高等数学辅导（不定积分）

第四章 不定积分

一、不定积分的概念、性质与基本积分公式 内容提要

1、原函数与不定积分的定义 （1）原函数的定义

如果对任意x?I都有F?(x)?f(x)，或dF(x)?f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。

任何一个在区间I上连续的函数都存在原函数。

若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对任意常数C，F(x)?C也是f(x)在区间I上的一个原函数，并且f(x)在区间I上的任何原函数均可表示成F(x)?C的形式。 （2）不定积分的定义

设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在I上的原函数的一般表达式

F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

其中C为任意常数；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；? 称为积分符号；x称为积分变量。

一个函数的不定积分不是一个数，也不单指某个具体的函数，而是一个函数族。 2、不定积分的性质

（1）(?f(x)dx)??f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx。 （2）?F'(x)dx?F(x)?C 或

?dF(x)?F(x)?C。

（3）?kf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数） （4）?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx?3、基本积分公式

(1) ?kdx?kx?C (k为常数)； (2) ?xdx?(3) ?1x??g(x)dx

1??1x??1?C (???1)；

dx?ln|x|?C；

1

(4) ?exdx?ex?C； (5) ?adx?(6)

xaxlna?C (a?0,a?1)；

?1?xdx2?arctanx?C；

(7) ?dx1?x2?arcsinx?C；

(8) ?cosxdx?sinx?C； (9) ?sinxdx??cosx?C； (10) (11) (12) (13) (14) (15)

??seccsc2xdx?tanx?C； xdx??cotx?C；

xdx??cscx?C；

2?cscxcot

?secxtanxdx?secx?C； ?shxdx?chxdx?chx?C； ?shx?C；

------------------------------------------------------------- (16) (17) (18) (19) (20)

?tanxdx=?ln|cosx|?C?ln|secx|?C；

?cotxdx?secxdx?cscxdx?adx2=ln|sinx|?C??ln|cscx|?C；

?ln|secx?tanx|?C； ?ln|cscx?cotx|?C； ?1aarctanxa?C；

?x2(21)

?adx2?x2?12alnx?ax?a?C；

(22)

?dxa?x22?ln(x?a?x)?C；

22 2

(23)

??dxa?xdxx?a2222?arcsinxa?C；

(24) ?lnx?x?a22?C。

(a?0)

学习重点

原函数与不定积分的概念，基本积分公式

典型例题

（一）不定积分的概念

例1 函数f(x)?e?x的不定积分是（ A．e?x；

B．?e?x；

）

?CC．e?x； D．?e?x?C

解 由于函数的不定积分是原函数集合，故A、B肯定不对，又因为e?x的一个原函数为?e?x，故D正确。

例2 若

??1x2dx?dF(x)，则F(x)＝ 。

解 d??11??C??2dx，F(x)x?x??1x?C。

例3 已知f?(cos2x)?sin4x，求f(x)。

解 因为f?(cos2x)?sin4x?(1?cos2x)2，f?(x)?(1?x)2 所以f(x)??f?(x)dx??(1?x)dt?x?x?2213x?C.

3评注：求出f(x)的导函数f?(x)后，求f(x)即求f?(x)的原函数，也就是求f?(x)的不定积分。

例4 已知f(x)?min{x,x}，求?f(x)dx

?x, x?0?22解 因为f(x)?min{x,x}??x, 0?x?1，所以

?x, x?1?2??xdx, x?0???2f(x)dx???xdx, 0?x?1

???xdx, x?1?3

?12?2x?C1, x?0??13??x?C2, 0?x?1 ?3?12?x?C3 x?1?2又因为f(x)的不定积分?f(x)dx一定可导——

?f(x)dx的导数就是f(x)，所以

?f(x)dx必为连续函数，所以由?f(x)dx在分界点x?0、1处的连续性知

C1?C2，

13?C2? 1612?C3

记C1?C2?C，则C3???C，从而有

??12?2x, x?0??13f(x)dx?C??x, 0?x?1

?3?121?x? , x?16?2（二）利用基本积分表直接求不定积分

例5 求?解

1x(1?x)22dx.

?x12(1?x)2dx?1??1?dx ???x21?x2????x?2dx??1?x12dx

??1x?arctanx?C

例6 计算?x62x621?xdx

解

?1?xdx??(x?x)?(x?x)?(x?1)?11?x42644222dx

???(x?x?1??xxdx?5411?x2)dx

?xdx?2?dx??1?x12dx

?

