第三章 思考题-习题解答

第三章思考题

3.1刚体一般是由n（n是一个很大得数目）个质点组成。为什么刚体的独立变量却不是3n而是6或者更少？

3.2何谓物体的重心？他和重心是不是 总是重合在一起的？ 3.3试讨论图形的几何中心，质心和重心重合在一起的条件。

3.4简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？ 3.5已知一匀质棒，当它绕过其一端并垂直于棒的轴转动时，转动惯量为1ml2，m为棒的

3质量，l为棒长。问此棒绕通过离棒端为

21且与上述轴线平行的另一轴线转动时，转动惯

l41?量是不是等于1ml2?m??l?？为什么？

3?4?3.6如果两条平行线中没有一条是通过质心的，那么平行轴定理式（3.5.12）能否应用？如不能，可否加以修改后再用？

3.7在平面平行运动中，基点既然可以任意选择，你觉得选择那些特殊点作为基点比较好？好处在哪里？又在（3.7.1）及（3.7.4）两式中，哪些量与基点有关？哪些量与基点无关？ 3.8转动瞬心在无穷远处，意味着什么？

3.9刚体做平面平行运动时，能否对转动瞬心应用动量矩定理写出它的动力学方程？为什么？

3.10当圆柱体以匀加速度自斜面滚下时，为什么用机械能守恒定律不能求出圆柱体和斜面之间的反作用力？此时摩擦阻力所做的功为什么不列入？是不是我们必须假定没有摩擦力？没有摩擦力，圆柱体能不能滚？

3.11圆柱体沿斜面无滑动滚下时，它的线加速度与圆柱体的转动惯量有关，这是为什么？但圆柱体沿斜面既滚且滑向下运动时，它的线加速度则与转动惯量无关？这又是为什么？ 3.12刚体做怎样的运动时，刚体内任一点的线速度才可以写为ω?r？这时r是不是等于该质点到转动轴的垂直距离？为什么？

3.13刚体绕固定点转动时，dω?r为什么叫转动加速度而不叫切向加速度？又ω??ω?r?dt为什么叫向轴加速度而不叫向心加速度？

3.14在欧勒动力学方程中，既然坐标轴是固定在刚体上，随着刚体一起转动，为什么我们还可以用这种坐标系来研究刚体的运动？

3.15欧勒动力学方程中的第二项?I?I??x?y等是怎样产生的？它的物理意义又是什

12么？

第三章思考题解答

3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。

3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。事实上但物体的线度很大时各质点所在处g的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。

3.3答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。

3.4 答 主矢F是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢ri也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。分别取O和O?为简化中心，第i个力Fi对O和O?的位矢分别为ri和ri?，则ri=ri?+OO?，故

MO????ri??Fi????ri??OO???Fi???ri??Fi??OO???Fiiiii?Mo?OO???Fi

i即Mo??Mo

主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。设O和O?对质心C的位矢分别为rC和rC则rC把O点的主矢F??，?=rC+OO?，主矩Mo移到C点得力系对重心的主矩

?F，

iiMC?Mo?rC??Fi

i把O?为简化中心得到的主矢F??F和主矩Miio?移到C点可得

??rC??Fi?Mo??rC??OO????Fi?Mo?rC??Fi MC?Moiii简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动。事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应。 3.5 答 不等。如题3-5图示，

ZZ?l4AO

xC?l题3-5图dxBdm?m绕轴的转动惯量 dxOzlIz??3l4l?4m71?1?x2dx?ml2?ml2?m?l?

l483?4?2这表明平行轴中没有一条是过质心的，则平行轴定理I?I?md2是不适应的

c3.6不能，如3-5题。但平行轴定理修改后可用于不过质心的二平行轴。如题3-6图所示，

ZxAxBAC

mlB题3-6图均质棒上A,B二点到质心的距离分别为x和x由平行轴定理得：

AB2IA?Ic?mxA

2IB?Ic?mxB

则I?I?mx2?x2，此式即可用于不过质心的二平行轴。如上题用此式即可求得：

ABAB????l2??l2??712??Iz?ml?m????ml2 ??????3??4??2??483.7 答 任一瞬时，作平面平行运动的刚体上或与刚体固连且与刚体一起运动的延拓平面总有也仅有一点的瞬时速度为零（转动瞬心）从运动学观点看由（3.7.1）式

v?vA?ω?r??vA?ω??r?r0?

