第四讲 不定积分

第四章 不定积分

一、学习目的与要求

1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。 2、熟记不定积分的基本公式。

3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。 4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。 5、会求简单无理函数的不定积分。

二、学习重点

不定积分的换元法与分部积分法

三、内容提要

1、原函数与不定积分的概念 若F?(x)?f(x),则称F(x)是f(x)的一个原函数，若 。 F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的原函数的一般表达式为F(x)?C（C为任意常数）

f(x)的原函数的一般表达式称为f(x)的不定积分，记作?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

2、基本性质（下设a,?为常数）

（1）(af(x)??g(x)dx?af(x)dx??g(x)dx （2）(f(x)dx)??f(x)或d(f(x)dx)?f(x)dx;3、基本积分公式（下设a?0）

??????f?(x)dx?f(x)?C或?df(x)?f(x)?C.

xa?11（1）xdx??C(a??1), （2）dx?ln|x|?C,

a?1x?a?（3）exdx?ex?C, （4）axdx?ax/lna?C,

??（5）sinxdx??cosx?C, （6）cosxdx?sinx?C, （7）

????1122（8）dx?secxdx?tanx?C,dx?cscxdx??cotx?C 22cosxsinx???（9）tanxdx??ln|cosx|?C, （10）cotxdx?ln|sinx|?C, （11）secxdx?ln|secx?tanx|?C, （12）cscxdx?ln|cscx?cotx|?C, （13）secxtanxdx?secx?C, （14）cscxcotxdx??cscx?C,

????? 46

（15）

??11xdx?arctan?C, （16）22aaa?x11a?xdx?ln?C, （18）

2aa?xa2?x2???1a2?x21x2?a2dx?arcsinx?C, a（17）

dx?ln|x?x2?a2|?C,

（19）shxdx?chx?C, （20）chxdx?shx?C. 4、基本积分法

（I）分项积分法 [af(x)??g(x)]dx?af(x)dx??g(x)dx(a,?为常数) （II）凑微分法（第一换元法） 若

?????f(x)dx?F(x)?C,且?(x)连续，则

?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C.

（III）换元法（第二换元法） 若f(x)连续，x??(t)有连续导数，

??(x)?0,且?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?G(t)?C,则

?f(x)dx?G(??1(x))?C

（IV）分部积分法 若u(x),v(x)可导,v(x)du(x)存在，则

??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x).

5、几类初等函数的积分

（I）有理函数R(x)的积分R(x)dx

一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式：

?AAx?B2,,(p?4q,n?N)之和. n2n(x?a)(x?px?q)（II）三角函数R(sinx,cosx)的积分R(sinx,cosx)dx

通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令t?tan?x（万能代换）， 2t?cosx,t?sinx,t?tanx等。 （III）简单的无理函数的积分

通常是先作代换，使被积函数有理化后再积分，常用的代换有：

?ax?b?n?R?x,cx?d?dx,??

令nax?b?t;

cx?d47

22?R(x,a?x)dx,????令x?asint???t??;

2??222R(x,a?x)dx,?????令x?atant???t??;

2??222?R(x,x?a)dx,???令x?asect?0?t??且t??.

2??四、思考题

1、原函数与不定积分的概念有何联系与区别？

2、有理函数的原函数是否为有理函数？初等函数的原函数是否一定为初等函数？ 3、(?f(x)dx)???f?(x)dx对吗？并由此正确理解微分与积分之间的互逆关系。 4、同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达形式吗？举例说明。 5、若?f(x)dx?F(x)?C，是否有?f[g(x)]dx?F[g(x)]?C? 6、初等函数的不定积分都可以表示成有限形式吗？

五、典型例题分析

例1 计算下列积分 (1)?ln(tanx)1?lnxx?1dx;(2)?dx;(3)?dx 2xsinxcosx(xlnx)x(1?xe)分析 本题均可用凑微分法。一般采用此法，要求熟悉一些常见函数的微分形式，对不易观

