《量子力学》题库

《量子力学》题库

一、简答题

1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： E?h????

??h?p?n??k

?其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒

子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？

答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数?可以写成??c1?1?c2?2，其中c1和c2为复数，?1和?2为粒子的分别属于能量E1和E2的构成完备系的能量本征态。试说明式子??c1?1?c2?2的含义，并指出在状态?中测量体系的能量的可能值及其几率。

答：当粒子处于?1和?2的线性叠加态?时，粒子是既处于?1态，??c1?1?c2?2的含义是：又处于?2态。或者说，当?1和?2是体系可能的状态时，它们的线性叠加态?也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态?时，体系部分地处于态?1、?2中。

在状态?中测量体系的能量的可能值为E1和E2，各自出现的几率为c1和c2。 5 什么是定态？定态有什么性质？

答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。

6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。 7 试简述波函数?的标准条件。

答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。 8 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？ 答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，

22所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。

9 请写出微扰理论适用条件的表达式。

'Hmn(0)(0)答：(0)， ?? E?E??1nm(0)En?Em10 试简述微扰论的基本思想。 答：复杂的体系的哈密顿量

成对

分成

与

两部分。

是可求出精确解的，而

可看

的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得

到接近问题真实的近似解。

11 简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？

??的粒子以及自旋为的奇数倍的粒子组成的全同粒子体22系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子。

答：由电子、质子、中子这些自旋为

12 通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？ 答：束缚态，能级是分立的。

13 简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？

???[L2,L答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，z]?0，

这两个算符有共同的完备本征函数系?Y?m(?,?)?。

14 若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同

时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？

答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。 15 请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 答：?l?l?l??1 ?m?m?m?0,?1

16 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

''d2 ① 4x； ② 2dx2?? 2 ； ③

?n

K?1d2 解：①4x是线性算符

dx2222d22d2d? 4x(c1u1?c2u2)?4x(c1u1)?4x(c2u2)222dxdxdx 22dd ?c1?4x22u1?c2?4x22u2dxdx2 ②?? 2不是线性算符

n22? [c1u1?c2u2]2?c12u12?2c1c2u1u2?c2u2 ?c1[u1]?c2[u2]22

③?是线性算符

K?1

?cu?cu??cu??cu112211K?1K?1K?1nNN22?c1?u1?c2?u2

K?1K?1NN17 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

ddd2， i ， 4 2 dxdxdx?dd? dx??*? ???*? dx-??????dxdx当 x???，??0，??0解： ??*?? ? ??*?d?dd? dx????*? dx???(?)*? dx

????dx??dxdx?d ??(?)*? dx??dxd? 不是厄米算符dx?dd? dx?i?*? ??i?*? dx-??????dxdx??dd ??i?(?)*? dx??(i?)*? dx

??dx??dxd?i是厄米算符dx ??*i?d218 下列函数哪些是算符2的本征函数，其本征值是什么？

dx ①x2， ② ex， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx?cosx

d22 解：①2(x)?2

dxd2 ∴ x不是2的本征函数。

dx2d2x ② 2e?ex

dxd2 ∴ e不是2的本征函数，其对应的本征值为1。

dxxd2d ③2(sinx)?(cosx)??sinx

dxdxd2∴ 可见，sinx是2的本征函数，其对应的本征值为－1。

dxd2d④2(3cosx)?(?3sinx)??3cosx?(3cosx) dxdxd2x 是2的本征函数，其对应的本征值为－1。 ∴ 3cosdxd2d(sinx?cosx)?(cosx?sinx）??sinx?cosx ⑤dx2 dx??(sinx?cosx)d2x?cosx是2的本征函数，其对应的本征值为－1。 ∴ sindx

?d?*d?d2d? ? ? *42? dx?4?* ??4-????dxdx dx??dxdx?2?d?*d?*d?d?* ? ? 4 ? dx?4??4 ?? dx2??dxdx??dxdx??22

