2014年上海市杨浦区高三一模数学（理）试题及答案

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杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷（理科） 2014.1.2

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

3nlimn?n??3?11. 计算： ．

2．若直线y?3x?1?0的倾斜角是?,则?? (结果用反三角函数值表示).

2x?14?0123．若行列式，则x? .

CA? .

4．若全集U?R，函数y?x的值域为集合A，则Uy2x?2?1(b?0)b5．双曲线的一条渐近线方程为y?3x，则b?________.

212x?1?1?????1?? ． fx?3?2fxf6．若函数的反函数为，则

7. 若将边长为1cm的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积 等于 ?cm?.

322f(x)?lgxf(ab)?1f(a)?f(b)? _________. 8. 已知函数，若，则

9. 已知函数f(x)??sin?x?cos?x??1的最小正周期为?，则?? _________．

210. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费 用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．

11. 已知复数??2?i（i为虚数单位），复数________.

z?5????2，则一个以z为根的实系数一元二次方程是

1(x2?)nx的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ． 12． 若

13．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax?by?3?0与圆x?y?1有公共点的

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概率是 ．

?f(x),x?0,F(x)??xf(x)?a?2?1(a?0)??f(x),x?0. 给出下列命题： 14．已知函数，定义函数

①

F(x)?f(x)； ②函数F(x)是奇函数；③当a?0时，若mn?0，m?n?0，总有F(m)?F(n)?0成立，其中所有正确命题的序号是 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

b、c满足a?b，b//c，则直线a与c ???（ ）. 15. 若空间三条直线a、

(A)一定平行 (B)一定相交 (C)一定是异面直线 (D)一定垂直

x?0x?1?216．“成立”是“x?1成立”的 ???（ ）.

(A)充分非必要条件． (B)必要非充分条件． (C)充要条件． (D)既非充分又非必要条件． 17. 设锐角?ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，

且 a?1，B?2A, 则b的取值范围为 ???（ ）. (A)?2,3 ． (B) 1,3 ．(C)

????2,2 ． (D) ?0,2? ．

??b,(a?b)4a?b??f(x)?(1?)?log2xx?a,(a?b)，已知函数18．定义一种新运算：，若函数

?)恰有两个零点，则kk的取值范围为 ???（ ）. g(x)?f(x?1,2? ． (B) (1,2 ) (A) ． (C) (0,2) ． (D) (0,1 )．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a. （1）求异面直线A1B与B1C所成角的大小；

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（2）求四棱锥A1?ABCD的体积.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．

2已知向量m?x,1，n??a,1?2ax?，其中a?0.函数g?x??m?n在区间x??2,3?上有最大值为4,设

??f?x??g?x?x. a的值；

(1)求实数

xxf3?k3?0在x???1,1?上恒成立，求实数k的取值范围. (2)若不等式

??

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线?焦点F的两条弦，且其焦点F(0,1)，AC?BD?0，点E为

y轴上一点，记?EFA??，其中?为锐角．

求抛物线?方程；

如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求?的大小？

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22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.

x2?y2?1已知椭圆?：4.

(1) 椭圆?的短轴端点分别为A,B(如图)，直线AM,BM分

别与椭圆

1??M?m,?2?满足m?0，?交于E,F两点，其中点?且m??3. ①证明直线EF与

y轴交点的位置与m无关；

②若?BME面积是?AMF面积的5倍，求m的值；

22x?y?4.l1,l2是过点P(0,?1)的两条互相垂直的直线,其中l1交圆?于T、 ?(2)若圆:

R两点,l2交椭圆?于另一点Q.求?TRQ面积取最大值时直线l1的方程.

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23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分. 设

Sn是数列?an?的前n项和，对任意n?N*都有2Sn??kn?b??a1?an??p成立， (其中k、b、p是常数) ．

S（1）当k?0，b?3，p??4时，求n；

（2）当k?1，b?0，p?0时， ①若

a3?3，a9?15，求数列{an}的通项公式；

②设数列如果

?an?中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“?数列”.