察到的，不妨拿出某一部分求其导数，从而决定如何凑微分。如

（1）[ln(tanx)]??1dx,所以可利用凑微分?d[ln(tanx)];

sinxcosxsinxcosx（2）(xlnx)??1?lnx,所以,(1?lnx)dx?d(xlnx); （3）(1?xex)??ex(1?x),所以,ex(1?x)dx?d(1?xex)。

解 （1）?ln(tanx)1dx??ln(tanx)dln(tgx)?[ln(tanx)]2?C

sinxcosx21?lnxd(xlnx)1dx?????C 22xlnx(xlnx)(xlnx)（2）?

x?1ex(x?1)（3）?dx??xdx xxx(1?xe)xe(1?xe)令1?xex?uduu?1xex??ln?C?ln?C xu(u?1)u1?xe48

例2 计算?dx。 x2(1?e)x2分析 本题的困难之处在于分母出现(1?e)。我们可从两个简单积分中得到启发，由积分

dxe?xex?xx???dx??ln(1?e)?C。从，进一步考虑积分?dx?ln(1?e)?Cxx?x1?e1?e1?e此联想到本题可通过分解的方法化为简单积分。

dx1?ex?ex1ex1?x??dx??(?)dx??ln(1?e)??C 解 ?x2x2xx2x(1?e)(1?e)1?e(1?e)1?e例3 计算?dx。 4x?1x2?1x2?1分析 对于积分?4dx和?4dx我们可变形后用凑微分法求解，如设x?0，

x?1x?111d(x?)2x?11x2?1xx?4dx?????arctan?C

11x?122xx2?2(x?)2?2xx21?x2?11x2?2x?1dx?ln?C 同理?4222x?2x?1x?1若对前面两个积分比较熟悉，就会联想到本题采用如下巧妙的分解，便可以得到结果。

11(x2?1)?(x2?1)1x2?1x2?1??(4?4) 442x?1x?1x?12x?1dx1x2?11x2?11x2?11x2?2x?1??4dx??4dx?arctan?ln2?C。 解 设x?0，?4x?12x?12x?1222x42x?2x?1例4 计算?arcsinxx(1?x)dx。

分析 被积函数中出现

dxx，在分子出现x，可考虑利用凑微分

dxx?2dx，又再次可凑

微分

dx1?x?d(arcsinx)，从而使积分化简。也可考虑直接令arcsinx?t使积分化

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简。

解法1 ?arcsinxx(1?x)dx?2?arcsinx1?xdx?2?arcsinxd(arcsinx)?(arcsinx)2?C

解法2 令arcsinx?t,x?sin2t,dx?sin2tdt, ?arcsinxx(1?x)dx??tsin2tsin2tcos2tdt??2tdt?t2?C?(arcsinx)2?C

例5 计算?a?xdx,(a?0)。 a?x分析 对于简单无理函数的积分，基本思想是设法使其有理化。 解

?a?x(a?x)2令x?asintdx??dxa?(1?sint)dt a?xa2?x2=at?acost?C?aarcsinx?a2?x2?C a例6 计算?dxx2x?1dxxax?bx?c22。

分析 本题除可采用三角换元法之外，常常可按形如?的积分，利用倒代换

1x?，使积分化简。

t解法1 令x?tant,dx?sec2tdt,

?dxx2sec2tcostdsint11?x2??dt??dt?????C???C 2222sintxtantsectsintsintx?111解法2 令x?,dx??2dt,

tt ?dxx21?x2??dt??1?t?C???C 22xx?11?t?t2例7 计算?xarctandx。

分析 本题是典型的用分部积分法求解的题目，只要熟悉u、dv选择的规律，是很容易求解

的。其u、dv选择的原则：①v易求得；②?udv易积出，其一般规律符合LIATE选择

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31x

法： L：对数函数，I：反三角函数，A：幂函数，T：三角函数，E：指数函数.被积函数如遇其中任何两种函数的乘积，先选出现在LIATE中的函数为u，剩下的函数为v?。显然本题中选arctan31?u,x3dx?dv x11411x4解 ?xarctandx?xarctan??2dx

