振动理论及应用期末复习题题题库 - 西南交通大学

2008年振动力学期末考试试题

第一题（20分）

1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB 的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。?解：

系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y＝0，此时系统的势能为零。

AB转角：??y/L 系统动能：

1?2 m1y2?11111y1122?2?(m2L2)()2?(m2)y?2 m2动能：T2?J2?2?(m2L)?22323L23?211111y22?2 m3动能：T3?J3?3?(m3R)()?(m3)y222R22m1动能：T1?系统势能：

111V??m1gy?m2g(y)?k(y)2

222在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：

T?V?111111?2?m1gy?m2gy?k(y)2?E (m1?m2?m3)y232222上式求导，得系统的微分方程为：

???y固有频率和周期为：

k114(m1?m2?m3)32y?E?

?0?k114(m1?m2?m3)32

2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x＝0，此时系统的势能为零。

物体B动能：T1?x 1?2 m2x2轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为vc?为??11?，角速度为???，转过的角度xx22R1x。轮子动能： 2R11112111213?)?(m1R2)(2x?)?(m1x?2) T2?m1vc2?J?2?m1(x222422284R系统势能：

V?12111kkxc?k(?R)2?k(xR)2?x2 2222R8在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：

T?V?

13m1k?2?x2?E (?m2)x288上式求导得系统的运动微分方程：

???x固有频率为：

2kx?0

3m1?8m2?0?

2k

3m1?8m2第二题（20分）

1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解：

系统为二自由度系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：

?2k??2k?系统质量矩阵为：

?2k? 4k???m0??02m? ??系统动力学方程为：

?1??2kx?m0???????02m????2???2k???x

频率方程为：

?2k??x1??0???? ???4k??x2??0?2k?m?2Δ(?)??2k解出系统2个固有频率：

?2k?0 24k?2m??12?(2?2)kk2，?2?(2?2) mm

2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。 解：

系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。

当x1＝1，x2＝0时，AD转角为??1/3L，两个弹簧处的弹性力分别为k?L和2k?L。对D点取

x1 x2 14kL；另外有k21??kL。力矩平衡，有：k11? 9同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：

k22?kL，k12??kL 因此，系统刚度矩阵为：

1kL 32kL 3k11 k?1 D ?14?kL?kL?9? ??kLkL???系统质量矩阵为：

?m0??0m? ??系统动力学方程为：

?1??14kL?kL??x1??0?x?m0????????? ??9??0m????2???kLx0???xkL????2???频率方程为：

14kL?m?29?kL即：

?kLkL?m?2?0

9m2?4?23kmL?2?5k2L2?0

第三题（20分）

在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1= k3=k4= k0，又k2=2 k0，求系统固有频率；（3）取k0 =1，m1=8/9，m2 =1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。 解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：

x1 x2 k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2

当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：

?k1?k2?k4??k2?系统质量矩阵为：

?k2?

k2?k3??0? m2???m1?0?系统动力学方程为：

?m1?0?

?1??k1?k2?k40???x???????m2??x2???k2?k2??x1??0???? ???k2?k3??x2??0?（2）当k1?k3?k4?k0，k2?2k0时，运动微分方程用矩阵表示为：

?m1?0?频率方程为：

?1??4k00???x??????2???2k0m2???x?2k0??x1??0???? ???3k0??x2??0?2(4k0?m1?2)(3k0?m2?2)?4k0?0 2m1m2?4?(3m1?4m2)k0?2?8k0?0

求得：

?12?k02?(3m1?4m2?9m12?8m1m2?16m2)

2m1m2k02?(3m1?4m2?9m12?8m1m2?16m2)

2m1m22?2?

（3）当k0=1，m1=8/9，m2 =1时，系统质量阵：

?8?0? M??9?01???系统刚度阵：

?4?2?K???

?23??固有频率为：

?12?主模态矩阵为：

32，?2?6 2?3Φ??4?1?主质量阵：

3??? 21???3?0Mp?ΦMΦ??2?

?03???T主刚度阵：

?9?0? Kp?ΦKΦ??4?018???T模态空间初始条件：

x(0)??4??q1(0)??1?1?q(0)??Φ?x(0)????4?， ?2??2???模态响应：

?1(0)??(0)??0?x?q?1?1?Φ??? ?q????2(0)??0???2(0)??x2??1??12q1?0，q??2??2qq2?0

即：

q1(t)?4cos?1t，q2(t)??4cos?2t

因此有：

?x1(t)??q1(t)??3cos?1t?6cos?2t?Φ?x(t)??q(t)???4cos?t?4cos?t

?2??2??12

第四题（20分）

? 一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支承，C 弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x方向作用

x 有简谐外部激励sin?t。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和?为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1 =1，k2 =3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率?为多少时，能够使得杆件只有?方向的角振动，而无x方向的振动？ 解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、?为广义坐标，x为质心的纵向位移，??为刚杆的角位移，如图示。?

当x?1、??0时：

k11?k1?k2，k21?(k2?k1)当x?0、??1时：

sin?t L 2LL2k11?(k2?k1)，k22?(k1?k2)

24

k21

k11 k2?1 k1?1

因此，刚度矩阵为：

k22 k12 k1???L 2??1

k2???L 2??k1?k2K???(k2?k1)L2?质量矩阵为：

L?2? L2?(k1?k2)?4?(k2?k1)0??m1M??2? 0mL??12??系统动力学方程：

?0????m???k1?k2x1?2???????0mLL????12????(k2?k1)2?L?2??x???sin?t?

