经济数学基础课后答案

更新时间：2024-04-05 05:58:01 阅读量：综合文库文档下载

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习题四

161．设总体X服从正态分布N10,32 ,X1,X2,?,X6是它的一组样本，X??Xi

6i?1（1）写出X所服从的分布；（2）求X＞11的概率.

?32?解（1）X～N??10,6??，

????即

?3?X～N??10,??.

2??????? X?10 11?10?（2）P ?X＞11??1?P ?X?11??1?P???

33???22??????? 11?10?? ?1????3??2??=1-Φ(0.8165) .

解法一：

P?X＞11??1???0.82? ?1?0.7939

?0.2061.解法二：

查表得：

Φ(0.81) = 0.7910， Φ(0.82) = 0.7939，

可以求出一条过点（0.81，0.7910）、（0.82，0.7939）的直线，其方程为：

0.7939?0.7910?x?0.81?, y?0.7910?0.82?0.81对于x∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似Φ(x)，则有 Φ (0.8165)

0.7939?0.7910?0.8165?0.81? ?0.7910? 0.82?0.81?0.7929.故

P?X＞11??1???0.8165? ?1?0.7929

?0.2071这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度.

1n2. 设X1，X2，…，Xn是总体X的样本， X??Xi，分别按总体服从下列指定分布求E(X)，D(X).

ni?11?k（1）X服从0-1分布：P?X?k??pk?1?p?,k?0,1；

kk（2）X服从二项分布：P?X?k??Cmp?1?p?m?k,k?0,1，2，…，m；

（3）X服从泊松分布：P?X?k???k（5）X服从指数分布：f (x) =?e??x?x＞0,?＞0?. 解

（1）X服从0-1分布，

k!?1,a?x?b,?（4）X服从均匀分布：f (x) =?b?a

? 0, 其他其他；?e??,?＞0,k=0，1，2，…；

EX=p，DX=p(1-p),

故

?1n?EX?E??Xi??ni?1?n1? ?E???Xi?n?i?1?1n ? ?EXi

ni?11 ? · npn ?p.?1n?DX?D??Xi??ni?1?n1? ?2D???Xi? n?i?1?1n ?2?DXini?11 ?2 · np?1?p?n

1 ?p?1?p?.n（2）X服从二项分布，

EX=mp，DX=mp (1-p)，同（1），可以求得

1EX?mp,DX?mp?1?p?.

n（3）X服从泊松分布

EX=λ，DX=λ，

同（1），可以求得：

1EX=λ，DX=λ.

n（4）X服从均匀分布

?b?a?， a?bEX?,DX?212同（1），可以求得

2?a?bb?a?EX?,DX?.

212n（5）X服从指数分布

EX?1?,DX?1?2,

同（1），可以求得

11EX?,DX?2.

?n?注一般地讲，设X1，X2，…，Xn是总体X的样本，X?1n?Xi，若X的样本与方差均存在，则 ni?1EX?EX,DX?1DX. n对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题.

3．设总体X服从正态分布N?,0.32，X1，X2，…，Xn是总体X的一组样本，X是样本均值，试问：样本容量n至少应取多大，才能使

??P X??＜0.1?0.95.

解 X～N?,0.32， ?0.32 X～N???,n?故

??? ????? P X??＜0.1

??0.1X??0.1??P?＜＜?0.3/n0.3/n0.3/n???n??n???????????3??3?????

?n???n????1?????????3????????3?????n???1.?2???3???根据题目的要求

?n???1?0.95,2???3???

?n???0.975,???3???查表得

Φ(1.96)=0.975. 故

??n?1.96， 3n?34.57.因为n只能取正整数，所以，样本容量n至少应取35.

62?4．设X1，X2，…，X6为正态总体N0,22的一个样本，求P???Xi＞6.54?. ?i?1?解由Xi～N0，， 22（i=1，2，…，6）

X?0知i～N（0，1）（i=1，2，…，6），

2且它们相互独立，故

????

12Xi～X2?1?, 41622 ?Xi～X（6）4i?162?所以 P???Xi＞6.54? ?i?1??16?＝P??Xi2＞1.635?

?4i?1?=0.95

5．设总体X和Y相互独立，都服从正态分布N（30，3），X1，X2，…，X20，Y1，Y2，…，Y25分别是来自X和Y的样本.求X?Y＞0.4的概率.

解由Xi～N（30，3）（i=1，2，…，20），

Yi～N（30，32）（i=1，2，…，25），知

32X～N(30,),

2032 Y～N(30,),

25又X与Y相互独立，所以X与Y也相互独立.

3232从而 X－Y～N(0，＋)，

2025即

X?Y～N(0,0.92). 故

PX?Y?0.4

???2·PX?Y?0.4

?2·1?PX?Y?0.4 ??0.4?0???2?1?Φ???

0.9?????2?1?Φ?0.4444?? ?2?1?0.67? ?0.66.

??????6．设X和Y是来自正态总体N(μ , σ)的容量为n的两个样本均值.试确定n，使得两个样本均值之差超过σ的概率大约为0.01.

?1?解 X~N??,?2?,

?n??1?Y~N??,?2?,

?n?因为X，Y是两个不同的样本，故X与Y相互独立，X与Y也相互独立.

?2?从而 X?Y~N?0,?2?,

?n?故

?X?Y???

???2PX?Y??

???21?PX?Y??

????????0???2?1?Φ??2????????n????? ?????n????. ?2?1?Φ????2?????根据题设

??n?????0.01, 2?1???????2?????n???0.995, Φ??2???查表得

n?2.58, 2n=13.3128.

所以n可以取13或14.

7.设X服从正态分布N（?,?2），X1,X2,?,X10是X的样本.试求下列概论：

110??22（1）P?0.25????Xi????2.3?2?.

10i?1??2110??（2）p?0.25?2??Xi?X?2.3?2?.

10i?1????解 (1)Xi~N?,?2?i?1,2,?,10?,

Xi??~N0,12?i?1,2?,10?,

?????2?X???从而 ??i?~?2?10?,

i?1???即

1102??X??~??10?. ?i2102?i?1记W?1?2i?12??Xi???,则W~??10? . 于是,

210110??22P?0.25????Xi????2.3?2?

10i?1??110??2?P?2.5?2??Xi????23?

?i?1???P?2.5?W?23?

?P?W?23??P?W?2.5? ??1?P?W?23????1?P?W?2.5??

?P?W?2.5??P?W?23?

?0.99?0.01　　　　（查?2分布表，n?10） ?0.98.

(2) 根据样本方差的性质，

1?2i?12?Xi?X~??10?1?,

10??2记 W?

1?22?Xi?X,则W~x?9?, 于是, i?110??2

2110??2P?0.25???Xi?X?2.3?2?

10i?1??2110???P?2.5?2?Xi?X?23?

?i?1???P?2.5?W?23?

?????P?W?23??P?W?2.5? ??1?P?W?23????1?P?W?2.5?? ?P?W?2.5??P?W?23? ?0.975?0.005 ?0.97.

8.用附表4求下列各式中的?值：

??（2）P???9?????0.01; （3）P???15?????0.025; （4）P???15?????0.025;

（1）P?2?9????0.95;

222解（1）直接查表得?＝3.325.

（2）由P?2?9????0.01,

2得

查表得λ?2.088.

（3）直接查表，λ?27.488. （4）由P?2?15??λ?0.025, 2 得

查表得??6.262.

9.用附表5求下列各式中的?值：

（1）P?t?10?????0.05;

?P???9??λ??0.99, ? P??(5)＞λ?＝0.975，??（2）P?t?10?????0.90; （3）P?t?10?????0.05; （4）P?t?10?????0.01; （5）P?t?150?????0.025. 解（1）直接查表得?＝2.228.

（2）由P?t?10?????0.90 得 P?t?10?????0.10, 查表得??1.812.

