2014年上海市松江区高三一模数学（理）试题及答案

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松江区2014学年度第一学期高三期末考试 数学（理科）试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.1

一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空

格填对得4分，否则一律得零分． 1．若函数f(x)?2．若4?2xx?111(x?1)的反函数为f?1(x)，则f?1()? ▲ ． x?12?0，则x? ▲ ．

3．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为： 9.7，9.9，10.1，组数据的方差为 ▲ ．

10.2，10.1，则这

????????4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则AC?DB? ▲ ．

5．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn．若a1?1，a3?5，▲ ．

6．将直线l1：x?y?3?0绕着点P(1,2)按逆时针方向线l2，则l2的方程为 ▲ ．

7．执行如图所示的程序框图，输出的S= ▲ ． 8．记an为(1?x)n?1的展开式中含xn?1项的系数，则

旋转45?后得到直

Sn?64，则n? lim(n??111????)? ▲ ． a1a2an2229．若圆x?y?R(R?0)和曲线值是 ▲ ．

|x||y|??1恰有六34个公共点，则R的

10．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随

则关于x的方程x?2ax?b?0有两个虚根的概率是 ▲ ．

22机选取一个数b，

11．对于任意实数x，x表示不小于x的最小整数，如1.2?2,?0.2?0．定义在R上的函数

f(x)?x?2x，若集合A??yy?f(x),?1?x?0?，则集合A中所有元素的和为 ▲ ．

x2y212．设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，若PF1?PF2?6a，且?PF1F2P是C上一点，

ab的最小内角为30，则C的渐近线方程为 ▲ ．

13．已知函数f(x)?loga1?x(a?0,a?1)，若x1?x2?x3?x4， 且f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)，则

?1111???? ▲ ． x1x2x3x414．设集合A?{1,2,3,?,n}，若B??且B?A，记G(B)为B中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B，

G(B)的平均值= ▲ ．

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二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，

将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为

A ．25 B．26 C．27 D．以上都不是 16．已知0?a?b，且a?b?1，则下列不等式中，正确的是 A．log2a?0 17．已知函数f(x)?A．[k??B．2a?b1? 2mC．log2a?log2b??2 D．2ab?ba?1 22sinxcos2xcosx的图像关于直线x??8对称，则f(x)的单调递增区间为

3???3?B．[k??,k??,k??](k?Z)](k?Z)8888 3???3?C．[2k??,2k??](k?Z) D．[2k??,2k??](k?Z)

444418．已知实数a?0,b?0，对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：

①“f(x)是奇函数”的充要条件是“函数f(x?a)的图像关于点A(a,0)对称”； ②“f(x)是偶函数”的充要条件是“函数f(x?a)的图像关于直线x?a对称”； ③“2a是f(x)的一个周期”的充要条件是“对任意的x?R，都有f(x?a)??f(x)”； ④ “函数y?f(x?a)与y?f(b?x)的图像关于y轴对称”的充要条件是“a?b” 其中正确命题的序号是 A．①②

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的

步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

已知集合A?{xx?1?1}，B?{xx?4ax?3a?0,a?0} (1)当a?1时，求集合A?B；

⑵若A?B?B，求实数a的取值范围．

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22 B．②③ C．①④ D．③④

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20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

x2过椭圆?y2?1的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点．

2????????⑴求AO?AF1的范围；

????????⑵若OA?OB，求直线l的方程．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东45?方向，距A地1502海里处的M点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．

⑴求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程； ⑵问：

①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

已知函数f(x)?x?(x?1)|x?a|． ⑴若a??1，解方程f(x)?1；

⑵若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；

⑶是否存在实数a，使不等式f(x)?2x?3对一切实数x?R恒成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

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2（精确到0.1小时）

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23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于数列{An}：A1,A2,A3,?,An，若不改变A1，仅改变A2,A3,?,An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列

1,?2,?3,4,5．

已知数列{a1n}为数列{2n}(n?N?)的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和． ⑴写出S3的所有可能值； ⑵若生成数列{a1n}满足： S3n?7(1?18n)，求{an}的通项公式； ⑶证明：对于给定的n?N?，Sn的所有可能值组成的集合为：

