浙江2+2考试-高等数学不定积分重点难点复习例题讲解

不定积分

一、基本要求

1. 理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。 2. 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。 3. 了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。

二、主要内容

原函数概念

基本积分公式 第一类换元法

Ⅰ. 原函数与不定积分概念

1.原函数

不定积分概念 不定积分性质 基本积分法 无理函数的积分可化为有理函数的积分 第二类换元法 分部积分法 '设在区间Ⅰ上F(x)可导，且F(x)?f(x)（或dF(x)?f(x)dx）就称F(x)为f(x)在

Ⅰ的一个原函数。

2.不定积分

在区间Ⅰ上函数f(x)的所有原函数的集合，成为f(x)在区间Ⅰ上的不定积分，

记作

?f(x)dx.

?f(x)dx?F(x)?C

其中F(x)为f(x)在Ⅰ上的一个原函数，C为任意常数. Ⅱ.不定积分的性质 1.d?f(x)dx?f(x)dx (或(?f(x)dx)'?f(x))

2.df(x)?f(x)?C (或 3.kf(x)dx?k

??f'(x)dx?f(x)?C)

?f(x)dx 其中k为非零常数.

1

4.?[f(x)??g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx.

Ⅲ.基本积分公式

1.?kdx?kx?C (k为常数) 2.?xudx?1u?1xu?1?C 3.

?1xdx?lnx?C 4.?dx1?x2?arctanx?C 5.

?dx1?x2?arcsinx?C

6.?cosxdx?sinx?C 7.?sinxdx??cosx?C

8.?sec2xdx?tanx?C

9.?csc2xdx??cotx?C

10.?secxtanxdx?secx?C 11.?cscxcotxdx??cscx?C

12.?exdx?ex?C

13.?axdx?1lnaax?C 14.?shxdx?chx?C 15.?chxdx?shx?C 16.?tanxdx??lncosx?C 17.?cotxdx?lnsinx?C 18.?secxdx?lnsecx?tanx?C 19.?cscxdx?lncscx?cotx?C 20.

?dxa2?x2?1aarctanxa?C

2

21.

dx1x?a?ln?x2?a22ax?a?C

22.

???x?arcsin?C

aa2?x2dxx2?a2dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C

dx 23.

24.

?ln(x?x2?a2)?C

Ⅳ.换元积分法

1. 第一类换元法.(凑微分法)

?f[?(x)]?(x)dx??f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C(u??(x))

(其中?(x)可导，F(u)为2. 第二类换元法

'?f(x)的一个原函数).

?f(x)dx??f[?(t)]?'(t)dt?F(t)?C?F[??1(x)]?C(x??(t))

'(其中x??(t)单调可导，且?(t)?0，F(t)为f[?(t)]?(t)的一个原函数) Ⅴ.分部积分法

u(x)dv(x)?u(x)v(x)?v(x)du(x) (其中u(x)v(x)具有连续导数)

Ⅵ.有理函数与三角函数有理式的积分

两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.

(1)

??11dx (2) ?x?a?(x?a)ndx

(3)

bx?cbx?c (4) dx?x2?px?q?(x2?px?q)ndx

x将原不定积分化为u为积分变量的2而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.

三角函数有理式的积分，总可用万能代换u?tan有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.

三、重点与难点

3

原函数与基本积分公式

换元法、分部积分法等基本积分方法 抽象函数的积分

四、例题解析

Ⅰ、选择题 例1若

?f(x)的导数是cosx，则f(x)有一个原函数为 ( )

(A)1?cosx (B)1?cosx (C)1?sinx (D) 1?sinx

解 应选(B).因为(1?cosx)'?sinx，而(sinx)'?cosx 例2设

?f(x)有原函数xlnx，则?xlnxdx? （ ）

(A)x2(112?4lnx?C) (B) x2(14?12lnx?C) (C)x2(14?12lnx?C) (D) x2(12?14lnx?C) 22解 ?xf(x)dx??f(x)dxxx2'2?2f(x)??2f(x)dx

而f(x)?(xlnx)'?lnx?1，f'(x)?1x，故 x2xx2x2x2x2?xf(x)dx?2(lnx?1)??2dx?2(lnx?1)?4?C?4?2lnx?C

所以应选(B).