5?x33?x?arctanx?C

4

例7 求

?cosx?sinxdx.

cos2xcosx?sinxcosx?sinx22cos2x解

?cosx?sinxdx???dx

?(cosx?sinx)(cosx?sinx)cosx?sinxdx

??(cosx?sinx)dx

??cosxdx??sinxdx

?sinx?cosx?C评注：以上三例可见直接积分法是将被积函数进行恒等变形，使所求积分能套用积分公式。

（三）应用及综合问题

例8 已知函数y?f(x)有极值2，其图形过点(0,3)，其导函数f?(x)的图形是过点

(1,0)且不平行于y轴的直线，求f(x)

解 由题意f?(x)?k(x?1)，从而

x2 f(x)??f?(x)dx??k(x?1)dx?k(2?x)?C，

又y?f(x)过点(0,3)，f(0)?3。由上式知，C?3。

x2故 f(x)?k(2?x)?3

显然x?1是f(x)唯一的极值点，所以f(x)在x?1处取到极值2。从而由f(1)?2可得k?2 所以 f(x)?2(x22?x)?3?x?2x?3

2 例9 解答下列问题

（1）设f(x)在(??,??)内有定义，对任意x、y?(??,??)都有

f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy

而且f?(0)?1，求f(x)。

（2）设f(x)在(0,??)内有定义，对任意x、y?(0,??)都有

5

f(xy)?f(x)?f(y)

而且f?(1)?2，求f(x)（x?0）。

分析 本例的两个问题属于同一种类型：如何根据函数满足的和、差、积等运算关系去求出该函数。这类问题一般可以考虑用导数的定义求出函数的导数，再用不定积分求出原函数。使用导数的定义时，涉及到函数的增量运算，函数满足的加减等四则运算条件正好可以用到。

解

（1）取x?y?0得f(0?0)?f(0)?f(0)，即有f(0)?0，

f?(x)?limf(x?h)?f(x)h?0 ?limhf(x)?f(h)?2xh?f(x)hf(h)?f(0)h?2x

h?0

?limh?0 （?f(0)?0）

?f?(0)?2x?1?2x

所以f(x)??2f?(x)dx??(1?2x)dx?x?x?C

再由f(0)?0得C?0，于是f(x)?x?x2。

（2）取x?y?1得f(1)?f(1)?f(1)，即有f(1)?0， f?(x)?limf(x?h)?f(x)hh?0

f[x(1?hxh)]?f(x) ?limh?0

hx)?f(x)f(x)?f(1? ?limh?0h

f(1?h ?limh?0xhx2x)?f(1)?1x （?f(1)?0）

?所以f(x)?1xf?(1)?2x

?f?(x)dx??dx?2lnx?C

再由f(1)?0得C?0，于是f(x)?2lnx。

6

二、不定积分的积分方法 内容提要

1、换元积分法

（1）第一换元积分法

定理 设u??(x),??(x),f(u)均连续，且已知F(u)是f(u)的一个原函数，则

?f[?(x)]??(x)dx??f(u)du?F[?(x)]?C

这种方法又称为凑微分法。

如何应用凑微分法求不定积分？设所求不定积分为?g(x)dx，如果被积函数g(x)可以化为g(x)?f[?(x)]??(x)的形式，则被积表达式g(x)dx?f[?(x)]d?(x)，那么

?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)

令u??(x)，则?g(x)dx??f(u)du，那么g(x)的积分就转化为函数f(u)的积分。

如果能求得函数f(u)的原函数，也就可以得到g(x)的原函数。

因此使用凑微分法的关键就是将g(x)写成f(?(x))??(x)的形式，或者将g(x)dx凑位分后得到f[?(x)]d?(x)的形式。 （2）第二换元积分法

定理 设f(x)连续，x??(t)是单调的可导的函数，并且??(t)?0，那么

?f(x)dx???f(?(t))??(t)dt?t???1(x)

其中t???1(x)为x??(t)的反函数。

第二换元法与第一换元法相反，方法上不是“凑”微分，而是直接将不定积分?f(x)dx中的积分变量x替换成一个函数?(t)，从而被积表达式f(x)dx替换成f(?(t))??(t)dt。

不定积分中需要第二换元法的情形多种多样，还换形式也灵活多变。但当被积函数是“含根号”的无理函数时，有一类常用的“去根号”的三角替换格式：

a?x22?????acost （a?0，?a?x?a，?令x?atant令x?asint?2?t??t??t??2） ） ）

22a?x?????asect （a?0，???x??，??2?2x?a22?????atant （a?0， |x|?a， ?令x?asect?2?2 7

2、分部积分法

定理 设u(x)与v(x)是x的可微函数，则

?uv?dx?uv??u?udx 或 ?udv?uv??vdu

以上两式称为分部积分公式。

使用分部积分公式时，首先要将不定积分?f(x)dx凑成?uv?dx或者?udv的形式，这一点与不定积分的“凑微分”类似（但不同的是，凑微分后函数u(x)不必是以v(x)为内函数的复合表达式）。所以使用分部积分公式之前，也是要将被积函数进行“分解”并凑微分，将被积表达式f(x)dx凑微分成为u(x)dv(x)。选取函数u、v所遵循的原则是，分部积分公式中第二项的不定积分?vdu??vu?dx要更容易求得。

