从不定积分的一题多解浅析高等数学的发散思维

发散思维是多方向性和开放性的立体思维方式,是创造性的核心.一题多解是培养发散思维最有效的途径之一.本文以计算不定积分的“一题多解”为例,给出发散思维在高等数学中的应用实例.

【学法指导】

从不定积分的一题多解浅析高等数学的发散思维龚友运

(南师范大学华

增城学院公共课教学部，东广

广州

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摘要：发散思维是多方向性和开放性的立体思维方式，是创造性的核心.一题多解是培养发散思维最有效的途径之一.文以计算不定积分的“本一题多解”为例，出发散思维在高等数学中的应用实例.给关键词：散思维；敛思维；发收一题多解；定积分不

高等数学的学习是离不开逻辑思维 (又称抽象思=

维 )美国心理学家吉尔 特根据人的思维方式的不的.福

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同，把思维分为求同思维和求异思维.所谓求同思维 (又称为集中思维、聚敛思维、收敛思维、聚合思维、合思辐维 )就是多种信息输入、,一种信息输出的思维；体来具说，是利用公理、义、就定定理，思维规范化，握知使掌识一般规律 .所谓求异思维(又称扩散思维、辐射思维、 发散思维、放射思维 )就是一种信息输入、,多种信息输的思维；就是利用定理、式、也公已知条件等产生多种想法，广开思路，提出新的假设、的构思，新发现和解决新问题 .

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前苏联著名教育学家、心理学家赞可夫 ( B 月 B n o )说过：凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东 a K6“西，是很容易从记忆中挥发掉的.”发散性思维的形成是以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力的.为此，教师可选择具体例题，创设问题情境，使学生乐于进行求异思维 .以下以不定积分的“一题多解”例，为给出发散思维在不定积分中的应用实例.,

孚其次，虑利用第二类换元积分法.考

由于被积函数含有式子、 T ,在第二换元积分/干法中，该式通常运用三角代换 (含双曲代换 )于是有，

例 1计算不定积分

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思路5令 t xs2i J ect .c:::n则d: c, a, et s d s』 e J_

分析：观察和积累是发散思维的基石.计算不定积分，必须以扎实而丰富的基础知识为依据【:用的如常 2个不定积分基本公式、 3求不定积分的常用方法 (一第类换元积分法、二类换元积分法、第分部积分法 )代数、

C JC 1c)上t上￣c O s d。=o上Ct=’ S cS (一s3O+一 o- s c+ S O 2 . t=

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式及三角函数式的恒等变形等】,使思维向多方向扩展，尽可能多地提出多种设想、寻求多种解答思路.

首先，考虑利用第一类换元积分法，于是有

思』l:』每 ()』 xG J+c考虑利用分部积分法.路仁—+一 1= /l:￣x 2、一/2 1/ + 1 2、 lx/+=

d Jhd Jh1(= c-t= t ()= (2 ) h}hc+譬= s3 c_d tt t 3hC t由于人们已经熟悉了运用第一换元积分法与第二

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=( 使用 .如本例将分部积分法与第一换元积分法结合使} )概手用，有又

换元积分法来计算不定积分，因此，在利用分部积分法来计算不定积分时，可以考虑与前两种积分方法结合

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由于被积函数是代数式，故可以考虑将它进行代

数式的恒等变形，根据第一换元积分法，又有

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