年高考冲刺压轴(理卷数学试题及答案一)

2015年高考冲刺压轴卷·广东卷（理卷一）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

参考公式：

①体积公式：，其中分别是体积，底面积和高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1、（2015·广东省汕头市二模·1）已知集合，i 为虚数单位，若，则纯虚数z 为（ ）

A ．i

B ．-i

C ．2i

D ．-2i

2．（2015·广东省佛山市二模·2）若复数z 满足，其中i 为虚数单位，则在

复平面上复数z 对应的点位于（ ）．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 1=,=3

V S h V S h ??柱体锥体V S h ，，{}

21,2z ,,{2,4}A zi B =={2}A B =2)1()1(i z i +=-

3．（2015·广东省肇庆市三模·3）在ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC =（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．（2015·广东省广州市二模·4）函数的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 5．（2015·广东省惠州市二模·

4）若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值等于 ( )

A ．7

B ．8

C ．10

D ．11

6. （2015·广东省揭阳市二模·5）设向量，若向量与向量共线，则的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．（2015·广东省茂名市二模·4） 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．4 65π32π3π

6π

()sin y A x ω?=+()0,0,0A ω?>><<

π3sin y x ππ??=+ ?44??3sin y x π3π??=+ ?4

4??3sin y x ππ??=+ ?24??3sin y x π3π??=+

?24??x y 280403x y x y +≤??≤≤??≤≤?

2z x y =+(1

2)(23)==，，，a b λ-a b (56)=--，c λ4341349-4234383

8．（2015·广东省深圳市二模·6）如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入，，，的值依次是，，，，则输出的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）

（一）必做题（9～13题）

9．（2015·广东省湛江市二模·9）曲线在点（0,0）处的切线方程是________________．

10．（2015·广东省汕头市二模·10）

11．（2015·广东省佛山市二模·11）将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 ．

12．（2015·广东省肇庆市三模·11）不等式的解集为 ．

13．（2015·广东省茂名市二模·13）已知抛物线

与双曲线3a 2a 1a 0a 13-31-

v 2-28-8x x y sin +

=0|5||12|>--+x x x y 42=)0,0(122

22>>=-b a b y a x

有相同的焦点，是坐标原点，点、是两曲线的交点，若，则双曲线的实轴长为 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的

得分．

14．（2015·广东省深圳市二模·14）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线：（为参数）与曲线：（为参数）相交于、两点，则_________．

15．（2015·广东省湛江市二模·15）（几何证明选讲选做题）如图，在梯形中，

，，，点．分别在．上，且，若

，则的长是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （2015·广东省汕头市二模·16）

F O A B 0)(=?+l 12x s y s =+??=-?s C 23x t y t

=+??=?t A B AB =CD AB D//C A B D 2A =C 5B =E F AB CD F//D E A 34

AE =EB F

E

17．（2015·广东省佛山市二模·17）（本小题满分12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．

已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．

（1）画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；

（2）从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？

（3）若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？

5

1

18．（2015·广东省肇庆市三模·18）（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，PD 底面ABCD ，PD =AD ，E 为PC 的中点，F 为PB 上一点，且EF PB ．

（1）证明：P A //平面EDB ；

（2）证明：AC DF ；

（3）求平面ABCD 和平面DEF 所成二面角的余弦值．

19．（2015·广东省广州市二模·19）（本小题满分14分）已知点在直线：

上，是直线与轴的交点，数列是公差为1的等差数列．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求证：．

20．（2015·广东省惠州市二模·20）（本小题满分14分）在直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．

(),n n n P a b ()n ∈*N l 31y x =+1P l y {}n a {}n a {}n b 2221213111

1116

n PP PP PP ++++

（1）求曲线的方程；

（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值．

21．（2015·广东省揭阳市二模·21）(本小题满分14分) 已知函数

（1）当时，解不等式；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）若在区间上，函数的图象总在直线是常数）的下方，求的取值范围． 1C 000(,)(3)P x y y ≠±2C P 2C 1C ,A B ,C D P 4x =-,A B ,,C