（3）由P?t?10?????0.05,知??0 故有P?t?10?????0.10, 查表得??1.812.

（4）由P?t?10?????0.01, 知??0, P??t?10??????0.01

P?t?10??????0.02????0?

查表，???2.764，???2.764. （5）因为n?150比较大，由P?t?150?????0.025,

知P?t?150?????0.05, 查表得??1.96.

10.用附表6求下列各式的?值：

（1）P?F?8，9?????0.05;

（2）P?F?8,9?????0.05; （3）P?F?10,15?????0.95; （4）P?F?10,15?????0.90.

解 (1)先找a?0.05的表，在该表中，找n1?8,n2?9对应的?值，可知??3.23. （2）在这里先复习一下F分布的一个性质：

1若F~F?m,n? , 则~F?n,m? . F利用上述性质，可得： ?1?P?????0.05, ?F?9,8??1??P?F?9,8????0.05,

???1查表得?3.39,

?故

1?0.295. 3.39（3）P?F?10,15?????0.95,

P?F?10,15?????0.05,

?1?P?????0.05, ?F?15,10??1??P?F?15,10????0.05,

???1查表得?2.85,

?1?0.351. 2.85（4）P?F?10,15?????0.90,

??P?F?10,15?????0.10,

查表得??2.06.

11.设总体X服从标准正态分布N（0,1）,X1,X2,?,Xn为其样本，S为样本方差，X为样本均值，求D(X), E(S).

?1n?解 (1)D(X)?D??Xi?

?ni?1?n1??2D???Xi? n?i?1?1n?2?DXi ni?12

?1. n 2n1?. n2（2）解法一：

EXi2?DXi??EXi?

?1?0

?i?1,2,?,n?. ?1

EX?DX?EX

1 ??0

n1 ?,

n故

2??1nES2?E??Xi?X?

?n?1i?1?n21 ?E??Xi?X?

??i?1?n?1?n21? ?E???Xi2?2XiX?X??????i?1??n?1?nn21 ?E??Xi2?2X?Xi?nX?

?i?1?i?1?n?1?n21 ?E??Xi2?2X?nX?nX?

??i?1?n?1?n21 ?E??Xi2?nX?

??i?1?n?1?21?n ?EXi2?nEX? ???i?1?n?1?1?1?n?1?n? ? n?1?n???1 ??n?1?

n?1 ?1. 解法二：

2??2

??????EXi?X??2?DXi?X?EXi?X 2

i?????D?X?X??0 ?D?X?X?

i??X?X2???Xn???D?Xi1?

n??1n?1111?1??1????D??X1??Xi?1?Xi?Xi?1???Xn??D??Xi????D??Xi?1??

nnnnn?n????n??n?1??1??1?D?Xi??D??Xi?1????D??Xn? ?n??n??n??n?1?DX? 11?2DX1???2DXi?1?innn211DX???DXn i?1n2n2211?n?1?11?2???2??　??? 222nnnnn??????????????2i?1个n?i个?112 ????n?1?n?1n2n2n?1?. n故

?1nES2?E??Xi?Xi?n?1?1????2?? ?

n1E?Xi?X2 n?1i?11n2??EXi?X n?1i?11nn?1 ??n?1i?1n1?n?1? ?n?1?1.

12. A牌灯泡的平均寿命为1400小时，标准差为200小时.B牌灯泡的平均寿命为1200小时，标准差为100小时，从两种牌子的灯泡中各取250个进行测试.问A牌灯泡的平均寿命至少大于B灯泡寿命（1）180小时，（2）230小时的概率分别是多少？

解（1）因为题中未给出两种牌子灯泡的寿命所服从的分布，因而不能严格地利用其分布进行计算.题中考虑的问题主要是对250个灯泡进行测试，因试验的数比较多，故可以使用中心极限定理.按照中心极限定理,X与Y近似地服从正态分布.

?2002?

X近似服从N?1400，?,250???????

?1002?

Y近似服从N?1200，?,250??根据题意, Y与X相互独立，故

?20021002??X?Y近似服从N?－1200,??1400?,即N?200,200?. 从而 250250??PX?Y?180?1?PX?Y?180

?1?F?180?

?180?200?? ?1?Φ??? 200?? ?1?Φ??1.4142?

???? ?1??1?Φ?1.4142??

???1.4142? ?0.9213.

注在查表时，表中没有1.4142，因而需要使用Φ?1.41? ?0.92073, Φ?1.42??0.92220进行线性插值，可得

1.4142?1.41?Φ?1.42??Φ?1.41?? Φ?1.4142??Φ?1.41??1.42?1.41 ?0.9213.

（2）　PX?Y?230

? ?1?PX?Y?230 ?1?F?230?

????230?200?? ?1?Φ??? 200?? ?1?Φ?2.1213??1?0.983 ?0.017.

注 2.1213未在表中，但与表中的2.12比较接近，在对精度要求不太高的情况下，可以用2.12来代替2.1213. 如果对精度要求比较高，就需要使用（1）中使用的线性插值方法.

13.分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第2个样本方差两倍以上的概率范围. 解对于第1个样本

n1?8, ?1?20. 对于第2个样本 n2?10, ?2?35. 统计量

22S1 F?2?12S222~F?n1?1,n2?1?,

?22S/20即 F?12~F?7,9?.

S2/35故 PS1?2S2

?S12? ?P?2?2?

?S2??35S1235? ?P??2??2?

2020S2???S12/20? ?P?2?3.5?

?S2/35? ?P?F?3.5?. 查F分布表

P?F?3.29??0.05,

P?F?4.20??0.025.

?22?由 P?F?3.29??P?F?3.5??P?F?4.20?, 可得 0.05?P?F?3.5??0.025, 即 0.05?PS1?2?S2?0.025.

所求的概率范围为（0.025，0.05）.

14.设X1,X2,?,Xn是取自正态总体N?,?2的一个样本，S为样本方差，求满足等式

?S2?P?2?1.5??0.95的最小n值. ????22???解

?S2?由 P?2?1.5??0.95,

????S2?知 P?2?1.5??0.05,

?????n?1?S2????1.5n?1即 P???0.05.???(A) 2????n?1?S2依题设，易知服从自由度为?n?1?的x2分布. 根据上侧分位数的定义，我们得到如下等式 2???n?1?S?2??P???n?1??0.05.????（B） 0.052???由（A）、（B）两个式子，可以得到

21.5?n?1???0????????（C） .05?n?1?.2（A）式与（C）式等价，因此满足（C）式的最小n值即为满足（A）式的最小n值.查表并整理得

n?11.5?n?1?22?01.5?n?1???0.05?n?1?.05?n?1?

2 3 4 ? 25 26 27 28 ? ? 1 2 3 ? 24 25 26 27 ? ? 1.5 3 4.5 ? 36 37.5 39 40.5 ? ? 3.841 5.991 7.815 ? 36.415 37.652 38.885 40.113 ? ? × × × ? × × √ √ ? ?

故所求的最小n值为27.

15. 已知X服从n个自由度的t分布，求证X 服从自由度为（1，n）的F分布，即

X2~F?1,n? 证当U~N?0,1?,W~?2?n?时

U~t?n? X＝W/n2U2 X?,又U2~?2?1?

W/n所以

U2U2/12 X??~F?1,n?.

W/nW/n16.设X,X2,?,X9是来自正态总体N的简单随机样本，求系数a,b,c,使（0,22）21Q?a?X1?X2??b?X3?X4?X5??c?X6?X7?X8?X9?服从?分布，并求其自由度.

2222

解由于Xi独立同分布，有

Xi~N0,22,X1?X2~N0, 2.22,

????

X3?X4?X5~N0, 3.22,

? X6?X7?X8?X9~N从而

1?X1?X2?2~?2? 1 ?,81?X1?X2?X3?X4?2162?0, 42?,

2?1?X3?X4?X5?2~?2? 1 ?, 12~?2? 1 ?.

