（新课标）高考数学二轮复习专题4数列第1讲等差数列与等比数列理

第1讲 等差数列与等比数列

等差、等比数列的基本运算

1.(2015新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10等于( B ) (A)

(B)

(C)10 (D)12

解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 由题设知d=1,S8=4S4, 所以8a1+28=4(4a1+6), 解得a1=,

所以a10=+9=,选B.

2.(2015辽宁省锦州市质量检测(一))已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( D ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:因为a4-2+3a8=0, 所以a1+3d-2+3(a1+7d)=0, 所以4(a1+6d)-2=0, 即4a7-2=0, 又a7≠0,

所以a7=2,所以b7=2,

所以b2b8b11=b1q·b1q·b1q=(b1q)==8.

故选D.

3.(2015河南郑州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则= .

解析:设等比数列公比为q(q≠1), 因为27a3-a6=0,

1

7

10

63

所以27a3-a3q=0,

3

所以q=27,q=3, 所以=答案:28

等差、等比数列的性质及应用

4.(2015河南省六市第二次联考)已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为( C )

(A)10 (B)20 (C)100 (D)200 解析:a7(a1+2a3)+a3a9 =a1a7+2a3a7+a3a9 =+2a4a6+

=(a4+a6)=10=100. 故选C.

5.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( A ) (A) (B)-

(C)

(D)

2

2

3

===28.

解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故选A.

6.(2015新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于( C )

(A)2 (B)1 (C) (D)

解析:法一 根据等比数列的性质,结合已知条件求出a4,q后求解. 因为a3a5=,a3a5=4(a4-1), 所以=4(a4-1), 所以-4a4+4=0, 所以a4=2. 又因为q===8, 所以q=2,

3

2

所以a2=a1q=×2=.故选C.

法二 直接利用等比数列的通项公式,结合已知条件求出q后求解. 因为a3a5=4(a4-1),

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所以a1q·a1q=4(a1q-1), 将a1=代入上式并整理,得 q-16q+64=0, 解得q=2,

所以a2=a1q=.故选C.

7.(2015哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学第一次联合模拟)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n等于( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:依题意得S9-S5=a6+a7+a8+a9=0, 所以2(a7+a8)=0, 所以a7+a8=0, 又a1>0,

所以该等差数列的前7项为正数,从第8项开始为负数. 所以当Sn最大时,n=7. 故选B.

8.(2015东北三校第一次联合模拟)若等差数列{an}中,满足a4+a6+a2010+a2012=8,则S2015= .

解析:因为a4+a6+a2010+a2012=8, 所以2(a4+a2012)=8, 所以a4+a2012=4. 所以S2015=答案:4030

等差、等比数列的综合问题

9.(2015甘肃二诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S17>0,S18<0,则,,…,的项为( C ) (A)

(B)

(C)

(D)

中最大

=

=4030.

6

3

解析:因为S17=

=17a9>0,

3

S18==9(a10+a9)<0,

所以a9>0,a10+a9<0, 所以a10<0.

所以等差数列为递减数列,

则a1,a2,…,a9为正,a10,a11,…为负,S1,S2,…,S17为正,S18,S19,…为负, 所以>0,>0,…,>0,

<0,

<0,…,

<0,

又S1a2>…>a9, 所以,,…,故选C.

10.(2014辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d,若数列{(A)d<0 (B)d>0 (C)a1d<0 (D)a1d>0 解析:因为数列{

}为递减数列,

}为递减数列,则( C )

中最大的项为.

a1an=a1[a1+(n-1)d]=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数, 所以a1d<0.

11.(2015兰州高三诊断)在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的前n项和Sn. 解:(1)因为{an}为等比数列,

所以=q=8;所以q=2.所以an=2·2=2. (2)b3=a3=2=8,b5=a5=2=32, 又因为{bn}为等差数列, 所以b5-b3=24=2d, 所以d=12, b1=a3-2d=-16, 所以Sn=-16n+

×12=6n-22n.

2

3

5

3

n-1

n

一、选择题

1.(2015云南第二次检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1∶a2=1∶2,则S1∶S3等于( D )

4

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