x4x4x?1141121141x3=xarctan??(x?1?)dx?(xarctan?arctanx??x)?C 24x44x31?xxearctanxdx。 例8 计算?232(1?x)分析 当你对常见函数的微分形式熟悉时，会很快考虑到两次利用凑微分法，得到

xearctanxxearctanxxarctanx?dx??darctgx??de 23222(1?x)1?x1?x然后采用分部积分法就很清楚了。

xearctanxxdxarctanxarctanxdx?e??e解 ? 2322(1?x2)32(1?x)1?x =

x1?x2x1?x2earctanx??11?x21edearctanx（再次分部积分）

xearctanx??dx (1?x2)32 =

earctanx?arctanx1?x2故此题属方程型，解一简单代数方程得：

xearctanx1x?1arctanxdx?e?C ?232221?x(1?x)例9 计算?xexe?2xdx,(x?1)。

分析 本题如上题的考虑方法，可综合运用换元、分部及无理函数积分法。 解 ?xexex?2dx??xex?2xd(ex?2) （凑微分）??2xdex?2 （再凑微分）

=2xe?2??2e?2dx （分部积分，v?ex?2）

x 51

4u2 =2xe?2??2du （出现无理函数，令u?ex?2）

u?2x =2xe?2?4(u?2arctanxu2)?C

ex?1?C。 =2(x?2)e?2?42arctan2x例10 设Im?? Im??dx(m?2正整数)，试导出递推公式： msinxcosxm?2?Im?2。

(m?1)sinm?1xm?1分析 建立积分递推公式，常利用分部积分法，关键是恰当选择u,dv，且选法可以多样。

一般对于Im??dx型，可按下式分解： m[f(x)] Im??1?f(x)?f(x)[f(x)]m1?f(x)[f(x)]mdx??1?f(x)[f(x)]mdx?Im?1或 Im??1?f2(x)?f2(x)[f(x)]mdx??1?f2(x)[f(x)]mdx?Im?2

式中?dx或?1?f2(x)[f(x)]mdx可通过直接积分或利用分部积分，并解一简单代数

方程得到。

类似地，对于Im??[f(x)]mdx型，可按下式分解：

Im??[f(x)]m?1[?1?f(x)?1]dx??Im?1??[f(x)]m?1[f(x)?1]dx

或 Im??[f(x)]m?2[?1?f2(x)?1]dx??Im?2??[f(x)]m?2[f2(x)?1]dx

1?sin2x?sin2xcosx解法1 Im??dx?I??d(sinx) m?2mmsinsinx=Im?2?1cosx1m?2cosx= ?II?m?2m?2m?1m?1m?1m?1sinxm?1(m?1)sinx解法2 从分母中拿出sin2x，让dv?dx,v??cotx, 2sinx 52

Im???dcotxcotxcosx???(m?2)?cotxdx m?2m?2m?1sinxsinxsinxcosx1?sin2xcosx =??(m?2)?dx???(m?2)(Im?Im?2)，

sinm?1xsinmxsinm?1x所以 Im??cosxm?2?Im?2

(m?1)sinm?1xm?1解法3 分子分母同第乘sinx，让dv?sinxdx,v??cosx

dcosxcosxcos2xcosxIm??????(m?1)?dx???(m?1)(Im?Im?2)sinm?1xsinm?1xsinm?2xsinm?1x所以 Im?2??

cosxmcosxm?2, 即?II???Im?2 mmm?1m?1(m?1)sinxm?1(m?1)sinxm?1例11 计算?dx. 22x(1?x)分析 此题为一比较简单的有理函数的积分，关键是将被积函数分解为部分分式之和，若采

