卖双方的合理经济利益，当净重远远超过250克时，工厂生产成本增加，卖方吃亏；当净重远远低于250克时，买方如果接受了这批罐头就会吃亏。所以要求罐头不过于偏重或偏轻。从而提出假设为：

H0: μ = 250克

H1: μ ≠ 250克

（2）建立统计量并确定其分布。由于罐头重量服从正态分布，即X ~ N（250，

??) 3），因此： ?~?(???,???2

z?x???/n~N(0,1)

（3）确定显著水平α = 0.05。此题为双侧检验。

6

（4）根据显著水平找出统计量分布的临界值，???????.??。只要

????或?????就否定原假设。

??（5）计算机观察结果进行决策：

z?x???/n?251?2503/100?3.33

（6）判断。由于???.??,远远大于临界值???????，故否定原假设， H0，接受即认为罐头的净重偏高。

双侧检验与区间估计有一定联系，我们可以通过求μ的（1-α）的置信区间来检验该假设。如果求出的区间包含μ，就不否定假设H0。例10-1中μ的

95%的置信区间为：

???.????即????.???,???.????

由于μ=250未包含在该区间内，所以否定H0，结果与上述结论一致。

12一家食品加工公司的质量管理部门规定，某种包装食品净重不得少于20千克。经验表明，重量近似服从标准差为1.5千克的正态分布.假定从一个由50包食品构成的随机样本中得到平均重量为19.5千克,问有无充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了?

解:把平均重量保持不变或增加作为原假设的内容,只要能否定原甲设,就能说明样本数据提供了充分证据证明均重量减少了,于是有:

H0: μ ≧20 千克,H1: μ <20千克 由于食品净重近似服从正态分布,故统计量

z?x???/n~N(0,1)

令α=0.05，由于是左单侧检验，拒绝域的临界值是

?????.???，当

???

????.???时就拒绝H0，计算z值：

7

???????.????????.???

?/??.???由于

???????.???，所以拒绝H0: μ ≧20，而接受H1: μ <20千

克，即检验结果能提供充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了。 13市场管理部门意欲对某厂生产的大瓶碳酸饮料进行检查，以确定是否符合

其标签上注明的“容量至少是3磅”的说法。现抽取一由20瓶组成的随机样本，样本平均值为2.8965,样本标准为0.148440135, 假定该饮料包装重量近似服从正态分布，市场管理部门能否由此断该厂生产的大瓶碳酸饮料包装重量不足，并对其提出投诉？（α=0.05） 解:建立假设:

H0: μ ≧3磅,H1: μ <3磅

由于样本容量n=20,且总休方差未知,建立统计量:

???

? ?

由给出数据计算统计量的值为 ：

???

t?x?3sn2.8965?30.148440135/20??3.118而t0.,1故拒绝原假设)?1.729,接受替换假设, 市场管理部门?(20??本题是左单侧检验,05??可以断定该种大瓶碳酸饮料包装重量不足,可以对其提出投诉.

14某房地产经纪人宣称某邻近地区房屋的平均价值低于480000元。从40间房屋组成的一个随机样本得出的平均价值为450000元，标准差为120000元。在0.05的置信水平下，是否支持这位经纪人的说法？

解；由于问的是能否支持经纪人房屋的平均价格低于480000元说法,于是适当的假设为:

H0: μ ≧480000 元,H1: μ <480000元

由于????,样本容量足够大,由中心极限定理知道?的抽样分布

8

近似服从正态分布.故统计量

?????~?(?,?)

?/?本题是左单侧检验,当α=0.05时,??????.???,由于????,即

??.??????.???,故不能否定H0,即这数据不支持经纪人的说法.

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