几种常见情形下“凑”微分（凑udv）的固定格式： ① 多项式与三角函数

?x?nnsinxdx???xdcosx， 选取u?x nnxdsinx ， 选取u?x

nxcosxdx??n② 多项式与指数函数

?x?nedx?x?xndex， 选取u?xn

③ 多项式与对数函数

xlnxdx?n1n?1?lnxdxn?1， 选取u?lnx

④ 多项式与反三角函数

sinxsinxdx?1n?1sinxdxn?1

?xarcncosxtanxcotx?arccosxtanxcotx， 选取u?arccosxtanxcotx

2、特殊类型函数的不定积分 （1）有理函数类的不定积分

有理假分式

P(x)Q(x)总可以用Q(x)除P(x)化为一个多项式T(x)和真分式之和。而多项式

的不定积分是容易求出的。因此计算有理函数的不定积分主要是计算有理真分式的不定积分。

真分式分解定理 设Q(x)有质因式分解

8

Q(x)?(x?a)?(x?b)(x?px?q)?(x?rx?s)??2?2v

则有理真分式

P(x)Q(x)能唯一地写成下列部分分式之和： A1A2(x?a)2P(x)Q(x)?x?a????A?(x?a)???

?B1x?b?B2(x?b)2?????(x?b)?

?M1x?N1x?px?q2???M?x?N?(x?px?q)2???

?U1x?V1x?rx?s2?U2x?V2(x?rx?s)22???Uvx?Vv(x?rx?x)2v

其中Ai，Bj，Mk，Nk，Um，Vm?R。

这样有理式的积分问题，就归纳为下面四种简单分式的积分：

?Ax?aAdx，?B(x?a)kdx，?Cx?Dx?px?q2dx，

?(xEx?F2?px?q)kdx(k?1)

① ② ③

?x?adx??(x?a)k?x2?BAln|x?a|?C1(x?a)2k；

d(x?a)?B?k?1(x?a)?k?1dx?B?dx?C；

Cx?Dpx?q(p?4q?0)。 p2p2)?D?)?q?p2p22?xCx?D2C(x?dx?1?px?q?(x?Cp2dx 2p4dx?(D?12Cp)?(x?1p2)?q?2x??C?(x?p2?)?q?p2dx44 ?Ex?Fpx?q)kC22lnx?px?q?22D?Cp4q?p2arctan2x?p4q?p2?C

④

?(x2?dx(p?4q?0,k?1)

p2??(xEx?F2?px?q)kdx （令t?x?）

9

?E2?Ep?1?dt?F?dt ??2222k?2?(t?a)(t?a)?p22t其中a?q?24，?2t(t?a)22kdt?11?k?1(t?a)22k?1?C?11?k?1(x?px?q)2k?1?C，而第二

个积分可以由分部积分公式给出递推公式： In?

（2）三角有理函数类的不定积分

三角有理函数可以使用三角代换——万能替换公式换元后化为有理函数。

·万能替换 令tanx2?t(???x??)或x?2arctant，则

?(tdt2?a)2n?12a2n(??t?21(a?)t?n2???1(2n?3I)n?1? )?2tansinx?1?tan1?tancosx?1?tandx?11?t2x22x2x?2t1?t2

222?1?t

x1?t222dt

2?2t1?tR?,?1?t21?t2?·?R(sinx,cosx)dx???2??dt。 ?1?t2?（3）简单无理函数类的不定积分

该类函数主要使用不定积分的第二换元法。其换元方式灵活多样，通常想法是通过适当的换元去掉被积函数中的根号，然后再对不含根号函数作不定积分。

学习重点

各种不定积分方法

学习难点

“凑微分”技巧

10

典型例题

（一）第一换元法（凑微分法）

例1 求下列不定积分

1（1）?x2x?2dx； （2）?3axx2dx；

（3）?cos3xlndx； （4）?12tanx2dx；

sinxsinxln3（5）?xlnxln232x?1dx（x?e）； （6）?x1?lnx12xdx。

解 （1）?xx?2dx??x?2?xdx?32132?(x?2)d(x?2)

33x?2?u3???112?u3293du?293u2?C

u?x?233???1(x?2)2?C

11x1 （2）? （3）?axx21dx?3?ax?1x21dx???ad2x1xx?u?? ??audu??auu?lna?C?? ?axlna?C

cosxsinxdx??cosx?cosxsinxdx??(1?sin2x)sinxdsinx

3 ??sin?12xdsinx??sin2xdsinx

1?2sin2x?255sin2x?C

ln2tanx2dx?ln2tancosxx2?1dx?x222ln2tancosx22 (4)

?sinx?lnsin2x2?tanlnx22x2dx2

tanx2???ln2secx2dx2xtanx?tan2?lntan32dtanx x2x22?C

?

