山西省大同市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2014~2015学年度第一学期 期末试卷

高 二 数 学(理)

第Ⅰ卷 客观卷（共36分）

一、选择题（每空3分，共36 分） 1．在△ABC中，“A 30 ”是“sinA

A．充分不必要条件 C．充要条件

1

”的（ ） 2

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知抛物线经过点M（3，－2），则抛物线的标准方程为（ ）

49

x或x2 y34 4922

C．y x或x y

32

2

A．y

89x或x2 y 348922

D．y x或x y

32

2

B．y

3．已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1

= E为CC1的中点，则直线

AC1 与平面BED的距离为( )

A．2 B

C

D．1

4．过点（2，－2）与双曲线x2 2y2 2有公共渐近线的双曲线方程为（ ）

x2y2

1 A． 24

x2y2

1B． 42 y2x2

1 D． 24

y2x2

1 C．42

2

5．命题：“若x 4，则 2 x 2”的逆否命题是（ ）

22

A．若x 4，则x 2，若x 2 B． 若 2 x 2，则x 4 22

C．若x 2，或x 2，则x 4 D．若x 2，或x 2，则x 4

x2y2144

6． 椭圆2 2 1(a b 0)的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1 F1F2MF1 MF2 ，

33ab

则离心率e等于（ ） A．

555

B． C． D． 8634

7． 设a (1 t,1 t,t)，b (2,t,t)，则b a的最小值是（ ）

A．

35355

B． C． D．

555 5

8．已知命题p：实数m满足m 1 0，命题q：函数y (9 4m)x是增函数。若p q为真命题，p q为假命题，则实数m的取值范围为（ ） A．（1，2） C．[1，2]

B．（0，1） D．[0，1]

9．如图1，正方体ABCD A1B1C1D1中，PQ是异面直线

A1D与AC的公垂线，则直线PQ与BD1的位置关系为（ ）

A．平行 C．相交

B．异面 D．无法判断

x2

y2 1的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则QF1 QF2 的最大值和10．设F1、F2分别是椭圆4

最小值分别为（ ） A．1与－2 C．1与－1

B．2与－2 D．2与－1

11．设x1,x2 R，常数a 0，定义运算“*”：x1 x2 (x1 x2)2 (x1 x2)2，若x 0，则动点P

（x的轨迹是（ ）A．圆

B．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

C．双曲线的一部分

x2y2

12．设离心率为e的双曲线C：2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与

ab

双曲线C的左、右两支相交的充要条件是（ ）

22

A．k e 1

22

B．k e 1 22

D．e k 1

22

C．e k 1

第II卷 主观卷（共64分）

二、填空题：(3×4=12)

13．已知定点A,B，且AB=4,动点P满足PA PB 3,则PA的最小值为。

x2y2x2y2

1(m n 0)与双曲线 1(a 0,b 0)有相同的焦点F1,F2，P是两曲线的一个焦14．椭圆

mnab

点，则PF1PF2等于

15．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM| 。

x2y2

1上任一点，那点P到直线l：x 2y 12 0的距离的最小值为 。 16．已知点P是椭圆43

三、解答题：

x2y2

17．(10分) 椭圆E： =1内有一点P(2,1)，求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程．

164

18．(10分) 已知抛物线y2 x与直线y k(x 1)相交于A，B两点。

（1）求证：OA⊥OB；

（2）当 OAB的面积等于时，求k的值。

x2

y2 1相交于M，N两点，求 MON面积的最大值。 19．(10分) 直线l过点P（0，2）且与椭圆2

20．(10分) 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC， ADC 90 ， 平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA PD 2，BC

1

AD

1，2

CD

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与

BM所成角的余弦值.

21．(12分) 如图3，四棱锥P—ABCD的底面为菱形且 DAB 60 ，PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2a，

E为PC的中点。

（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小； （2）求二面角E—AD—C的余弦值。

数学(理) 参考答案

一.

1—6BCDDDC 7—12 BAAADC 二. 填空题：13 三. 解答题：

17:解:设直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),由点差法代入椭圆方程可得所求直线 方程为x＋2y－4＝0

78 14 .m-a 15.