?dd ? ? 4 ? ?*? dx?(4???dx2?)*? dx??dx2d2?42是厄米算符dx19 问下列算符是否是厄米算符：

1?p?x?p?xx?) ?p?x ②(x ①x2?p?x)?2d????1*x?(p?x?2)d? 解：①??1*(x??1)*p?x?2d???(p?xx??1)*?2d? ?（?x?xx???p?x 因为 p?p?x 不是厄米算符。 ∴ x111?p?x?p?xx?)]?2d????1*(x?p?x)?2d????1*(p?xx?)?2d? ②??1*[(x22211?xx??1)*?2d???(x?p?x?1)*?2d? ??(p221?p?x?p?xx?))?1]*?2d? ??[(x21?xx??x?p?x)?1]*?2d? ??[(p21?p?x?p?xx?)是厄米算符。 ∴ (x220 全同粒子体系的波函数应满足什么条件？ 答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。

二、证明题

?（角动量在x方向的分量）是守恒量。 1 已知粒子在中心力场中运动，试证明Lx证：因为粒子在势函数为U(r)的中心力场中运动时，哈密顿算答是

22?2?p???L2?? H?U(r)??(r)??U(r)

2?2?r?r?r2?r2??2??因为Lx与?、?有关而与r无关，且[Lx,L]?0

?,H?]?0 所以，[Lx2 试证：对于一维运动，设有两个波函数?1及?2是对应于同一级量E的解，则

'“’”是对x的微商。 ?1?2??2?1'?常数。其中，

?2d2?U(x)]?(x)?E?(x)，所以 证：因为[?22mdx?1''??2m(E?U)/?2 ?1

???1/2(S2z)??1/2(S1z)??1/2(S1z)??1/2(S2z)= 0

?(1)?(3)S?S?12[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]?? ?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]?1 2[??1/2(S2z)??1/2(S1z)?1/2(S1z)??1/2(S2z)? ???1/2(S2z)??1/2(S1z)??1/2(S1z)?1/2(S2z)] ?12[??1/2(S2z)??1/2(S2z)?0]= 0 同理可证其它的正交归一关系。

?(3)?(3)1S?S?2[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]???[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)] ?12[?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)] ?12[?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)] ?1[??21/2(S2z)??1/2(S1z)][?1/2(S1z)??1/2(S1z)] ?12[?1/2(S2z)??1/2(S1z)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)]

?12?0?0?12?1 12 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明

x?a2a262 （x?x）?12（1?n2?2）

并证明当n??时上述结果与经典结论一致。 [解]写出归一化波函数：

?2n?xn?x??asina （1） 先计算坐标平均值：

x??a?2xdx??a2asin2n?x00axdx?1a?（a2n?x01?cosa）xdx 利用公式：

?xsinpxdx??xcospxp?sinpxp2 2） （得

?xcospxdx??2xsinpxcospx （3） ?2pp2ax?1x?a?2n?x?a?2n?xa????? ?xsin?cosa2?2n??aa2?2n??02计算均方根值用（x?x）?x2?x，x以知，可计算x2

??22n?x1a22n?xx???x2dx??x2sin2dx??x（1?cos）dx

00aaaa2a2利用公式

2?xcospxdx?1221xsinpx?2xcospx?3sinpx （5） pppa22??11aa2n?xa2n?x???? x2?x2??x2??????sin??2xcosa32n?2n?a2n?a????????0a2a2? ? 32n2?2a2a2?a?（x?x）?x?x??22???

32n??2?22??22a2a2? ? （6） 122n2?2 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度??1。 ax???xdx??0aa01axdx? a2x??2a012a2xdx? a32a2a2?a?（x?x）?x?x??22???

32n??2?2??22故当n??时二者相一致。

13 设?q,p??ih,f(q)是q的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）q,pf(q)?2hipf.