Ⅱ、填空题

例3设f(x)为定义区间上单调连续可微函数，f?1(x)为相应的反函数，?f(x)dx?F(x)?C，则?f?1(x)dx为 解

?f?1(x)dx?xf?1(x)??xdf?1(x)

?xf?1(x)??f[f?1(x)]df?1(x)

?xf?1(x)?F[f?1(x)]?C

Ⅲ、讨论题

例4 解下列各题，并比较其解法：

(1)?xx222dx (2)?x3x4?x?2?x2dx (3) 2?x2dx (4) ?2?x2dx

若

4

解 (1)

x11122dx?d(2?x)?ln(2?x)?C. 2?2?x2?22?x2x2dx?(2) ?22?x(2?x2)?22dx?(1?)dx ?2?x2?22?xx2?C.

?x?2arctanx31x212?x2?222dx??dx??()dx (3) ?22222?x22?x2?x ?(1??2122)dx?(x?2ln(2?x2))?C 222?xx4x4?4?442dx?dx?(x?2?)dx (4) ??2?x2?2?x22?x2x3x ??2x?22arctan?C

32

比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。

例5 讨论利用第一类换元法求积的几种类型 (设

(1)

?f(u)du?F(u)?C)

?f(ax?b)dx?1f(ax?b)d(ax?b) a?1f(u)du (u?ax?b) a?1 ?F(u)?C

a1 ?F(ax?b)?C

a1nn?1f(axn?b)d(axn?b) (2) ?f(ax?b)xdx??an1nf(u)duu?ax?b) ? (?an1F(u)?C ?an1F(axn?b)?C ?an ?

5

x3如求 ?dx 42(cosx)解 原式

11144?tan(x)?C dx42?44(cosx)1f(lnx)dx??f(lnx)dlnx ??f(u)du?F(u)?C?f(lnx)?C ?x (u?lnx)

(3)如求

?32?lnxdx x解 原式? (4)

?332?lnxd(2?lnx)?(2?lnx)3?C

44?f(sinx)cosxdx??f(sinx)dsinx ?f(coxx)sinxdx??f(cosx)dcosx

1dx??f(tanx)dtanx cox2x ?F(sinx)?C

??F(cosx)?C

?f(tanx) ?F(tanx)?C

cosx?3?cos2xdx

1dsinx 解 原式??3?1?sin2x1dsinx ??4?sin2x111?)dsinx ??(42?sinx2?sinx如求

?12?sinxln?C 42?sinx其它一些类型，例如

?f(arctanx)11f(ex)exdx 等，dx，f(arcsinx)dx ，2??1?x1?x2请同学们自己加以总结.

6

V. 计算题

6 求?x2例arctanx1?x2dx 分析 此题先把被积函数写成

x2arctanx1?x2?1?x2?11?x2arctanx?arctanx?11?x2arctanx 拆成两项再进行积分较方便.

解 ?x2arctanx1?x2dx??(1?11?x2)arctanxdx ??arctanxdx??arctanx1?x2dx

?xarctanx??x11?x2dx??arctanxdarctanx ?xarctanx?12ln(1?x2)?12(arctanx)2?C

求 ?xex例7(ex?1)2dx 解 ?xexxx1(ex?1)2dx??(ex?1)2de???xdex?1 ?x1xex?1?ex?ex?1??ex?1dx??ex?1??ex?1dx ??xexxex?1??(1?ex?1)dx??ex?1?x?lnex?1?C例8 求

?1?x2x2dx 解 令x?sint，则dx?costdt

?1?x2x2dx??costcostdt??cot2sin2ttdt ??(csc2t?1)dt??cott?t?C

??1?x2x?arcsinx?C

7

例9 求

?1xdx

e2?exx解 令e2?t，即x?2lnt，dx?2tdt ?1xdx??122e2?ext?t2tdt??t2(1?t)dt ?2?(1?t2)?t21?t1t2(1?t)dt?2?(t2?1?t)dt