由?分布的可加性知，

1?X1?X2?2?1?X3?X4?X5?2?1?X6?X7?X8?X9?2 81216~?2?3?.

111所以，当a?,b?,c时，Q服从自由度为3的?2分布，

81216即Q~?2?3?.

17.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N（0，3），X1, X2,…, X9和Y1,Y2, …,Y 9分别来自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量

X1?X2???X9 T?222Y1?Y2???Y9服从自由度为9的t分布.

证首先将Xi,Yi分别除以3，使之化为标准正态.

Xi?Yi??,Yi?,i?1,2,?,9,则Xi~N?0,1?,Yi~N(0,1). 33X?再令X??X1??X2????X9?,则X?~N?0,9?.~N?0,1?.

3 令Xi??Y?2?Y1/?Y2/???Y9/,Y?2~?2?9?.

????X?9X?1?X2X?X2???X9因此 T?1 ?222/2/2/2Y1?Y2???Y9Y1?Y2???Y9X?X?/3?,且X?，Y?2相互独立. ?Y?2Y?2/9由服从t分布统计量的典型模式知，T服从自由度为9的t分布，即T~t ( 9 ).

18.设总体X服从正态分布N ?,?2,从中抽取一个样本X1,X2,…,Xn+1. 记

222??1n1n2Xn??Xi,Sn??Xi?Xnni?1n?1i?1??2.

试证：

X?Xnn?n?1~t?n?1?. n?1Sn2?n?1?Sn分析：因为

?2 分子需要一个服从标准正态分布的随机变量，故只需证~?2?n?1?, 由t分布知，明

nXn?1?Xn~N?0,1?即可.

n?1???2?证 Xn?1~N??,?2?,Xn~N??,?.

n???n?12?Xn?1?Xn~N?0,??,

n??故 U?Xn?1?Xn?Xn?1?Xn?n?1?n?2?n~N?0,1? , n?1

2?n?1?SnW?~?2?n?1? , 且U、W相互独立， ~t?n?1?.

所以 T?又 T?

?UW/n?1Xn?1?Xn?n?n?1?n?1?Sn2/?2n?1

Xn?1?Xnn?, Xnn?1从而

Xn?1?Xn?~t?n?1?. Snn?119. 设X1,X2,…,Xn是来自总体N?,?2的样本，记

1nd??Xi??.试证：

ni?122?2?????, D?d???1??. E?ｄπ?π?n证明记Yi?Xi??,则Yi~N0,?2,i?1,2,?,n.

E?Xi????E?Yi

??????12π??????ye? y22?2dy

???D?Xi??22π?2?2π???ye? y22?2dy 2?. π0? y22?2??0e?2i??D?Yi??E?Y???E?2Yi??2

?DYi??EYi??2?2???? ?π???2 ??2?0??2

π?2? ??1???2,

?π??1n?1n??Ed?EX??所以 ?????E?Xi??? ii?1n??ni?1

?1?nn?1n?D???ni?12??π2?. π?1nXi????2?D?Xi???ni?12D?d??

2???. ??1??πn??20.设总体X服从正态分布N(62，100)，为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

解设需要样本容量为n, 则

X??X???/n???n~N?0,1?,

?X?63?60?62 PX?60?P?n?n?

10?10???

?1?Φ?0.2n?Φ0.2n?0.95.

查标准正态分布表，得 Φ?1.64??0.95. ?1.64?所以 0.2n?1.64?n????67.24.

0.2??2

????故样本容量至少应取68.

21.设X1,X2,…,X9为来自总体X～N(a,2),Y1,Y2,…,Y16为来自总体Y～N(b,2)的两个相互独立的简单随机样本. 记

Q1??Xi?X,Q2??Yj?Yi?1j?1??216??2.

求满足下列各式的常数?1,?2,?1,?2,?1,?2. (1)P?Q1?a2??P?Q1?a1??0.05; (2)P?X?a????0.9;

1?Y?b???(3)P???2??0.9;

Q2????

?Q??Q?(4)P?2??2??P?2??1??0.05.

?Q1??Q1?解 (1)由题设知DX?4??2,从而

2Q19W1?1??Xi?X~?2(8)，

44i?1?Q??故 P?Q1??2??P?1?2??0.05.

4??4??4???Q???类似地 P?Q1??1??P?1?1??P?W1?1??0.05,

4?4??4?2PW1??0?0.05,.05(8)???22?8??15.507. ??0.05?14所以 ?1?4?2.733?10.932;?2?62.028.

2??0(8)?2.733. .95?2?U1?P?X?aX?a3??X?a~N?0,1?, 2/32?/93??3X?a??1?P?X?a??1?

2??2???3???P?U1??1??0.9,

2??3?1?1.64,所以?1?1.093. 2Y?bY?b(3)U2???2Y?b~N?0,1?,

?/162/42Q116W2?2??Yj?Y~?2?15?.

44j?1U2~t?15?. 可见 T?W2/15查标准正态分布得

????即 T?2Y?b??1Q2/154?415Y?6Q2~t?15?,

?Y?b???Y?b????所以 P???2??P?415?415?2??0.9.

Q2Q2????????查表得P?T?1.753??0.10， P?T?1.753??0.9. 可知 415?2?1.753, 即?2?0.113.

?4?由F?Q2/15~F?15,8?,可得

Q1/18?Q??Q/158? P?2??2??P?2??2??0.05,

QQ/815??1??1?Q??Q/158? P?2??1??P?2??1??0.05,

QQ/815??1??18因此 ?2?F0.05?15,8??3.22??2?6.0375.

15811???1?0.709. ?1?15F0.05?8,15?2.645

习题五

1. 设X1,X2,?,Xn是总体X的样本，X?1nn?Xi, i?1 S2?1n?1?n?XX? 2,分别按总体服从下列分布求E?S2?i?1i?. ?1（1）X服从均匀分布：f(x)???,a?x?b,?b?a

?0,其他.

x（2）X服从泊松分布：P?X?x???x!e??,??0,

（3）X服从二项分布：P?X?x??CxPx?1?p?m?xm

解因为E(S2)?DX，故由方差的计算公式可以直接求出E(S2

（1）X服从均匀分布

E?S2??DX??b?a?212. （2）X服从泊松分布?? ES2?DX??. （3）X服从二项分布??

ES2?DX?np?1?p?.

2. 设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本,EX??.试证：

S?21n20?n??Xi??i?1?是总体方差的无偏估计量. 证由期望公式有

E?S?2??E??1?n?ni?1?Xi???2????1n?nEi?1?Xi???20 ?1n1n?DX?1i?n?nDX?DX.

i所以，S?20?1n?n?X???2是i?1iDX的无偏估计量 . 3. 对样本X1,X2,…,Xn作变换Yi?m?Xi?a??

a,m为常数,m?0? 试证：(1)X?Ym?a; (2)S212X?m2SY.

证 (1)因为m?0,由Yi?m?Xi?a?得

X1i?mYi?a, X?1n1n?1n?X?Y?i?1i?n?i?1?mi?a??

?1n?n1Yi?1mi?a

?1m?1n?nY1i?1i?mY?a

(x?0,1,2,?).

?x?0,1,2,?m?.

1n2?Xi?X n?1i?121n?11? ???Yi?a?Y?a?

n?1i?1?mm?1n12 ??2Yi?Y

n?1i?1m11n2 ?2??Yi?Y

mn?1i?112 ?2SY.

m2(2)SX???????4. 设X1 , X2 , … , Xn是X的一样本，试证估计量X?W??aiXii?1nn1n?Xi, ni?1(ai?0为常数，?ai?1),都是EX的无偏估计，且X的方差不超过W的方差.

i?1?1n?1n证 EX?E??Xi???EXi

?ni?1?ni?1因为X与Xi同分布，所以EXi=EX . 故 EX?EX

同理，EW?E?aiXi??aiEXi

i?1i?1nn

?EX?ai?EX.

i?1n所以X与W都是EX的无偏估计.

nnnn1由于DX?DX,DW??ai2DX?DX??ai2, 根据柯西不等式 n?ai2?(?ai)2?1,

i?1i?1i?1i?1n1得 DW?DX,

n从而有 DX?DW.