{x|x?2m?12n,m?N?,m?2n?1}．

松江区2013学年度第一学期高三期末考试 数学（理科）试卷参考答案

2014.1

一、填空题

1． 3 2． 1

3．0.032 4．?32

5．8 6． y?2 7．102 8． 2

9． 3 10．15

11．-4 12．y??2x

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13．2 14． n?1

二、选择题

15．B 16． C 17．A 18．A

三、解答题 19．解：

(1)由x?1?1, 得0?x?2，所以A?[0,2]?? 2分

当a?1时, B?{xx2?4x?3?0}??x1?x?3?,????????? 4分 ∴A?B?[1,2] ????????? 6分 (2) ?a?0, ∴B??a,3a?， ?????????7分 若A?B?B，则B?A, ????????? 8分

∴??a?0?3a?2 即a?[0,23] ?????????12 分

20．

解：（1）易知a?2,b?1,c?1 ∴F1(?1,0)， ?????1分设A(x????????

221,y1)，则AO?AF1?x1?x1?y1 ????????? 3分

2∵x122?y1?1

∴???AO??????AF21111?x1?x1?y21?x21?x1?1?(x1?1)2? ??????5分

∵x????2????2211?[?2,2] ∴AO?AF1?[2,2?2]， ????????? 6分

(2)设A、B两点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)

①当l平行于y轴时，点A(?1,22)、B(?1,?22)，此时???OA?????OB??12?0??8分 ②当l不平行于y轴时，设直线l的斜率为k，则直线l方程为y?k(x?1)， ?由?y?k(x?1)?x2 得 (1?2k2x)2?4k2x?2k2?2? ???????0 9分??2?y2?1 x?x4k2x2k2?212??，x12? ???1?22 ??????? 11分 OA?2k1?2k????OB??x1x2?y1y2?(1?k2)x1x22?k(x1?x2)?k2

=(1?k2)?2k2?21?2k2?k2?4k21?2k2?k2?0 得 k2?2，k??2???? 13分 故所求的直线方程为y??2(x?1) ???? 14分 21．

解：⑴设点P为边界线上的点，由题意知

PA30?PB30?2，即PA?PB?60， 即动点P到两定点A、B的距离之差为常数，

∴点P的轨迹是双曲线中的一支。 ??? ????? 3分

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由2c?200,2a?60得a?30，b2?1002?302?9100

x2y2∴方程为??1（x?0） ??????? 6分

9009100⑵①M点的坐标为M(50,150)，A点的坐标为A(?100,0)，B点的坐标为B(100,0)，∴

MA?1502?212.1，MB?502?1502?158.1，MA?MB??212.1?158.1?54?60，∴点M在A

区，又遇险船向正北方向漂移，，即遇险船始终在A区内，∴应派A船前往救援 ???????8分

②设经t小时后，A救援船在点N处与遇险船相遇。在?AMN中，AM?1502，MN?10t,AN?30t,?AMN?135? ??????? 9分 ∴(30t)?(10t)?(1502)?2?10t?1502cos135? 整理得4t?15t?225?0，

222215?151715?1517?9.606或t?（舍） ??????? 13分

88∴A救援船需9.6小时后才能与遇险船相遇． ???????14分

解得t?22．

解：（1）当a??1时，f(x)?x?(x?1)|x?1|, 故有,

2?2x2?1,x??1f(x)??, ???????2分

x??1?1,2当x??1时，由f(x)?1，有2x?1?1，解得x?1或x??1???????3分 当x??1时，f(x)?1恒成立 ???????4分 ∴ 方程的解集为{x|x??1或x?1} ???????5分 ?2x2?(a?1)x?a,x?a（2）f(x)??, ???????7分

(a?1)x?a,x?a?若f(x)在R上单调递增，则有 ?a?1?a1?， 解得， ???????9分 a??43??a?1?01∴ 当a?时，f(x)在R上单调递增 ?????10分

3（3）设g(x)?f(x)?(2x?3)