知选此点的基点较好，这样选基点，整个刚体仅绕此点作瞬时转动从（3.7.4）式

a?aA?dω?r??r?ω2 dt可知，求加速度时选加速度为零的点为基点较方便，但实际问题中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。

从动力学角度考虑，选质心为基点较好，因质心的运动可由质心运动定理解决；而且质点系相对质心的动量矩定理于对固定点的动量矩定理具有相同的形式，亦即刚体绕过质心与平面垂直的轴的转动可用刚体绕定轴转动的定律去解决。

因刚体上不同点有不同的速度和加速度，基点选取的不同，则（3.7.1）和（3.7.4）式中

vA,aA不同，即vA和aA与基点有关；又任一点相对基点的位矢r?于基点的选取有关。故

任一点绕基点转动速度ω?r?，相对基点的切线加速度

dω?r?和相对基点的向心加速度dt角速度ω为刚体各点所共有与基点选取无关，故?r?2与基点选取有关；

dω也与基点选取

dt无关；基点选取的不同是人为的方法，它不影响刚体上任一点的运动，故任一点的速度v,a与基点的选取无关。这也正是基点选取任意性的实质所在。

3.8 答 转动瞬心在无穷远处，标志着此瞬时刚体上各点的速度彼此平行且大小相等，意味着刚体在此瞬时的角速度等于零，刚体作瞬时平动

3.9 答 转动瞬心的瞬时速度为零，瞬时加速度并不为零，否则为瞬时平动瞬心参考系是非惯性系，应用动量矩定理是必须计入惯性力系对瞬心的力矩。而惯性力系向瞬心简化的结果，惯性力系的主矩一般不为零（向质心简化的结果惯性力系的主矩为零），故相对瞬心与相对定点或者质心的动量矩定理有不同的形式；另外，转动瞬心在空间中及刚体上的位置都在不停的改变，（质心在刚体上的位置是固定的），

故对瞬心的写出的动量矩定理在不同时刻是对刚体上不同点的动力学方程，即瞬心参考系具有不定性；再者，瞬心的运动没有像质心一点定理那样的原理可直接应用。故解决实际问题一般不对瞬心应用动量矩定理写其动力学方程。

3.10 答 因圆柱体沿斜面滚下时，圆柱体与斜面之间的反作用力不做功，只有重力作功，故机械能守恒且守恒定律中不含反作用，故不能求出此力。此过程中由于圆柱体只滚动不滑动，摩擦力做功为零，故不列入摩擦力的功，也正是摩擦力不做功才保证了机械能守恒；若圆柱体即滚且滑的向下运动，摩擦力做功不为零免责必须列入摩擦力的功。机械能不守恒，必须用动能定理求解。在纯滚动过程中不列入摩擦力的功并不是没有摩擦力，事实上，正是摩擦力与重力沿下滑方向的分离组成力偶使圆柱体转动且摩擦阻力阻止了柱体与斜面的相对滑动，才使圆柱体沿斜面滚动而不滑动；如果斜面不能提供足够的摩擦力，则圆柱体会连滚带滑的向下运动；如果斜面绝对光滑，即斜面对圆柱体不提供摩擦力，则圆柱体在重力作用下沿斜面只滑动不滚动。

??，当柱体一定时，相对质 答 圆柱体沿斜面无滑动滚动，如课本195页例[2]示，??c?a?x心的转动惯量越大则???越小，故与转动惯量有关。当圆柱体沿斜面既滚动又滑动地向下运动时，如课本图3.7.7有

??mgsin??f m?x这里f是滑动摩擦力，f??n??mgcos?，?是滑动摩擦系数，（注意，无滑动时，静摩擦力f并不一定达到极限值，f???n，??是静摩擦系数）、所以

