2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1

3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( ) A．m，n，p共线 B．m与p共线 C．n与p共线

D．m，n，p共面

解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a， 即m＋n＝2p，即p＝11

2m＋2n，

又m与n不共线，所以m，n，p共面． 答案：D

2．已知正方体ABCD-A→1→→→→→

1B1C1D1中，A1E＝4A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则( )

A．x＝1，y＝1

2

B．x＝1

2，y＝1

C．x＝1，y＝1

3

D．x＝1，y＝1

4 解析：→AE＝AA→A→→1→

1＋1E＝AA1＋4A1C1

＝AA→1→→11＋4(AB＋AD)，所以x＝1，y＝4.

答案：D

3．已知空间向量a，b，且→AB＝a＋2b，→BC＝－5a＋6b，→

CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D

D．A，C，D 解析：∵→BD＝→BC＋→CD＝2a＋4b＝2→

AB，∴A，B，D三点共线． 答案：A

4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( ) ①→OA＋→OD与OB→→

1＋OC1是一对相反向量； ②→OB－→OC与OA→→

1－OD1是一对相反向量；

③→OA＋→OB＋→OC＋→OD与OA→→→→

1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量； ④OA→→→→

1－OA与OC－OC1是一对相反向量．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．

精 品 试 卷

) 1

精 品 试 卷

答案：C

→3→1→1→

5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点( )

488A．不共面 B．共面 C．共线

D．不共线

解析：∵314＋8＋1

8＝1，

∴P，A，B，C四点共面． 答案：B

6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若→AD＝2→DB，→CD＝1→→

3CA＋λCB，

则λ＝________.

解析：→CD＝→CB－→DB＝→CB－1→→1→→2→1→

3AB＝CB－3(CB－CA)＝3CB＋3CA，

又→CD＝1→3CA＋λ→CB，所以λ＝2

3. 答案：2

3

7.如图，已知空间四边形ABCD中，→AB＝a－2c， →

CD＝5a＋6b－8c，对角线分别为E、F，则→

EF＝________(用向量a，b，c表示)．

解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则→EF＝→EG＋→

GF ＝1→1→2AB＋2

CD ＝12(a－2c)＋1

2(5a＋6b－8c) ＝3a＋3b－5c. 答案：3a＋3b－5c

8．设e是空间两个不共线的向量，若→AB＝e→

1，e21＋ke2，BC＝5e1＋4e2， →

DC＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.

解析：∵→BC＝5e，→

1＋4e2DC＝－e1－2e2， ∴→BD＝→BC＋→

CD＝5e1＋4e2＋e1＋2e2＝6e1＋6e2.

AC，BD的中点

2

精 品 试 卷

→

又AB＝e1＋ke2，∵A，B，D三点共线，

→→

∴存在实数u，使AB＝uBD，即e1＋ke2＝6ue1＋6ue2，

??1＝6u，

∵e1，e2不共线，∴?

??k＝6u，

∴k＝1.

答案：1

→→→

9.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，

N，P分别是AA1，

BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)→AP；(2)A→→1N；(3)MP. 解析：(1)∵P是C1D1的中点， ∴→AP＝AA→→D→→1→1＋A11＋D1P＝a＋AD＋2D1C1

＝a＋c＋1→2AB＝a＋c＋1

2b.

(2)∵N是BC的中点，

∴A→→→→1→

1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC

＝－a＋b＋1→1

2AD＝－a＋b＋2c.

(3)∵M是AA1的中点， ∴→MP＝→MA＋→AP＝12

A→A＋→

1AP

＝－1?

1?112a＋??

a＋c＋2b??＝2a＋2b＋c.

10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，＝2

3

DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面；

(2)若→EF＝xAB→＋yAD→＋zAA→

1，求x＋y＋z的值． 解析：(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体， ∴AA→→→→1＝BB1＝CC1＝DD1， ∴→BE＝13AA→→2→1，DF＝3

AA1，

∴AC→→→→→→1→2→

1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋3AA1＋3

AA1

且BE＝1

3

BB1，DF3

精 品 试 卷

?→1→??→2→?→→→→→→

＝?AB＋AA1?＋?AD＋AA1?＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF，由向量共面的充分必要条件知A，E，C1，F四点共面．

3??3??

→→→→→→→→2→→1→→→1→→→→→

(2)∵EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，又EF＝xAB＋yAD＋zAA1，∴x＝

33311

－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.

33

[B组 能力提升]

1．若a，b是平面α内的两个向量，则( ) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0

C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)

解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确． 答案：D

2．已知向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－kd.若a与b共线， 则实数k的值为( ) A．0 B．1 C．－1

解析：∵c，d不共线，∴c≠0，且d≠0.

∵a与b共线，∴存在实数λ，使得a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－kd)， 整理得(k－λ)c＋(1＋λk)d＝0.

??k－λ＝0

∴?2

??1＋λk＝0

2

2

2

D．2

，解得k＝λ＝－1.故选C.

答案：C

→→→→

3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________. →→→→→→→→

解析：如图，A1B＝B1B－B1A1＝B1B－BA＝－CC1－(CA－CB) ＝－c－(a－b)＝－c－a＋b. 答案：－c－a＋b

4．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB， AC，M，N分别

为OA，BC的中点，点别为________．

G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分

→1→→

解析：由题意知OM＝OA，ON＝

21→→→→→(OB＋OC)，MN＝ON－OM 2

→→1→→1→

＝(OB＋OC)－OA，又MG＝2GN， 22

→→→→→→

4

精 品 试 卷

→2→1→1→1→∴MG＝MN＝－OA＋OB＋OC，

3333→→→1→1→1→1→

故OG＝OM＋MG＝OA－OA＋OB＋OC

23331→1→1→

＝OA＋OB＋OC， 633111∴x＝，y＝，z＝. 633111答案：，，

633

5.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别→→

点，判断CE与MN是否共线．

解析：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22→→→→→

又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1→→→1→＝－CA＋CE－AF－FB，

22

→1→→1→1→→→1→→→→∴2MN＝CA＋AF＋FB－CA＋CE－AF－FB＝CE，即CE＝2MN.

2222→→

∴CE与MN共线．

6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量共面向量．

→→→→1→→1→

证明：法一 EF＝EB＋BA1＋A1F＝B1B－A1B＋A1D1

22→1→→1→→

＝(B1B＋BC)－A1B＝B1C－A1B. 22

→→→

由向量共面的充分必要条件知，A1B，B1C，EF是共面向量． 法二 连接A1D、BD， 取A1D中点G， 连接FG、BG， 1

则有FG綊DD1，

2

形，

是AC、BF的中

A1B，B1C，EF是

→→→

BE綊DD1，

∴FG綊BE.

5

12

精 品 试 卷

∴四边形BEFG为平行四边形． ∴EF∥BG. ∴EF∥平面A1BD.

同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD， →→→

∴A1B，B1C，EF都与平面A1BD平行， →→→

∴A1B，B1C，EF共面．

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5eea.html