tanx2dlntan11

2?13tan （5）?1xlnxln2dx?x?1?dlnxlnxln2?x?1?ln2dlnxx1?1ln2 xd1lnx1ln2 ???1???arcsinx1lnx?C

（6）?lnx1?lnxx32dx??lnx1?lnx?lnxdlnx

222 ??[1?(1?lnx ??12131212)]?1xln??(d232)?(1x ln2)22?[(1?lnx)?(1?lnx)]d(1?lnx)

23??(1?lnx)?22155(1?lnx)2?C

2 评注：

从例1六个不定积分的求解过程可以看出，第一换元法（凑微分法）通常是从被积函数

g(x)中分解出一个函数?(x)，使得?(x)与dx可凑成d?(x)，同时g(x)中剩下的另一部

分函数恰好是以?(x)为内函数的复合表达式。这个对被积表达式g(x)dx“凑”微分的过程可概括如下

g(x)dx 分解 h(x)?(x)dx 凑微分 f[?(x)]d?(x)

第一个分解过程不仅要保证?(x)与dx可以“凑”微分（容易找到函数?(x)使得，还要同时想到第二个过程中凑出微分d?(x)后，被积??(x)??(x)，即d?(x)??(x)dx）

函数中留下的函数h(x)恰好可以是符合表达式f[?(x)]

另外，凑微分的过程可能要连续进行多次。如本例中第（4）小题，先将

成dtan12dx凑微分

x2x2，外面有以

x2为内函数的复合函数sec1tanx22x2；再凑secdtanx22x2dx2?dtanx2，外面又有以

为内函数的复合函数；最后凑

1tanx2?dlntanx2，外面最终剩下以

12

lntanx2为内函数的复合的函数ln2tanx2。于是将原不定积分化为了?u2du。

例2 求下列不定积分

ln(1?1)（1）?1?lnx(xlnx)3dx； （2）?xdx； x(x?1)（3）? [分析]

arctanxarctan1xdx

x(1?x)dx； （4）?1?x2该例四个不定积分当中被积函数形式看上去都很复杂，似乎很难下手。

但是如前所述，不定积分的“凑”微分往往都是要从被积函数中分解出一个函数而凑出微分表达式，凑好后外面留下的函数正好是凑进去的函数的复合表达式。这就告诉我们，如果我们能够发现被积函数是函数?(x)及其导数??(x)构成的，并且能够把??(x)凑进微分符号里而成d?(x)，那么凑微分的目的就达到了。所以我们用凑微分法计算不定积分时，要“眼观六路”，尽可能发现或者猜想被积函数中的一些导数关系，从而发现该如何“凑”微分。

具体地说，该例第一个不定积分中有函数1?lnx及xlnx，如果我们大胆去猜想或发现它们的导数关系，就恍然明白，1?lnx就是xlnx的导数，所以1?lnx可以凑进微分符号而成dxlnx。按照这样的思路，读者不难猜想或者发现第二、三、四个被积函数中导数关系，如下解答。

解 （1）?1?lnx(xlnx)dx?3?(xlnx)d(xlnx)3??12(xlnx)?2?C

ln(1?1（2）?11121xdx???ln(1?)dln(1?)??ln(1?)?C

x(x?1)xx2x1)?1?111??(?2)?? --------猜想ln(1?)的导数：?ln(1?)?? 1xxx(x?1)x??1?x（3）?arctanxx(1?x)dx?2?arctanxdarctanx?[arctanx]?C

2--------猜想arctanx的导数：arctan?x???11?x2x?1

13

arctan1xdx???arctan1xdarctan1x??23[arctan1x3（4）?1?x2]2?C

?1111???(?2)??-------猜想arctan的导数：?arctan?? 21x?xx1?x?1?2x1例3 求下列不定积分

（1）?x(1?x)6dx； （2）?tan（3）?1?lnx(x?lnx)253xsecxdx；

dx

12（1）分析：此题不能简单地将xdx凑成dx，因为凑好后外面的(1?x)不是以x为

262内函数的复合表达式。考虑到(1?x)6的复杂性，我们期望将原不定积分凑成

?f(1?x)d(1?x)的形式。

解：原式=?[1?(1?x)](1?x)6dx??(1?x)dx?67(1?x)dx ? ???(1?x)6d(1?x)??(1?x)7d(1?x) ?(1?x)77?(1?x)88?C