??c?g?sin???cos?? x与转动惯量无关。又有转动定律得

???fa I?即

????mg?acos? I???S??得圆柱与斜面的相对滑动加速度 由??c?a?x???g?sin???cos???ma?gcos? SI与转动惯量有关

3.11 答 刚体作定点转动或定轴转动时，

2?Vi?O?Ri?iriO题3-12图体内任一点的线速度才可写为ω?r，这时r是任一点到左边一点引出的矢径不等于该点到转轴的垂直距离对定点运动刚体圆点一般取在定点位置，对定轴转动刚体，坐标原点可取在定轴上任一点；包含原点且与转轴垂直的平面内的各点，r才等于到转轴的垂直距离。当刚体作平面平行运动或任意运动时，人一点相对与基点的速度也可写为ω?r?，其中r?为该点向基点引的矢径。

3.12 答 刚体绕定点转动时，ω?ω?t?的大小、方向时刻改变，任意时刻ω所在的方位即为瞬时转轴，

dω?r表示由于ω大小和方向的改变引起的刚体上某但绕瞬时轴的转动速dt度，故称转动加速度。ω??ω?r??ω?v是由于刚体上某点绕瞬时轴转动引起速度方向改变产生的加速度，它恒垂直指向瞬时转轴，此方向轨迹的曲率中心或定点，故称向轴加速度而不称向心加速度。

3.13 答 在对定点应用动量矩定理推导欧勒动力学方程时，既考虑了刚体绕定点O转动的定量矩J随固连于刚体的坐标系绕定点转动引起的动量矩改变ω?J，又考虑了J相对固连于刚体的坐标轴的运动引起动量矩的改变Jxi?Jyj?Jzk也就是说，既考虑了随刚体运动的牵连运动，又考虑了相对于刚体的相对运动，是以固定参考系观测矢量对时间微商的，故用这种坐标系并不影响对刚体运动的研究。

3.14 答 欧勒动力学方程的第二项是由于动量矩矢量J随刚体以角速度ω转动产生的

iω?J??xI1?x

j?yI2?y?z????I2?I3??y?z?i???I1?I3??z?x?j???I2?I1??x?y?k I3?zk它们具有定性力矩的物理意义，各项的负值表示了惯性力系对定点的主矩在各动轴上的分量

第三章习题

3.1 半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为

4c2?2r2

c 3.2长为2l的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身则如图示斜靠在与墙相距为

??d?d?lcos??的光滑棱角上。求棒在平衡时与水平面所成的角?。

B2lA?d

第3.2题图 3.3 两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起，且?ABC形成一直角。如将此棒的A点用绳系于固定点上，则当平衡时，AB和竖直直线所成的角?0满足下列关系

b2 tg?0?2a?2ab式中a及b为棒AB和BC的长度，试证明之。

3.4相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求?角及?角之间的关系。

O??

????第3.4题图? 3.5一均质的梯子，一端置于摩擦系数为

1的地板上，另一端则斜靠在摩擦系数为1的高

23墙上，一人的体重为梯子的三倍，爬到梯的顶端时，梯尚未开始滑动，则梯与地面的倾角，最小当为若干？

3.6把分子看作相互间距离不变的质点组，试决定以下两种情况下分子的中心主转动惯量：

?a?二原子分子。它们的质量是m1，m2，距离是l。

?b?形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是h，底边的长度为a。底边上两个

原子的质量为m，顶点上的为m。

12ym2C?h xm1m1a第3.6（b)题图 3.7如椭球方程为

x2y2z2?2?2?1 2abc试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为m，并且密度?是常数。

3.8半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度可以用下式表示：

?r2?

