2012届杨浦区高三一模数学文

上海市杨浦区2012届高三上学期期末学科测试 数学（文）试卷 2011.12.

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

2n??1．计算：lim?1??? ．

n???n?3?2．不等式

x?0的解集是 ． x?13．若全集U?R，函数y?3x的值域为集合A，则CUA? .

4．若圆锥的母线长l?5(cm)，高h?4(cm)，则这个圆锥的体积等于 cm3. 5．在(x???14)的二项展开式中，x2的系数是 （结果用数字作答）. x6．若y?f?x?是R上的奇函数，且满足f?x?4??f?x?，当x??0,2?时，f?x??2x2 则f?7?? .

x2x?1?1，则x? ． 7．若行列式

218．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等

品 的概率是 ．（结果精确到0.01）

9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学 生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在 高二学生中的抽样人数应该是 ．

10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y与输入量x之间满足的关系式是 ．

11.若直线l:ax?by?1与圆C:x2?y2?1相切， 则a2?b2? ．

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x212.若点P是椭圆?y2?1上的动点，定点A的坐标为(2,0)，

9 则|PA|的取值范围是 ． 13.已知x?0,y?0且是 ．

x14.设函数f(x)?log22?1的反函数为y?f?1(x)，若关于x的方程

21??1,若x?2y?m2?2m恒成立,则实数m的取值范围xy?? f?1(x)?m?在f(x)[1,2]上有解，则实数m的取值范围是 ．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间?0,???上单调递减的函数为 ( )．

?A?f?x??10x.

?B?f?x??x3.

?C?f?x??lg1. x?D?f?x??cosx.

n16．若等比数列?an?前n项和为Sn??2?a，则复数z?i在复平面上对应的点位于 a?i ( )．

?A? 第一象限 . ?B?第二象限 . ?C?第三象限 . ?D? 第四象限 .

17．“a??1”是“函数f?x??x?a在?3,???上单调增函数”的 ( )．

?A?充分非必要条件. ?C?充要条件.

?B?必要非充分条件. ?D?既非充分也非必要条件.

x2y218．若F1,F2分别为双曲线C:??1的左、右焦点，点A在双曲线C上，点M的坐

927标为(2，0)，AM为?F1AF2的平分线．则AF2的值为 ( )．

?A? 3 . ?B?6. ?C?9. ?D?27.

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三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分） 已知在正四棱锥P－ABCD中（如图），高为1 (cm)，其体积为4 (cm3)， 求异面直线PA与CD所成角的大小. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分， 第2小题满分7分 ．

P D A B

C

在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足?2b?c?cosA?acosC?0. 1. 求角A的大小； 2. 若a?

3，?ABC面积为

33，试判断?ABC的形状，并说明理由. 4第3页

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 若函数y?f?x?，如果存在给定的实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b 恒成立，则称y?f?x?为“?函数” .

1. 判断下列函数，是否为“?函数”，并说明理由； ①f?x??x ② f?x??2x

2. 已知函数f?x??tanx是一个“?函数”，求出所有的有序实数对?a,b?.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小

题满分7分.

已知?ABC的三个顶点在抛物线?:x2?y上运动， 1.求?的准线方程；

2.已知点P的坐标为?2,6?，F为抛物线?的焦点,求AP?AF的最小值， 并求此时A点的坐标；

3.若点A在坐标原点，BC边过定点N?0,1?, 点M在BC上，且 AM?BC?0， 求点M的轨迹方程.

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23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小

题满分9分. 已知函数f?x??3x?，数列?an?满足a1?1，an?1?f?an?,n?N, 2x?3 1. 求a2，a3，a4的值；

?1? 2. 求证：数列??是等差数列；

?an? 3. 设数列?bn?满足bn?an?1?an?n?2?，b1?3,Sn?b1?b2?????bn， 若Sn?m?2011对一切n?N?成立，求最小正整数m的值. 2

参考答案及评分标准

一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31 1. ?1；2.文?0,1?； 3.文???,0?；4. 12?；5.文4；6.?2；7.文1；8.文0.30； 9. 80；

?x?2,x?1??fx?10. ； ?x2,x?1?11.文1；12.文??2?13??,5?；13.文??4,2?； 14.文?log2,log2?

