福建省2014高考数学（理）压轴卷及答案 2 - 图文

福建省福建师大附中2014届5月高考三轮模拟试卷

数学理科试题

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据x1，x2，s?，xn的标准差 ??xn?x?? ?2锥体体积公式： 1V?Sh，其中S为底面面积，h为高 31?22x1?x???x2?x???n?其中x为样本平均数 柱体体积公式 V?Sh 其中S为底面面积，h为高 球的表面积、体积公式 S?4?R2，V?43?R 3其中R为球的半径

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．复数z?1?i（是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（ ） i

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限

2．设a?R，则“a?4”是“直线l1:ax?2y?3?0与直线l2:2x?y?a?0平行”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合M?xlog2(x?1)?2，N?xa?x?6 ,且M（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

????N??2,b?,则a?b??x?2y?0,?4．设z=x+y，其中x，y满足?x?y?0,当Z的最大值为6时，k的值为（ ）

?0?x?k,? A.3 B.4 C.5 D.6

5．阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m?72,n?30，则输出n的值为（ ） A. 12

B. 6 C. 3 D. 0

开始 输入正整数m, n 6．?ABC的三个内角A,B,C对应的边分别a,b,c，且acosC,bcosB,ccosA成等差数列，则角B等于（ ） A .300

B. 600

D. 1200

n = r 求m除以n的余数r m = n C. 900 7．设a??r = 0? ?2cosx?sinxdx，则二项式???x??0?3a??x?6是否输出n 结束 展开式中的x项的系数为（ ）

A .?20 B. 20 第5题图 C.?160 D. 160

D18.如下图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1内（含正方体表面）任取一点M，则AA1?AM?1的概率p?（ ） A1A.

MDABC1B1C3111 B. C. D. 42489．已知平面上的线段及点P，在上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段的距离，记作d(P,l)．设是长为2的线段，点集D?{P|d(P,l)?1}所表示图形的面积为（ ）

A.

第8题图

? B. 2? C. 2?? D. 4??

10．如下图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。

（1） 每次只能移动一个金属片； 2 3 1 （2） 在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能

放在较小的金属片上面。

若将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)=（ ）

A. 33 B. 31 C.17 D. 15

第10题图

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形的面积和的

1，且样本容量为160，则中间一组的频数为 4x2y2??1的焦距为8，则m?

12.在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线mm2?413.如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn,Dn在函数

f?x??x?1(x?0)的图象上.若点Bn的坐标为?n,0?(n?2,且 n?N*)，记矩形 xAnBnCnDn的周长为an，则a2?a3???a10? 14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

1 y 2 1 1

DnCn正视图 2 侧视图

第14题图

2 第13题图

俯视图

15.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．

设：由曲线x?4y和直线x?4，y?0所围成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为?1；由同时满足x?0，x?y?16，x?(y?2)?4，x?(y?2)?4的点(x,y)构成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为?2.根据祖暅原理等知识，通过考察?2可以得到?1的体积为 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)?asinx?bcosx，称向量OM?(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．

2222222OAnBnx（Ⅰ）设函数g(x)?sin(?????x)?2cos??x?，试求g(x)的伴随向量OM的模； 2?2?（Ⅱ）记ON?(1,3)的伴随函数为h(x)，求使得关于x的方程h(x)?t?0在[0,恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．www.12999.com

17．（本小题满分13分）

?2]内

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．

18．（本小题满分13分）

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面， DC∥EB，DC?EB，AB?4，tan?EAB?⑴证明：平面ADE?平面ACD； ⑵当三棱锥C?ADE体积最大时，求二面 角D?AE?B的余弦值．

19．（本小题满分13分）

AD1． 4CO?OEBx2y2??1． 已知圆O:x?y?34，椭圆C:25922（Ⅰ）若点P在圆O上，线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标； （Ⅱ）现有如下真命题：

x2y2“过圆x?y?5?3上任意一点Q(m,n)作椭圆2?2?1的两条切线，则这两条

532222切线互相垂直”；

x2y2“过圆x?y?4?7上任意一点Q(m,n)作椭圆2?2?1的两条切线，则这两条

472222切线互相垂直”．

据此,写出一般结论，并加以证明．

20．（本小题满分14分）已知函数f(x)??x?x?bx，g(x)?alnx?x（a?0） （1）若函数f(x)存在极值点，求实数b的取值范围； （2）求函数g(x)的单调区间；

32?f(x),x?1（3）当b?0且a?0时，令F(x)??，P(x1,F(x1))，Q(x2,F(x2))为曲

g(x)?x,x?1?线y=F(x)上的两动点，O为坐标原点，能否使得?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由。

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换

?2?a2?有一个属于特征值1的特征向量

. ???????1b?1???? (Ⅰ) 求矩阵A；

1?1? (Ⅱ) 若矩阵B=??01?，求直线x?y?1?0先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下??的像的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程．

已知矩阵A=???x??3t?2,?5已知曲线C的极坐标方程是??2sin?，直线的参数方程是?（为参数）．

4?y?t5?（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值. (3)（本小题满分7分）选修4?5：不等式选讲

（I）试证明柯西不等式：a?b?22??x2?y2??ax?by?1?2?m,n,a,b?R?

