高等数学竞赛讲义第二章一元微分学

第二部分 一元函数微分学

一、导数与微分

? 内容要点

一、导数与微分概念 二、导数与微分计算

? 典型例题

一、用导数定义求导数

例1 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limf(x)?f(a)x?a?lim(x?a)g(x)?0x?ax?0x?ax?a?g(a)

?1，求f(0),f?(0),f??(0)的值

? 例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且lim（2005）

f(x)1?cosx二、分段函数在分段点处的可导性

例1 设函数

?x2,x?1f(x)??

ax?b,x?1?试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。

xe2n(x?1)例2 设f(x)?lim?ax?b?1n??en(x?1)，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)

解：∵x?1时，limen??n(x?1)???， ?0

x?1时，limen??n(x?1)?x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?ax?b,x?1，??1

由x?1处连续性，limf(x)?limx?1，f(1)?x?1?2a?b?12x?1??1，可知a?b?1

再由x?1处可导性， f??(1)?lim?x?1x?f(1)x?12存在

f??(1)?lim?x?1(ax?b)?f(1)x?1存在

且f??(1)?f??(1)

根据洛必达法则f??(1)?limx?12x1??2

f??(1)?lim?x?1a1 a?2 ?a，∴

于是b?1?a??1

?x2,x?1,?f(x)??1,x?1,

?2x?1,x?1,??2x,x?1,f?(x)??

?2,x?1,三、运用各种运算法则求导数或微分

例1 设y?xx(x?0)，求例2 设y?y(x)由方程x例3 设

??x???y??yxdydx

x?y所确定，求

dydx

??tt2eu2sinudu2t0 求

eln(1?u)duudxdy

? 例4 设

?x?cos(t2)2dy?2 求2 （2007） t?2?udxsinudu?y??0e?? 例5. 设f(x)连续，且当x??1时，

f(x)[?f(t)dt?1]?0xxex2，求

2(1?x)f(x)。(2002)

2

? 例6. 设f(x)连续，?(x)??x0dv?f(u?v?x)du，求??(x)。(2009)

0x? 例7. 设f(x)连续，且f(x)?

x??x0ext22f(t)dt，求f?(1)?3f(1)。(2010)

四、求切线方程和法线方程

例1 已知两曲线y?f(x)与y?程，并求limnf()。

n???arctanx0e?t2dt在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方

2n解：由已知条件可知f(0)?0，f?(0)?故所求切线方程为y?x

e?(arctanx)21?x2x?0?1

2f()?f(0)2nlimnf()?lim2??2f?(0)?2

n??n??2nn? 例2 设f(x)为周期是5的连续函数，在x?0邻域内，恒有

f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)。其中lim?(x)xx?0?0，f(x)在x?1处可导，

求曲线y?f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程。 解：由题设可知f(6)?f(1)，f?(6)?f?(1)，故切线方程为

y?f(1)?f?(1)(x?6)

所以关键是求出f(1)和f?(1)

由f(x)连续性lim[f(1?sinx)?3f(1?sinx)]??2f(1)

x?0 由所给条件可知?2f(1)?0，∴ f(1)?0

再由条件可知lim令sinx?t,limf(1?sinx)?3f(1?sinx)sinxf(1?t)?3f(1?t)t?lim(x?08xsinxx?0??(x)sinx)?8

t?0?8，又∵f(1)?0

∴ 上式左边=lim[f(1?t)?f(1)]tt?0?3limf(1?t)?f(1)(?t)t?0

=f?(1)?3f?(1)?4f?(1)

3

则4f?(1)?8 f?(1)? 2所求切线方程为y?0?2(x?6) 即 2x?y?12?0·

?x?lnt?? 例3 求曲线?y?2t????t1e?(ts)2在t=1处的切线方程 （2008）

ds五、高阶导数 ? 例1 设f? 例2 设f?x??arctan?x??31?x1?x，求fn?0? （2004） ?0? （2008）

xarcsinx，求f22008? 例3 设f(x)?x3sinx，求ff(y)(2009)(0)（2009）

? 例4 设y?y(x)由xedydx22y?eln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则

?_______________（2009）

二、微分中值定理

这部分有关考题主要是证明题，技巧性比较高。

? 内容要点

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒定理

? 典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

例1 设f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1. 试证：必存在??(0,3)，使f?(?)?0