5. 从某种灯泡的总体中，随机抽取10个样本，测得其寿命(小时)为1520 1483 1827 1654 1631 1483 1411 1660 1540 1987

试求方差的无偏估计 .

1n2

解因为S2??Xi?X 2是方差的无偏估计量，故只要计算S的值.

ni?11X?(1520?1483?1827?1654?1631?1483?1411

10?1660?1540?1987) ?1619.6

1n1n22S2??Xi?X ???Xi?1619.6?

n?1i?19i?1=30892.49.

6. 设X1,X2,…,Xn?n?2?为正态总体N?,?2的一个样本，适当选择常数C，使

??????C??Xi?1?Xi?为?2的无偏估计.

2i?1n?1解设??X1,X2,?,Xn??C??Xi?1?Xi?.

2i?1n?1由期望的定义与性质可得

n?12 E??X1,X2,?,Xn??E ?C??Xi?1?Xi??

???i?1??C?EXi2 ?1?2Xi?1Xi?Xii?1n?1?2?

?C?E(Xi2?1)?2E(Xi?1Xi)?E(Xi)

n?1?????C??E(X)?(EX)?EX?E(X)? ?C???????C?n?1?2???,

i?1n?1i?1n?12i?122i2?C?E(Xi2?1)?2E(Xi?1)E(Xi)?EXi2

i?1n?1?2?2222i?1故 C?1

2?n?1?.7. 设总体X的密度函数是

??x??1，0?x?1,??0, f(x;?)??其他 .?0,x1,x2,?,xn是一组样本值，求参数α的最大似然估计量.

解似然函数L???xii?1n??1n??n?xii?1n??1.

lnL?nln??(??1)?lnxi.

i?1dlnLnn???lnxi?0, d??i?1?n1n?(?lnxi)?1. 得 ??mni?1?lnxii?18. 设总体X服从韦布尔分布，密度函数是

f(x;?)???x??1e??xx?0,??0,??0

其中?为已知，X1, X2, … , Xn是来自X的样本,求参数?的最大似然估计. 解似然函数 L?Π??Xi??1e??X

i?n?i?1

???ΠXi??1e??X.

nnin?i?1lnL?nln??nln??(??1)?lnXi???Xi?.

i?1i?1nndlnLnn????Xi?0, d??i?1从而得到

n??n?(1?X?)?1 Qin?i?1n?Xi?1i9.设总体X服从马克斯韦尔分布，密度函数是

x)?4x2?(?e,x?0,??0,?f(x;?)???3π

?0,x?0?X1, X2, … , Xn是总体X的样本，求?的最大似然估计. 解似然函数

2L?Πnn4Xi2i?1?3π4Xi2πni?1e?x???i????2

n?X????i?i?1???2 ?Πi?1???3n?e 12?Xi nlnL?lnΠ

4Xi2π?3nln?-?2i?1 18

dlnL3n2n???3?Xi2?0 d???i?12n2??所以 a?Xi.

3ni?110.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，密度函数是

f(x;?)??e??xx?0,??0

今随机抽取14台，测得寿命数据如下(单位：小时)

1812 1890 2580 1789 2703 1921 2054 1354 1967 2324 1884 2120 2304 1480 求?的最大似然估计值. 解由于指数分布?的最大似然估计

?n1??n?, 又X?2013

X?Xi?1i1. 201311.设总体X服从［a , b］区间上的均匀分布，x1,x2,?,xn是总体X的一组样本,求a和b的最大似然估计量.

解似然函数

L?x1,x2,?,xn,a,b?? 所以 ????1,a?x1,x2,?,xn?b,?n(b?a) ??0,其他 .?由于似然方程组

n??L???a?b?a?n?1?0,? ??Ln????0,n?1??b?a???b无解，不存在驻点，考虑边界上的点，因为a?x1,x2,?,xn?b,

故有a?min?x1,x2,?,xn?,

b?ma?x1,x2,?,xn?.

b?a越小L越大，所以当a?min?x1,x2,?,xn?,b? max?x1,x2,?,xn?时，L取到最大值.

即：a?min?x1,x2,?,xn?,b?max?x1,x2,?,xn?是a , b的最大似然估计量. 12.设总体X的密度函数为

f?x,???1? x???e?x?0,??0

1n?Xi是否为?的无偏估计？为什么？ ni?11解因总体X是服从参数??的指数分布，由指数分布的期望公式知，

问X??EX?1???,

又 EX?EX,

所以 EX??, 即X是? 的无偏估计.

13.求习题7,10,11中的参数的矩估计. 解（7）由于

??1?EX??xf?x,??dx??x??x??1dx??

??0??1故

? ?V1，??1V1. 1?V1n解得 ????1?X?X. 取 V1ini?1??所以?的矩估计量?X. 1?X（10）已知f(x)??e??x，

n??1?X?X,V1ini?1

11V1?EX?，??.?V1??1?1?1. 所以 λ?X2013V1a?b?V?EX?,1??2（11）?

1222?V?EX?(a?ab?b),2?3??a?V?3(V?V2),?a?b?2V1,121?即 ?2 ??22?a?ab?b?3V2,??b?V1?3(V2?V1).n??1?X (K?1，用 V2）估计VK, Kini?12?a???X?3S0，得 ?

2???b?X?3S0，1n2其中 S0??(Xi?X)2.

ni?114．对球的直径作了5次测量，测量的结果是6.33 6.376.36 6.32 6.37(厘米)，试求样本均值和样本方

差.

1解 X?(6.33?6.37?6.36?6.32?6.37)?6.35(厘米)

51n1S2??(Xi?X)2?(0.022?0.022?0.012?0.032?

4i?142?40.02)?5.5?10.

15．在一批螺丝钉中，随机抽取16个，测其长度(厘米)为：

2.23 2.21 2.20 2.24 2.22 2.25 2.21 2.24 2.25 2.23 2.25 2.21 2.24 2.23 2.25 2.22

设螺丝钉的长度服从正态分布，试求总体均值μ的90％置信区间. (1)若已知?＝0.01 (2)若?未知

解 (1)由于已知?＝0.01，α＝0.1 u??u0.05?1.64.所以?的置信区间为

0.010.01??, X?1.64?X?1.64?1616?? 1nX??Xi?2.2316i?1故得?的90％置信区间为(2.226，2.234)

(2)由(1)知X?2.23

1161S2??(Xi?X)2??0.0042 15i?115 ?0.00028由α＝0.10，查自由度为15的t分布，得分位数

t0.1(15)?1.753. S20.0167X?t?(n?1)?2.23?1.753??2.223,n4S2X+t?(n1)=2.237.

n得EX的置信度为0.9的置信区间为

(2.223，2.237).

16．设正态总体的方差σ为已知，问抽取的样本容量n应为多大，才能总体均值μ的置信度为0.95的置信

区间长不大于L.

σ解正态总体置信区间长为2u?

n,2u??u0.025?1.96.

2由题意 2u?2σσ2?L?4?1.96?L2.

nn2σ2故 n?15.372.

L17．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以95％的置信度使他的平均反应时间

的估计误差不超过0.01秒，应取容量为多大的测量样本？

解若假定反应时间X服从正态分布，则由16题解的结果可以直接求出n.

?2?0.052，L2?(2?0.01)2 0.052n?15.37()?96.060.02所以应取样本容量n＝97.

若没有正态性假定，则可用切贝绍夫不等式进行估计，但比较粗，此题因n较大，故可以假定其服从正态分布.