53（2）分析：将被积表达式tanxsecxdx分离出secxtanxdx而凑成dsecx，剩下的

tan4xsec2x可利用三角函数关系而化为secx的幂函数。

解：原式? ??tan4xsec22xdsecx

22?(secx?1)secxdsecx

642 ??[secx?2secx?secx]dsecx

?17secx?725secx?513secx?C

3532注意：为什么不把tanxsecxdx分离出secxdx而凑成dtanx呢？因为这时剩下的

5函数tanxsecx虽然也能表示成tanx的函数：tan5x?tan2x?1，但不定积分

14

2uu?1du不仅在基本积分表中找不到，反而因为被积函数出现根号而显得更难办了。 ?（3）分析：因为所给不定积分的被积函数的分子是两项差的形式，分母是平方的形式，所以根据商的微分法则，可以考虑将被积函数凑出d1xx2f(x)g(x)。如果要凑商

fg的导数，那么被

积函数的分子1?lnx?被积表达式中分解出

?x?lnx?1?f?g?fg?，就不难发现f?lnx，g?x。从而将dx就可以凑出dlnxx1?lnxlnxx。当然这只是问题的一方面，另一方面还

1?lnx(x?lnx)2希望外面留下的函数也能成为以为内函数的复合表达式。事实上，当分离

出

1?lnxx2后，剩下的函数为

1lnx???1??x??2=

1u2为变量u?1?lnxx的函数。而微分dlnxx又

可以凑成d?1???lnx??，从而可以求出原不定积分。 x?解：原式??1(1?lnxx)2?1?lnxx2dx

??(1?lnxx)?2d(1?lnxx)??1?1lnxx?C??xx?lnx?C

[评注]

我们就例1至例3中题目的解答给了较详细的分析或点评，希望读者能够体会凑微分“凑”的要点。但是凑微分纯粹是一个熟能生巧的技巧性问题，读者只有通过足够量的练习，才能深谙其间的奥妙，其方法与技巧才能运用自如。

下面是一些可用凑微分法来求不定积分的常见类型。

12??f(ax?b)dx?f(x)xdx?2?f(ax?b)d(ax?b)，

21f(x2?)d(x)，

x2??f(e)edx?f(lnx)xdx?xx?f(e)d(e)，

x?f(lnx)d(lnx)，

?f(sin

x)cosxdx??f(sinx)d(sinx)，

15

?f(cos?x)sinxdx??2?f(cosx)d(cosx)，

x)，

f(tanx)secxdx??f(tanx)d(tandx???f(arcsinx)11?x2?f(arctanx)d(arctanx)，

f(arcsinx)11?x2dx??f(arctan)2d(arctanx)，

?f???22x?a???xx?a2dx??f???22?x?a??d???22x?a??。

?例4 求下列不定积分 （1）?1e?ex?xdx； （2）?(1?e)1?e2xx2dx；

（3）?解： （1）?1(1?e)x2dx。

1e?exxdx??x?ee2xx?1dx??(e2x1x)?12dex?arctane?C；

x（2）?(1?e)1?e2x2dx??1?2e?e1?e2xxdx??dx?2?1?exex2xdx

?x??1?(exx1x)de2x?x?arctane?C

（3）?1(1?e)x2dx???1?e?e(1?e)x2xdx??1?e?(1?ex1xdx??(1?exexx)2dx

?1?e?e1?exxdx?1x)d(1?e) 2 ??dx??11?exd(1?e)?x11?ex?(1?e1x)2d(1?e)

x(?e)? ?x?ln1?C

（二）第二换元法

例5 求下列不定积分

16

（1）?dxx?a?xdxxx(x?2)22（a?0）； （2）?dxx21?x2

（3）?（x?2）。

分析：这些被积函数中都含有根号，可以作适当的换元去掉根号：第（1）题中可令

x?asint，第（2）题中可令x?tant，第（3）题中可令x?2sec2t。特别注意，第（3）

题中将要使用的换元x?2sec2t同时使得x与x?2得以开方而不含有根号，可谓一箭双雕。

解： （1）?dxx?a?x22x?asint????1212?asint?acostdt

(sint?cost)?(cost?sint)sint?cost12d(sint?cost)sint?cost2acost ? ??dt 12?dt??dt?2?t?ln|sint?cost|??C

1?xx?ln|? ??arcsin2?aa?a?xa?|??C ??dx。这类积分刻化为

dx

注意：变换后的积分?costsint?costdx?dt形如?asinx?bcosxcsinx?dcosx?csinasinx?bcosxx?dcosx?A(csinx?dcosx)?B(csinx?dcosx)?csinx?dcosx即假设原积分的分子

asinx?bcosx?A(csinx?dcosx)?B(csinx?dcosx)?