16. 25

y2 x

18.（1）证明：如图3，由方程组 ，消去x后，整理得ky2 y k 0

y k(x 1)

设A(x1,y1),B(x2,y2)，由韦达定理知：y1 y2 1

222

因为A、B在抛物线y2 x上，所以y1 x,y2 x2,y12 y2 x1 x2

因为kOA kOB

y1y2y1y21

1，所以OA⊥OB x1x2x1x2y1y2

（2）解：连结AB，设直线AB与x轴交于N，由题意显然k 0 令y 0，则x 1，即N( 1,0) 因为S OAB S OAN S OBN 所以S OAB

111

ON y1 ON y2 ON y1 y2 222

111

1 (y1 y2)2 4y1y2 (1 )2 4 22k

111

k 4，解得

62k2

因为S OAB ，所以

19. 解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y kx 2,M(x1,y1),N(x2,y2)

y kx 2

22由 x2，消去y得(1 2k)x 8kx 6 0

2

y 1 2

222

由直线l与椭圆相交于M、N两点，所以 64k 24(1 2k) 0，解得k

3 2

8k

x x 2 11 2k2

又由韦达定理得

6 x x

12 1 2k2

所以MN k

2

k

22

(x1 x2) 4x1x2 k 24 2

1 2k

2

124k2 6

原点O到直线l的距离d ，S MN d 2221 2k k

2

令m

2k2 3(m 0)，则2k2 m2 3

S

22m22242

m 2 m 当且仅当，即时，S max

4m2m2 42 m

m

20 .解：（Ⅰ）法一：又

BC

1

AD,Q为AD的中点，

2

AD//BC,即BC//DQ

∴四边形BCDQ为平行四边形， CD//BQ

ADC 90 AQB 90即QB AD

又∵平面PAD 平面ABCD 且平面PAD

平面ABCD AD

BQ 平面PAD

又BQ 平面PQB，∴平面PQB 平面PAD 法二：AD//BC，BC

1

AD，Q为AD的中点，∴BC//DQ且BC DQ. 2

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ ∵ ADC 90 ∴ AQB 90即QB AD ∵PA PD ∴PQ AD ∵ PQ

BQ Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD 平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

（Ⅱ）∵PA PD，Q为AD的中点， ∴PQ AD．

∵平面PAD 平面ABCD 且平面PAD

平面ABCD AD

∴PQ 平面ABCD． 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P，

B，C(

1 )

21 ∴AP ( BM ( ,2∵M是PC中点，∴

M( 设异面直线AP与BM所成角为 则cos |cos AP,BM

|

|

AP BM

||AP||BM| ∴异面直线AP与BM法二、连接AC交BQ于点O，连接OM，则OM//PA

所以 BMO就是异面直线AP与BM所成角

OM

11 PA 1,BO BQ

22由（1）知BQ

平面PAD，所以BQ PA进而BQ

OM

BM

cos BMO

OM

BM21. 解：（1）如图4，连AC，BD交于点O，又由底面ABCD为菱形可得BD⊥AC，且点O是AC的中点，连结OE，又E为PC的中点，所以EO//PA。

由PA⊥底面ABCD，可得EO⊥底面ABCD 以O为原点，OA，OB，OE分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系

则有O（0，0，0），A（3a,0,0），B（0，a，0）， C（ a,0,0），D（0, a,0）， P（3a,0,23a），E（0，0，a）

依题意得DB (0,2a,0)即为平面PAC的一个法向量

2a21

又 (0,a,a)，所以cos ,

2a 2a2

所以 DB,DE 60 直线DE与平面PAC所成角的大小为30° （2）由PA⊥底面ABCD可知 (0,0,2a)是平面CAD的一个法向量 设n (x,y,z)为平面EAD的一个法向量

又 (3a,0, 3a), (0, a, a)

ax 3az 0

由n EA与n ED得

ay 3az 0

令x z 1，得y 3，所以n (1, 3,1) cos AP,n

2a5

523a 5

5

由图可知二面角E—AD—C为锐角，故二面角E—AD—C的余弦值为

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