???0??1??R2????式中?0及?都是常数。试求此圆球绕直径转动时的回转半径。 3.9立方体绕其对角线转动时的回转半径为

k?试证明之。式中d为对角线的长度。

d32

3.10一均质圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为?0。已知圆盘与桌面的摩擦系数为?，问经过多少时间后盘将静止？ 3.11通风机的转动部分以初角速?0绕其轴转动。空气阻力矩与角速成正比，比例常数为

k。如转动部分对其轴的转动惯量为I，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一

半？又在此时间内共转了多少转？

?0

第3.11题图 3.12矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕竖直轴AB以初角速?0转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？

?BCb

AaD第3.12题图 3.13一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线垂直的轴线摆动。求其作微振动时的周期。

3.14试求复摆悬点上的反作用力在水平方向的投影R与竖直方向的投影R。设此摆的

XY重量为mg，对转动轴的回转半径为k，转动轴到摆重心的距离为a，且摆无初速地自离平衡位置为一已知角?0处下降。

3.15一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？

3.16一矩形板ABCD在平行于自身的平面内运动，其角速度为定值?。在某一瞬时，A点的速度为v，其方向则沿对角线AC。试求此瞬时B点的速度，以v、?及矩形的边长等表示之。假定_____AB?a,BC?b_____。

1?的圆周里滑动，而杆

3.17长为l的杆AB在一固定平面内运动。其A端在半径r?r????2?本身则于任何时刻均通过此圆周的M点。试求杆上任一点的轨迹及转动瞬心的轨迹。

OMA?

3.18一圆盘以匀速度v0沿一直线无滑动地滚动。杆AB以铰链固结于盘的边缘上的B点，其A端则沿上述直线滑动。求A点的速度与盘的转角?的关系，设杆长为l，盘的半径为r。

AlB?r ?第3.18题图 3.19长为2a的均质棒AB，以铰链悬挂于A点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几转？

3.20质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度a，物体的加速度a及绳中张力T。

12rMm

第3.20题图 3.21一飞轮有一半径为r的杆轴。飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为I。在杆轴上绕

有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为m的重物。如飞轮受到阻尼力矩G的作用，求飞轮的角加速度。若飞轮转过?角后，绳子与杆轴脱离，并再转过?角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。

r

m第3.21题图 3.22一面粗糙另一面光滑的平板，质量为M，将光滑的一面放在水平桌上，目标那上放一质量为m的球。若板沿其长度方向突然有一速度V，问此球经过多少时间后开始滚动而不滑动？

3.23重为W的木板受水平力F的作用，在一不光滑的平面上运动，板与平面间的摩擦系

1数为?。在板上放一重为W的实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度

2a。

3.24半径为a的球，以初速V及初角速?抛掷于一倾角为?的斜面上，使其沿着斜面向上滚动。如V﹥a?，其中?的方向使球有向下滚动的趋势，且摩擦系数?﹥证经过

2

tg?，试7

5V?2a?的时候，球将停止上升。

5gsin? 3.25均质实心圆球，栖于另一固定圆球的顶端。如使其自此位置发生此微偏离，则将开始滚下。试证当两球的公共法线与竖直线所成之角?满足下列关系

2sin??????5sin??3cos??2?

时，则将开始滑动，式中?为摩擦角。

3.26棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾角为?。如任其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾角变为

?2?sin?1?sin??

?3?时，棒将与墙分离，试证明之。

3.27试研究上题中棒与墙分离后的运动。并求棒落地时的角速度?，设棒长为2a。 3.28半径为r的均质实心圆柱，放在倾角为?的粗糙斜面上，摩擦系数为?。设运动不是纯滚动，试求圆柱体质心加速度a及圆柱体的角加速度?。

3.29均质实心球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，问哪一

个球滚得快些？并证它们经过相等距离所需的时间比是21:5。

3.30碾磨机碾轮的边缘沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则以匀角速?绕铅垂轴OB转动。如OA?c，OB?b，试求轮上最高点的速度及加速度的量值。

?OA

B第3.30题图 3.31转轮AB，绕OC轴转动的角速度为?，而OC绕竖直线OE转动的角速度则为?。

21如_____AD?DB??_____，______OD?b，?COE??，试求转轮最低点B的速度。

题2.15图EC?2A?1?DB

O第3.31题图 3.32高为h、顶角为2?的圆锥在一平面上滚动而不滑动。如已知此锥以匀角速?绕O?轴转动，试求圆锥底面上A点的转动加速度a和向轴加速度a的量值。