（证明）根据题给的对易式及?q,f(q)??0;

?2??q,pf??qp22f?p2fq?qp2f?p2qf

?qppf?p(pq)f?qppf?p(qp?ih)f

?(qp?pq?hi)pf?2hipf

（2）[q,pf(q)p]?ih(fq?pf)

（证明）同前一论题

[q,pfp]?qpfp?pfpq?qpfp?pf(qp?hi) ?qpfp?pfpq?hipf?qpfp?pqfp?hipf ?(qp?pq)fp?hipf?hi(fp?pf)

（3）[q,f(q)p2]?2ihfp

[证明]同前一题论据：

[q,fp2]?qfpp?fppq?fqpp?fppq

?fqpp?fp(qp?hi)?fqpp?fpqp?hifp ?f(qp?pq)p?hifp?2hifp

（4）[p,pf(q)]?2h2ipf i[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式

[p,f(q)]?hidff (fi)? idq[p,p2f]?p2f?p2fp?p2(pf?fp)

?p2[p,f]?h2ipf i（5）[p,pf(q)p]?hipfp i（证明）论据同（4）：

[p,pfp]?p2fp?pfp2?p(pf?fp)p

?hipfp i（6）[p,f(q)p]?2hi2fp i（证明）论据同（4）：

[p,fp2]?pfp2?fp2?(pf?fp)p2?hi2fp i14 设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明

(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：

按题目假设

重复运算n-1次以后，得

15 证明

是厄密算符

证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质

是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：

用于积分最后一式： 前式=

说明题给的算符满足厄密算符定义。

?,B?B?（反对易式）证明： ?]?A??B?A16 定义[A??,B?]?A?[B?]?[B?]A??C?[A?,B?,C?]B?C?,C?,C?]?[A? [A?????B?,b?]??A [a1?][A?][A?,B?,B?]?1[a?] ?,b?,b[a??22?与A?，B?对易。 ?，b其中a?B??A?C?B?A??C?B??C?A?B?B??A?C?B?A?B?C??B?C?A??C?A??C? （证明）第一式等号右方?A?B??B?A??[A?,B?] ?C?C?C ?A ＝第一式等号左方 第二式等号右方?

1??????1???????b?ba?)(AB?BA)?(a?b?ba?)(AB?BA) (a22?1????B?a?a?A?B?a?a??b?B??a?B??b?B?) ?A??b?A??a?A??b?A?bAB?a?b?A?B?b?b?A?B(a2?A?a?B? ??b?A?b?B ?a?与A?A?，a?，B??A?b?对易，b??B?a?，b?B? 因a?B?B?B?b??[a?,b??b?a?] ?A?A?A 前式?a?（不显含t）的平均值对时间的二次微商为： 17 证明力学量Ad2?,H?],H?] （H?是哈密顿量） A??[[A ?2dt2? 不显含t，有 （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A

dA1???[A,H] （１） dti?

将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量

1??[A,H]的平均值，则有： i?d2A11???1????[[A,H],H]??[[A,H],H] （２） i?i?dt2?2此式遍乘?即得待证式。

218 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。

'证明：设?1和?2是对应于同一能级E的不同本征态，则?1?2??2?1'?常数。在'特例下，令?1?2??2?1'?0，即

'?1'?2 ??1?2'?1'?2??1dx???2dx?C

由此得：?1?C'?2

所以?1和?2描述同一个态。

19 证明泡利矩阵满足关系?x?y?z?i。

【证】.

20 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。

证明：考虑一维情况

为厄密算符, 为厄密算符,

为实数

为厄密算符 为厄密算符

21 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 也是

和

共同本征函数, 对应本征

,取 值分别为:

试证明:

。

证

。

是 的对应本征值为

的本征函数

22

是 的对应本征值为 的本征函数

22 证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变 证明：设t时刻波函数是对称的，用?S表示，

?是对称的，所以H??在t时刻也是对称的， 因为HS由

i???S?? ?HS?t知，

??S在t时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数： ?t??Sdt也是对称的 ?t?S?以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。

同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。

三、 计算题

1 由下列定态波函数计算几率流密度：

11r(2)?2?e?ikr (1)?1?eik

rr 从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。

?? 解：J1和J2只有r分量

???1??1?在球坐标中 ??r0?e? ?e??rr??rsin????i?**(1) J1?(?1??1??1??1)2mi?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr? ?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rr i?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k? ?r?r203mrmr?? J1与r同向。表示向外传播的球面波。

?i?**(2) J2?(?2??2??2??)2mi?1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr? ?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rri?111111?