?2(?1t?lnt?ln1?t)?C x ?2ln(1?e2)?2e?x2?x?C

例10 求

?xarctanx3dx

(1?x2)2解 令x?tant，dx?sec2tdt

?xarctanx23dx??tant?tsec3tsectdt (1?x2)2 ??tsintdt???tdcost??[tcost??costdt] ?sint?tcost?C ?x1x1?x2?1?x2arctan?C

例11求 ?(1?x1?x2)2exdx 解 ?(1?x1?x2)2exdx??1?2x?x2x(1?x2)2edx ??ex2xex1?x2dx??(1?x2)2dx

??ex1?x2dx??exd11?x2 ??ex1?x2?ex1?x2??exexdx1?x2dx?1?x2?C

8

注：最后一步等号成立是因为可设ex

1?x2

的一个原函数为F(x)，于是

?ex1?x2dx?ex1?x2??ex1?x2dx ex?F(x)?Cex1?1?x2?(F(x)?C2)?1?x2?C

例12 求

?1sinmxdx的递推公式

解 记 ?1m??sinmxdx ，则?1?lncscx?cotx?C. 当m?2时，

??dxsinmx??11sinm?2xsin2xdx???1m?sinm?2xdcotx ??cotxsinm?2x?(m?2)?cotxcosxsinm?1xdx ??cosxcos2xsinm?1x?(m?2)?sinmxdx

??cosx1?sin2xsinm?1x?(m?2)?sinmxdx ??cosxsinm?1x?(m?2)?1sinmxdx?(m?2)?1sinm?2xdx??cosxsinm?1x?(m?2)?m?(m?2)?m?2 即 ?xm??cos(1?m)sinm?1x?m?2m?1?m?2 例13 求

?1x(x?2)2(x2?x?1)dx

解

1x(x?2)2(x2?x?1)?Ax?B1(x?2)2?B2Cx?Dx?2?x2?x?1 去分母后，再比较两边同次幂的系数得

A?14，B117831?14，B2?196，C??49，D??49 于是

?1x(x?2)2(x2?x?1)dx

9

=

1117(8x?3)dx?dx?dx??4x?14(x?2)2?196(x?2)?49(x2?x?1)dx

88(2x?1)?(3?)8x?32dx 而?2dx??22x?x?1x?x?11d(x?)2d(x?x?1)2 ?4?2??13x?x?1(x?)2?24?4ln(x2?x?1)?22x?1arctan?C 33从而

1?x(x?2)2(x2?x?1)dx

?

11117422x?1lnx??lnx?2?ln(x2?x?1)?arctan?C 414x?2196494933x7例14 求?dx 25(1?x)分析 被积函数为有理函数，但若直接将被积函数转化为部分分式，计算较繁，因此可考虑采用

较灵活的基本积分方法. 此题利用换元法计算较简便. 解 令x?sint，dx?costdt

x7?(1?x2)5dx ? ?sin7t72?cos10tcostdt??tantsectdt

7?tantdtant?1tan8t?C 8x8 ??C. 248(1?x)例15 求

1?sinxcos3xdx

x”之外，往往可考虑用前面2分析 对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令u?tan的基本积分方法.

1sin2x?cos2xdx = ?dx 解 ?sinxcos3xsinxcos3x =

sinx1dx + ?cos3x?sinxcosxdx

10

= -?1cos3xdcosx + ?1tanxdtanx = 12cos2x + lntanx +C.

例16 求 ?sinx2?sin2xdx 解 ?sinx2?sin2xdx=12?(sinx?cosx)?(sinx?cosx)2?sin2xdx =

1??d(sinx?cosx)d(sinx?cosx)?2???3?(sinx?coxs)2??1?(sinx?cosx)2? ?=

1??d(sinx?cosx)d(sinx?cosx)?2???(3?sinx?cosx)(3?sinx?cosx)??1?(sinx?cosx)2??=1?12??lnsinx?cosx?3sinx?cosx?3?arctan(sinx?cosx)?? +C. ?23??例17 求 I1??sinx2cosx?3sinxdx , I2??cosx2cosx?3sinxdx .

