九年级数学上册专题二+方程与几何综合同步测试+新人教版

方程与几何综合

一 一元二次方程与矩形

(教材P22习题21.3第9题)

如图1，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)?

图1

教材母题答图

【解析】 结合图形，阅读理解题意(数形结合)．设横彩条宽为3x cm，则竖彩条的宽就为2x cm，其长分别与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“彩条所占面积是图案面积的四分之一”．

解：如答图，根据题意，设横向彩条的宽为3x cm， 则竖向彩条的宽为2x cm，于是

1

建立方程，得 2×30×3x＋2×20×2x－4×3x×2x＝×30×20，

4化简，得 12x2－130x ＋ 75＝0， 65－5133

解得x1＝≈0.611，

1265＋5133x2＝(不合题意，舍去)，

12

∴3x≈1.8，2x≈1.2.

答：横向彩条宽约1.8 cm，竖向彩条宽约1.2 cm.

【思想方法】 通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思想和方程思想．

如图2，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为__(22－x)(17－x)＝300__．

【解析】 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．设道路的宽为x米，由题意有(22－x)(17－x)＝300.

图2

图3

为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图3所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)

解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得(30－2x)(20－x)＝532，

整理，得x2－35x＋34＝0，解得x1＝1，x2＝34. ∵34＞30，不合题意，舍去，∴x＝1. 答：小道进出口的宽度应为1米．

注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．

如图(1)，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

图4

分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽度为2x cm，则每个竖彩条的宽度为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图(2)所示的情况，得到矩形ABCD.

(1)结合以上分析完成填空：如图(2)，用含x的代数式表示：AB＝__20－6x__ cm；AD＝__30－4x__ cm；矩形ABCD的面积为__24x2－260x＋600__ cm； (2)列出方程并完成本题解答． 解：(2)根据题意，

1

1－?×20×30， 得24x2－260x＋600＝??3?整理，得6x2－65x＋50＝0，

5

解方程，得x1＝，x2＝10(不合题意，舍去)，

655

则2x＝，3x＝.

32

55

答：每个横、竖彩条的宽度分别为 cm、 cm.

32

二 一元二次方程与三角形

(教材P21习题21.3第3题)

一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm2，求两条直角边的长． 1

解：设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(14－x)cm，依题意，得x(14－x)＝24，

2解得x1＝6， x2＝8.

答：这两条直角边的长分别为6 cm，8 cm.

【思想方法】 通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思想和方程思想．利用一元二次方程解决与直角三角形有关的问题时，常常用到面积关系或者勾股定理．

直角三角形两直角边长的和为7，面积为6，则斜边长为( A ) A．5 B.37 C．7 D.38

1

【解析】 设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长为7－x，根据题意得x(7－x)＝6，

2解得x＝3或x＝4，所以斜边长为32＋42＝5.

如图5，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm，点P从点A开始出发向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点B出发向点C以1 cm/s的速度移动，若P，Q分别同2

时从A，B出发，多少秒后四边形APQB的面积是△ABC面积的？

3

图5

解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形， 由勾股定理，得BC＝102－82＝6.

2

设t s后四边形APQB的面积是△ABC面积的，

3则t s后，CQ＝BC－BQ＝6－t，PC＝AC－AP＝8－2t. 1

根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，

3111

∴CQ×PC＝×AC×BC， 232111

即(6－t)(8－2t)＝××8×6， 232解得t＝2或t＝8(舍去)．

2答：2 s后四边形APQB的面积是△ABC面积的.

3

三 一元二次方程与梯形

(教材P26复习题21第12题)

如图6，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长100 m，下底长180 m，上下底相距80 m，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽应是多少米(结果保留小数点后两位)?

【解析】 本题首先找出题中的等量关系即甬道面积是梯形面积的六分之一，根据梯形的面积公式即可求解．

解：设甬道的宽为x米，依题意得：

111

2×80x＋(100＋180)x－2x2＝××(100＋180)×80，化简得3x2－450x＋2 800＝0，

262解得x1≈6.50，x2≈143.50(不合题意，舍去)，

∴x≈6.50.

答：甬道的宽为6.50米．

图6

图7

【思想方法】通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思想和方程思想．

如图7，某小区有一个等腰梯形的场地，上底长120 m，下底长200 m，上下底相距80 m，在两腰中点连线处有一条东西方向横向大道，南门有两条纵向大道，宽度与横向大道等宽，北门有一条纵向大道，宽度为横向大道的2倍．大道的所有面积占梯形面积的19%，问东西方向大道的宽应是多少米． 解：设东西方向大道宽x米，根据题意，得

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2x×80＋(120＋200)x－2x×x＝(120＋200)×80×19%，化简得x2－160x＋1 216＝0，即(x－

22152)(x－8)＝0.解得x＝152或x＝8，

但x＝152不符合题意，舍去，所以x＝8. 答：东西方向大道的宽应是8米．

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