12??A?Oh

第3.32题图 3.33一回转仪，I1?I2?2I3，依惯性绕重心转动，并作规则进动。已知此回转仪的自

转角速度为?，并知其自转轴与进动轴间的夹角??60?，求进动角速度?的量值。

21 3.34试用欧勒动力学方程，证明在欧勒-潘索情况中，动量矩J及动量T都是常数。 3.35对称陀螺的轴位于竖直位置，陀螺以很大的角速度?作稳定的自转。今突然在离开

1顶点d处受到一与陀螺的对称轴垂直的冲量I作用。试证陀螺在以后的运动中，最大章动角近似地为

?Id? 2tg?1??I????31?式中I3是陀螺绕对称轴转动的转动惯量。

3.36一个I1?I2?I3的刚体，绕其重心作定点转动。已知作用在刚体上的阻尼力是一力偶，位于与转动瞬轴相垂直的平面内，其力偶矩与瞬时角速度成正比，比例常数为I3?，试证刚体的瞬时角速度在三惯量主轴上的分量为

?x?ae??tI3I1?n?sin?e??t??? ????n?cos?e??t???

????y?ae?tI3I1?z??e??t

式中a,?,?都是常数，而

n?

I3?I1?。 I1第三章习题

3.1 半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为

4c2?2r2

c 3.2长为2l的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身则如图示斜靠在与墙相距为

??d?d?lcos??的光滑棱角上。求棒在平衡时与水平面所成的角?。

B2lA?d

第3.2题图 3.3 两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起，且?ABC形成一直角。如将此棒的A点用绳系于固定点上，则当平衡时，AB和竖直直线所成的角?0满足下列关系

b2 tg?0?2a?2ab式中a及b为棒AB和BC的长度，试证明之。

3.4相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求?角及?角之间的关系。

O??

????第3.4题图? 3.5一均质的梯子，一端置于摩擦系数为1的地板上，另一端则斜靠在摩擦系数为1的高

23墙上，一人的体重为梯子的三倍，爬到梯的顶端时，梯尚未开始滑动，则梯与地面的倾角，最小当为若干？

3.6把分子看作相互间距离不变的质点组， 试决定以下两种情况下分子的中心主转动惯量：

?a?二原子分子。它们的质量是m1，m2，距离是l。

?b?形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是h，底边的长度为a。底边上两个

原子的质量为m1，顶点上的为m2。

ym2C?h xm1m1a第3.6（b)题图 3.7如椭球方程为

x2y2z2?2?2?1 2abc试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为m，并且密度?是常数。

3.8半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度可以用下式表示：

?r2? ???0??1??R2????式中?0及?都是常数。试求此圆球绕直径转动时的回转半径。 3.9立方体绕其对角线转动时的回转半径为

k?试证明之。式中d为对角线的长度。

d32

3.10一均质圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为?0。已知圆盘与桌面的摩擦系数为?，问经过多少时间后盘将静止？

3.11通风机的转动部分以初角速?0绕其轴转动。空气阻力矩与角速成正比，比例常数为

k。如转动部分对其轴的转动惯量为I，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一

半？又在此时间内共转了多少转？

?0

第3.11题图 3.12矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕竖直轴AB以初角速?0转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？

?BCb

AaD第3.12题图 3.13一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线垂直的轴线摆动。求其作微振动时的周期。

3.14试求复摆悬点上的反作用力在水平方向的投影R与竖直方向的投影R。设此摆的

XY重量为mg，对转动轴的回转半径为k，转动轴到摆重心的距离为a，且摆无初速地自离平衡位置为一已知角?0处下降。

3.15一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？

3.16一矩形板ABCD在平行于自身的平面内运动，其角速度为定值?。在某一瞬时，A点的速度为v，其方向则沿对角线AC。试求此瞬时B点的速度，以v、?及矩形的边长等表示之。假定_____AB?a,BC?b。

_____

1? 3.17长为l的杆AB在一固定平面内运动。其A端在半径r??r??的圆周里滑动，而杆

?2?本身则于任何时刻均通过此圆周的M点。试求杆上任一点的轨迹及转动瞬心的轨迹。

OMA?

