惠州市2018届高三第一次调研考试（文数）

惠州市2018届高三第一次调研考试

数学（文科）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

（1）已知集合U???1,0,1?，A?xx?m2,m?U，则CUA?( ) （A）?0,1? （B）??1,0,1? （C）? （D）??1? （2）已知复数z???10?2i (其中i是虚数单位)，则z?( ) 3?i（A）23 （B）22 （C）32 （D）33 （3）已知命题p,q，则“?p为假命题”是“p?q是真命题”的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）已知正方形ABCD的中心为O且其边长为1，则OD?OA?BA?BC?（ ） （A）3 （B）

????1 （C）2 （D）1 2B1（5）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1（底面ABCD是正方形，侧棱AA1?底面ABCD）中，点P

A1PC1D1是正方形A1B1C1D1内一点，则三棱锥P?BCD的正视图与俯侧视视图的面积之和的最小值为（ ）

AC正视DB35（A） （B）1 （C）2 （D）

42

1

?2x?y?2?0?（6）点P?x,y?为不等式组?3x?y?8?0所表示的平面区域内

?x?2y?1?0?的动点，则m?x?y的最小值为( )

（A）?1 （B）1 （C）4 （D）0 （7）执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始

输入的x的值为（ ） （A）

开始 输入x i?1 x?2x?1 3715 （B） （C） （D）4

8164i?i?1 i?3? 是 输出x 结束 朱

朱 黄 朱

朱

否 （8）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定

理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2?勾?股??股—勾??4?朱

2实?黄实?弦实，化简得：勾?股?弦．设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）（A）866 （B）500 （C）300 （D）134

222?3?1.732

?（9）已知函数f(x)?sin?x?3cos?x的最小正周期为?,则函数f(x)的一个单调递增

区间为（ ） （A）[?5???7????5?,] （B）[,] （C）[?,] （D）[,] 121212126336（10）已知定义域为R的偶函数f(x)在(??,0]上是减函数，且f(1)?2，则不等式

f(log2x)?2的解集为（ ）

（A）(2,??) （B）(0,)12(2,??) （C）(0,2)(2,??) （D）(2,??) 2 2

x2y2（11）已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的离心率为2，左、右顶点分别为A,B，

ab点P是双曲线上异于A,B的点，直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB，则kPA?kPB?（ ）

（A）1 （B）

23 （C） （D）3 26（12）锐角?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足

?a?b??sinA?sinB???c?b?sinC，若a?3，则b2?c2的取值范围是（ ）

（A）?3,6? （B）?3,5? （C）?5,6? （D）?5,6? 二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

?2x（13）已知函数f(x)???f(x?1)2(x?1) ，则f?f?3??? ．

(x?1)（14）若tan???3，则cos??sin2?= ．

（15）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9?2a5，a2?1,则a1? ． （16）已知三棱锥S?ABC，?ABC是直角三角形，其斜边AB?8,SC?平面ABC，

2SC?6，则三棱锥的外接球的表面积为 ．

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 （17）（本小题满分12分）

已知等差数列?an?的公差不为0，前n项和为Snn?N成等比数列．

（1）求an与Sn； （2）设bn?

???，S5?25且S1，S2，S41SnSn?1，求证：b1?b2?b3?????bn?1．

3

（18）（本小题满分12分） 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售

频率组距0.01500.0125出1盒该产品获利润30元，未售出的产

0.0100品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到0.0075开学季市场需求量的频率分布直方图，如0.0050图所示．该同学为这个开学季购进了160100120140160180200需求量盒该产品，以x（单位：盒， 100?x?200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数； （2）将y表示为x的函数；

（3）根据直方图估计利润y不少于4000元的概率．

（19）（本小题满分12分）

?ABC?60，AA1?AC?2，如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1B?A1D?22，点E在A1D上．