解 3I1?2I2??dx?x+C1 ?2I1?3I??2sinx?3cosx2?2cosx?3sinxdx?ln2cosx?3sinx?C2

由此得

I11?13?3x?2ln2cosx?3sinx??C I12?13?2x?3ln2cosx?3sinx??C .

例18 求

?311?xdx

解 令31?x?t，x?(t3?1)2?，则?dx?6t2(t3?1)dt?.

??????????

?31?xdx????16t2(t3?1)dt????6t(t31t?1)dt?

????????????????????????????????????

65t5?3t2?C?52?????????????????????????????????????65(1?x)3?3(1?x)3?C?.

例19 计算下列各题

?f(x)f2(1) ???f?(x)?(x)f??(x)?[f?(x)]3?dx. ?

=

11

(2) 设f?(cosx?2)?sin2?tan2x，求f(x). (3) 设f(lnx)?ln(1?x)x，求?f(x)dx. (4) 已知f?(sinx)?cos2x?1且f(0)?0，求?cosxf(sinx)dx.

2解 (1) 原式 =?f(x)[f?(x)]?f2(x)f??(x)[f?(x)]3dx =?f(x)[f?(x)]2?f(x)f??(x)f?(x)?[f?(x)]2dx =?f(x)f?(x)d[f(x)1f(x)2f?(x)] =2[f?(x)]?C. (2) 设 cosx?2?t，则 sin2x?tan2x?1?cos2x?1?cos2xcos2x=

1cos2(x)?cos2x=1(t?2)2?(t?2)2 即 f?(t)?1(t?2)2?(t?2)2. f(x)??f'(x)dx??[1(x?2)2?(x?2)2]dx， 即 f(x)??1x?2?13(x?2)3?C.

ln(1?elnx(3) f(lnx)?)elnx, 即有 f(x)?ln(1?ex)ex. ?f(x)dx??ln(1?ex)exdx???ln(1?ex)de?x ??e?xln(1?ex)??dx1?ex ?x?(1?e?x)ln(1?ex)?C. (4) f?(sinx)?cos2x?1??sin2x， 即 f?(u)??u2，

12

f(u)??u?C.

由 f(0)?0?C?0，f(u)??u. cosxf(sinx)dx?例20 设 f(x)??133133??f(sinx)dsinx??113sinxdsinx??sin4x?C. ?312x?0?x ，求 ?f(x)dx.

?sinxx?0解 由于 limf(x)?f(0)?0，可知f(x)在(??,??)上连续.

x?0因此f(x)的原函数一定存在， 设F(x)为f(x)的一个原函数. 因为F(x)可导，则F(x)必连续.

?12?xF(x)??2???cosx??x?0?x?0x?0x?0

limF(x)?0，limF(x)??1??. ?F(x)在x?0处连续，即有 0??1?????1.

?12?x则f(x)的一个原函数为 F(x)??2???cosx?1?12?x?C故?f(x)dx?F(x)?C??2???cosx?1?Cx?0x?0x?0x?0.

.

注：求连续分段函数f(x)的原函数F(x)时，一定要保证F(x)的连续性，而这时F(x)的可导

性就可以得到满足.

e2x?y?x??(?x)，求满足条件f(1)?0的f(x). 例21 设y?f(x)在?x?0处满足?y?xe2x?y解 由微分定义可得 y??，

x 即 xy??y?e xy?2x，(xy)??e2x，

12x11e?C，y?(e2x?C). 2x213

由条件f(1)?0?C??12e2， 则 f(x)?1x(12x122e?2e).

例22 设F(x)为f(x)的原函数，且当x?0时，f(x)F(x)?cos2(2x). 已知F(0)?1，F(x)?0. 试求f(x).

解 由 F?(x)?f(x) 得 2F?(x)F(x)?2cos2(2x)， 即 [F2(x)]??2cos2(2x).

?F2(x)??2cos2(2x)dx??(1?cos4x)dx?x?14sin4x?C. 由 F(0)?1?C?1， 于是 F2(x)?x?14sin4x?1. 又 F(x)?0，从而 F(x)?x?14sin4x?1，

所以 f(x)?cos2(2x)cos2(2x)F(x)?.

x?14sinx?1 14

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