3.18一圆盘以匀速度v0沿一直线无滑动地滚动。杆AB以铰链固结于盘的边缘上的B点， 其A端则沿上述直线滑动。求A点的速度与盘的转角?的关系，设杆长为l，盘的半径为r。

AlB?r ?第3.18题图 3.19长为2a的均质棒AB，以铰链悬挂于A点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几转？

3.20质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度a，物体的加速度a及绳中张力T。

12rMm

第3.20题图 3.21一飞轮有一半径为r的杆轴。飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为I。在杆轴上绕有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为m的重物。如飞轮受到阻尼力矩G的作用，求飞轮的角加速度。若飞轮转过?角后，绳子与杆轴脱离，并再转过?角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。

r

m第3.21题图 3.22一面粗糙另一面光滑的平板，质量为M，将光滑的一面放在水平桌上，目标那上放一质量为m的球。若板沿其长度方向突然有一速度V，问此球经过多少时间后开始滚动而不滑动？

3.23重为W的木板受水平力F的作用，在一不光滑的平面上运动，板与平面间的摩擦系

1数为?。在板上放一重为W的实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度

2a。

3.24半径为a的球，以初速V及初角速?抛掷于一倾角为?的斜面上，使其沿着斜面向上滚动。如V﹥a?，其中?的方向使球有向下滚动的趋势，且摩擦系数?﹥证经过

2

tg?，试7

5V?2a?的时候，球将停止上升。

5gsin? 3.25均质实心圆球，栖于另一固定圆球的顶端。如使其自此位置发生此微偏离，则将开始滚下。试证当两球的公共法线与竖直线所成之角?满足下列关系

2sin??????5sin??3cos??2?

时，则将开始滑动，式中?为摩擦角。

3.26棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾角为?。如任其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾角变为

?2?sin?1?sin??

?3?时，棒将与墙分离，试证明之。

3.27试研究上题中棒与墙分离后的运动。并求棒落地时的角速度?，设棒长为2a。 3.28半径为r的均质实心圆柱，放在倾角为?的粗糙斜面上，摩擦系数为?。设运动不是纯滚动，试求圆柱体质心加速度a及圆柱体的角加速度?。

3.29均质实心球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，问哪一个球滚得快些？并证它们经过相等距离所需的时间比是21:5。

3.30碾磨机碾轮的边缘沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则以匀角速?绕铅垂轴OB转动。如OA?c，OB?b，试求轮上最高点的速度及加速度的量值。

?OA

B第3.30题图 3.31转轮AB，绕OC轴转动的角速度为?，而OC绕竖直线OE转动的角速度则为?2。1如_____AD?DB??_____，______OD?b，?COE??，试求转轮最低点B的速度。

题2.15图EC?2A?1?DB

O第3.31题图 3.32高为h、顶角为2?的圆锥在一平面上滚动而不滑动。如已知此锥以匀角速?绕O?轴转动，试求圆锥底面上A点的转动加速度a和向轴加速度a的量值。

12??A?Oh

第3.32题图 3.33一回转仪，I1?I2?2I3，依惯性绕重心转动，并作规则进动。已知此回转仪的自转角速度为?，并知其自转轴与进动轴间的夹角??60?，求进动角速度?的量值。

21 3.34试用欧勒动力学方程，证明在欧勒-潘索情况中，动量矩J及动量T都是常数。 3.35对称陀螺的轴位于竖直位置，陀螺以很大的角速度?作稳定的自转。今突然在离开

1顶点d处受到一与陀螺的对称轴垂直的冲量I作用。试证陀螺在以后的运动中，最大章动角近似地为

?Id? 2tg?1??I????31?式中I3是陀螺绕对称轴转动的转动惯量。

3.36一个I1?I2?I3的刚体，绕其重心作定点转动。已知作用在刚体上的阻尼力是一力偶，位于与转动瞬轴相垂直的平面内，其力偶矩与瞬时角速度成正比，比例常数为I3?，试证刚体的瞬时角速度在三惯量主轴上的分量为

?x?ae??tI3I1?n?sin?e??t??? ????n?cos?e??t???

????y?ae?tI3I1?z??e??t

式中a,?,?都是常数，而

n?