（1）证明：AA1?平面ABCD； （2）当

?A1C1A1E为何值时，A1B//平面EAC，并求出此时

B1EDD1直线A1B与平面EAC之间的距离．

4

EDCAB（20）（本小题满分12分）

已知圆x?y?12与抛物线x?2py?p?0?相交于A,B两点，点B的横坐标为

22222，F为抛物线的焦点．

（1）求抛物线的方程；

（2）若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为

P1，P2，P3，P4，求P1P2?P3P4的值．

（21）（本小题满分12分）

设函数f?x??lnx?1， x（1）求曲线y?f?x?在点?e,f?e??处的切线方程；

1ax2?1（2）当x?1时，不等式f?x???恒成立，求a的取值范围．

xx

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 （22）（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

??3?x?2?t?5（t为参数）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?．以坐标原点

4?y??2?t5?为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?cos??tan?．

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

11π??（2）若C1与C2交于A,B两点，点P的极坐标为?22,??，求的值． ?4|PA||PB|??（23）（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f(x)?2x?1?x?1,g(x)?x?a?x?a． （1）解不等式f(x)?9；

（2）?x1?R,?x2?R，使得f(x1)?g(x2)，求实数a的取值范围．

5

数学（文科）参考答案

一、选择题（每小题5分，满分60分） 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 D 5 A 6 D 7 B 8 D 9 A 10 B 11 A 12 C （1）【解析】A?xx?m2,m?U??0,1?，?CUA???1? （2）【解析】复数z?3?i?2i?3?3i，则|z?32．

（3）【解析】充分性：p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以p?q是真命题不成立；必要性：p?q是真命题，则p,q均为真命题成立．所以“?p为假命题”是“p?q是真命题”的必要而不充分条件

（4）【解析】OD?OA?BA?BC?AD?BD?1?2?cos45??1 （5）【解析】由图易知：其正视图面积????????1?1?2?1，当顶点P的投影在?BCD内部或211?1?1?,22其边上时，俯视图的面积最小?S?BCD?三棱锥P?BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1?13? 22?2x?y?2?0?（6）【解析】如图所示，不等式组?3x?y?8?0所表示的

?x?2y?1?0?平面区域为图中阴影部分．容易知道点B为最优解， 由??2x?y?2?0?x?2 可得?，故B?2,2?． 将点B?2,2?代入目标函数m?x?y?3x?y?8?0?y?2得最小值为0.

（7）【解析】i?1时，x?2x?1，i?2时，x?2(2x?1)?1?4x?3，i?3时，

x?2(4x?3)?1?8x?7，i?4时，退出循环，此时8x?7?0，解得x?选B。

6

7，故8（8）【解析】设勾为a，则股为3a ， ∴ 弦为2a ，小正方形的边长为3a?a．所以

图中大正方形的面积为 4a，小正方形面积为

2?3?1a2 ，所以小正方形与大正

?2?方形的面积比为

3?13 ∴ 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约?1?42?2?3????1000?134． 为 1??2???（9）【解析】f?x??2sin??x?解得?????2?????????2，由??2x??， ?，?T?3??2325???x?，故选A。 1212（10）【解析】f(x)是R的偶函数，在(??,0]上是减函数，所以f(x)在[0,??)上是增

函数，所以f(log2x)?2?f(1)?f(|log2x|)?f(1)?|log2x|?1?log2x?11. 故选B. 2（11）【解析】由双曲线的离心率为2容易知道b?a（即该双曲线为等轴双曲线），所

或log2x??1?x?2 或0?x?以双曲线的方程为x?y?a?a?0?，左顶点A??a,0?，右顶点为B?a,0?，设点

222P?m,n?，得直线PA的斜率为kAP??kPA?kPB2nn，直线PB的斜率为kBP?，m?am?an2222?a?0?上的点，x?y?a???2Pm,n ①，又因为是双曲线2m?a22222所以m?n?a，得n?m?a，代入①式得kPA?kPB?1 （12）【解析】??a?b??sinA?sinB???c?b?sinC

由正弦定理可得：?a?b??a?b???c?b?c，即b?c?a?bc

222b2?c2?a2bc1???cosA???，又?0?A?，?A?．

2bc2bc223?a?3，?bca???sinBsinCsinA332?2，?b?2sinB,c?2sinC

又

7

?C???B??3?2??B3??2??2?2?b2?c2?4sin2B?sin2C?4?sinB?sin?B?????