*a2?a1?2，试问：是否存在数列?an?为“?数列”

，使得对任意n?N，都有

1111111???????Sn?0，且12S1S2S3Sn18．若存在，求数列?an?的首项a1的所

有取值构成的集合；若不存在，说明理由．

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2 数学试卷（理科）参考答案及评分标准 说明

1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.

2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分. 3. 第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4. 给分或扣分均以1分为单位.

一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.arctan3； 3.2； 4. ???,0? ； 5.

3 ； 6. 1 ； 7. ?； 8. 2；

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52 9. 理?1； 10. 30 ； 11. x?6x?10?0； 12. 理15 ；13.理9，

14.理②、③，

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B； 17. A ； 18.理B；

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】

（1）因为 B1C//A1D，

?直线A1B与A1D所成的角就是异面直线A1B与B1C所成角. ??2分

又?A1BD为等边三角形，

?异面直线A1B与B1C所成角的大小为60?. ??6分

121?a?a?a33 ??12分 （2）四棱锥A1?ABCD的体积V?3

20. 【解】

22??gx?m?n?ax?1?2ax?a(x?1)?1?a ??4分 （1）由题得

又a?0开口向上，对称轴为x?1，在区间x??2,3?单调递增，最大值为4,

?g?x?max?g?3??4 所以，a?1 ??7分

（2）由（1）的他，

f?x??g(x)1?x??2xx ??8分

?1?t?,3?xx?xf3?k3?0可化为f(t)?kt, 3??t?3令,则 以

??

k?即

f(t)t恒成立, ??9分

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f(t)t?(1t?1)21???1,3??1?1f(t)且t?3?,当t,即t?1时t最小值为0, ??13分 ?k?0 ??14分

21. 【解】

理科 （1） 由抛物线?焦点F(0,1)得,抛物线?方程为

x2?4y ??5分 （2） 设AF?m，则点A(?msin?,mcos??1) ??6分

所以，

(?msin?)2?4(1?mcos?)，既m2sin2??4mcos??4?0 ??7分 AF?2(co?s?1)解得

sin2? ??8分 BF?2(1?sin?)同理：

cos2? ??9分

DF?2(1?sin?)cos2? ??10分 CF?2(1?cos?)sin2? ??11分

S?S1?AFB?S?CFD?2AF?BF?14?4sin?cos?“蝴蝶形图案”的面积

2CF?DF?(sin?cos?)2

t?sin?cos?,t???0,1??1?令??2???2,??, t? ??12分

2S?41?t4??1?1???1?1?2???则t2??t2?, t时,即

4“蝴蝶形图案”的面积为8 ??14分

22. 【解】 理科

1解：（1）①因为A(0,1),B(0,?1),M (m,2)，且m?0，

?13?直线AM的斜率为k1=2m,直线BM斜率为k2=2m,

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?直线AM的方程为y=

?132mx?12mx?1 ,直线BM的方程为y= , ……2分

??x2y24??1,??y??1x?1,由?2m得?m2?1?x2?4mx?0，

?x?0,x?4m2m2?1,?E??4m?m2?1,m?1?m2?1??, ??x2y24??1,??y?3x?1,由?2m得?m2?9?x2?12mx?0，

2?x?0,x?12mm2?9,?F??12m?m2?9,9?m?m2?9??； ……4分

据已知，

m?0,m2?3， m2?19?m2k?1?m2?9?m2(m2?3)(m2?3)4m?直线EF的斜率1?m2?12m??4m(m2?3)?9?m2?m2?34m,