I3?I1?。 I1第三章习题解答

3.1解 如题3.1.1图。

yN2?N1o?BA题3.1.1图均质棒受到碗的弹力分别为N1，N2,棒自身重力为G。棒与水平方向的夹角为

??Gx?。设棒的长度为l。

由于棒处于平衡状态，所以棒沿x轴和y轴的和外力为零。沿过A点且与

z轴平行的合力矩为0。即：

?F?F由①②③式得：

yx?N1cos2??N2sin??0①

?N1sin2??N2cos??G?0②

lM?Nc?Gcos??0③ ?i22

2c?2cos2??1?④ l?cos2?又由于

2rcos??c,

即

cos??c⑤ 2r将⑤代入④得：

4?c2?2r2? l?c

3.2解 如题3.2.1图所示，

N2?2lB

A?odGN1x题3.2.1图均质棒分别受到光滑墙的弹力N1，光滑棱角的弹力N2，及重力G。由于棒处于平衡状态，所以沿y方向的合力矩为零。即

?F?M由①②式得：

zy?N2cos??G?0①

d2l?Gcos??0 cos?2?N2cos3??d

l所以

?d?3

??arccos???l?1

3.3解 如题3.3.1图所示。

D?xG1o?HFEC

题3.3.1图G2AB棒受到重力G1??agi。棒受到的重力G2??bgi。设均质棒的线密度为?。

由题意可知，整个均质棒沿z轴方向的合力矩为零。

a?b??gasin???gb???M?G?ODsin??GBF?BH?cos??asin???0 ?z122?2?b2 tan??2a?2ab

3.4解 如题3.4.1图。

y??TArBT??????c

x题3.4.1图Ox轴竖直向下，相同的球A、B、C互切，B、C切于D点。设球的重力大小

为G，半径为r，则对A、B、C三个球构成的系统来说，在x轴方向的合力应为零。即：

?F?M由式得：

Dx?3G?2Tcos??0①

对于C球，它相对于过D点与z轴平行的轴的合力矩等于零。即：

?Trsin??????Grsin??0 ②

tan??3tan?

3.5解 如题3.5.1图。

yAf2N2N1oG2G1f1Bx题3.5.1图梯子受到地面和墙的弹力分别为N1，N2，受地面和墙的摩擦力分别为f1，f2。梯子和人的重力分别为G1，G2且G2?3G1。设梯长为l，与地面夹角为?。由于梯子处于平衡，所以

?F?Fyx?N2?f1?0①

?f2?N1?G1?G2?0②

且梯子沿过A点平行于z轴的合力矩为零。即：

?Mi?G2lcos??G1到最小时，

lcos??f2lcos??N2lsin??0③ 2又因梯子是一个刚体。当一端滑动时，另一端也滑动，所以当梯与地面的倾角达

f1?f2?1N1④ 21N2⑤ 3由①②③④⑤得：tan??41

24所以

??tan?1?

?41?

??24?3.6解 （a）取二原子的连线为x轴，而y轴与z轴通过质心。O为质心，则Ox，

Oy，Oz轴即为中心惯量主轴。

ym2h?m1Caxm1

题3.6.1图设m1、m2的坐标为?l1,0,0?,?l2,0,0?，因为O为质心（如题3.6.2图）

y

m1z故

om2x题3.6.2图m1l1?m2l2?0①

且

l2?l1?l ②

由①②得

l1??m2lm1l ,l2?m1?m2m1?m2所以中心惯量主轴：

I1??mi?y2i?z2i??0

I2??mi?z2i?x2i??m1m22l

m1?m2I3??mi?x2i?y2i??m1m22l

m1?m2（b）如题3.6.3图所示，

yAm2Coz题3.6.3图该原子由A、B、D三个原子构成。C为三个原子分子的质心。由对称性可知，图中Cx、Cy、Cz轴即为中心惯量主轴。设A、B、D三原子的坐标分别为