D ()1,()f x a R =∈1a =()1f x x <-0a >()f x (0,1]()f x (,y m m R m =∈a

2015年高考冲刺压轴卷·广东卷（理卷一）

参考答案与解析

1．D

【命题立意】本题考查的知识点是集合的包含关系判断，复数的定义及运算．

【解析】∵A={1，2z 2，zi}，B={2，4}，且A∩B={2}，

∴2z 2=2或zi=2，

解得：z=±1（不合题意，舍去）或z=-2i ，

则纯虚数z 为-2i ．

故选D

2．B

【命题立意】本题旨在考查复数除法的运算法则．

【解析】∵∴与第二象限的点（－1,1）对应．故选:B

3．B

【命题立意】此题考查了余弦定理．

【解析】∵在△ABC 中，AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，∴由余弦定理得：cos ∠BAC=，∵∠BAC 为△ABC 的内角，∴∠BAC=．故选B 4．A

【命题立意】函数的图象性质，容易题.

【解析】由图知，，周期，当时，逐个验证知函数满足条件. 5．C

【命题立意】本题考查线性规划求最值问题．

【解析】平面区域如图所示，所以，故选C ． ()()()()()()()22

11121111112i i i i i z i i i i i i ++++====+=-+--+222b +c -a 9+25-491==-2bc 302

2π3()sin y A x ω?=+3=A 8)15(2=-=T 3251=+=

x 0=y 3sin y x ππ??=+

?44??24210z =?+=

6．A

【命题立意】考查平面向量的坐标运算，共线向量，容易题.

【解析】由已知得，向量与向量共线，，解得. 7．B

【命题立意】考查三视图，空间几何体的体积，容易题．

【解析】由三视图知，原几何体是一个三棱锥，底面是一个等腰三角形，面积为，三棱锥的高为1，体积为． 8．D

【命题立意】本题考查了程序框图,进行模拟运算即可．

【解析】当i=3，，v=1,

当i=2时，，v=0

当i=1时，，v=3，

当i=0时，，v=8，

当i=-1时，输出8．故选D ．

9．

【命题立意】本题考查利用导数求切线的斜率及切线方程．

【解析】所求切线的斜率,所以由点斜式方程得所求切线方程为．

10．4030

【命题立意】本题旨等差数列的性质及等差数列前n 项和公式．

【解析】，

λ-a b =)32,21(λλ-- λ-a b (56)=--，

c ∴6

32521--=--λλ34=λ42421=??=S 3

41431=??=V 31a =23a =-13a =01a =-02=-y x 2|)cos 1(|00=+='===x x x y k 02=-y x ()24201220141201528a a a a a a +++=+=

， 故答案为．

11．20 【命题立意】本题旨在考查排列组合的实际意义．

【解析】5个球中2个编号与盒子编号一样共有种放法，余下的3个球与盒子的编号都不同，只有2种放法，由分步乘法可知投放方法共10×2＝20种．

故答案为：20

12．{x| x ＞或x<-6} 【命题立意】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查转化思想与运算能力．