证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故

4

m?13[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点c?[0,2]使得13f(c)?（c，3）[f(0)?f(1)?f(2)]?1，因此f(c)?f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，

内可导，由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。

1例2 设f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3?2f(x)dx?f(0)

3求证：存在??(0,1)使f'(?)?0

证：由积分中值定理可知，存在c?[,1]，使得

31232?f(x)dx?f(c)(1?23)

得到 f(c)?3?2f(x)dx?f(0)

31对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0

1例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意k?1，有f(1)?k?kxe1?xf(x)dx，

0求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??1k?1)f(?)

1证：由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)(1k?0)

令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)

1这样F(1)?f(1)?k?k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，对F(x)在[c,1]上用罗尔定理

（三个条件都满足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)

∴ F?(?)??e1??[f?(?)?(1?1?)f(?)]?0

5

又?e1???0，则f?(?)?(1?1?)f(?)

罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ：设f(x)在[a,b]上连续，（a,b）内可导，f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。 （1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（l为实常数）令F(x)?elxf(x) （2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2k?1f(?2)?0（k为非零常数）令F(x)?exf(x) （3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)为连续函数）令F(x)?eG(x)f(x)

例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)?f(1)?0，f()?1，试证：

21k （1）存在??(,1)，使f(?)??。

21（2）对任意实数?，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1

证明：（1）令?(x)?f(x)?x，显然它在[0, 1]上连续，又

111?(1)??1?0,?()??0，根据介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??

222（2）令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上满足罗尔定理的条件，故存

在??(0,?)，使F?(?)?0，即

e????f???????f???????1??0

从而 f?(?)??[f?(?)??] 1（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l取为??，f(x)取为

?(x)?f(x)?x）

模型Ⅱ：设f(x)，g(x)在[a,b]上皆连续，（a,b）内皆可导，且f(a)?0，g(b)?0，则存在??(a,b)，使

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0

6

证：令F(x)?f(x)g(x)，则F(a)?F(b)?0，显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的

条件，则存在??(a,b)，使F?(?)?0，即证.

例5 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，f(0)?0，k为正整数。 求证：存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)

证：令g(x)?(x?1)k，a?0,b?1，则f(0)?0，g(1)?0，用模型Ⅱ，存在

??(0,1)使得

kk?1f?(?)(??1)?k(??1)f(?)?0

故f?(?)(??1)?kf(?)?0 则?f?(?)?kf(?)?f?(?)

例6 设f(x),g(x)在(a,b)内可导，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，求证f(x)在(a,b)内任

意两个零点之间至少有一个g(x)的零点

证：反证法：设a?x1?x2?b，f(x1)?0，f(x2)?0而在(x1,x2)内g(x)?0，

则令F(x)?f(x)g(x)在[x1,x2]上用罗尔定理

[?f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?f(x1)g(x1)?0,F(x2)?f(x2)g(x2)?0]

（不妨假设g(x1)?0,g(x2)?0否则结论已经成立）

则存在??(x1,x2)使F?(?)?0，得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0与假设条件矛盾。所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点

例7 设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导，且g??(x)?0，又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0 求证：（1）在（a,b）内g(x)?0；

f??(?)g??(?)f(?)g(?)7

（2）存在??(a,b)，使?