222（II）已知x?y?2，且x?y，求

?x?y?2?1?x?y?的最小值．

福建省福建师大附中2014届5月高考三轮模拟试卷

数学理科试题参考答案

1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14．

16．解：（Ⅰ）∵g(x)?sin(10 15. 32? 3?????x)?2cos??x??2sinx?cosx， ??? 2分 2?2?∴OM?(2,1)． ?????????? 4分 故OM?

（Ⅱ）由已知可得h(x)?sinx?3cosx?2sin(x?∵0?x?22?12?5. ????????? 5分

?3)，??????7分

?2336故h(x)??1,2?. ????????? 9分

∵当x??0,， ∴

??x?????，www.12999.com

???时，函数h(x)单调递增，且h(x)??3,2?； ????6?????当x??,?时，函数h(x)单调递减，且h(x)??1,2?.

?62?∴使得关于x的方程h(x)?t?0在[0,值范围为t??3,2． ? 13分

?2]内恒有两个不相等实数解的实数的取

?? 17．（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，

2A31则 P(A)?3?，

A441． ??????4分 4（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20． ??????5分

1A21P(X?0)?， P(X?5)?2， ?4A264故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为

2C11A21122?A2P(X?10)?2?3?， P(X?15)??， 3A4A46A46A31P(X?20)?3?． ??????10分

A444所以，随机变量X的分布列为:

X 0 5 10 15 20 P 1 41 61 61 61 4 ???11分

11111EX?0??5??10??15??20??10． ??????13分

4666418．（Ⅰ）证明：因为AB是直径，所以BC?AC ??????1分， 因为CD?平面ABC，所以CD?BC ??????2分， 因为CD?AC?C，所以BC?平面ACD ??????3分

因为CD//BE， CD?BE，所以BCDE是平行四边形，BC//DE，所以DE?平面ACD ??????4分， 因为DE?平面ADE，所以平面ADE?平面ACD ??????5分

1（Ⅱ）依题意，EB?AB?tan?EAB?4??1 ??????6分，

4111由（Ⅰ）知VC?ADE?VE?ACD??S?ACD?DE???AC?CD?DE

3321114??AC?BC??(AC2?BC2)??AB2?，当且仅当AC?BC?22612123时等号成立 ??????8分

如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,1)，E(0,22,1)，A(22,0,0)B(0,22,0)，

则

AB?(?22,22,0)，BE?(0,0,1)，DE?(0,22,0)，

DA?(22,0,?1,) ????????9分

??n1?DE?0设面DAE的法向量为n1?(x,y,z)，?，

??n1?DA?0即

z D??22y?0???22x?z?0?n1?(1,0,22)， ACo ?OEB ????????10分 设面ABE的法向量为n2?(x,y,z)，

??n2?BE?0???n2?AB?0??z?0?y?0???22x?22?cosn1,n2?n1n2n1n2?x ，

即

y

?n2?(1,1,0)，

12 ?????12分 ?629可以判断n1,n2与二面角D?AE?B的平面角互补?二面角D?AE?B的余弦值为

?2。 ????????13分 619. 解法一：

（Ⅰ）设点P(x0,y0)，则x02?y02?34， （1） ????????1分 设线段OP的垂直平分线与OP相交于点M，则

x0y0,)，??2分 22x2y2椭圆C:??1的右焦点F(4,0)， ??????3分

259y0y02?0QMF?OP,?kOP?kMF??1，? ???1，

xx00?42?y02?x02?8x0?0， （2）??????????4分

1717由（1），（2），解得x0? ，?点P的横坐标为． ?????5分

44M(（Ⅱ）一般结论为：

x2y2“过圆x?y?a?b上任意一点Q(m,n)作椭圆2?2?1的两条切线，则这两条切线

ab2222互相垂直．” ???????????6分

证明如下：

x2y2（ⅰ）当过点Q与椭圆2?2?1相切的一条切线的斜率

ab不存在时，此时切线方程为x??a，

Q点Q在圆x2?y2?a2?b2上 ，?Q(?a,?b)， x2y2?直线y??b恰好为过点Q与椭圆2?2?1相切的另一

ab条切线

?两切线互相垂直．????????????7分

x2y2（ⅱ）当过点Q(m,n)与椭圆2?2?1相切的切线的斜率存在时，

ab可设切线方程为y?n?k(x?m)，

?x2y2?1,2??由?a2b2得 b2x2?a2?k(x?m)?n??a2b2?0， ?y?n?k(x?m),?整理得(b2?a2k2)x2?2a2k?n?km?x?a2(n?km)2?a2b2?0，?????8分 Q直线与椭圆相切，