????0?L2??(k1?k2)????4?(k2?k1)

（2）当m=12，L=，k1 =1，k2 =3时，系统动力学方程为：

???41??x??sin?t?x?120????01????????11??????0? ??????????频率方程为：

24?12?011??201即：

?0

4212?0?16?0?3?0

求得：

?02?4?7 6?x??x?（3）令?????sin?t，代入上述动力学方程，有：

???????4?12?21??x??1???? ?2???11??????????0?由第二行方程，解得???x，代入第一行的方程，有：

1??21??22，???[(4?12?)?1] x?2(4?12?)?1要使得杆件只有?方向的角振动，而无x方向的振动，则需x?0，因此??1。

第五题（20分）

如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为?。在梁的a位置作用有集中载荷F(t)。已知梁的初始条

y F(t) a x ?(x,0)?f2(x)。件为：y(x,0)?f1(x)，y（1）推

导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应y(x,t)的L 详细过程。

（假定已知第i阶固有频率为?i，相应的模态函数为?i(x)，i?1~?）

?2?2y(x,t)?2y[EI]??S2?f(x,t)，其中提示：梁的动力学方程为：22?x?x?tf(x,t)?F(t)?(x?a)，?为?函数。

解：

（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：

?2?2y(x,t)?2y(x,t)[EI]??S?0 222?x?x?ty(x,t)可写为：

y(x,t)??(x)q(t)??(x)asin(?t??)

代入梁的动力学方程，有：

(EI???)????2?S?

设与?i、?j对应有?i、?j，有：

(EI?i??)????i2?S?i

2???(EI??)??jj?S?j

（1） （2）

式（1）两边乘以?j并沿梁长对x积分，有：

2?????(EI?)dx??i??S?i?jdx ?ji00ll（3）

利用分部积分，上式左边可写为：

???jdx ??j(EI?i??)??dx??j(EI?i??)?0???j(EI?i??)0??EI?i??00llll（4）

由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，

上式右边第一、第二项等于零，成为：

???jdx ??j(EI?i??)??dx??EI?i??00ll将上式代入（3）中，有：

?l02???EI?i??jdx??i??S?i?jdx

0l（5）

式（2）乘?i并沿梁长对x积分，同样可得到：

ll

?EI??????dx??20ijj?0?S?i?jdx 由式(5)、(6)得：

(?2??2)?lij0?S?i?jdx?0

如果i?j时，?i??j，则有：

?l0?S?i?jdx?0 当i?j

上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得：

?l0EI?i????j?dx?0 当i?j ?l0?j(EI?i??)??dx?0 当i?j

上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。

当i?j时，式（7）总能成立，令：

?l20?S?jdx?Mpj

Mpj、Kpj即为第j阶主质量和第j阶主刚度。

由式（6）知有：?2pjj?KM

pj如果主振型?j(x)中的常数按下列归一化条件来确定：

?l20?S?jdx?Mpj?1

则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度K2pj为?j。式（9）与（8）可合并写为：

?l0?S?i?jdx??ij

由式（6）知有：?lEI??????dx??2?， ?l?(EI???)?20ijjij0jj?dx??j?ij

（2）悬臂梁的运动微分方程为： ?4y?2EIy?x4??S?t2?f(x,t) 其中：

f(x,t)?F(t)?(x?a)

令： ?

y(x,t)???i(x)qi(t)

i?1代入运动微分方程，有：

??(EI??i)???qi??S??1??iqi?f(x,t) i?i?1上式两边乘?j(x)，并沿梁长度对x进行积分，有：

（6）

（7）

（8）

（9）

（1）

（2）

（3）

（4）

?q?ii?1?L0?LL?????i??S?i?jdx??f(x,t)?jdx (EI?i)?jdx??qi?100（5）

利用正交性条件，可得：

其中广义力为：

??j(t)??2qjqj(t)?Qj(t)

Qj(t)??f(t)?jdx??F(t)?(x?a)?jdx?F(t)?j(a)

00LL（6）

（7）

初始条件可写为：

???y(x,0)?f1(x)???i(x)qi(0)?i?1 ???y?(x,0)?f2(x)???i(x)q?i(0)?i?1? （8）

上式乘以?S?j(x)，并沿梁长度对x积分，由正交性条件可得：

?q(0)?L?Sf(x)?(x)dx?01j?j ?L?q?(0)???Sf2(x)?j(x)dx0?j（9）

由式（6），可得：

qj(t)?qj(0)cos?jt?

?j(0)q?j?j(0)qsin?jt?1?j1?L0Qj(?)sin?j(t??)d? （10）

L?qj(0)cos?jt?利用式（3），梁的响应为：

??jsin?jt??j?j(a)?F(?)sin?j(t??)d?0y(x,t)???i(x)qi(t)i?1?j(0)??qL1???i(x)?qj(0)cos?jt?sin?jt??j(a)?F(?)sin?j(t??)d??0?j?ji?1?????

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