18．对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本，测得直径的均值为0.826厘米，样本标准差0.042厘

米，求滚珠轴承均值的95％与99％置信区间.

解因样本容量n较大，故可假定滚珠轴承的直径x服从正态分布.

X?0.826，S?0.042. 由已知n?196，u??u0.025?1.96，U0.005?2.58.

2将上述各值代入置信区间公式中，可得

0.0420.042(0.826?1.96?， 0.826?1.96?)

196196?(0.820, 0.832).

0.0420.042(0.826?2.58?， 0.826?2.58?)

1414

?(0.818, 0.834).

19．在一批铜丝中，随机抽取9根，测得其抗拉强度为：

578 582 574 568 596 572 570 584 578

设抗拉强度服从正态分布，求σ的置信度为0.95的置信区间.

解由于铜丝抗拉强度服从正态分布，σ的置信区间为

??22(n?1)S??(n?1)S，??2(n?1)?2(n?1)?.

????1 ? 2?2?1n经计算 X??Xi?578,

9i?1i?12?(Xi?X)?592. 922?2??0, ?1??0. .975(8)?2.180.025(8)?17.535置信区间为 (33.76，271.56).

20．求习题14的期望与方差的0.90置信区间. 解由14题知X?6.35,S2?5.5?10?4,n?5.

22t0.9(4)?2.132,?0,?0.05(4)?9.488.95(4)?0.711.

?5.5?10?4?， ?的置信区间6.35?2.132?5?5.5?10?46.35?2.13252

???(6.328, 6.372) ???5.5?10?4?45.5?10?4?4???的置信区间?, ?? 9.4880.711???(0.00023, 0.00309).

21．为比较A牌与B牌灯泡的寿命，随机抽取A牌灯泡10只，测得平均寿命XA?1400小时，样本标准差SA?52小时；随机抽取B牌灯泡8只，测得平均寿命XB?1250小时，样本标准差SB?64小时，

设总体都服从正态分布，且方差相等，求二总体均值?A??B的95％置信区间.

22解由题设?A，故两总体均值差的置信区间为 ??B [(X1?X2)?t?(n1?n2?2)Sw(X1?X2?t?(n1?n2)SW11?, n1?n211?] (*) n1n222(nA?1)SA?(nB?1)SBSW?nA?nB?2

?SW(10?1)52?(8?1)64?57.56,10?8?21111??57.56??27.1, n1n210822t0.05(16)?2.120.将以上各数值代入(*)，得?A??B的置信区间为(92.65，207.35).

222．从二正态总体X、Y中分别抽取容量为16和10的两个样本，求得?(Xi?X)2?380，?(Yi?Y)?180.试

i?1i?11610

?x2求方差比2的95％置信区间.

?y解已知n1?16，n2?10, ?（Xi?X)2?380

i?122?(yi?y)?180，从而S1?25.33，Si?1102216?20

又α＝0.05，查F分布上侧分位数表，得

F0.025(15, 9) = 3.77, F0.025(9, 15) = 3.12，代入方差比的置信区间

??22??S1S1,F?(n2?1, n1?1)12? ?2S2??F?(n1?1,n2?1)S22?2?得 0.95置信区间为

25.33??125.33，3.12???(0.34,3.95).

20??3.772023．在某一地区中，随机对100名成年居民作民意测验，有80％的居民支持粮食调价，求在该地区的所有居

民中，支持粮食调价的比率的0.95与0.99的置信区间.

??0.8，0.1?0.8?0.9,n?10是0大样本，由比率的置信区间公式解因为p??p??u??2?得 u?2?(1?p?)p??u?,pn2?(1?p?)?p?

?n??(1?p?)p0.8?0.2?1.96?1.96?0.04?0.0784. n100所以置信区间为(0.7216，0.8784).

同理可得置信度为0.99的置信区间为 (0.8?2.58?0.04,0.8?2.58?0.04) ≈(0.697，0.903)

*24．欲估计某县城拥有洗衣机的家庭所占比率，随机抽查了15户，其中6户有洗衣机，求该县城购置洗

衣机家庭比率的0.99置信区间. 解利用二项分布和F分布的关系

n?f2p?kkn?k?Cnp(1?p)?F??f(1?p)??, k???1?n其中F(x)是自由度为f1?2?n和f2?2(n??n?1)的F分布函数，可得p的1??置信区间

?f1f1?2??,?f?af?b?2??,

1?1?其中a?f2F?/2(f2,f1),b?(f2?1)F??/12(f1?2,f2?2),而F?(f1,f2)是自由度为(f1,f2)的F分布水平β上侧分

位数.

?1,p?2)，其中n?15，?n?6，1???0.90，??0.10；自由我们利用上面公式求p的0.90置信区间(p度f1?2?n，f2?2(n??n?1)?20，由附表可直接查出F0.05(f2，f1)＝F0.05(20，12)＝2.54；该表中查不到F0.05(f1+2，f2-2)＝F0.05(14, 18)，故用线性内插法求其近似值：由附表6，有

F0.05(10, 18)＝2.41，F0.05(15, 18)＝2.27 则

F0.05(14, 18)

≈F0.05(15, 18)+?F0.05(10, 18)-F0.05(15, 18)? ＝2.27+0.2(2.41-2.27)＝2.298.

1由此，得F0?.05(14, 18)＝1/2.298＝0.435. 从而，有

a＝f2F0.05(f2, f1)＝20×2.54＝50.8，

1b＝(f2-1)F0?.05(f1+2，f2-1)＝18×0.435＝7.83.

于是

?1＝pf112??0.191, f1?a12?50.8f1?214??0.641.

f1?b?214?7.832

?2＝p最后，求得p的0.90置信区间为(0.191，0.641).

*25.设总体X的期望为μ，方差为σ，分别抽取容量为n1、n2的两个独立随机样本，X1，X2为两个样

本的均值，试证：如果a，b是满足a+b=1的常数，则Y＝aX1+bX2就是μ的无偏估计量，并确定a，b，使DY最小.

证由两个样本独立知X1与X2独立，有

EY＝E(aX1+bX2)＝aEX1+bEX2 ＝aμ+bμ＝μ(a+b)＝μ，

所以Y是μ的无偏估计量.

DY＝D(aX1+bX2)＝a2DX1+b2DX2

＝a·

11nDX?b?n2DX 122n12n2?a2b2?2=??n?n???.

2??1a2b2?为使DY最小，需求的最小值. n1n2a2(1?a)2n2a2?n1(1?a)2?. 设 g(a)＝+

n1n2n1n2g′(a)＝

令 g′(a)＝0， n1得 a＝，

n1?n22n2a?2n1(1?a).

n1n2由于a+b=1,所以，b＝将a=

n1. n1?n2n1n1，b=代入DY中， n1?n2n1?n2得 (DY)min＝

?2n1?n22.

*26．设总体X、Y相互独立，且X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，从中分别取容量为n1，n2的简单随机样

本，记S1，S2为样本方差，试证：当常数a，b满足a+b＝1时，Z＝aS1+bS2是σ的无偏估计量，并确定a，b，使DZ最小.

222证因为S1与S2是来自两个总体的样本方差，故相互独立.由期望和方差的性质，有

222EZ＝E(aS12+aS2)=aES1+bES2,

22又S1与S2都是σ的无偏估计量，

2222

故 EZ＝aσ+bσ=σ(a+b)=σ.

222DZ=a2DS12+b2DS2

42?4222?=a·+b

n1?1n2?1?a2b2?4=??n?1?n?1??2?.

2?1?为使DZ达到最小值，仿25题

(*)

a2(1?a)2(n2?1)a2?(n1?1)(1?a)2??g(a)=， n1?1n2?1(n1?1)(n2?1)求 g′(a)=0，即可得到 a=

n1?1n2?1,b?.

n1?n2?2n1?n2?2代入DZ中，得 2?4(DZ)min=.

n1?n2?22?4注：在(*)式中用到D(S)＝这一结论.

n?1n?11n因为2S2?2?(Xi?X)2～x2(n?1).