?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k? ??2r0??3rmrmr?? 可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

2 一粒子在一维势场

??，x?0? 0?x?a U(x)??0，??，x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

?2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ?22mdx 在各区域的具体形式为

?2d2 ??1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ① Ⅰ：x?0 2mdx2?2d2?2(x)?E?2(x) ② Ⅱ： 0?x?a ?2mdx2?2d2 ??3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③ Ⅲ：x?a 22mdx由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须

?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

d2?2(x)2mE?2?2(x)?0 方程(2)可变为2dx?

令k2?2mE，得 2?d2?2(x)2?k?2(x)?0 2dx 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤

?2(a)??3(a) ⑥

⑤ ?B?0 ⑥ ?Asinka?0

?A?0 ?sinka?0 ?ka?n? (n?1, 2, 3,?) ∴?2(x)?Asin 由归一化条件 得 A2n?x a??(x)dx?1

2??a2sin0n?xdx?1 a

由

?2aabm?n?asinx?sinxdx??mn

aa2

?A?

??2(x)? ?k2?2n?sinxaa2mE?2

n2 (n?1,2,3,?)可见E是量子化的。

?En??2?22ma2对应于En的归一化的定态波函数为

i?2n???Entsinxe, 0?x?a? ?n(x,t)??a a? 0, x?a, x?a?3 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

??? 解：?(x)??2?xe22?2122x

?1(x)??1(x)?4?2?

??x2e??2?22x2? ? ?x2e??3

22x?22d?1(x)2?3 ?[2x?2?2x3]e??x

dx? 令

d?1(x) ?0，得 dx1x?? x??? x?0 ? x???时，?1(x)?0。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，显然不是最大几率的位置。

d2?1(x)2?322223??2x2而 ?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx2? 3224??[(1?5?2x2?2?4x4)]e??x?d2?1(x)4?31 ??2?0 2dx1?ex??2 可见x??1??????是所求几率最大的位置。

4 一维谐振子处在基态?(x)??e???2x2i2??t2，求：

(1)势能的平均值U?1??2x2； 2p2 (2)动能的平均值T?；

2? (3)动量的几率分布函数。 解：(1) U?11???2x2???222?????x2e??2x2dx

?1?1?111?2 ??2?222???2????2224??2??2??1?? 4 ???0x2ne?axdx?21?3?5???(2n?1)? n?1n2aap21?*2? (2) T???(x)p?(x)dx

2?2?????1??2? ?e????2?122xd2?2?2x2(??)edx 2dx2221??22? ???(1??2x2)e??xdx

???2????22???x ??[?edx??2?x2e??xdx]

?????2?2222??22?? ??[??2?3]

?2??2???22??22?2?? ? ?????2?2?4?4???1?? 4111 或 T?E?U?????????

244 ??(x)dx (3) c(p)???*p(x) ??2??12??1??????1 e2??1??2x2222xei?Px?dx

?1??????? eei?Px?dx

?2??12??12?????? e1ipp2??2(x?2)2?222??2??dx

??e??e???p22??22?2??? e1ip??2(x?2)22??dx

?p22?2?2p22?2?2 ????1???e

动量几率分布函数为 ?(p)?c(p)?21???e?p2?2?2

5 氢原子处在基态?(r,?,?)?13?a0e?r/a0，求：

(1)r的平均值；

e2 (2)势能?的平均值；

r (3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。 解：(1)r??r?(r,?,?)d??4 ?3a0213?a0???00?2??0re?2r/a0r2sin? drd? d?

??0r3a?2r/a0dr

?

