高考第二轮等差等比数列综合复习

等差、等比数列综合

教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题

2.突出方程思想的应用，能选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和能力 3.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式

4.解决应用问题时，分清是等差数列还是等比数列问题；分清an和Sn弄清项数n

双基联系 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2?a5?a7?a9?a12是一个确定的常数，则下列表达式也是一个确定的常数的是 ( ) A.S5 B.S7 C.S9 D.S13

2.已知等比数列{an}，若a2a5a9a12?16，则a6a7a8? ( ) A．4 B．8 C．±4 D．±8

3.命题p：若2b=a＋c，则a，b，c成等差数列；命题q：若b?ac，则a，b，c成等比数列。下列判断中正确的是 ( ) A．p或q是假命题 B．p且q是真命题 C．p且q是假命题 D．以上都不对 4.在等差数列{an}中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1＋a4＋a25=114，则成等比数列的这三个数依次为 . 5.设{an}为等差数列，bn?()n，已知b1?b2?b3?求等差数列的通项an.

212a211，b1b2b3?， 88典型例题 【例1】 互不相等的三个数a、b、c成等差数列，又a，c，b恰成等比数列，求a：b：c的值.

【思路点拨】本题考查三个数成等差数列以及三个数成等比数列的相应等式，采用方法是，两个等式消去一个“元”，从而求得三个数的比. 【解】由题意得??2b?a?c22c?bc?2b?0，解之得c=b或c=－2b 消去a可得2?c?ab 当c=b时，a=b，故a:b:c=1:1:1，此时不合题意，舍去； 当c=－2b时，a=4b，故a:b:c=4:1:(－2)

[点评]这道题根据题意列出两个等式不难，主要是结合钥匙目标，求三个数的比，只有两个等式，不可能同时解出三个量的值，所以要用消元的方法。还要注意题意“互不相等”，舍去一种情形。

【举一反三】 一个三角形的内角A，B，C成等差数列，又A，C，B恰成等比数列，试判断此三角形的形状。

1

【答案】 等边三角形

【例2】 有四个数，前三个数成等比数列，它们的积为216，后三个数成等差数列，它们的和为12，求此四数.

【思路点拨】如果设四个未知数虽然也能解决，但运算较繁复。可借助于三个数成等比或者三个数成等差的的常见方法设未知数.

?a3?216a?【解法一】 依题意，设这四个数分别为，a，aq，b，则?a?b?2aq

q?a?aq?b?12?解得a=6，q=

2，b=2，从而得，这四个数分别为9，6，4，2. 3?ax(a?d)?216?2【解法二】 依题意，设这四个数分别为x，a?d，a，a?d，则?(a?d)?ax

?3a?12?解得x=9，a=4，d=－2，从而得，这四个数分别为9，6，4，2.

【点评】 由于未知数设的巧妙，从而减少了运算量.

【例3】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年，第二年，第三年分别比原计划产值多10万元，10万元，11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值。 【思路点拨】 原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S3=300，又由产值增长的百分率相同，可以知道，实际三年的产值成等比数列，分别列出两个等式解决问题.

【解】 设原计划三年的产值为x－d，x，x＋d，则实际三年产值为－d＋10，x＋10，x－

d＋11，

由题意得，??x?d?x?x?d?300,2?(x?d?10)(x?d?11)?(x?10)① ②由①得，x=100，代入②得d=10，故x－d=90，x＋d=110． 答：原计划三年的产值分别为90万元，100万元，110万元

【点评】 等差、等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差还是等比数列问题，分清an和Sn，抓住基本量a1，d(q)，再运用有关的概念和公式求解.

失分诊断 主要失分在于从实际应用问题出发的题，没有直接告知相应数据构成的是等

差还是等比数列，一旦搞错，那么整个题就无法正确解决（最容易混淆的是：每年比上一年增长

1，常有同学将此等比数列错判成等差数列）。其次，分清楚an和Sn。最后一点，10等比数列的前n项和公式要分成q=1和q≠1两种情况来表示，常有同学丢了q=1的特殊情

2

形，从而可能导致漏解。

【例1】 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，S3,S9,S6成等差数列，

试求数列{an}的公式q的值.

a1(1?q9)a1(1?q6)a1(1?q3)【错解】 已知等式化为2? ??1?q1?q1?q3143

化简整理得2q?q?1，可解出q??或q=1，从而q??或q=1.