a??a??0,yA,0?，???,yB,0?,?,yD,0?因为C为分子的质心。所以

?2??2?yC?mAyA?mByB?mDyDm2yA?m1yB?m1yD=?0①

m2?m1?m1mA?mB?mDBm1xm2D

又由于

yB?yD② yA?yB?h③

由①②③得：

yA?2m1hm2h .yB?yD??2m1?m22m1?m2故该分子的中心主转动惯量

设??0??0，

???e??t?0k?tI

k?t???1?eI? ??????t????0e0tk?tIdt???0?I??0k故当t?I㏑2时，??t??I?0，t时间内通风机转动的转数

k2k??t????0?I?0

n??2?4?k

3.12解 如题3.12.1图，

z?BA??0aCb

yODx第3.12.1图

坐标Oxyz与薄片固连，则沿z轴方向有： dz?MZ且

dtz?I?z①

现取如图阴影部分的小区域dS?ady，该区域受到的阻力

2df?kdSv2?kady??zy?

df对z轴的力矩dMz??df?y??ka?z2y3dy所以

Mz??a0a3b2②

dMz??k?z4又薄片对轴的转动惯量

I??y2dm??y2?bdy?00aa1ma2?m??ab?③ 3由①②③得：

?z?t??13ka2b1

t?4m?04m当?z?t???0时，t? 23kab?02

3.13解 如题3.13.1图所示，

y?o?0???lx0

题3.13.1图坐标系Oxyz的原点位于圆弧最顶点。设圆弧平衡时，质心c的坐标为c?0,?l,0?。如图所示圆弧偏离平衡位置一小角度?，则?满足微分方程

?? ?mglsin??I?I为圆弧相对于Oz轴的转动惯量。当?很小时，sin???，代入上式得：

????mgl??0① I圆弧上对应转角为?的一小段圆弧的坐标为?Rsin?,Rcos??R,0? 质心c的纵坐标

yc?????00?d?R?Rcos??R?????00?Rd???R?sin?0?0R

上式中?为圆弧的线密度

l?R?sin?0?0R ②

又

?sin?0?22③ I???R?Rcos??R???Rsin??d??2mR2??1??????00???0??其中m?2?R?0，将②③代入①得

????g??0④ 2R解④式得通解

??t??Acos??微振动周期

T???g t?????2R?2?2R?2?

gg2R

3.14解 如题3.14.1图所示坐标系Oxyz。

RyORxz?acmg题3.14.1图x

由动量定理及动量矩定理得：

?2?y????R ① ?c?m?xc?m?xcx?2?x????R?mg② ?c?m?yc?m?ycy????mgasin?③ mk2?其中

????xc?asin?,yc??acos?

又根据机械能守恒定律得：

1?2?mga?cos??cos??④ mk2?02由①②③④解得：

mga2?2cos?0?3cos??sin? Rx?2kmga2??3cos??2cos?0?cos??1??mg Ry?2k

3.15解 如题3.15.1图所示坐标系Oxyz。

y?OP?x zA题3.15.1图由于球作无滑滚动，球与地面的接触A的速度与地面一致，等于零，所以A点为转动瞬心。以O为基点。设球的角速度ω???k，则

vA?v0?ω?OA?v0i????k????rj???v0??r?k?0

??v0 r设轮缘上任意一点p，Op与x轴交角为?，则

Op?rcos?i?rsin?j

故

vp?v0?ω?Op?v0i????k???rcos?i?rsin?j?

??v0??rsin??i??rcos?j

当??90?时，得最高点的速度vtop?2v0

ap?a0?dω?Op?ω??ω?Op? dt????k??????k???rcos?i?rsin?j??

v???rcos?i??rsin?j??0?cos?i?sin?j?

r222当??90?和?90?时分别得到最高点和最低点的加速度

atopv??0j

rv?0j r22abottom3.16解 如题3.16.1图所示，

ADaO

b3.16.1图BC由题意知该时刻瞬心一定处在AC的垂线AO中。设瞬心为O。则

AO??v

易知vB的方向如图，在?AOB中

vb?v?2 OB2?AO2?AB2?2AO?ABcos?OAB????a?2a????a2?b2OB?12?v2??2a2?2?vaba2?b2ab

222vB???OB?v??a?2?v

2a?b2OB2?BA2?AO2AB?AOcos?OABcos?OBA??2BO?BABOb?a?v22a?b ?abv2??2a2?2?va2?b2

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