???4a4k2(n?km)2?4(b2?a2k2)[a2(n?km)2?a2b2]?0，

整理得m2?a2k2?2mnk?n2?b2?0，?????????9分

????n2?b2， ?????????10分 ?k1k2?22m?a2222 点Q(m,n)在圆x?y?a?b上，?m2?n2?a2?b2， ?m2?a2?b2?n2，?k1k2??1，?两切线互相垂直，

综上所述，命题成立．???????????????????13分

解法二：

（Ⅰ）设点P(x0,y0)，则x02?y02?34， （1）???????????1分

x2y2椭圆C:??1的右焦点F(4,0)，????????????2分

259Q点F在线段OP的垂直平分线上， ?PF?OF，

?(x0?4)2?(y0?0)2?42 ， ?x02?8x0?y02?0， （2）??4分

1717由（1），（2），解得x0?， ?点P的横坐标为．?????5分

44（Ⅱ）同解法一．

2220. 解：（Ⅰ）f?(x)??3x?2x?b，若f(x)存在极值点，则f?(x)??3x?2x?b?0有两个不相等实数根。所以?4?12b?0， ?????2分

1解得b?? ?????3分

3aa?x(Ⅱ) g?(x)??1? ?????4分

xx当a?0时，?a?0，函数g(x)的单调递增区间为?0,???；?????5分

当a?0时，?a?0，函数g(x)的单调递减区间为?0,?a?，单调递增区间为??a,???。 ?????7分

??x3?x,x?1,假设使得POQ是以O为直角顶点的直（Ⅲ） 当b?0且a?0时，F(x)???alnx,x?1角三角形，且斜边中点在y轴上。则OP?OQ?0且x1?x2?0。?????8分

不妨设x1?t?0。故P(t,F(t))，则Q(?t,t?t)。OP?OQ??t2?F(t)(t3?t2)?0，(*)该方程有解

??????????????????9分

当0?t?1时，则F(t)??t3?t2，代入方程(*)得?t?(?t?t)(t?t)?0即

2323232t4?t2?1?0，而此方程无实数解； ??????????10分 当t?1时，OP?(1,0),OQ?(?1,2)则OP?OQ?0； ????11分

当t?1时，则F(t)?alnt，代入方程(*)得?t?alnt(t?t)?0即

2321?(t?1)lnt， ?????????????12分 a1设h(x)?(x?1)lnx(x?1)，则h?(x)?lnx??1?0在?1,???上恒成立。?h(x)在?1,???x上单调递增，从而h(x)?h(1)?0，则值域为?0,???。 ?当a?0时，方程

1?(t?1)lnt有解，即方程(*)有解。????13分 a综上所述，对任意给定的正实数a，曲线上总存在P,Q两点，使得POQ是以O为直角顶点

的直角三角形，且斜边中点在y轴上。????????????14分 21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得???2a?2?2，?a2??2??2?，所以 ????2分 ??????1????????2?b??1，?1b???1???1??a?2，22? 解得? 故A=??13?. ????????????????????3分

???b?3， (Ⅱ) BA=??1?1??22??1?1???13?=??，因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线01?????13?（或点），所以可取直线x?y?1?0上的两点（0，1），（-1，2）， ????????????????4分

?1?1??0??1??1?1??0???1?（0，1），（-1，2）在矩阵A所对应的???????，???????，由得：

?13??1???3??13??1???1?线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） ???????????6分

从而直线x?y?1?0在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为

x?y?2?0.????7分

（2）解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为?2?2?sin?， 又x2?y2??2,x??cos?,y??sin?,

所以曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2y?0 ???????3分

（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y??4(x?2),????4分

3 令y?0,得x?2,即M点的坐标为(2,0). 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，

半径r?1，则MC?5,????????????????????6分 所以MN≤MC?r?5?1.即MN的最大值为5?1????????7分 （3）（Ⅰ）证明：左边=ax?ay?bx?by, 右边=ax?2abxy?by,

左边?右边?ay?bx?2abxy?(ay?bx)?0 , ??????2分 ?左边?右边 , 命题得证 . ?????????3分

22222222222222222u?vu?v, ,y?222222 x?y?2, ?(u?v)?(u?v)?8 , ?u2?v2?4 , ?????????4分

11 由柯西不等式得：(2?2)(u2?v2)?4, ?????????5分

uv当且仅当u?v?2，即x??2,y?0，或x?,0y??2时???6分

11 的最小值是1 . ????????7分 ?22(x?y)(x?y)（Ⅱ）令u?x?y,v?x?y，则x?解法2：

x2?y2?2,??x?y???x?y??4 ,

22??x?y???x?y?22??11???4, ??????4分 ?22?(x?y)(x?y)???11??1， ?????????5分

(x?y)2(x?y)2当且仅当x??2,y?0，或x?0,y??2时 ???????6分

11的最小值是1. ??????7分 ?(x?y)2(x?y)2

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