用待定系数法，让

1ABCx?D求待定数A，B，C，D，一般较为麻???2222x1?xx(1?x)x烦，对复杂一些的有理函数，其分解更为困难。我们有时可采用加减某些量的方法进

11?x2?x211???行分解： 2应用这种方法，你会感到形如22222x(1?x)x(1?x)x1?xdxdxcosxdx的积分并不困难。 ,?,?dx,?,?sin2xcosxsin3xcos5xsin22xsinmxcosmxsinx?8cosx例12 计算?dx。

2sinx?3cosx分析 被积函数的分子、分母均具有asinx?bcosx的形式。利用此形式函数的导数具有同

一形式的特点，可考虑将分子分解为两部分：一部分与分母的导数成比例，另一部分与分母本身成比例，从而使积分化简。

?解 sinx?8cosx?A(2sinx?3cosx)?B(2sinx?3cosx)?

?(2A?3B)sinx?(3A?2B)cosx 求得 A=2，B=1，

从而 原式=?[2?(2sinx?3cosx)?]dx?2x?ln2sinx?3cosx?C

2sinx?3cosx 53

例13 计算?dx。 22sinx?2cosx分析 对形如?R(sinx,cosx)dx的积分，总可采用万能代换，但有时运算颇为烦琐，故一般

尽可能利用适当的三角恒等变形或以下换元方式，使积分化简。 （1）若R(sinx,?cosx)??R(sinx,cosx),则令sinx?t; （2）R(?sinx,cosx)??R(sinx,cosx),则令cosx?t; （3）R(?sinx,?cosx)?R(sinx,cosx),则令tanx?t; （4）R(sinx,cosx)?sinmxcosnx,则进行积化和差. 本题被积函数属（3）形式，可令tanx?t。 解 ?dxdxdt2tanx?????arctan?C。

2sin2x?2cos2xcos2x(tgx2?2)t2?2222例14 已知f?(sinx)?cos2x?tanx,当0?x?1时,求f(x)

分析 本题求解的关键是利用函数记号的含意写出f?(x)。

2解 f?(si2nx)?1?2sinx?1112?即?1??2sinx,f(x)??2x 221?x1?sinx1?sinx1所以 f(x)??f?(x)dx??(?2x)dx??ln(1?x)?x2?C.(0?x?1)

1?x例15 设f(x)的原函数为(1?sinx)lnx,求?xf?(x)dx。

分析 被积函数出现xf?(x)，可采用分部积分法，且应取dv?f?(x)dx,同时在具体问题中，

要注意搞清楚原函数的概念。 解 f(x)?[(1?sinx)lnx]??cosxlnx?1?sinx x

?xf?(x)dx?xf(x)??f(x)dx?xf(x)?(1?sinx)lnx?C?xcosxlnx?(1?sinx)(1?lnx)?C

?x2，x?0例16 设f(x)??，求f(x)的不定积分。

?sinx，x?0分析 f(x)为在(??,??)内连续的分段函数，它在(??,??)内原函数存在。原函数亦为分段

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函数，而且在分段点处连续、可导。为了保证这一点，可先分别求f(x)各分段在相应区间(??,0)(0,??)内的原函数，然后由原函数在x?0处的连续性确定两个不是相互独立的常数之间的关系（这同时必然保证原函数在x?0处可导，其原因从略），便可得到

f(x)在(??,??)内的不定积分。

解 分别在(??,0)(0,??)内求原函数：

1?2??xdx?x3?C1,当x?0, F(x)??3???sinxdx??cosx?C2,当x?0.由于f(x)在x?0处连续，因此原函数F(x)在该点连续。

令lim?(x?C1)?lim?(?cosx?C2) 从而得 C2?1?C1?1?C,

x?0x?0133?x3?x?0, 故 ?f(x)dx??3?C,??1?cosx?C,x?0

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