22633（也有到最后根据一开始得出的分式方程把q=1简单舍去的）

【错解分析】 本题考查等差数列(等差中项的应用及证明)和等比数列通项及求和公式的用法。容易出错的就是公比为1的情形的考虑，故上述解答的第一步就错了。请你在课时练中加以巩固和提高吧。

【正确答案】 已知条件化为等式2S9?S3?S6，

当q=1时，已知等式化为2?9a1?3a1?6a1，解得a1?0（不合题意）

a1(1?q9)a1(1?q6)a1(1?q3)故q≠1，已知等式化为2? ??1?q1?q1?q化简整理得2q?q?1

3143

可解出q??或q=1(舍去)，从而q??.

22363探究拓展 【例1】 这是一段程序伪代码：求程序运行后输入的结果.

【思路点拨】本题主要考查循环语句的理解，数列、不等式等基础知识，同时考查综合运用所学数学知识解决实际问题的能力。先要细读这段伪 x←1，y←1，z←0，n←0 代码表达的算法要求，从众多变量的有规律变化中找出 While z≤7000 最后输出的两个值的真正内涵，再解决求值问题. 【解】 设n=i时，x、y、z的值分别为xi、yi、zi， 由题意得，x0=1，xn=xn－1＋2，

所以{xn}是等差数列,且xn?2n?1 又y0=1，yn=2yn－1，

所以{yn}是等比数列，且yn?2n。

又z0=0，∴zn?zn?1?xnyn?x1y1?x2y2???xnyn 即zn=3?2?5?2???(2n?1)2 ① ∴2zn=3?2?5?2???(2n?1)2?(2n?1)2n23nn?12nx←x＋2 n←n＋1 y←2y z←z＋xy End While ②

n 由②－①得zn=－[3?2?5?2???2?2]?(2n?1)2?3?2 =(2n?1)2n?1?2

3

由已知得,程序终止时,zn>7000，zn?1≤7000，

?(2n?1)2n?1?2?7000即?，可求得n=8，z=7682。 n?(2n?3)2?2?7000故最后输出的结果是：8 7682

【点评】 这道题对阅读能力、用数学式子表达数学关系的能力、推理能力和建模能力都有较好的考查。破题的金钥匙，就是分别观察循环过程中独个变量会晤的变化规律，进而得出输入时两个量满足的条件.（这也同初中物理实验研究中的控制变量原理是想通的，请你仔细体会）

等差、等比数列综合 巩固练习 一、 选择题?

1、公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4

2、若等差数列{an}的首项为a1=1，等比数列{bn}，把这两个数列对应项相加所得的新数列{an+bn}的前三项为3，12，23，则{an}的公差与{bn}的公比之和为 ( ) A．-5 B．7 C．9 D．14

3、一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于． （ ） A．5 B．6 C．7 D．8

4、已知－9，a1，a2，－1这4个数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1 这5个数成等比数

列，则b2(a2－a1)等于 （ ）

9 A．8 B．－8 C．±8 D．

8二、填空题：

5、已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则

a1?a3?a9的值为______

a2?a4?a106、若数列?an?中，a1?3，且an?1?an2 (n?N*)，则数列的通项an? ． 7、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数依次为______________________ 三、解答题：

8、已知抛物线x?4y，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1211的直线交抛物线于点P，再过作斜率为的直线交抛物线于点PP223，?，如241此继续，一般地，过点P作斜率为的直线交抛物线于点Pn?1，设点Pn(xn,yn)．令nn2作斜率为

4

bn?x2n?1?x2n?1，求证：数列{bn}是等比数列．

9、已知数列{an}是首项a1＞0，q＞－1且q≠0的等比数列，设数列{bn}的通项bn=an?1－kan?2 (n∈N)，数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．如果Tn＞kSn对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．

10、已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，

⑴设数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列； ⑵设数列cn?