??i?1??n1?2

已知Γ(α，β)的方差等于2，而χ(n)＝Γ?，?，

??22?2

故χ(n)的方差等于2n，于是

?n?1?D?2S2??2(n?1)， ????2?4?D(S)???n?1??.

2习题六 22

5.由经验知某味精厂袋装味精的重量X～N(μ，σ)，其中μ＝15，σ＝0.05，技术革新后，改用机器包装，抽查8个样品，测得重量为(单位:克)：14.7 15.1 14. 8 15 15.3 14.9 15.2 14.6. 已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为15？(显著水平α＝0.05) 解待检验的假设是

H0 : μ＝15. 取统计量

X?15U＝，在H0成立时，U～N(0，1).

?n查表知

P｛｜U｜≥1.96｝＝0.05. 根据样本值计算得X＝14.95，

14.95?15U0???0.6325.

0.058因｜U0｜＝0.6325＜1.96

故H0相容，即不能否认机器包装的平均重量仍为15.

6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.550，0.108)，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？解待检验的假设是

H0 : μ＝4.550. 因X＝4.484，

故｜U0｜＝

X?4.550?1.833.

0.1089在H0成立条件下，U～N(0，1)，查表知

P{｜U｜＞1.96}＝0.05. 而｜U0｜＝1.833＜1.96，

故H0相容，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.

7．在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽测6块，其抗断强度为：32.66 30.06 31. 64 30.22 31.87

31.05公斤/厘米.设砖的抗断强度X～N(μ，1.1).问能否认为这批砖的抗断强度是32.50公斤/厘米2

(α＝0.01)？解待检验的假设是

H0 : μ＝32.5 在H0成立条件下

X?32.5统计量 U?～N(0，1)，

?n查表知 P{｜U｜＞2.58}＝0.01. 由样本值算得

X＝31.25

｜U0｜＝

31.25?32.5?2.78＞2.58.

1.162

故否定H0，即不能认为这批砖的抗断强度为32.50公斤/厘米.

8．某厂生产的钢筋断裂强度X～N(μ，σ)，σ＝35(公斤/厘米)，今从现在生产的一批钢筋中抽测9个

样本，得到的样本均值X较以往的均值μ大17(公斤/厘米).设总体方差不变，问能否认为这批钢筋的强度有明显提高(α＝0.05，α＝0.1)？解待检验的假设是

H0 : μ≤μ0. 取统计量

X??0， U??n由题设知 X-μ0＝17，U＝

17359?1.457

查表得 P{U＞1.64}＝0.05，

故α＝0.05时，H0相容，即在α＝0.05水平下不能认为这批钢筋的强度有明显提高. 当 α＝0.1时，查表得

P{U＞1.29}＝0.1， U＝1.457＞1.25，

故应否定H0，即在α＝0.1水平下可以认为这批钢筋的强度有明显提高.

9．某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本，测得其平均寿命

222

为1070小时，(样本方差S＝109(小时)，试检验灯泡的平均寿命有无变化(α＝0.05和α＝0.01)？解待检验的假设是

H0 : μ＝1120. 取统计量

X?1120T＝，在H0成立条件下，T～t(n-1).

Sn由样本值 X＝1070，S＝109，

1070-1120得 T0＝＝1. 297.

1098

当α＝0.05时，查t分布临界值表，得

t0.05(7)＝2.365，

因｜T0｜＝1.297＜2.365，

故H0相容，即在α＝0.05水平下不能认为平均寿命有显著变化. 当α＝0.01时，查t分布临界值表，

t0.01(7)＝3.499，

｜T0｜＝1.297＜3.499.

故H0相容，即在α＝0.01水平下不能认为灯泡的平均寿命有显著变化. 10．正常人的脉博平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测其脉博为54 68 65 77 70 64 69 72 62

71(次/分).设患者的脉博次数X服从正态分布，试在显著水平α＝0.05下，检验患者的脉博与正常人的脉博有无差异？解待检验的假设是

H0 : μ＝72(σ未知). 取统计最

T＝

X?72，当H0成立时，T～t(n-1). Sn由样本值算得X＝67.2，

1n2S2??(Xi?X)?40.178，

n?1i?1故｜T0｜＝

67.2-72?2.3947. 6.3410α＝0.05时，查t分布临界值表得

t0.05(9)＝2.262，

而｜T0｜＝2.3947＞2.262.

故否定H0，即在显著水平α＝0.05下，患者的脉博与正常人的脉博有显著差异.

11．过去某工厂向A公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B公司订购

原料，随机抽取向B公司订的8次货，交货天数为： 46 38 40 39 52 35 48 44

问B公司交货日期是否较A公司为短(α＝0.05)？解待检验的假设是

H0 : μ≥49.1. 使用统计量

X?49.1T＝，

Snα＝0.05，自由度为7，查t分布临界值表

t0.1(7)＝1.895，

故H0在检验水平α＝0.05的否定域为

?????X?49.1?V??＜-1.895?.

S????8??由样本值算得X＝42.75，S＝32.7832，因此 S＝5.7257.

42.75?49.1= -3.137＜-1.895， T0?5.72578

所以应否定H0，即可以认为B公司交货日期显著比A公司要短.

12．用一台自动包装机包装葡萄糖，规定标准每袋净重500克.假定在正常情况下，糖的净重服从正态分

布.根据长期资料表明，标准差为15克.现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497 506 518 511 524 510 488 515 512. 问包装机工作是否正常：(1)标准差有无变化？(2)平均重量是否符合规定标准？(α＝0.05) 解待检验的假设是

(1)H0 : σ＝152， (2)H0 : μ＝500.

(1)H0 : σ＝15 选取统计量

??022

当H0成立时，W～χ(n-1).

α＝0.05，查χ分布临界值表得临界值 λ1＝2.18，λ2＝17.535，由样本值得X＝509，

20W?(n?1)S2?i?12?(Xi?X)ni?1?(Xi?X)2?950，

n950?4.2. 215由于2.18＝λ1＜W0＜λ2＝17.535.

故H0相容，即不能认为标准有显著变化.

(2)H0 : μ＝500 选取统计量

X?500U??1.8，当H0成立，U～N(0，1).

15W0＝

9查表P{｜U｜＞1.96}＝0.05，

U＝1.8＜1.96. 所以H0相容.

13．某种罐头在正常情况下，按规格平均净重379克，标准差为11克，现在抽查十盒，测得如下数据

370.74 372.80 386.43 398.14 369.21 381.67 367.90 371.93 386.22 393.08(克)

试根据抽样结果，说明平均净重和标准差是否符合规格要求(提示：检验H0 : μ＝379，H0 : σ≤11，α＝0.05).

解设X为罐头净重，X～N(μ，σ). 检验假设(1)H0 : μ＝379.

(2)H0 : σ≤11. (1)H0 : μ＝379 取统计量

X?379，在成立时，T～t(9) T?S10查表得 t0.05(9)＝2.262，

计算 X＝379.81，S＝116.49 ｜T0｜＝

379.81?379?0.2374＜2.262

10.7910故H0相容，即不能认为平均重量不符合要求. (2)H0 : σ≤11

取统计量

(n?1)S22

W? H0成立χ(9). 2?02

对于α＝0.05，自由度为9，查χ分布临界值表得W的临界值λ＝16.919.

由于W＝8.663＜16.919，

故H0相容，即标准差符合规格要求.