?(Ac?Bd)sinx?(Ad?Bc)cosx

比较sinx与cosx的系数有：Ac?Bd?a，Ad?Bc?b，即可求出A与B。 （2）?dxx2x?tant2????1?x?tandtsect22tsectdt??tansect2tdt??dtsin22t

cost?cost ??sint?2sintcost??csctcottdt??csct?Cdt??1?xx2?C

（3）?

dxxx(x?2)x?2sect?????2sec4sect?secttant2t?2secttant17

dt??sect?sint?C

由x?2sec2t，sect?x2，cost?2x，sint?1?2x?x?2x，

所以原积分?x?2x?C。

例6 求下列不定积分

（1）?x31?x2dx； （2）? 解：（1）[法一] 令x?tant，则

x1?1?x2dx。

?x31?xdx?152?tant?sectd?t?sect?533(se?ct21)setcd

2stec ?135sect?C

3 ?152(1?x)2?2133(1?x)2??C

2 [法二] 令1?x?t，两边微分有xdx1?x2?dt，即xdx?tdt，则

?x31?xdx?2?x21?x?xdx

15t?52 ??(t?1)t?tdt?1552133t?C

3 ?(1?x)2?213(1?x)2??C

2（2）[法一] 令x?tant，则

?1?x1?x2dx??1?sect?sectanttant2tdt

? ?t??1?setc[(sec21?)d1t ]tantd t1?setcsintdt ??tantsectdt??tantdt??1?cost?tant(set?cd1t?)? ?sect?ln|ctos?| ?sect?ln|?12l?n|1t sc?Costec?C |2 ?1?x?ln(1?1?x)?C

18

[法二] 令1?1?x2?t，两边微分后有xdx?(t?1)dt，所以

?1?x1?x2dx??t?1tdt?t?lnt|?|C

?1?x2?ln(1?1?x2)?C

例7 求下列不定积分 （1）?x2100(x?1)dx； （2）?x926(1?x)42dx；

（3）? 解： （1）?dxx(x?1)62； （4）?x(x?1)(x?1)26dx

x2100t?x?1(x?1)dx??????98(t?1)t1002dt??t?2t?1t1002dt

298199 ??(t?2t?99?t?100)dt??197t?97?t?98?t?99?C

??197(x?1)x?sint97?298(x?1)98?199(x?1)99?C

（2）I??(1?xx92)dx????6?9sin9tcost12costdt??tan109t?sectdt

x1?x22tant? ??tan?tdtant?110tant?C???????x102510(1?x)?C

（3）?dxx(x?1)62x?1t1t?22dt???????t261t6t?1t42t?1dt

? ? ? （4）令t?x?1x?15(t?t)?(t?t)?(t?1)?1t?1t?1?564222dt??(t?t?1?421t?12)dt

13t?t?arctatn?C 1?11?arctan?C xx35x53x3，则dt?(1?1x2)dx，于是

19

?x(x?1)(x?1)2642x(1?dx?612?x26(x?1))dx?(1?1x2)dx?)6?x2(x?551x?dtt

??（三）分部积分公式

例8 计算下列不定积分

15t5?C??5(x?1)?C

（1）?(x2?x?1)exdx； （2）?xnlnxdx（n??1） （3）?x2cos2xdx； （4）?xtan （5）? 解：

（1）?(x?x?1)edx????2x2xdx；

xexx2(1?e)dx。

凑微分?(x?x?1)de

2x2x分部积分公式?????????(x?x?1)e??e?(2x?1)dx

x ?(x2?x?1)ex??(2x?1)dex ?(x2?x?1)ex?(2x?1)ex?2?exdx ?(x2?x?2)ex?C

凑微分 （2）?xlnxdx????n1n?1?lnxdxn?1n?1

x1nxdx ?????????lnx??n?1n?1分部积分公式 ?221???lnx???C n?1?n?1?xn?1 （3）?xcosxdx? ????161616x?321?cos2x211?2214142dx dsin2x

1sin?4142x?2xdx cos2x

x?x?x?33?x2xsin2x?xsin2x?2?xd 20

?12[t?ln|t?1|?4ln|t?2|]?C

?12[x?ln2x?1(x?2)242]?C

例13 求下列不定积分 （1）?dxsinx?tanx； （2）?sinxsinx?2cosxdx。 x2?t，则

解：这些是三角有理函数的不定积分，可以使用万能代换公式，令tan2t1?t2sinx?，cosx?1?t1?t22，tanx?2t1?t2，dx?11?t2dt

（1）?dxsinx?tanx??1212t1?t2?2t1?t142?221?t2dt??1?t2t2dt

?ln|t|?t?C?12ln|tanx2|?14(tanx2)?C

22t（2）?sinxsinx?2cosxdx??221?t?dx 222t2(1?t)1?t?221?t1?t ??(1?t?t?22t2)(1?t)2dt

设所以

t(1?t?t)(1?t)22?At?Bt?12Ct?Dt?t?1，解得A?25，B?15，C??25，D?15，

2

?sinx?sinx5dt dx?2?525dt?2?252coxst?1t?t?1252t?1?2t?1 ?dt ?t?1222 ?ln(t?1)?arctant?ln|t?t?1|?C