?0xne?axdx?

n! an?143!3?3?a0 42a0?2???a???0?e2e2(2)U?(?)??3r?a0e2??3?a04e2??3a0???00?2??01?2r/a02ersin? drd? d?r???00?2??0e?2r/a0rsin? drd? d?

??0e?2r/a0r dr4e21e2??3??2a0?2?a0??a???0?

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 ?(r)dr???0?2?0[?(r,?,?)]2r2sin? drd? d??4?2r/a02er 3a04?2r/a02erdr 3a0 ?(r)? 令

d?(r)42?3(2?r)re?2r/a0 dra0a0d?(r)?0， ? r1?0, r2??, r3?a0 dr 当 r1?0, r2??时，?(r)?0为几率最小位置

d2?(r)4842?2r/a0 ?(2?r?r)e32a0dr2a0a0d2?(r)

dr2??r?a08?2e?0 3a0 ∴ r?a0是最可几半径。

1???1??1??12?22?2?2?(r2)?(sin?)?????? (4)T?p? r ? ? r?rsin?????sin2???2?2?2??2?2??1?r/a02?r/a02 T??e?(e)rsin? dr?d d? 3???0002??a0?2?2??1?r/a01d2d?r/a02??e[r(e)]rsin? drd? d? 32???0002?dr?a0rdr4?21 ??(?3a02?a0??0r2?r/a0(2r?)e dr

a022a0a04?2?2 ? (2?)?42442?a02?a0??(r)?(r,?,?)d? (5) c(p)???*p1 c(p)?(2??)3/2??10?a30e?r/a0rdr?e02?i?prcos??sin? d??d?

0i?prco?s?2? ?2?(2??)3/2?a30??0re2?r/a0dr?e0? d(?co?s)

?2?(2??)3/2?a30??0r2e?r/a0dri?eipr?i?prco?s?0i

?2?(2??)3/2?pr???r/a0?pr?re(e?e)dr ?3ip0?a0??0xne?axdx?n! an?1 ?2?(2??)3/2?11[?] 3ip1i1i?a0(?p)2(?p)2a0?a0? ?4ip 2332a0?ip?a?(1?p)202a0?24303244a0?2221 ?2a??a0(a0p??)

?(2a0?)3/2??(a0p??)2222

动量几率分布函数

358a0? ?(p)?c(p)?2 224?(a0p??)26 设t=0时，粒子的状态为

?(x)?A[si2nkx?1s] 2cokx求此时粒子的平均动量和平均动能。

1解：?(x)?A[sin2kx?1 [12coskx]?A2(1?cos2kx)?2coskx]A[1?cos2kx?coskx] 2Ai2kxikx?e?i2kx)?1?e?ikx)] ?[1?12(e2(e2 ? ?A2??i0x1i2kx1?i2kx1ikx1?ikx1 [e?2e?2e?2e?2e]?22??2k? ?2k? k? ?k? 可见，动量pn的可能值为0 2pn2k2?22k2?2k2?2k2?2 动能的可能值为0 2???2?2? 对应的几率?n应为

A2A2A2A2A2( )?2?? 416161616 11111( ) ? A2?? 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

A2A2A2 1???n?(?4?)?2????2??

4162n ∴ A?1/?? ∴ 动量p的平均值为

p??pn?nnA2A2A2A2?0?2k???2???2k???2???k???2???k???2???0161616162pnp2 T????n

2?n2?

2k2?21k2?21 ?0???2???2

?82?85k2?2 ?