【解析】∵|2x+1|-|5-x|＞0，

∴|2x+1|＞|5-x|≥0，

∴，

∴x ＞或x<-6, ∴不等式|2x+1|-|5-x|＞0的解集为{x| x ＞

或x<-6}． 故答案为：{x| x ＞

或x<-6} 13． 【命题立意】考查抛物线、双曲线的性质，平面向量的数量积，中等题．

【解析】抛物线与双曲线有相同的焦点点的坐标为（1，0），⊥轴．设点在第一象限，则点坐标为（1,2）设左焦点为,则=2,由勾股定理得,由双曲线的定义可知

． ()120154a a ∴+=()120152015201520154403022

a a S +?∴=

==40302510C =43

()()222x+1>5-x 43

4343

222- x y 42=)0,0(122

22>>=-b a b y a x F F ∴ 0)(=?+AF OB OA ∴

AF x A A 'F 'FF 'AF 22=2222'-=-=AF AF a

14

【命题立意】本题考查参数方程的化简和应用，将参数方程转化为普通方程即可．

【解析】直线的普通方程为,曲线C 的方程为， 由得或，即A(2，1),B(3，0), 则

15． 【命题立意】本题考查相似三角形对应边成比例问题．

【解析】过点A 作CD 的平行线交EF ．BC 分别为M ．N ，由题意可知与相似，所以． 16．（1）3；（2）；（3）． 【命题立意】本题考查了正弦型函数的图像及性质，两角和差的公式,同角三角函数基本关系．

【解析】， l y

30x +-=2

=(3)y x -230(3)x y y x +-=??=-?

21x y =??=?3

0x y =??=?=

7

23AEM ?ABN ?7

23,2,79)2(7373,73=∴==-==∴==EF NF BC BN EM AB AE BN EM 又[1,5]725-

17．（1）,中位数为44.5；（2）480件；（3）值的投资．

【命题立意】本题旨在考查茎叶图，离散型随机变量的期望以及概率的求法．【解析】

18．（1）略；（2）略；（3

【命题立意】本题考查的是线面平行的判定，线线垂直的证明以及利用法向量求二面角的大小．

【解析】证明：（1）连接AC 交BD 于点G ，连接EG ． （1分）

因为四边形ABCD 是正方形，所以点G 是AC 的中点，（2分） 又因为E 为PC 的中点，，因此EG //P A ． （3分）

而EG 平面EDB ，所以P A //平面EDB ． （4分）

（2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ． （5分）

因为PD 底面ABCD ，AC 底面ABCD ，所以AC PD ． （6分）

而PD ∩BD =D ，所以AC 平面PBD ． （7分）

又DF 平面PBD ，所以AC DF ． （8分）

（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，

，所以． （9分） 设，则，． 由EF PB ，得，即，即， )0,0,0(D )1,0,0(P )0,0,1(A )0,1,1(B )0,1,0(C )2

1,21,0(E )0)(,,(≠kl l k k F )2

1,21,(--=l k k )1,1,1(-=0=?0)21(21=---+l k k k l 2=

故． （10分） 设平面DEF 的一个法向量，，， 由，得，解得，取． （11分） 又是底面ABCD 的一个法向量， （12分） 所以，

（13分） 故平面ABCD 和平面DEF 所成二面角的余弦值为． （14分）

19．（1），；（2）详见解析. 【命题立意】考查等差数列、等比数列的通项公式，裂项相消发求数列的前项和，放缩法证明不等式，中等题.

【解析】（1）因为是直线：

与轴的交点， 所以，．

因为数列是公差为1的等差数列，

所以．

因为点在直线：

上， 所以．

所以数列，的通项公式分别为，． )2,,(k k k F ),,(z y x =)2

1

,21,0(=DE )2,,(k k k =?????=?=?00DE n ?????=++=++0

2021210kz ky kx z y ???-=-=z y z x )1,1,1(--=)1,0,0(=DP 3

3131

00,cos =?++=>=

31n a n =-32n b n =-()*n ∈N n ()111,P a b l 31y x =+y ()0,110a =11b ={}n a 1n a n =-(),n n n P a b l 31y x =+31n n b a =+32n =-{}n a {}n b 1n a n =-32n b n =-()*n ∈N

（2）证明：因为，，所以．

所以． 所以． 因为， 所以，当时，

． 又当时，． 所以． 20．（Ⅰ）（Ⅱ）6400

【命题立意】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.

【解析】（Ⅰ）解法1 ：设的坐标为，由已知得…1分 易知圆上的点位于直线的右侧.于是

. 化简得曲线的方程为. …………………4分 解法2 ：曲线上任意一点M 到圆心的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，…………… 2分

故其方程为. …………………4分 （Ⅱ）当点在直线上运动时，P 的坐标为，又，则过且与圆 ()10,1P ()1,32n P n n --()1,31n P n n ++()22

2211310n PP n n n +=+=2221213111

11n PP PP PP ++++22211111012n ??=+++ ???