555?t2t?12?1dt?252?t2t?12其中t?tanx2。

评注：对三角有理函数作不定积分时，使用万能代换将其化为有理函数的积分，方法上式可行的，但是一般来说该方法计算量很大，所以要尽可能避免使用而选择更合适的方法。

例14 求下列不定积分

26

（1）?（3）?sinxdxsinx?cosx1sinxcosx433； （2）?dx9cosx?4sinx22；

dx。

分析：该例中两个积分的被积函数都是三角有理函数，而且这些三角函数都具有较高幂次，如果使用万能代换，直接计算量将会非常大，所以我们寻求更简便的方法。

解：（1）?sinxdxsinx?cosx233??sin12tanx2xtanx?cosx22dx

dt1?t2令tanx?t，则cosx?1?t，sinx?t221?t，dx?（如果使用万能代换，

显然原积分被积函数中sin3x与cos3x的表达式就会复杂得多）

tt22原式??1?t?11?t22?t221?tdt??t13t3?1dt

?1316??(t?1)?(t?t?1)(t?1)(t?t?1)d(t?t?1)1?2?t?t?12222dt??11dt?2??1d tt?t?13tt?1 ?dt(t?12)?234?31lnt|?1 |?1616ln(t?t?1)?213arctan2t?13?13ln|t?1|?C

?ln(tanx?tanx?1)?213arctan2tanx?13?132ln|tanx?1|?C

（2）?dx9cosx?4sinx22??cosdx2x(9?4tanx)2??9?4tand(2taxnsecxdx2x

??9?162dtanx4tanx2322?1?22?3) 2(2xtan) ?1sinxcosx4arctan(tanx)?C

（3）?dx??sinx?cosxsinxcosxsinx44dx

1??cosxdx??sinxcos27

2xdx

?????1313dcosxcosx34??sinx?cosxsinxcosx2222dx

secx?3?cossinxxdx??sinxdx

1secx?secx?ln|csx?cotx|?C

例15 求下列不定积分 （1）?（3）?x?1?1x?1?1dx； （2）?1?x1?xdx；

13(x?1)(x?1)24dx； （4）?2x?1?x?4x2dx。

解：这是简单无理函数的积分。 （1）设

x?1?t，则x?t2，dx?2tdt， x?1?1x?1?1t?1t?t?2tt?12?dx??t?1?2tdt?2?dt

1?(1dt) t?1 ?2?[t?2(t?1?1)2dt]?t?t?1?4 ?t2?4t?4lnt|?1? |C ?(x?1)?4x?1?4lnx(? ?x?41?x1?x1? )1C?1 x?1?4ln(x?1?1)?Ct?1t?122（2）[法一] 令?t，则x?，dx?24tdt(t?1)dt

22，于是

?1?x1?xdx?2?2t222(1?t)dt?4?t?1?1(1?t)22?4arctant?4?1(1?t)22dt

由递推公式

In??(tt2dt2?a)2n???t?(2n?3)In?1? ?222n?12a(n?1)?(t?a)?1知?1(1?t)2dt?2121?t(??1?t1dt)?2121?t(t2?arctant)，所以

28

1?x

?1?x1?xtdx?2(arctta?n?C)?2(arctan?21?x1?t1?x1?x1?x1?1?x?C)

?2(arctan1?x1?x?121?x)?C

2 [法二] 令x?cos2t，则dx??2sintdt，1?x1?x?costsint，于是

?1?x1?xdx??sint(?2sin2t)dt??2?2coscost2tdt

??2?(1?cots2dt)??t(2? ??(arccxos?（3）由于3 Cstin?2?1x2?C)

x?1x?11(x?1)(x?1)24?1(x?1)(x?1)3，可设3x?1x?1?t，则x?t?1t?133，

dx??6t322(t?1)dt，所以原积分

?13(x?1)(x?1)24dx??312t?1t?1?2t33?t??6t322(t?1)dt

??333x?13dt??t?C???222x?12?C

（4）?2x?1?x?4x2dx???d(?x?4x)?x?4x2?122?3?dx?x?4x22 ???(?x?4x) ??2?x2d(?x?4x)?3?x?2?3arcsin2?C

d(x?2)2?(x?2)22

?4x评注：求简单无理函数的不定积分的一般方法是，选择适当的变换，说要想办法去掉被积函数中的根号，将原积分化为有理函数的积分。但是也不能太机械，不是每个时候非要去根号不可，例如该例中的第（4）题，通过简单的拆分与二次式的配方，就把原积分转化成了基本积分公式。

29

（四）应用及综合问题

例16 已知f(x)的一个原函数为xcosx，求?xf?(x)dx。 解：?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx?xf(x)?xcosx?C