14．为校正试用的普通天平，把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量，得如

下结果：

99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 99.2

假设在天平上称量的结果服从正态分布.问普通天平称量结果与标准天平有无显著差异(α＝0.05)？

解设称量结果为X，则X～N(μ，σ)，待检验假设

H0 : μ＝100 取统计量

X?100. H0成立，T～t(9). T?S10查t分布临界值表得t0.05(9)＝2.262，计算得X＝99.9，S＝1.169，故｜T0｜＝

99.9?100=0.2705＜2.262，

1.16910故H0相容，即不能认为普通天平称量结果与标准天平有显著差异。

15．某牌香烟生产者自称其尼古丁的含量方差为2.3，现随机抽取8支，得样本标准差为2.4，问能否同

意生产者的自称？α＝0.05，假定香烟中尼古丁含量服从正态分布. 解因香烟中尼古丁含量X～N(N，σ)待检验假设为

H0 : σ2≤2.3

取统计量

(n?1)S27?2.42W???17.53，

?022.3α＝0.05，查表得χ

20.05

(7)＝14.067.

因W＝17.53＞14.067.

从而应否定H0，即不能同意生产者的自称.

16．加工某一机器零件，根据其精度要求，标准差不得超过0.9，现从该产品中抽测19个样本，得样本标

准差S＝1.2，当α＝0.05时，可否认为标准差变大？解待检验假设

H0 : σ2≤0.92.

取统计量

(n-1)S218?1.44??32. W＝

?020.8122

查χ临界值表得χ0.05(18)＝28.869.

因W＝32＞28.869，所以应否定H0，即可以认为标准差变大.

17．测得A、B两批电子器件的样本的电阻为(单位：欧姆)：

A. 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137

B. 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140

设A、B两批器件的电阻分别服从N(μ1，σ的正态分布？解待检验的假设为

(1)H0 : σ(1)H0 : σ

212121)，N(μ2，σ

22)，试问，能否认为A，B两总体服从相同

＝σ

2222，(2)H0 : μ1＝μ2

＝σ

在H0成立下，统计量

S12F＝2～F(5，5).

S2取α＝0.05，查F分布分位数表得

1??P?F＜?＝0.025，

7.15??P?F＞7.15?＝0.025，

2由样本值得X＝0.1407，SX＝7.87×10?6，

2Y＝0.1385，SY＝7.1×10?6，

2SXF0＝2?1.108.

SY1＜1.108＝F0＜7.15， 7.15故H0相容，不能认为两总体方差不同. (2)H0 : μ1＝μ2 取统计量

X?YT?～t(10).

11SW?n1n2由于

查表得 t0.05(10)＝2.228.

又 n1＝n2＝6，X＝0.1407，Y＝0.1385，

2Sw?7.485?10?6. T0＝1.393. 由于 T0＝1.393＜2.228，

故H0相容，即不能认为两总体均值不同，综上所述，不能否认A、B两总体服从相同的正态分布. 18．从城市的某区中抽取16名学生测其智商，平均值为107，样本标准差为10，而从该城市的另一区抽

取的16名学生的智商平均值为112，样本标准差为8，试问在显著水平 α＝0.05下，这两组学生智商有无差异？解待检验假设

2(1)H0 : σ1＝σ

22；(2)H0 : μ1＝μ2.

2(1)H0 : σ1＝σ22 在H0成立条件下，统计量

S12F＝2～F(n1-1，n2-1).

S2102F0＝2＝1.5625.

8当α＝0.05时，查F分布临界值，得F?(15，15)＝2.86

1＜1.5625＜2.86. 2.86所以H0相容

由于

(2)H0 : μ1＝μ2

2由于σ1＝σ22，在H0成立条件下，统计量

X?YT?～t(n1+n2-2).

11SW?n1n2α＝0.05，查t分部分位数表得t0.05(30)＝2.042. 计算

107?112T0???1.562.

2215(10?8)11??301616由于｜T0｜＝1.562＜2.042，

所以H0相容，即不能认为两组学生的智商有差异.

19．用老工艺生产的机械零件方差较大，抽查了25个，得S1＝6.47，现改用新工艺生产，抽查25个零件，

得S2问新工艺的精度是否比老工艺显著地好？(α＝0.05) 2＝3.19，设两种生产过程皆服从正态分布，

解设X、Y分别表示旧、新工艺的精度，则X～N(μ1，σ1)，Y～N(μ2，σ22).

待检验假设

H0 : σ12≤σ22.

取统计量

S12F＝2＝2.028

S2当α＝0.05时，查F分布临界值表得

F0.05(24，24)＝1.98，

由于 F＝2.028＞1.98.

故否定H0，即新工艺的精度比老工艺的精度显著地好.

20．为比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20名患者分成两组，每组10人，如服药后延长的睡眠时间分别

近似服从正态分布，其数据如表所示 a b c 1.1 d e f g h i 0 j 2.0 甲 1.9 0.8 0.1 -0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 乙 0.7 -1.6 -0.2 -1.2 -0.1 3.4 3.7 0.8 问在显著水平α＝0.05下，两种安眠药的疗效有无显著差异？

解此题需先检验方差再检验期望，设甲组服药延长的睡眠时间X～N(μ1，σ时间Y～N(μ2，σ

2221)，乙组服药后延长的睡眠

21待检验的假设是

(1)H0 : σ

21＝σ

22，

(2)H0 : μ1＝μ2.

＝σ

选取统计量

S12F＝2.在H0成立时，F～F(n1-1，n2-1).

由n1＝n2＝10，计算X＝2.33，Y＝0.75，S12＝4.009

22＝3.20，Sw＝3.605，SW＝1.899. S24.009从而 F0＝＝1.25

3.2在α＝0.05时，查F临界值表，得 F0.025(9，9)＝4.03， 1由于＜1.25＜4.03.

4.03故H0相容. (2)H0 : μ1＝μ2 选取统计量

X?YT?.

11SW?n1n2在H0成立时，T～t(n1+n2-2).

查α＝0.05，自由度为18的t分布临界值，得 t0.05(18)＝2.101.

2.33?0.75T0??1.86.

111.899?1010由于｜T｜＝1.86＜2.101，故H0相容，即不能认为两种安眠药有显著差异.

21．10名失眠患者，服用甲、乙两种安眠药，延长的睡眠时间数据同20题，可以认为服从安眠药增加的

睡眠时间服从正态分布，问两种安眠药的疗效有无显著差异(α＝0.05)，(注意，这里是成对数据). 解设服用甲种安眠药后增加的睡眠时间为X，服用乙种安眠药后增加的睡眠时间为Y，令Z＝X-Y，则Z～

N(μ，σ2)

待检验假设

H0 : μ＝0.

取统计量

ZT＝.

Sn当H0成立时，T～t(9).

查t分布临界值表得 t0.05(9)＝2.262.

110由样本值计算 Z＝?(Xi?Yi)＝1.58

10i?1S＝1.23

1.58T0＝＝4.06＞2.262，

1.2310故否定H0，即两种安眠药的疗效有显著差异.

22.取9份马铃薯的块茎，将每份块茎分成两半，分别用两种不同方法测定其淀粉含量，每对测定结果的差值如下：

0.2 0.0 0.2 0.3 -0.3 0.2 0.0 -0.1 0.1 问分析结果是否说明两种测定方法有显著差异(α＝0.05)? 解待检验的假设H0 : μ＝0

取统计量

ZT＝，当H0成立时，T～t(n-1).

查表知t0.05(8)=2.306，

由样本值计算得Z＝0.0667，S＝0.187，

0.0667｜T0｜＝0.187＝1.07＜2.306.

9故H0相容，即分析结果说明不能认为两种测定方法有显著差异. 23.检验了26匹马，测得每100毫升的血清中，所含的无机磷平均为3.29毫升，样本标准差为0.27毫升，又检验了18头羊，100毫升的血清中含无机磷平均为3.96毫升，标准差为0.40毫升，试以0.05的显著水平检验马与羊的血清中含无机磷的量是否有显著性差异?

2解设X，Y分别为马与羊100毫升血清中的无机磷含量.则X～N(μ1, σ1)，Y～N(μ2, σ22).