?2x2?(a?3)x?a?3,x?a则g(x)?? ???????11分

x?a?(a?1)x?a?3,不等式f(x)?2x?3对一切实数x?R恒成立，等价于不等式g(x)?0对一切实数x?R恒成立．

22①若a?1，则1?a?0，即，此时x0?(??,a) ?0，取x0?1?a1?a22g(x0)?g()?(a?1)??a?3?1?a?0，

1?a1?a2即对任意的a?1，总能找到x0?，使得g(x0)?0，

1?a运用科技和互联网的力量，让教育变的更容易。

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∴不存在a?1，使得g(x)?0恒成立． ???????12分 ②若a?1，g(x)???2x2?4x?4,x?12,，g(x)值域[2,??)，

?x?1所以g(x)?0恒成立． ???????13分 ③若a?1，

当x?(??,a)时，g(x)单调递减，其值域为(a2?2a?3,??)，

由于a2?2a?3?(a?1)2?2?2，所以g(x)?0成立． 当x?[a,??)时，由a?1，知a?a?34， g(x)在x?a?34处取最小值， 令g(a?34)?a?3?(a?3)28?0，得?3?a?5，又a?1，所以?3?a?1??15分

综上，a?[?3,1]. ???????16分

23．

（1）由已知，a?112，|a1?n|?2n(n?N,n?2)， ∴a112??4,a3??8 ??????????????2分

由于1117111511131112?4?8?8,2?4?8?8,2?4?8?8,2?4?8?18

∴S13573可能值为8,8,8,8． ???????4分

（2）∵S137(1?1n?8n)， 当n?1时，a11?a2?a3?S3?7(1?18)?18， ???????5分 当n?2时，a111113n?2?a3n?1?a3n?S3n?S3n?3?7(1?8n)?7(1?8n?1)?8n ??6分

∵{an}是??1??2n??(n?N?)的生成数列 ∴a11；a13n?2??23n?2；a3n?1??23n?13n??23n； ∴a11111?3n?2?a3n?1?a3n??23n?2?23n?1?23n?8n(?4?2?1)?8n(n?N), ??8分

在以上各种组合中， 当且仅当a43n?2?8n,a3n?1??28n,a3n??18n(n?N?)时，才成立。?????9分 ?∴a?1?2n,n?3k?2n??1,k?N? ??????10分 ????2n,n?3k?2运用科技和互联网的力量，让教育变的更容易。

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（3）证法一：用数学归纳法证明：

1，命题成立。 ????????????11分 2②假设n?k(k?1)时命题成立，即Sk所有可能值集合为：

2m?1?k?1{x|x?,m?N,m?2} k22m?1由假设，Sk=(m?N?,m?2k?1) ????????????13分 k22k?1Sk?1111111则当n?k?1，Sk?1??2?3???k?k?1?Sk?k?1? k?122222222k?1Sk?12(2m?1)?1(m?N?,m?2k?1)????????????15分 Sk?1??k?1k?1222?(2m?1)?12?(2m)?1?k?1(m?N,m?2) 即Sk?1?或S?k?1k?1k?1222m?1?k即Sk?1?k?1 (m?N,m?2) ∴n?k?1时，命题成立 ??17分

22m?1??n?1由①②，n?N，Sn所有可能值集合为{x|x?,m?N,m?2}。??18分 n2①n?1时， S1?

证法二：

1111?2?3???n共有2n?1种情形。 222211111111?2?3???n?Sn??2?3???n 2222222212n?1即n?Sn? ????????????12分 22n2n?1?2n?1?2n?3???11x2n?1又Sn?，分子必是奇数，满足条件n?n?的奇数x共有2n?1nn2222Sn?个。 ????????????14分

设数列{an}与数列{bn}为两个生成数列，数列{an}的前n项和Sn，数列{bn}的前n项和Tn，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项。 由于|ak|?|bk|?1，不妨设ak?0,bk?0，则 2kSn?Tn?(ak?ak?1???an)?(bk?bk?1???bn)?2??2?1111?2?(????)kk?1k?2n22221111?2?(?)??0 kknn?12222所以，只有当数列{an}与数列{bn}的前n项完全相同时，才有Sn?Tn。?????16分

1111n?1∴Sn??2?3???n共有2种情形，其值各不相同。

2222运用科技和互联网的力量，让教育变的更容易。

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1352n?1∴Sn可能值必恰为n,n,n,?,n，共2n?1个。

22222k?1?n?1即Sn所有可能值集合为{x|x?,k?N,k?2} ??????????18分 n2

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