2012年全国中考数学试题分类解析汇编-尺规作图

2012年全国中考数学试题分类解析汇编

专题40：尺规作图

一、选择题

1. （2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，

2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形

乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。

2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。 对于甲、乙两人的作法，可判断【 】

A． 甲、乙均正确 误，乙正确 【答案】A。

【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形。

【分析】根据甲的思路，作出图形如下：

B． 甲、乙均错误

C．甲正确、乙错误

D．甲错

连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC。∴OE=DE=又∵OB=OD，∴在Rt△OBE中，OE=

1212OD。

OB。∴∠OBE=30°。

又∵∠OEB=90°，∴∠BOE=60°。 ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。

又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。

同理∠C=60°。∴∠BAC=60°。

∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。∴△ABC为等边三角形。故甲作法正确。 根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD。

∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB。∴△BOD为等边三角形。∴∠OBD=∠BOD=60°。 又∵BC垂直平分OD，∴OM=DM。∴BM为∠OBD的平分线。∴∠OBM=∠DBM=30°。 又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°。 ∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。 同理∠ACB=60°。∴∠BAC=60°。

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。∴△ABC为等边三角形。故乙作法正确。

故选A。

2. （2012山东济宁3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是【 】

A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 【答案】A。

【考点】作图（基本作图），全等三角形的判定和性质。

【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：

在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC， ∴△ONC≌△OMC（SSS）。∴∠AOC=∠BOC。故选A。

3. （2012河北省3分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，

? 是【 】 FG

A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧

【答案】D。

【考点】作图（基本作图），平行线的判定，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答：

?是以点E根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，根据作一个角等于已知角的作法，FG为圆心，DM为半径的弧。故选D。

4. （2012吉林长春3分） 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；再分别以点A, B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点

21C的坐标为(m－1,2n),则m与n的关系为【 】

(A)m＋2n=1 (B)m－2n=1 (C)2n－m=1 (D)n－2m=1 【答案】B。

【考点】作图（基本作图），角平分线性质，点到x轴、y轴距离。 【分析】如图，根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线，点C的坐标为 (m－1,2n)且在第一象限，点C到x轴CD=2n，到y轴距离CE= m－1。根据角平分线上的点到角两边距离相等，得m－1=2n，即m－2n=1 。故选B。 二、填空题

1. （2012河南省5分）如图，在△ABC中，∠C=90，∠CAB=50，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于

120

0

EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则∠ADC的度数为 ▲

【答案】650。

【考点】作图，角平分线的性质，三角形内角和外角的性质。

【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质有∠GAB=250。

∵在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，∴根据三角形内角和定理，得∠B=400。 ∴根据三角形外角性质，得∠ADC =40＋25=65。

2. （2012江西省3分）如图，已知正五边形ABCDE，仅用无刻度的直尺准确作出其一条对称轴。（保留作图痕迹）

0

0

0

【答案】作图如下：

【考点】作图题，

【分析】正五边形的性质。连接BD，CE交于点O，连接AO，即为所求。 三、解答题

1. （2012广东省6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

【答案】解：（1）作图如下：

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，

∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。 ∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=

12∠ABC=

12×72°=36°。

∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。

【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。 【分析】（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：

①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交

21AC于点D。

（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的

性质得出

∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。 2. （2012广东佛山8分）比较两个角的大小，有以下两种方法(规则) ①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大； ②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大． 对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小． 注：构造图形时，作示意图（草图）即可．

要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

【答案】解：已知：A村、B村、C村，

求作：一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离

都相等。

作图如下：

【考点】作图（应用与设计作图），线段垂直平分线的性质。

【分析】根据线段垂直平分线的性质知，连接AB，作AB的垂直平分线DE，连接AC，作AC的垂直平分线MN，交DE于P，两垂直平分线的交点即是所求答案。

15. （2012甘肃兰州8分）如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠， (1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．

【答案】解：(1)作图如下：

(2)等腰三角形。理由如下：

∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，∴△BDE≌△BDC。∴∠FDB＝∠CDB。 ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD。∴∠ABD＝∠BDC。∴∠FDB＝∠BDC。 ∴△BDF是等腰三角形。

【考点】翻折变换(折叠问题)，尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定。

【分析】(1)根据折叠的性质，可以作∠BDF＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD，则可求得折叠后的图形。 作法如下：

作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE； 作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE； 作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E； 作∠DBH＝∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；

分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE。 则△DEB为所求做的图形。

(2)由折叠的性质，易得∠FDB＝∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即

可证得∠FDB＝∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形。

16. （2012内蒙古赤峰10分）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB． （1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．

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