()()2221144112141212121214

n n n n n n n ??<===- ?--+-+??

-2n ≥22212

13111

11n PP PP PP ++++111111210352121n n ????<+-++- ???-+????15110321n ??=- ?+??

16<1n =2121

11106

PP =<22212131+11

1116n PP PP PP +

++<220y x =M (,)x y 23x +=2C 2x =-20x +>5x =+1C 220y x =1C 2C (5,0)5x =-1C (5,0)5x =-220y x =P 4x =-0(4,)y -03y ≠±P

相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，

切线方程为，

整理得 ① …………………6分

设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根， 故 ② …………………7分 由得 ③…………………8分 设四点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，

所以 ④…………………9分 同理可得 ⑤…………………10分 于是由②，④，⑤三式得

.…………………13分 所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400. …14分 21．（1）；

（2）单调增区间为，，单调减区间为；（3）.

【命题立意】考查不等式的解法，导数法求函数的单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，较难题. 【解析】（1）当时，不等式即，

显然，当时，原不等式可化为：， 2C k 0(4)y y k x -=+040kx y y k -++= 3.=2200721890.k y k y ++-=P ,PA PC 12,k k 12,k k 001218.724

y y k k +=-=-101240,20,k x y y k y x -++=??=?

21012020(4)0.k y y y k -++=,,,A B C D 1234,,,y y y y 01121

20(4).y k y y k +?=0234220(4).y k y y k +?=

0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=201201212

4004()16y k k y k k k k ??+++??=[]

6400164002

12122=+-=k k k k y y P 4x =-,,,A B C D {|020}x x x <<<或(,)2a -∞(,)a +∞(,)2a a 2m a m -<<+1a =()1f x x <-|1|x x x -<0x ≠0x >|1|1111x x -

当时，原不等式可化为：或或，∴

综上得：当时，原不等式的解集为.

（2）∵， 若时，∵，由知，在上，， 若，由知，当时，， 当时，， ∴当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为.

(其它解法请参照给分)

（3）在区间上，函数的图象总在直线是常数）的下方， 即对都有，对都有， 显然，

即对，恒成立 对，， 设，，， 则对，恒成立，， ∵当时 ∴函数在上单调递增，∴，

又∵

0x <|1|111x x ->?->11x -<-2x ?>0x <0x <1a ={|020}x x x <<<或221,()() 1.()

x ax x a f x x ax x a ?--≥?=?-+-'()2f x x a =-(,)a +∞'()0f x ≥x a <'()2f x x a =-+2

a x <'()0f x >2

a x a <<'()0f x <0a >()f x (,)2a

-∞(,)a +∞(,)2a a (0,1]()f x (,y m m R m =∈(0,1]x ?∈()f x m -1()1m x x a m --<-<+?(0,1]x ?∈11m m x a x x

++-<-

++-<<+1(),(0,1]m g x x x x

+=-∈1()m p x x x +=+(0,1]x ∈(0,1]x ?∈11m m x a x x x

++-<<+?max min ()()g x a p x <<(0,1]x ∈2

1'()1,m g x x +=+(0,1]x ∈'()0g x >()g x (0,1]max ()g x m =-21'()1m p x x +=-

即时，对于，有 ∴函数在上为减函数

∴，

，即时，当， 当，

∴在上，，

（或当

时，在上，，

当

又∵当时，要即

，解得

∴当时，

当时，．

10m ≥(0,1]x ∈'()0p x <()p x (0,1]min ()(1)2p x p m ==+110m -<(0,1]min ()p x p ==10m -<<(0,1]1

()m p x x x +=+≥=x =10m -<-2440m m ?--<22m -<+20m -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t73q.html