证：（1）用反证法，如果存在c?(a,b)使g(c)?0，则对g(x)分别在[a,c]和[c,b]

上用罗尔定理，存在x1?(a,c)使g?(x1)?0，存在x2?(c,b)使g?(x2)?0，再对g?(x)在[x1,x2]上用罗尔定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0与假设条件g??(x)?0矛盾。所以在(a,b)内g(x)?0 （2）由结论可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0，因此

令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x)，可以验证F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，F(a)?F(b)?0满足罗尔定理的三个条件 故存在??(a,b)，使F?(?)?0 于是f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0成立

? 例8 已知函数f(x)在[0,1]上三阶可导，且f(0)??1,f(1)?0,f?(0)?0，试证至

x(x?1)3!2少存在一点??(0,1)，使f(x)??1?x?2f???(?),x?(0,1)（2004）

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理

例1 设f(x)在(??,??)内可导，且limf?(x)?e，lim(x??x??x?cx?c)x?lim[f(x)?f(x?1)]

x?? 求c的值 解：由条件易见，c?0

x?cx?c(1?)?limxx??cxcx))xlim(x???xeec?c?e2c

(1?由拉格朗日中值定理，有

f(x)?f(x?1)?f?(?)[x?(x?1)]?f?(?)

其中?介于(x?1)与x之间，那么 lim[f(x)?f(x?1)]?lim f?(?)?e

x??x??(???)于是e2c?e，2c?1，则c?12

8

例2 设f(x)是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且f(1)?0，又设M?0是f(x)在[1，2]上的最大值，证明：存在??(1,2)，使得f?(?)?2M。

证：由周期性可知f(0)?f(1)?f(2)?0，不妨假定x0?(1,2)而f(x0)?M?0，

对f(x)分别在[1, x0]和[x0, 2]上用拉格朗日中值定理，

存在?1?(1,x0)，使得f?(?1)?f(x0)?f(1)x0?1 ①

存在?2?(x0,2)，使得f?(?2)?f(2)?f(x0)2?x0 ②

如果x0?(1,3232)，则用①式，得f?(?1)?f(x0)x0?1?2M；

如果x0?[,2)，则用②式，得f?(?2)??f(x0)2?x0?2M；

因此，必有??(1,2)，使得f?(?)?2M

例3 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且f(0)?0，f(1)?1，证明：

（Ⅰ）存在??(0,1)，使得f(?)?1??

（Ⅱ）存在?,??(0,1)，???，使f?(?)f?(?)?1

证：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?1，则g(x)在[0, 1]上连续，且g(0)??1?0，

g(1)?1?0，用介值定理推论存在??(0,1)，使g(?)?0，即f(?)?1??

（Ⅱ）在[0, ?]和[?，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理，存在??(0,?)，使

f(?)?f(0)1??得f?(?)???0??

存在??(?,1)，???，使f?(?)?f(1)?f(?)1???1?(1??)1????1??

∴ f?(?)?f?(?)?1

9

? 例4 设?(x)在[0,1]上可导，且?(0)?0,?(1)?1。证明：存在(0,1)内的两个

数?与?，使

1??(?)?2??(?)（2003） ?3。

例5 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且f?(x)?0，若极

限limx?af(2x?a)?x?a存在，证明：

（1）在(a,b)内f(x)?0； （2）在(a,b)内存在?，使

b?a22?ba?2?f(?)；

f(x)dx （3）在(a,b)内存在与（2）中?相异的点?，使

22f?(?)(b?a)???a?2?baf(x)dx

证：（1）因为limx?af(2x?a)?x?a存在，故limf(2x?a)?0，由f(x)在[a,b]上

x?a?连续，从而f(a)?0. 又f?(x)?0知f(x)在(a,b)内单调增加，故

f(x)?f(a)?0,x?(a,b)

（2）设F(x)?x2,g(x)??xaf(t)dt(a?x?b)，

则g?(x)?f(x)?0，故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内

存在点?，使

F(b)?F(a)g(b)?g(a)?b?a22aa?ba?f(t)dt?2?f(?)(?(x)?xa2f(t)dt??2f(t)dt)?x??，

即

b?a2?ba

f(x)dx （3）因f(?)?f(?)?0?f(?)?f(a)，在[a,?]上应用拉格朗日中值定理，知在

(a,?)内存在一点?，使f(?)?f?(?)(??a)，从而由（2）的结论得

10

b?a22?ba?2?f?(?)(??a)，

f(x)dx 即有 f?(?)(b?a)?222???a?baf(x)dx.