8?7 设氢原子处于状态 ?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率

和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值 E2???es22?n22???es28?2 (n?2)

角动量平方有确定值为

L2??(??1)?2?2?2 (??1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0LZ2??? 其相应的几率分别为 其平均值为 LZ?133?0?????? 44413， 44???ieixd的本征函数。 8 试求算符Fdx?的本征方程为 解：F???F? F即 ?ieixd?F?dxdd)?d(?Feix) dxdx

d???iFeixdx??d(Feixd?lncdxln???Feix?ix?是F的本征值） ??ce?Fe（Fdd)x]2??[x]?? dxdxdddd解：原式?[()x][()x]??[x][x]?

dxdxdxdxddx]? ?[()x][sinx?xcosx]??[x][xcosdxdx9 设波函数?(x)?sinx，求[(n?xx)?x(coxs?coxs?x)?x(x?x) ?(sixx?2xcosx ?sin?和B?都是厄米的，那么 10 证明：如果算符A?+B?)也是厄米的 (A??B??d???*B?)?d???*A 证： ??1*(A2?12?1??2d? ??)*d???(B ???2(A1?2??1)*d? ??B?)?]*d? ???2[(A1?+B?也是厄米的。 ∴ A?P??L?11 求 Lxx?Pxx??

?P??? Lyx?PxLy?? ?P??L? Lzx?Pxz??

?P??L??)P??P?(y??z?) ??z?z?P?P?P解： Lxx?Pxx?(yPyxxzy?P??P?P??y?z?) ?P??z?P ?yzx?zyx?PxPx?Py?P??P?P???P??P?P??P ?yzx?zyx?yPzx?zyx) = 0

?P??L???x?)P??P?(z??x?) ?P?P?P Lyx?Pxy?(zxzxx?Pxz?2?x?P??z??P?x?P??z) ?P ?zxzx?Px?PzxP?2?x?P??P?2?P?x?P??z) ?P ?zxzx?zxxP??P?x?P??z ??(xxx)P? ??i?Pz?P??L???P?(x??y?) ????x)P?P?P Lzx?Pxz?(xPy?yPxxyx?P??y?2?P?x? ?P????xy?P ?xPyxxxPy?Px?P???2?P?x?2 ?P??y?y?P ?xxy?yPxxPx??P?x?P?? ?(xxx)Py ? ?i?Py?x?x???x??? L???????L12 求Lz?xLz?? x?xLx?? Lyxy?x?)x??z?) ?????z?z??x?(y?P?P?P 解： Lx?xLx?(yPyzy?x?x? ?P??P????z?x?z?P ?yz?zy?xyPy?x?x?x?P??P???zx??z??P ?yz?zy?yPy = 0

?x??x?)x??x?) ????P??x?(z?P?P?P Ly?xLy?(zxzxz?x??x? ???zx??x?z?2P?P?P ?zx?xPxz?x???x) ?(P ?zx?xP? ??i?z?x?)x??y?) ?????y?y?P??x?(x?P?P Lz?xLz?(xPxyx??y?x?2P?P??2????x ?xyx?xPy?yxP??P?x?(x?P? ?yxx)

? ??i?y13 求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元。 解：(Lx)p?pp?r13??p??r??z?zp?y)ed? ?()e(yp2???i??i??i??i??p?r13??p??r)?e(ypz?zpy)e?d? ?(2??13??p??r???p?r ?()?e(?i?)(pz?py)ed?

2???py?pzi??i???r??13?（p?p?） ?(?i?)(pz?py)()?ed?

?py?pz2??i??? ?i?(py?????pz)?(p?p?) ?pz?py*?2?(x)L??d? )?? (L2??xpp?pxpp?r13??p??r2??z?zp?y)ed? ?()e(yp2???p?r13??p??r?z?zp?y)(yp?z?zp?y)e?d? ?()?e(yp2??i??i??i??i??

13??p?r???p?r?z?zp?y)(i?)(py?()?e(yp?pz)ed?

2???pz?py

p?r??13??p??r????(i?)(py?pz)()e(ypz?zpy)ed?

?pz?py2????r??213?（p?p?） ???(py?pz)()?ed?

?pz?py2??2i???i??i??i??i?? ???2(py??2???pz)?(p?p?) ?pz?py14 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。

解：基矢：un(x)?2n?sinx aa?2?2n2 能量：En?