m2?y??1m2?3?4m?直线EF的方程为

m2?1??4m??x?m2?1??, 令x=0,得y?2,? EF与y轴交点的位置与m无关. ……5分

S②

?AMF?12|MA||MF|sin?AMFS?1?BME|MB||ME|sin?BME,2,?AMF??BME,

5|MA||MB|5S?AMF?S?5|MA||MF|?|MB||ME|??BME,，?|ME||MF|, ……7分

5mm?4m?12m,m2?1?m9?m2?m? m?0，

1??1?15m2?9?122整理方程得m2，即(m?3)(m?1)?0，

又有m??3，?m2?3?0，

?m2?1，?m??1为所求. ……10分 运用科技和互联网的力量，让教育变的更容易。

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(2) 因为直线

l1?l2,且都过点P(0,?1),所以设直线l1:y?kx?1?kx?y?1?0,

ly??1x?1?x?ky?k直线

2:k?0, ……12分

所以圆心(0,0)到直线

l1:y?kx?1?kx?y?1?0d?1的距离为

1?k2, TR?24?d2?23?4k2所以直线l1被圆x2?y2?4所截的弦

1?k2；

??x?ky?k?0?2?k2x2?4x2?8kx?0?x4?y2?1由?,所以

x8k164k282Q?xP??k2?4QP?(1?)k?122? 所以

k(k?4)2k2?4 ……14分 S?TRQ?184k2?3322QPTR?k2?4??324k2?3?13213?161313所以

4k2?3

4k2?3?13?k2?5当

4k2?32?k??102时等号成立,

l此时直线

1:y??102x?1 ……16分

23【解】

（理科） 解：

（1）当k?0，b?3，p??4时，由2Sn??kn?b??a1?an??p得

3(a1?an)?4?2Sn ①

用n?1去代n得，3(a1?an?1)?4?2Sn?1， ②

②—①得，

3(an?1?an)?2an?1，an?1?3an， ……2分

an?1 在①中令n?1得，a1?1?3，则an?0，∴an，

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∴数列

{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，

3n?1∴Sn=2 …….5分

（2）当k?1，b?0，p?0时，

n(a1?an)?2(a1?a2??an)， ③

用n?1去代n得，(n?1)(a1?an?1)?2(a1?a2??an?an?1)， ④

④—③得，

(n?1)an?1?nan?a1?0， ⑤

…….7分 用n?1去代n得，nan?2?(n?1)an?1?a1?0， ⑥

⑥—⑤得，nan?2?2nan?1?nan?0，即an?2?an?1?an?1?an， …….8分

∴数列

{an}是等差数列.∵a3?3，a9?15， d?a9?a3?2∴公差9?3，∴an?2n?3 ……10分 易知数列{an}是等差数列，∵a2?a1?2，∴an?a1?2(n?1).

又

?an?是“?数列”

，得：对任意m,n?N*，必存在p?N*使

a1?2(n?1)?a1?2(m?1)?a1?2(p?1)，

得

a1?2(p?m?n?1)，故a1是偶数， …….12分

1又由已知，12?1S?1118?a118，故111?12 18?a一方面，当111?12时，Sn?n(n?a1?1)?0，对任意n?N*，

1111都有S?1S?????1?12S3SnS112 .…….13分 11另一方面，当a1?2n?1)??1时，Sn?n(，Snnn?1，

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11111??????1?SS2S3Snn?1， 则1111211??1???SS23318，不合题意. …….14分

取n?2，则11111?(?)a?4S?n(n?3)S3nn?3，则 当1时，n，n1111111111???????(??)?11S1S2S3Sn183n?1n?2n?318， …….15分 1111?(?)a?6时，Sn?n(n?a1?1)?n(n?3)，Sn3nn?3， 当1111111111111???????(??)?S1S2S3Sn183n?1n?2n?318， …….16分 18?a1?12a?4或a1?6或a1?8或a1?10 …….17分 11又，∴1所以，首项

a1的所有取值构成的集合为?4,6,8,10? ?? 18分

（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）

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11111??????1?SS2S3Snn?1， 则1111211??1???SS23318，不合题意. …….14分

取n?2，则11111?(?)a?4S?n(n?3)S3nn?3，则 当1时，n，n1111111111???????(??)?11S1S2S3Sn183n?1n?2n?318， …….15分 1111?(?)a?6时，Sn?n(n?a1?1)?n(n?3)，Sn3nn?3， 当1111111111111???????(??)?S1S2S3Sn183n?1n?2n?318， …….16分 18?a1?12a?4或a1?6或a1?8或a1?10 …….17分 11又，∴1所以，首项

a1的所有取值构成的集合为?4,6,8,10? ?? 18分

（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）

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