三、 泰勒公式

例1 设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且f?(a)?f?(b)?0，试证：在(a,b)内至少存在一点?，使

f(b)?f(a)(b?a)2|f??(?)|?4

成立。

分析：因所欲证的是不等式，故需估计f??(?)，由于一阶泰勒公式

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?122f??(?)(x?x0)，（其中?在x0,x之间）

含有f??(?)，因此应该从此入手. 再由f?(a)?[a,a?b2],[a?b2?f(?b)知0，应在

,b]两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的f?(x)项，同时又

能出现(b?a)2项.

证：在[a,a?b2a?b2a?b2]与[a?b2,b]上分别用泰勒公式，便有

f()?f(a)?f?(a)(a?b2a?b2?a)?12!12!f??(?1)(b?a2b?a2),a??1?2a?b2.

f()?f(b)?f?(b)(?b)?f??(?2)(),2a?b2??2?b.

两式相减，得

|f(b)?f(a)|?181414(b?a)|f''(?1)?f''(?2)| (b?a)22

??12(|f''(?1)|?|f''(?2)|)

(b?a)max{|f''(?1)|,|f''(?2)|}.

2所以至少存在一点??(a,b)，使得

11

|f??(?)|?4|f(b)?f(a)(b?a)2|

三、导数的应用

? 内容要点

一、判断函数的单调性 二、函数的极值

三、函数的最大值和最小值 四、凹凸性与拐点 五、渐近线及其求法 六、函数作图

七、判断方程根的情况

? 典型例题

一、证明不等式

例1．求证：当x?0时，(x2?1)lnx?(x?1)2 证：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)

只需证明x?0时，f(x)?0

易知f(1)?0，f?(x)?2xlnx?x?2?1x22，

f'(1)?0，由于f?(x)的符号不易判断，故进一步考虑 f??(x)?2lnx?1?1x22，f??(1)?2?0

再考虑f???(x)?2(x?1)x3

于是，当0?x?1时，f???(x)?0；

当1?x???时，f???(x)?0

12

由此可见，f??(1)?2是f??(x)的最小值。

由于f??(x)?2?0，这样x?0时，f?(x)单调增加 又因为f?(1)?0，所以0?x?1时，f?(x)?0；

1?x???时，f?(x)?0。

再由f(1)?0，可知0?x?1时，f(x)?0；

1?x???时，f(x)?0，这样证明了x?0时，f(x)?0。

证二：令f(x)?lnx?x?1x?1（自己思考）

证三：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)（自己思考）

22? 例2 证明：当x?0， (1?x)ln(1?x)?x（2009）

例3 设b?a?0，求证：lnba?2(b?a)b?a

证：令f(x)?(lnx?lna)(x?a)?2(x?a),(x?a) 则f?(x)?(x?a)?(lnx?lna)?2 x?a1x?af??x??2???0 (x?a) 2xxx1于是可知f?(x)在x?a时单调增加，又f?(a)?0，∴x?a时f?(x)?0，这样f(x)单调增加。因此，b?a?0时f(b)?f(a)?0，得证。

2例4 设e?a?b?e，证明lnb?lna?224e2(b?a)

证一：对函数f(x)?ln2x在[a,b]上用拉格朗日中值定理

13

lnb?ln22a?2ln??(b?a) （a???b）

再来证明?(t)?∵ ?'(t)?lntt2在t?e时单调减少

?0(t?e)