又f(x)?(xcosx)??cosx?xsinx，所以

?xf?(x)dx2?x(cosx?xsinx)?xcosx?C??xsinx?C

例17 设f?(sin2x)?cos2x?tan2x，求f(x)222(0?x?1)

sin2解 由于f?(sinx)?cos2x?tanx?1?2sinx?故 于是

f?(x)?1?2x?f(x)?x21?sinx

x1x??2x?11?x

1??2?2x?dx??x?ln(1?x)?C????1?x?前面我们讨论了不定积分的主要积分方法，下面我们再回头讨论中值定理一章中遇到过的一个问题——如何证明一个等式在??(a,b)处成立。如果该等式涉及到函数的导数，我们一般可以采用罗尔定理去证明。根据罗尔定理的结论，这时需将等式改写成??(?)?0的形式。也就是说改写后，如果等式右边为零，则我们需要将等式左边看作一个函数?(x)在?处的导数。?(x)就是解决这类问题的一个辅助函数。如何构造?(x)呢？既然等式左边是

?(x)在?处的导数，将?换成变量x后，就得到?(x)的导函数??(x)的表达式。所以从理论上讲，求辅助函数?(x)的问题，就是求??(x)的不定积分的问题①。不过，因为这类问题证明的等式中都包含一些不具体的抽象函数，不定积分的直接计算具有难度，所以我们更多的时候是根据求导数的经念、根据一些导数公式，通过对等式左边函数的深入分析而获得

?(x)。虽然如此，下面我们还是举两个例子说明，很多时候用不定积分的方法也能找到辅助函数?(x)。

例18 设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且对任意的x?(a,b)有 是需要指出的是，我们要证明的等式已经化为右边为零的形式，所以左边可以再乘以一个函数。很多

时候需要将左边乘上一个合适的函数以后，才能够找到函数?(x)使其导数恰为左边函数（视?为x）。

①

30

g?(x)?0，证明：

（1）对于[a,b]上任意两个不同的点x1及x2，有g(x1)?g(x2)。 （2）至少存在一点??(a,b)，使得

f(?)?f(a)g(b)?g(?)?f?(?)g?(?)。

分析：问题（2）属于一个等式在中值点?处成立的证明问题，可由罗尔定理证明。将要证明的结论改写为

[f(?)?f(a)]g?(?)?[g(b)?g(?)]f?(?)?0

根据罗尔定理，上式左边即可看作一个函数（辅助函数）?(x)在?处的导数，从而

??(x)?[f(x)?f(a)]g?(x)?[g(b)?g(x)]f?(x)

下面，我们就用不定积分的方法去计算?(x)。

?(x)???[f(x)?f(a)]g?(x)?[g(b)?g(x)]f?(x)?dx

??[f(x)?f(a)]g?(x)dx??[g(b)?g(x)]f?(x)dx ??[f(x)?f(a)]dg(x)?分部积分公式?g(b)f?(x)dx??g(x)f?(x)dx

?????????[f(x)?f(a)]g(x)? ??f?(x)g(x)dx??g(b)f?(x)dx

?g(x)f?(x)dx?g(b)f?(x)dx

?[f(x)?f(a)]g(x)??[f(x)?f(a)]g(x)?g(b)f(x)?C

只需要找出这样的一个函数即可，故可取C?0。

证明：（1）由题设知，函数g(x)在以x1和x2为端点的闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故有

x)??g?()2(x? g(x2)?g(11x?)在x1与x2之间 ，

又因为g?(?)?0，x2?x1?0，所以g(x2)?g(x1)?0。

（2）设?(x)?[f(x)?f(a)]g(x)?g(b)f(x)。由题设知，?(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，而且?(a)??(b)??f(a)g(b)，由罗尔定理，至少存在一点??(a,b)，

31

使得??(?)?0，即 f?(?)g(??)亦即

f(?)?f(a)g(b)?g(?)?f?(?)g?(?)[f?(?)fa(?)g]??()gb?(f?)? (

例19 设函数f(x)在[0,1]上有连续导数，在(0,1)内二阶可导，且f(0)?f(1)?0，证明：至少存在一点??(0,1)，使得2f?(?)??f??(?)?0

分析：还是用罗尔定理证明，但此例结论中含有二阶导数，罗尔中值定理要用两次。怎样作辅助函数呢？将等式中的?换成变量x后，得

2f?(x)?xf??(x)?0

由罗尔定理，左边应看作某个函数的导数，故用不定积分的方法，将上式积分

2f(x)??xf??(x)dx??A

2f(x)?xf?(x)?f?(x)dx?A

f(x)?xf?(x)?A?0

如果这又是罗尔定理的结论，左边又要看作导函数，再积分之

?f(x)d?x?xd(f)?x?Ax B即有 xf(x)?A?x B?0 所以取?(x)?xf(x)?Ax?B，有时还要根据罗尔定理要求的端点值相等而确定参数

A与B，本题取A?B?0就可以了。

证明：设?(x)?xf(x)。由题设知，?(0)??(1)?0，?(x)在[0,1]上有连续导数，在(0,1)内可导，由罗尔定理，存在??(a,b)使得??(?)?0。又??(x)?f(x)?xf?(x)，

??(0)?0。这样??(x)在区间[0,?]上满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点??(0,1)，使得???(?)?0，即有2f?(?)??f??(?)?0。

32

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