3??????化简得：b?c?4?2sin?2B?22????中，?，?锐角?ABC6??0?B???2?0?C??2，

?6?B??2，??6?2B??6?5??b2?c2??5,6? 6二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）2 （14）?21 （15） （16）100?

2211（13）【解析】f?3??f?2??f?1??2?2，?f?f?3???f?2??f?1??2?2

cos2??2sin?cos?1?2tan?1?61????（14）【解析】cos??sin2?? 222sin??cos?tan??19?122（15）【解析】∵a3?a9?a6，∴a6?2a5,因此q?2,由于q?0,解得

2222q?2,∴a1?a22 ?q2所在长方体的外接球,即三棱

,即三棱锥的外.

（16）【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥

锥所在的外接球;所以三棱锥的外接球的直径接球的半径

;所以三棱锥的外接球的表面积

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、 （本小题满分12分）

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，

则由S5?25可得a3?5，得a1?2d?5……① ……2分 又S1,S2,S4成等比数列，且S1?a1,S2?2a1?d,S4?4a1?6d

8

22所以(2a1?d)?a1(4a1?6d)，整理得2a1d?d，因为d?0，所以d?2a1……②

联立①②，解得a1?1,d?2 ……4分 所以an?1?2(n?1)?2n?1,Sn?（2）由（1）得bn?所以b1?b2?b3?n(1?2n?1)?n2 ……6分

2111?? ……8分

n(n?1)nn?1111111?bn? ……10分 （?）?（?）???（?）1223nn?11 ?1?n?11?1，即得证． ……12分 又?n?N?，?1?n?118、（本小题满分12分）

【解析】（1）由频率直方图得：最大需求量为150的频率?0.015?20?0.3． 这个开学季内市场需求量的x众数估计值是150； 需求量为?100,120?的频率?0.005?20?0.1， 需求量为?120,140?的频率?0.01?20?0.2， 需求量为?140,160?的频率?0.015?20?0.3， 需求量为?160,180?的频率?0.0125?20?0.25， 需求量为?180,200?的频率?0.0075?20?0.15． 则平均数

x?110?0.1?130?0.2?150?0.3?170?0.25?190?0.15?153．………………（5分）

（2）因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，

所以当100?x?160时，y?30x?10??160?x??40x?1600，…………………（7分） 当160?x?200时，y?160?30?4800，…………………………………………（9分）

9

所以y???40x?1600,100?x?160．

?4800,160?x?200（3）因为利润不少于1200元所以，解得40x?1600?4000，解得x?140．

所以由（1）知利润不少于4000元的概率p?1?0.3?0.7………………………（12分）

19、（本小题满分12分）

【解析】(1)证明：因为底面ABCD是菱形，?ABC?60, 所以AB?AD?AC?2，在?AA1B中， 由AA1?AB?A1B知AA1?AB， 同理，AA1?AD又因为AB?AD于点A， 所以AA1?平面ABCD. …………4分 (2)当

222?A1E?1时，A1B//平面EAC. EDA1E?1，即点E为A1D的中点时， ED证明如下：连接BD交AC于O，当

连接OE，则OE//A1B，所以A1B//平面EAC. ……6分

直线A1B与平面ACE之间的距离等于点A1到平面ACE的距离，因为E为A1D的中点，可转化为D到平面ACE的距离，VD?AEC?VE?ACD，设AD的中点为F，连接EF，则

EF//AA1，所以EF?平面ACD，且EF?1，可求得S?ACD?3，

所以VE?ACD?13?1?3?? ……9分

33137，?S?AEC?d?(d表示点D到平

323又AE?2，AC?2，CE?2，S?AEC?面ACE的距离），d?