1?lntt从而?(?)??(e)，即故ln2b?ln2a?4e22ln???lnee22?2e2

(b?a) x?4e2证二：设g(x)?lng''(x)?2?1?lnxx22x，则g'(x)?2lnxx?4e2

当x?e时，g??(x)?0，故g?(x)单调减少

g?(x)?g?(e)?24e2?4e2?0

因此e?x?e2时，由g?(x)?0可知g(x)单调增加 题设e?a?b?e2，于是g(b)?g(a) 故lnb?24e2b?ln2a?4e2a，即ln2b?ln2a?4e2(b?a)

? 例5 证明：当

x3?2?x?0时，

（1）tanx?x?3x3

（2）tanx?x?3?2x515?x763（2005）

? 例6 证明： cos2x??x?21?x,42?4?x?0（2007）

2? 例7 已知y?f(x)有二阶可导，且f(x)?0,f??(x)f(x)?[f?(x)]?0,x?R

（1）证明：f(x1)f(x2)?f(2x1?x22),?x1,x2?R

（2）若f(0)?1，证明：f(x)?ef?(0)x,?x?R （2007）

14

? 例8 证明：

1?sinx1?sinx?ln(1?sinx)??xx3,x?(?2,?)（2007）

? 例9 证明： 1?x?x22!???3!?t2?x44!1x?0,?x?R（2008）

? 例10 证明：?x?0,?? 例11 证明：tan2xe2dt?e2?x22（2010）

?2)（2010）

x?2sin2x?3x,x?(0,二、有关函数的极值、最值

例1、设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 [ ] （A）一个极小值点和两个极大值点 （B）两个极小值点和一个极大值点 （C）两个极小值点和两个极大值点 （D）三个极小值点和一个极大值点

例2 设f(x)的导数在x?a处连续，又lim（A）x?a是f(x)的极小值点 （B）x?a是f(x)的极大值点

（C）(a,f(a))是曲线y?f(x)的拐点

（D）x?a不是极值点，(a,f(a))也不是曲线y?f(x)的拐点

例3 设y?f(x)有二阶导数，满足xf??(x)?3x[f?(x)]?1?e求证：f?(x0)?0时，f(x0)为极小值 证：（1）x0?0情形。 f??(x0)?1?ex0?x02?xf?(x)x?ax?a??1，则[ ]

?x0?0,1?e?x0?0??0?? 故f(x0)为极小值 ?x0x?0,1?e?0?0?（2）x0?0情形

15

这时方程条件用x?0代入不行，无法得出上面的公式 ∵ f??(x)存在 ∴ f?(x)连续，linf?(x)?f?(0)?0

x?0f??(0)?limf?(x)?f?(0)x?0x?0?limf?(x)xx?0?limf??(x)1（用洛必达法则）

x?0 ?lim{x?01?ex?x?x?3[f?(x)]}?lim21?ex?x （再用洛必达法则）

x?0 ?limex?01?1?0 ∴f(0)是极小值

? 例4 函数y?f(x)是由方程满足x3?3xy2?2y3?32?0确定，且f(x)可导，求

f(x)的极值（2004）

? 例5 函数y?f(x)满足方程exf(x)?2e??xf(??x)?3sinx,x?R，求f(x)的极

值（2007）

三、判断方程根的情况

? 例1 设f(x)?e?xx36x，问f(x)?0有几个实根？为什么？（2006）

23n? 例2 证明方程1?x?2!?x3!?...?xn!当n为奇数时有且仅有一个实根（2008） ?0，

n? 例3 （1）证明fn(x)?x?nx?2（n为整数）在(0,??)上有唯一正根an

（2） 计算lim(1?an)（2008）

x??n? 例4 设f(x)在(??,??)上具有二阶导数，且f?(x)?0,limf?(x)???0，

x???x???limf?(x)???0，且存在一点x0使得f(x0)?0证明方程f(x)?0在(??,??)上

恰有两个实根。（2010）

四、 关于函数的单调性

? 例1 设?x?(??,??),f??(x)?0,0?f(x)?1?e?x2，求f(x)的表达式？（2007）

? 例2 设f(x)在(0,??)上可导，且f?(x)?f(x),f(0)?0，证明f(x)?0(x?0)16

（2009）

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