35???2?二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题

15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B；

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题

19. 【解】 设异面直线PA与CD所成角的大小?， 底边长为a,

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则依题意得

12?a?1?4 ??4分 3故a?23 ， ?AC?26 ?PA?12??6?2??7 ??7分

?CD∥AB，故直线PA与AB所成角的大小?为所求 ??9分

?cos??21721 ． ??12分 7

??arccos（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分） 20.文:

【解1】. 由 ?2b?c?cosA?acosC?0,

由正弦定理得?2sinB?sinC?cosA?sinAcosC?0 ??4分

?2sinBcosA?sin?A?C??0 ??5分

?0?A??,sinB?0,cosA?1?,?A?． ??7分 23【解2】. 由?2b?c?cosA?acosC?0，

b2?c2?a2a2?b2?c2余弦定理得?2b?c??a?0

2bc2abb2?c2?a21整理得b?c?a?bc， ?cosA??

2bc2222 ?0?A??,cosA?1?,?A?． 23（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）

21. （1）【解】

①（理）若f?x??x3是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b， 即a2?x2??3?b时，对x?R恒成立 ??2分

第6页

而x2?a2?3b最多有两个解，矛盾，

因此f?x??x3不是“?函数” ??-3分 （文）若f?x??x是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b， 即a2?x2???b时，对x?R恒成立 ??2分

而x2?a2?b最多有两个解，矛盾，

因此f?x??x不是“?函数” ??3分② 答案不唯一：如取a?0,b?1，恒有20?x20?x?1对一切x都成立， ??5分 即存在实数对?0,1?，使之成立，所以，f?x??2x是“?函数”． ??6分 一般地：若f?x??2x是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得2a?x?2a?x?22a?b 即存在常数对a,22a满足f?a?x??f?a?x??b，故f?x??2x是“?函数”． （2）解 函数f?x??tanx是一个“?函数”

设有序实数对?a,b?满足，则tan?a?x??tan?a?x??b恒成立 当a?k?????2,k?Z时，tan?a?x??tan?a?x???cot2x，不是常数； ??8分

因此a?k???2,k?Z，当x?m???2,m?Z时，

tana?tanxtana?tanxtan2a?tan2x则有???b， ??10分 221?tanatanx1?tanatanx1?tanatanx即btan2a?1tan2x?(tan2a?b)?0恒成立，

????22??b?tana?1?0?tana?1?a?k??????所以?42??b?1??tana?b?0?b?1当x?m??k?Z ??13分

?2,m?Z,a?k???4时，tan?a?x??tan?a?x???cot?a??1

第7页

满足f?x??tanx是一个“?函数”的实数对?a,b???k??????,1?,k?Z 4? ??14分

22. 文:

(1) 【解】. 由x2?y得2p?1 所以 准线为y??1 ??3分 4(2) 【解】. 由x2?y得2p?1 所以,焦点坐标为??0,1??4?? 由A作准线y??14 的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点P,A,Q共线时, AP?AF的最小值，为6?14?254, 此时A点的坐标为?2,4? (3)【解1】

设点M的坐标为?x,y?,BC边所在的方程为y?kx?1(k显然存在的), ① 又AM的斜率为yx,则有yx?k??1 ,既k??xy代入① 故M点轨迹为y2?x2?y?0(x?0) (注:没写x?0扣1分) 【解2】

设点M的坐标为?x,y?,由BC边所在的方程过定点N(0,1), ?AM?(x,y),MN?(?x,1?y) ?AM?BC?0 ?AM?MN?0,

所以, ?x?x?y(1?y)?0, 既y2?x2?y?0(x?0) (注:没写x?0扣1分)

23. 文:

（1）【解】由a1?1，an?1?f?an3n??3a2a得a2?,a3,a13?4?n?3573 ??4分 ??7分

??9分 ??10分

??14分

??16分??10分

??12分 ??16分 ??3分 第8页

（2）【解】由an?1?3an112?? ??8分 得

2an?3an?1an3?1?2所以，??是首项为1，公差为的等差数列 ??9分

3?an?（3）【解】 由（2）得

122n?13?1??n?1??,an? ??11分 an332n?19?11????，当n?1时，上式同样成立， ??13分

2?2n?12n?1?9?11111?9?1?1??????????1????? 2?3352n?12n?1?2?2n?1?当n?2时 ，bn?an?1an?所以Sn?b1?b2?????bn?因为Sn?9?1?m?2012m?2012，所以?1?对一切n?N?成立， ??16分 ??2?2n?1?229?1?1?99m?2011?n1?lim1?又?， ??，所以??随递增，且n???2?2n?1?22?2n?1?2?202 0 ?mmin ??18分 所以m?2020，

第9页

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