第1讲 等差数列与等比数列---导学案

第1讲 等差数列与等比数列

高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.

真 题 感 悟

1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )

A.a n ＝2n －5

B.a n ＝3n －10

C.S n ＝2n 2－8n

D.S n ＝12

n 2－2n 2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f

3.(2019·全国Ⅰ卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13

，a 24＝a 6，则S 5＝________. 4.(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，

4b n ＋1＝3b n －a n －4. (1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；

(2)求{a n }和{b n }的通项公式.

考 点 整 合

1.等差数列： (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；

(2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2

d ； (3)性质： ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列.

2.等比数列： (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；

(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q

； (3)性质： ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列. 温馨提醒 应用公式a n ＝S n －S n －1时一定注意条件n ≥2，n ∈N *.

热点一 等差、等比数列的基本运算

【例1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且 a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )

A.16

B.8

C.4

D.2

(2)(2019·北京卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列. ①求{a n }的通项公式； ②记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.

【训练1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2＝3a 1,则S 10S 5＝______.

(2)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.

①求{a n }的通项公式； ②记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m .

热点二 等差(比)数列的性质

【例2】 (1)在等比数列{a n }中，a 6，a 10是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 8的值为( )

A.2

B.－2或2

C. 2

D.－ 2

(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n <nS n ＋1(n ∈N *).若a 8a 7

<－1，则( ) A.S n 的最大值是S 8 B.S n 的最小值是S 8 C.S n 的最大值是S 7 D.S n 的最小值是S 7

【训练2】 (1)(2019·山东省实验中学调研)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )

A.30

B.20

C.10

D.5或40

(2)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和S 8为( )

A.4

B.2

C.3

D.5

热点三 等差(比)数列的判断与证明

【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数. (1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；

(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.

【训练3】 (1)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”.

(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1

，其中S n 为数列{b n }的前n 项和，判断数列{b n }是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式.

热点四 等差数列与等比数列的综合问题

【例4】 (2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.

(1)求S n 和T n ； (2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值.

【训练4】 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.

(1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ；

(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围.

1.在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算.

2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.在应用性质时要注意前提条件，有时需要进行适当变形.

3.应用关系式a n ＝?

????S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.

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