221221?…12分 ，所以直线A1B与平面EAC之间的距离为7710

20、（本小题满分12分）

?22?【解析】（1）设B22,y0，由题意得：???22??????222?y0?12 ……2分

?2py0?y0?22解之得：?，所以抛物线的方程为x?4y． ……4分

?p?2P3?x3,y3?，P2?x2,y2?，P4?x4,y4?，P2，P4（2）设点P由题意知P1，P3在圆上，1?x1,y1?，

在抛物线上．因为直线l过点F且斜率为1，所以直线的方程为y?x?1． ……5分

?y?x?11122x?2x?11?0联立?2，得，所以 x?x??1,xx??131322?x?y?12?P1P3?1?12??x1?x3?2?4x1x3?2?11???1?2－4???????2?46 ……7分

?y?x?12同理：由?2，得x－4x?4?0，所以x2?x4?4,x2x4??4

?x?4y?P2P4?1?12??x2?x4?2?4x2x4?2?42－4???4??8 ……9分

由题意易知：P1P2?P1P3?P2P3……①，P3P4?P2P4?P2P3……②

①—②得：P1P2?P3P4?P1P3?P2P4 ……11分

46?8 ……12分 ?P1P2?P3P4?21、（本小题满分12分）

【解析】（1）根据题意可得，f?e??2， ……1分 ef??x??1?lnx?lne1???fe???k??，所以，即， ……3分 2222xeee21??2?x?e?，即x?e2y?3e?0．……4分 ee所以在点?e,f?e??处的切线方程为y?1ax2?1lnx?ax2?1??0在x?1恒成立， （2）根据题意可得，f?x???xxx

11

????令g?x??lnx?ax?1，?x?1?，所以g??x??2??1?2ax， ……5分 x当a?0时，g??x??0，所以函数y?g?x?在?1,???上是单调递增，所以g?x??g?1??0，

1ax2?1所以不等式f?x???成立，即a?0符合题意； ……7分

xx当a?0时，令

??1?2ax?0，解得x?x111?1，解得a?， ，令

2a2a2?111???上g??x??0，在上g??x??0，所?1，所以g??x?在?1,① 当0?a?时，

2a2a?2??以函数y?g?x?在?1,????1?1??上单调递增，在??上单调递减， ，?????2a??2a???1?2?111?1??g???ln?a???1???lna??a，令h?a???lna??a，

??a??aaa?a???11a2?a?11h??a????2?1??0恒成立，又， 0?a?aa2a2所以h?a??h????ln所以0?a??1??2?113?1??2??ln2??0，所以存在g???0， 222?a?1不符合题意； ……10分 2②当a?11?1g??x??0在?1,???上恒成立，所以函数y?g?x?在?1,???上是时，

2a2单调递减，所以g?x??g?1??0，显然a?综上所述，a的取值范围为aa?0． ……12分 22．（本小题满分10分）

【解析】（1）曲线C1的普通方程为4x?3y?2?0; ············································· 2分

曲线C2的直角坐标方程为:y?x2. ····························································· 5分

??1不符合题意； 2 12

3?x?2?t,??5(t为参数)代入y?x2得 （2）C1的参数方程??y??2?4t.?5?9t2?80t?150?0, ················································································· 6分

设t1,t2是A、B对应的参数,则t1?t2?8050································· 7分 ，t1t2??0. ·

93?11|PA|?|PB||t1?t2|8··············································· 10分 ????. ·

|PA||PB||PA|?|PB||t1t2|1523．（本小题满分10分）

1?3x,x?,?2?1?【解析】（1）f(x)??2?x,?1?x?, ····························································· 2分

2???3x,x?1.??11???x?,??1?x?,?x??1, ·········································· 3分 f(x)?9等价于?2或?2或??3x?0???3x?9??2?x?9综上,原不等式的解集为{x|x?3或x??3}. ··················································· 5分 （2）|x?a|?|x?a|?2|a|. ·································································· 7分

13由(Ⅰ)知f(x)?f()?.

22所以2|a|?3， ····················································································· 9分 233实数a的取值范围是[?,]. ··································································· 10分

44

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