浙江省绍兴市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题

绍兴一中2015学年第一学期期末考试

高二数学

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为32的直线方程为（ ▲ ）

A．x-y+8=0或x-y-1=0 B．x+y+8=0或x+y-1=0

C．x+y-3=0或x+y+3=0 D．x+y-3=0或x+y+9=0

2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ▲ ）

A.202? B．252?

C．50π

D．200π

3.设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ▲ ） A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β C．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α

24.若直线y=x+m与曲线1?y=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（ ▲ ）

A.(?2,2) B.(?2,?1] C.(?2,1] D.[1,2)

5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ▲ ） A．4

B．

2026 C． D．8 33

6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确 （ ▲ ）

①.ED⊥平面ACD ②.CD⊥平面BED ③.BD⊥平面ACD ④.AD⊥平面BED A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

?x2y2a27.点P(-3，1)在椭圆2?2?1(a＞b＞0)的左准线(x??)上．过点P且方向为a=

abc（2，-5）的光线，经直线y =﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（▲） A．

1132 B． C． D．

3232 1

8.已知点A(﹣2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ▲ ） A．(0,2?2) B．(2?2,1)

C． (2?2,] D．[,1)2323

二、填空题（每小题3分，其中第9,15题各4分，共23分） 9.直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD为 ▲ ，面积为 ▲ cm．

10.李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为 ▲ cm．

2

x2y2??1内有一点P(2，1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 11.椭圆E：

164▲ ．

12.四面体的棱长中，有两条为2、3，其余的全为1，它的体积是 ▲ ． 13.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为27和43，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题： ①弦AB、CD可能相交于点M； ②弦AB、CD可能相交于点N； ③MN的最大值是5； ④MN的最小值是1； 其中所有正确命题的序号为 ▲ ．

14.设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y﹣6=0，点P（x0，y0）∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°（O为坐标原点），则x0的取值范围是 ▲ ．

15.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=25的点P的个数为 ▲ ；

若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是 ▲ ．

三、解答题（本大题共5题，共53分）

16.（本题满分8分）如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱． （1）试用x表示圆柱的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大．

2

17.（本题满分9分）已知圆C:x2?(y?1)2?5，直线l:mx?y?1?m?0

（1）求证：对m?R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B； （2）求弦AB的中点M的轨迹方程. 18.（本题满分10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． （1）证明：CD⊥AE；

（2）证明：PD⊥平面ABE；

（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．

19.（本题满分12分）已知圆M:x?(y?4)?4，点P是直线l:x?2y?0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；

（2）若?PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． （3）求线段AB长度的最小值．

22 3

x2y2??120.（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0,y0)是椭圆

2412上的一点，从原点O向圆R:(x?x0)2?(y?y0)2?8作两条切线，分别交椭圆于点P,Q. (1)若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；

(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1,k2，求证2k1k2?1?0； (3)试问OP2?OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

y Q R P O x 4

绍兴一中2015学年第一学期期末考试

高二数学答案

一、选择题（每小题3分，共24分） 1 D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 A 7 A 8 B 二、填空题（每小题3分，其中第9,15题各4分，共23分） 9.矩形 8 10. 30+10π 11. x+2y﹣4=0 12.

62 13. ①③④ 14.[0,]

51215.12 （23，25）16.（1）S圆柱侧=2?rx?2?(2?)x?4?x?x32?2x,x?(0,6)3…………………4分

（2）由（1）知当x??4??3时，这个二次函数有最大值为6π， 2?2(?)32

∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm…………………………8分

2217. （1）解法一：圆C:x?(y?1)?5的圆心为C(0,1)，半径为5。

∴圆心C到直线l:mx?y?1?m?0的距离d?|?m|m2?1?|m|1∴直线l与圆??5，

|2m|2C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；

方法二：∵直线l:mx?y?1?m?0过定点P(1,1)，而点P(1,1)在圆内∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；………………………………………………4分 （2）当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM?MP，又因为

|CM|2?|MP|2?|CP|2,

设M(x,y)(x?1)，则x?(y?1)?(x?1)?(y?1)?1，

5

2222

化简得：x2?y2?x?2y?1?0(x?1)………………………………………………7分 当M与P重合时，x?1,y?1也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是x2?y2?x?2y?1?0。……………………………………9分 18.（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， 又AC⊥CD，AC∩PA=A，

∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，

∴CD⊥AE；…………………………………………………………………………3分 （2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD∴PA⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩PA=A

∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD∴AB⊥PD， 由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形． ∴AC=AB∴PA=PC

∵E是PC中点∴AE⊥PC

由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD ∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A

∴PD⊥平面ABE；…………………………………………………………………6分 （3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM， 由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD， 则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，

则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角． 设AC=a，AD=

=

，PA=A，PD=

=

a，

AM===，

在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，

则tan∠AME===．………………………………………………10分

6

或直接建立空间直角坐标系求解，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，设AC=a,则A（0,0,0），P(0,0,a),D(0,19.（1）由题意知，圆M的半径r?2，设P(2b,b)， ∵PA是圆M的一条切线，∴?MAP?900， ∴|MP|?a3a23

,0)。 a,0),C(,223

(0?2b)2?(4?b)2?AM2?AP2?4，解得b?0,b?8， 5∴P(0,0)或P(168,)．…………………………………………………………4分 550（2）设P(2b,b)，∵?MAP?90，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，

b?424b2?(b?4)2)?其方程为(x?b)?(y?， 242即(2x?y?4)b?(x2?y2?4y)?0，

8?x??x?0??2x?y?4?0?5由?2，解得或， ??2?y?4?y?4?x?y?4y?0?5?∴圆过定点(0,4)，(,)．……………………………………………………8分

8455b?424b2?(b?4)2)?（3）因为圆N方程为(x?b)?(y?， 242即x?y?2bx?(b?4)y?4b?0，

圆M：x?(y?4)?4，即x?y?8y?12?0，

②-①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx?(b?4)y?12?4b?0， 点M到直线AB的距离d?22222245b?8b?1622，

相交弦长即：AB?24?d?41?44?41?， 24645b?8b?165(b?)2?55当b?4时，AB有最小值11．……………………………………………………12分 57

20.（1）由圆R的方程知圆R的半径r=22,|OR|=2r=4，即x0?y0?16①，又点R

22?x0y0?x0??22在椭圆上，所以，所以圆R的方程为??1②，联立①②，解得?2412??y0??2222(x0?22)2?(y0?22)2?8………………………………………………4分

（2）因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切， 所以

|k1x0?y0|1?k221?22，

|k2x0?y0|1?k222?22………………………………5分

222化简得(x0?8)k12?2x0y0k1?y0?8?0，(x0?8)k2?2x0y0k2?y0?8?0，所以

k1，k2是方程(x0?8)k2?2x0y0k?y0?8?0的两个不相等的实数根，由韦达定理得，

2xyy0?8122k1k2=2.因为点R在椭圆上，所以 0?0?1，即y0?12?x0，所以

22412x0?8222212x012??k1k2=，即2k1k2?1?0.…………………………………………9分 22x0?84?（3）当直线OP、OQ落在坐标轴上时，有OP2?OQ2=36；……………………10分 当直线OP、OQ落在坐标轴上时，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，因为2k1k2?1?0，所以

2y1y212222?1?0，故y1y2?x1x2………………………………………………11分

4x1x2xyxy因为P(x1,y1)，Q(x2,y2)在椭圆上，所以1?1?1，2?2?1，即

24122412y1?12?22222x1?x222121212121222x1，y2?12?x2，所以(12?x1)(12?x2)?x1x2，整理得22224121222?24，所以y1?y2?(12?x1)?(12?x2)?12，所以OP2?OQ2=36.

2222综上，OP?OQ=36.………………………………………………………………14分

8

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