⑶求数列?an?的通项公式及前n项和。

an,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列； 2n等差、等比数列综合练习答案

双基答案 1、D 2、D 3、C 4、38，38，38或2，14，98 5、an?5?2n或an?2n?3 巩固练习答案 1、【答案】C

【分析】 由题意，a3?a2a6，即(a?2d)2?(a1?d)(a1?5d)，

∵d≠0，∴解得d=?2a1(?0)，故公比为

2、【答案】C

2a3?3a1??3 a2?a11?b1?3??【分析】 设公差为d，公比为q，则?1?d?b1q?12解得q=2，d=7

?1?2d?bq2?231?3、【答案】C

【分析】 依题意知，数列单调递减，公差d＜0．因为S3=S11=S3＋a4＋a5＋?＋a10＋a11

所以a4＋a5＋?＋a7＋a8＋?＋a10＋a11=0 即a4＋a11=?=a7＋a8=0，

故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C． （说明）解选择题注意发挥合理推理和估值的作用． 4、【答案】B

【分析】 由题意，a2－a1=d=

2?1?(?9)8?， 332而b2??9?(?1)?9且b2??9q?0，故b2??3

5、【答案】

23 29 5

【分析】 由题意，a3?a1a9，即(a?2d)2?a1(a1?8d)，

∵d≠0，∴解得d=2a1(?0)，故通项为an?(2n?1)a1，原式计算得结果 6、【答案】32n?12

2n?1【分析】 多次运用迭代，可得an?(an?1)2?[(an?2)2]2?(an?2)2???(a1)27、【答案】0，4，8，16或15，9，3，1．

?32

n?1【分析】设四个数分别为x，y，12-y，16-x，则

?x?(12?y)?2y ?2?y(16?x)?(12?y)(1) (2)由（1）得：x=3y-12（3）代入（2）得：y2-13y+36=0．解得y=4或y=9，分别代入（3）得：x=0或x=15．

所以所求四个数分别为：0，4，8，16或15，9，3，1．

三、解答题

8、【解】因为Pn(xn,yn)、Pn?1(xn?1,yn?1)在抛物线上，故xn?4yn,①xn?1?4yn?1②，

又因为直线

22PnPn?1的斜率为

12n，即

yn?1?yn1?，①②代入可得

xn?1?xn21x2n?1?x2n11?n?xn?1?xn?n?24xn?1?xn22?bn?x2n?1?x2n?1?(x2n?1?x2n)?(x2n?x2n?1)

b11111?2n?2?2n?3??2n?2，故n?1??{bn}是以

4222bn4为公比的等比数列；

9、【解】因为{an}是首项a1＞0，公比q＞－1且q≠0的等比数列，故

an?1=an·q， an?2=an·q． 所以bn=an?1－kan?2=an(q－k·q)．

Tn=b1＋b2＋?＋bn=(a1＋a2＋?＋an)(q－k·q)=Sn(q－kq)． 由题意，由Tn＞kSn，得Sn (q－kq)＞kSn， ①对一切正整数n都成立． 当q＞0时，由a1＞0，知an＞0，所以Sn＞0；

22222a1(1?qn)当－1＜q＜0时，因为a1＞0，1－q＞0，1－q＞0，所以Sn=?0

1?qn综合上述两种情况，当q＞－1且q≠0时，Sn＞0总成立．

6

由①式可得q－kq＞k ②， 即k(1?q2)?q，∴k?2qq1??，

1?q22q21210、【解】(1)由Sn?1=4an?2，Sn?2=4an?1＋2，两式相减，得Sn?2－Sn?1=4(an?1－an)，即

故k的范围是(??,).

an?2=4an?1－4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成bn?1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

an?2－2an?1=2(an?1－2an)，又bn=an?1－2an，所以bn?1=2bn ①

已知S2=4a1＋2，a1=1，a1＋a2=4a1＋2，解得a2=5，b1=a2－2a1=3 ② 由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2

n?1．

anan?1anan?1?2anbn33?2n?1(2)∵cn?n，∴cn?1?cn?n?1?n＝＝＝＝

42222n?12n?12n?1a113又c1?1?，故数列{cn}是首项为，公差为的等差数列，

222431∴cn＝n?

44aan3311n??n?(3) ∵cn?n，又c＝，∴，故an?(3n?1)?2n?2 nnn444422当n≥2时，Sn=4an?1＋2=2

n?1(3n－4)＋2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．

n?1综上可知，所求的求和公式为Sn=2

(3n－4)＋2．

注意：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数

列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn?1?4an?2得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3yn3.html