2?a22m?axsin2xdx? 0aa21u ?ucosnudu?2cosnu?sinnu?c nn2am?n?x)?x?(sin)dx 当时，m?n xmn??(sina0aa

对角元：xmm??a

?1a?(m?n)?(m?n)?xcosx?cosa?0?aa??x?dx?a1?a2(m?n)?ax(m?n)???[cosx?sinx]22a?(m?n)?a(m?n)?a0?a?a2(m?n)?ax(m?n)? ?[cosx?sinx]? 22a(m?n)?a(m?n)?0????a11?2(?1)m?n?1???2?(m?n)2??(m?n)???4mnm?n(?1)?12222?(m?n)a??a0?un(x)dx??i??pmn??um(x)p*2m?dn?sinx?sinxdxaadxa2n??am?n???i2?sinx?cosxdx0aaan??a?(m?n)?(m?n)???i2??sinx?sinaaa0?

?x?dx??x? ?0an???a(m?n)?a(m?n)??i2?cosx?cosa(m?n)?aa?(m?n)??11?m?n??1]?(m?n)(m?n)?(?1)??i2mn??(?1)m?n?12(m?n2)a?in??aa2?

???? ?sinmucosnud?u?cos(m?n)ucos(m?n)u??C 2(m?n)2(m?n)15 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

2211??122222??????x?? 解：Hp???x 22?22??x2? Hpp????*p(x)H?p(x)dx

?pxp?x1?2?2122?? ?e(????x)edx 2?2??2??x2(p??p)x(p??p)x???2i121212?? ??(p?)edx???xedx ??????2??2??22??iiii2(p??p)x??p?21212?? ??(p??p)???()edx 2???2?22??i?p?i2p?212?2? ??(p??p)???()2?2i?p?2??1?????ei(p??p)x?dx

2p2122? ??(p??p)?????(p??p) 2?2?2?p2p2122? ??(p??p)?????(p??p) 22?2?p16 求连续性方程的矩阵表示

解：连续性方程为

???????J ?t?i?(???*??*??) ∴ J?2??i???(???*??*??) 而 ??J?2? ? ? ∴ i?

i?(??2?*??*?2?) 2?1??*??*T??) (?Ti???????T??*) ?(?*T?t?(?*?)????T??*) i??(?*T?t 写成矩阵形式为

?????T???(???)???T?t

????(??T??)*?T?T*?0i?(???)???T?ti???的作用，17 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02，现在受到微扰H??H21??a，H11??H22??b；a、b都是实数。用微扰公式求能量微扰矩阵元为H12至二级修正值。

解：由微扰公式得

(1)? En?Hnn(2)??' Enm?Hmn2(0)(0)En?Em

(1)(1)??b ??b 得 E01?H11E02?H22 E(2)01??m'?1Hm2E01?E0m'a2? E01?E02a2? E02?E01 E(2)02??m?1Hm2E02?E0m ∴ 能量的二级修正值为

a2 E1?E01?b?

E01?E02a2 E2?E02?b?

E02?E0118 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。

解： Amk34es2?mk?2?r mk33?c 由选择定则????1，知2s?1s是禁戒的 故只需计算2p?1s的几率 ?21?E2?E1 ?13?es4 ?3(1?)?

48?32??2222 而 r21?x21?y21?z21

?es4 2p有三个状态，即 ?210, ?211, ?21?1

? (1)先计算z的矩阵元 z?rcos*(r)R10(r)r3dr???1*mcos? Y00d? (z)21m,100??R210? ?f?Y1*m ?f1313 Y00d?

?m0

?(z)21,1000?13f

(z)21,1100?0 (z)21?1,100?0

?cos?? (2)计算x的矩阵元 x?rsin (x)21m,100?rsin?(ei??e?i?) 21?*3*i??i?R(r)R(r)rdr?Ysin? (e?e)Y00d? 21101m??02 ?12*f?Y1m(?Y11 ?Y1?1)d? ?2316f(??m1??m?1)

? Y11??Y00?14?3sin? ei? 8?

Y1?1?3sin? e?i? 8?

