2017年上海市杨浦区高三二模数学试卷

2017年上海市杨浦区高三二模数学试卷

一、填空题（共12小题；共60分）

1. 在三阶行列式 中， 的余子式的值是 ．

2. 若实数 ，若函数 的最小正周期为 ，则 ．

3. 已知圆锥的底面半径和高均为 ，则该圆锥的侧面积为 ．

，若 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ． 4. 已知向量 ， 与

5. 集合 ，集合 ，若 ，则实数 ．

6. 设 ， 是方程 的两根，则 ．

7. 设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集

为 ．

则 的最小值为 ． 8. 若变量 ， 满足约束条件

9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于 或小红掷出的点数不小于 的概率为 ．

10. 设 是椭圆 上的动点，点 的坐标为 ，若满足 的点

有且仅有两个，则实数 的取值范围为 ．

11. 已知 ， ，当 取到最小值时， ．

12. 设函数 ，当 在实数范围内变化时，在圆盘 内，且不在任一

的图象上的点的全体组成的图形的面积为 ．

二、选择题（共4小题；共20分）

13. 设 且 ，“ 是纯虚数”是“ ”的

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 C.

D.

14. 设等差数列 的公差为 ， ，若数列 的前 项和大于其前 项和，则

A.

B.

15. 如图， ， 是球 直径的两个端点，圆 是经过 和 点的大圆，圆 和圆 分别是所在

平面与 垂直的大圆和小圆，圆 和 交于点 ， ，圆 和 交于点 ， ，设 ， ， 分别表示圆 上劣弧 的弧长，圆 上半圆弧 的弧长，圆 上半圆弧 的弧长，则 ， ， 的大小关系为

第1页（共10 页）

A. B. C. D.

16. 观察 ， ， ，由归纳推理可得：若 是定义在 上的奇

函数，记 为 的导函数，则

C.

D.

A. B.

三、解答题（共5小题；共65分）

17. 如图，在正方体 中， ， ， 分别是棱 与 的中点．

（1）求异面直线 和 所成的角的大小；

（2）求以 ， ， ， 四点为四个顶点的四面体的体积． 18. 已知函数 ．

（1）判断函数 的奇偶性，并证明；

（2）若不等式 有解，求实数 的取值范围．

19. 如图，扇形 是一块半径为 千米，圆心角为 的风景区， 点在弧 上，现欲在风景

区中规划三条商业街道，要求街道 与 垂直，街道 与 垂直，线段 表示第三条街道．

（1）如果 位于弧 的中点，求三条街道的总长度；

（2）由于环境的原因，三条街道 ， ， 每年能产生的经济效益分别为每千米 万元、

万元及 万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到 万

元）

第2页（共10 页）

20. 设数列 满足 ，其中 ， 是两个确定的实数， ．

（1）若 ，求数列 的前 项和； （2）证明：数列 不是等比数列；

（3）若 ，在数列 中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项?证明你的结论． 21. 设双曲线 的方程为

，过其右焦点 且斜率不为零的直线 与双曲线交于 ， 两

点，直线 的方程为 ， ， 在直线 上的射线分别为 ， ． （1）当 垂直于 轴， 时，求四边形 的面积；

（2）当 ， 的斜率为正实数， 在第一象限， 在第四象限时，试比较 和 的大

小，并说明理由；

（3）是否存在实数 ，使得对满足题意的任意直线 ，直线 和直线 的交点总在

轴上，若存在，求出所有的 的值和此时直线 与 交点的位置；若不存在，说明理由．

第3页（共10 页）

答案

第一部分 1.

【解析】由题意，去掉 所在行与列得： ． 2.

【解析】实数 ，若函数 的最小正周期为 ，

所以 ， 所以 ． 3.

【解析】因为圆锥的底面半径为 ，高为 ， 所以母线长 为： ，

所以圆锥的侧面积为： ． 4.

的夹角为锐角，等价于 的数量积大于 ，且 不共线， 【解析】 与 与 与

所以

解得 且 ． 5.

【解析】由 ，得到 ，

因为 ，集合 ，所以 ， 或 ， 或 ， 或 ， ，或 ， 或 ， ，解得： ． 6. 【解析】由题意， ， 所以 ． 7.

【解析】若 ，则 ， 因为当 时， ， 所以当 时， ， 因为 是定义在 上的奇函数，

所以 ，则 ，

当 时，不等式 等价为 即 ，无解，不成立；当 时，不等式 等价为 即 ，得 ，即 ； 当 时， ，不等式 不成立，

综上，不等式的解集为 ，故不等式的解集为 ． 8.

第4页（共10 页）

作出可行域如图， 【解析】由约束条件

联立 解得 ，

由目标函数 ，得 ，

由图可知，当直线 过点 时，直线在 轴上的截距最小， 有最小值为 ． 9.

【解析】小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，基本事件总数为 ，

小明掷出的点数不大于 或小红掷出的点数不小于 包含的基本事件个数： ，

所以小明掷出的点数不大于 或小红掷出的点数不小于 的概率为： 10.

【解析】由题意， 是椭圆的焦点， 因为满足 的点 有且仅有两个， 所以 ， 所以 ． 11.

．

【解析】因为 ， ；

所以 ，当且仅当 时取“ ”； 所以 ；

所以 ，当且仅当 ，即 ，即 时取“ ”；此时， ． 12.

【解析】根据题意，对于函数 ，当 变化时，其图象为在圆盘 内，且不在任一 的图象上的点为单位圆的 ，

则其面积

．

第5页（共10 页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b4k6.html