22待检验假设为 (1)H0 : σ1＝σ2，

(2)H0 : μ1＝μ2.

2(1)H0 : σ1＝σ22 取统计量

S12F＝2～F(25，17)(在H0成立条件下).

S21??由α＝0.05，查表得P?F＜ ?＝0.025，

2.41??P{F＞2.56}＝0.025.

由样本值知S1＝0.27，S2＝0.4.

0.272

故 F0＝＝0.4556

0.421因为＝0.4149＜F0＜2.56，

2.412从而H0相容，即不能否定σ1＝σ22. (2)H0 : μ1＝μ2 取统计量

X?YT?.

11SW?n1n2由样本值知X =3.29，Y＝3.96，

S1＝0.27，S2＝0.4，n1=26，n2＝18.

经计算得Sw＝0.108，Sw＝0.329，故｜T0｜＝

＝6.64.

110.329?2618查表得t0.05(32)≈2.042.

｜T0｜＝6.64＞2.042.

故否定H0，即马与羊的血清中无机磷的含量有显著性差异.

24.在100次试验中，事件A出现了13次,试检验假设:事件A出现的概率等于0.15. 解待验假设分别为H0 : p=0.15，H1 : p≠0.15

?n?np0~13?15U????0.56

np0(1?p0)15?0.85取α＝0.05，查表得U?＝1.96，

~显然｜U｜＝0.56＜1.96，

故H0相容，即不能否认事件A出现的概率为0.15.

23.29?3.96 33

25.根据验收标准，一批产品不合格率p超过2％，则拒收，不超过2％，则接收，现随机抽验了200件，发现6件不合格品，问这批产品应否接收(α＝0.05)? 解待检验的假设为 H0 : p≤0.02.

固样本n=200较大，p0较小，故可用泊松分布近似二项分布，即

(np0)m?npmmn?mP{x?m}?Cnp0(1?p0)?e

m!其中n=200，p0＝200×0.02＝4.

?4m由 ?e?4≤0.05

m?cm!查表可得满足该不等式的最小整数C=8，故假设H0的否定域

V = {μn≥8} = {8，9，…200}.

由于μn = 6＜8，故这批产品没有理由拒收.

26.在25题条件下，出现几件不合格品时，拒收这批产品?

解由25题的解答知，出现多于或等于8件不合格品时，应拒收这批产品. 27.一种特殊药品的生产厂家声称，这种药能在8小时内解除一种过敏的效率有90％，在有这种过敏的200人中，使用药品后，有160人在8小时内解除了过敏，试问生产厂家的说法是否真实(α = 0.01)? 解法一:

由题设知，8小时内不能解除过敏的概率为0.1，μn=200-160 = 40，故待检验假设为

H0 : p≤ p0 = 0.1

因为np0 = 20，α = 0.01，查表得

0200m?33mm200?m?0.0098＜0.01＝α ?C200(0.1)(0.9)而μn = 40＞33，故应否定H0，即无效的概率大于0.1，所以生产厂家的说法是不真实的.

解法二：

设该种药品的有效率为p，记p0=0.9.问题可归结为假设H0 : p≥0.9 (教材中表6-6情形3)的检验. 以μn表示n个服用该药品的患者中有效的人数.由于n=200较大，p0=0.9，可用正态分布逼近μn的分布，使用近似的U检验.

~对于α= 0.01，查正态表，得μ0.01 =2.33.将μn =160，n =200，p0 = 0.9代入统计量U，得

?n?np0~160?200?0.9U????4.71.

np0(1?p0)200?0.9?0.1~由于U= -4.71＜-2.33，所以应否定假设H0，说明生产厂家的说明不真实.

28.从选区A中抽取300名选民的选票，从选区B抽取200名选民的选票，在这两组选票中，分别有168票和96票支持所提候选人，试在显著水平 α = 0.05下，检验两个选区之间是否存在差异? 解待检验假设为H0 : p1= p2，H1 : p1≠ p2 由教材中表6-7中情形1，取统计量

?1?p?2p~U?，

?11??(1?p?)???p?nm?根据样本值n =300，m = 200，μn =160，μm = 96.

???m16896?1???n?2?，p，pp?0.528

m?n300300代入统计量中，得

16896?~ 300300U??1.7551??10.528?0.472????300200?当α=0.05，查正态表U?=1.96.

~由于｜U｜=1.755＜1.96.

从而H0相容，不能认为两个选区之间有显著差异.

29.在某地抽查了27个家庭，其中有6家使用H牌洗衣粉，问H牌洗衣粉在该地占有率是否大于1/6?(α=0.05)

解法一：问题归结为假设H0 : p≤p0 =1/6的检验(教材中表6-3情形2). 由于样本容量n = 27为小样本，所以用精确分布——二项分布进行计算.在H0成立时，在抽查的27个家庭中使用H牌洗衣粉的家庭数μn服从参数为(n，p0)的二项分布，由于满足不等式

?1??5?≤0.05 ?C????m?c?6??6?的最大整数c = 9，可见假设H0在水平α = 0.05下的否定域为

V = {μn≥9} = {9，10，…，27}.

由于μn = 6＜9，所以不能否定假设H0，说明H牌洗衣粉在该地的占有率不大于1/6.

1解法二：以p表示H牌洗衣粉在该地的实际占有率，记p0 =，因

661??＞，所以选定待检验假设为 p276H0 : p≤ po，H1 : p＞p0.

27m27m27?m根据教材中表6-4情形2，选取统计量

?2(1?p0)，其中υ1=2(n -μu+1)，υ2=2μn

?1p0临界值为F2(υ1,υ2).

将n = 27，μu = 6，υ1 = 44，υ2 = 12，代入统计量F中，得

?1?12??1??6??F0??1.36 144?6查F分布临界值表n1= 44，n2 = 12，α= 0.05，得

F?(44，12) = 2.43.

由于F0=1.36＜2.43，故H0相容，即不能认为H牌洗衣粉在该地区占有率大于16. 30.某车床生产滚珠，随机抽取了50个产品，测得它们的直径为(单位：毫米)： 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2

经过计算知道，样本均值X=15.1，样本方差S= (0.4325).问滚珠直径是否服从正态分布N(15.1，

0.4325)?

解这是总体分布的假设检验. 用X表示滚珠直径.

待检验的假设为H0 : X～N(15.1，0.4325)

对数据进行分组，分成7组，在数轴上选取6个分点：14.3，14.6，14.9，15.2，15.5，15.8将数轴分成7个区间(-∞，14.3］，(14.3，14.6］…(15.8，+∞). 当H0成立时，列表如下： i 1 2 3 4 5 6 7 pi 0.032 0.091 0.2 0.268 0.233 0.124 0.053 npi 1.6 4.55 10 13.4 11.65 6.2 2.63 vi 3 5 10 16 8 6 2 F=

(npi-vi) 21.96 0.2025 0 6.76 13.32 0.44 0.384 (npi?vi)2 1.225 0.0445 0 0.504 1.144 0.006 0.148 npi(npi?vi)2V???3.07，

i?1npi2

α = 0.05时，查自由度为4的χ分布分位数表得V的临界值λ = 9.4988.

由于V=3.07＜9.4988，

7故H0是相容的.即可以认为滚珠直径服从N(15.1，0.4325).

31.在一正20面体的20个面上，分别标以数字0，1，2，…，9，每个数字在两个面上标出.为检验其匀称性，共作800次投掷试验，数字0，1，…，9朝正上方的次数如下：数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2

频数 74 92 83 79 80 73 77 75 76 91 问：该正20面体是否匀称?

解以X表示正20面体掷出(朝正上方)的数字，其可能值为0，1，…，9.若此正20面是匀称的，则

1P{X=i}= (i=0，1，…，9).

10问题归结为假设

1H0 : P{X=i} = (i= 0，1，…，9).

10的检验，所用统计量为(见(6.9)式)：