?(x)21,1000?0 (x)211,100??16f

(x)21?1,100?16f

1rsin?(ei??e?i?) 2i?sin??(3)计算y的矩阵元 y?rsin (y)21m,100 ?1?*i???R21(r)R10(r)r3dr??Y1*?e?i?) Y00d? msin?(e2i012f?(??m1??m?1) 2i31i6f(??m1??m?1)

? ?(y)21,1000?0

(y)211,100?i6i6f

f

(y)21?1,100?? ?r2p?1s2f2f212?(2??2??f)?f2

663(4)计算f

*(r)R10(r)r3dr? f??R210?256816a0

313/2) ?(2a013/2?4?2a0r?()?redr

0a3a002114！?25525627 ??a0?a0?a0445336a08162152 f?9a0

322 3 A2p?1s34es2?21?2?r21 3?c34es23?es432152?()?9a0 ?333?c8?328?3e14?22s ?7?103(?) 23?c? es28?e10 ?7?6s3?1.91?109s?1

3?c ??1?5.23?10?10s?0.52?10?9s A2119 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则

?22 解： Amk?rmk?xmk

*x?kdx xmk???m

由 x?k?1?[kk?1?k?1??k?1] 22*?ndx??mn ??m xmk?1?[kk?1?m,k?1??m,k?1] 22 ?m?k?1时， xmk?0 即选择定则为 ?m?m?k??1

20 一维无限深势阱(0?x?a)中的粒子受到微扰

a?x2? (0 ? x ?)??a2 H?(x)??

a?2?(1?x) ( ? x?a)?a2?作用，试求基态能级的一级修正。

解：基态波函数（零级近似）为

(0) ?1?2?sinx ( 0 ? x?a) aa(0) ?1?0 (x?0, x?a)

∴能量一级修正为

(0)(0)*H??1dx E1(1)???12a/2x2ax?2???2?(1?)si2nxdx ??2?sinxdx a0aaaa/2aaa2?a/22?2??2[?x(1?cosx)dx?a?(1?cosx)dxa/2aaa0

a2? ? ? x(1?cosx)dx]a/2a2?12a2?a22?a/3?2[(x?xsinx?sinx)?a(x?022?aaa4?2 2a2?1a2?a2?aa ? sinx)a/2(x2?xsinx?cosx)]a/22?a22?aa4?22?12a2a212a2??(a?)] ?2[a?28a82?22?2 ?2?a2a212a2(4??2)??(2??2)

21 求在自旋态?1(Sz)中，S?和S?的测不准关系： 2xy (?Sx)2(?Sy)2??

解：在S?z表象中?1(S2z)、S?x、S?y的矩阵表示分别为 ????1???? S???01?0?i?1(S2z)??0?x2???10???? Sy???2???i0???∴ 在?1(S2z)态中

S???01?x??1S???1??2x?1?(1 0)?22??10????0???0 S2???20102x1S?x? 0)????????1??1??1?(12??10????222??10????0????4 (?S222?2x)?Sx?Sx?4 S??1?2Sy???0?i??1?y?12?(1 0)2???i0??????0????0 S2?????0?i???0?i?y1S?y?12?(1 0)2??i0?2??i0????1??0???22?2???????4 2(?S2y)?S2?S2??yy4 (?S22?4x)(?Sy)?16

讨论：由S?x、S?y的对易关系 [S?x，S?y]?i?S?z ?22要求(?S22Sz?4x)(?Sy)?4

(?S22x)(?Sy)?16 在??1(S2z)态中，Sz?2 ①

?4 ∴ (?Sx)(?Sy)?

1622可见①式符合上式的要求。

01????0?i?????????22 求S的本征值和所属的本征函数。 及S?xy????2?10?2??i0??的久期方程为 解：Sx??

?2?2?0 ?2?(?)2?0?????

22???的本征值为??。 ∴ Sx2设对应于本征值

?a1??的本征函数为 ?1/2???b?? 2?1?????? ，得 由本征方程 Sx1/21/22??01??a1???a1???????? ??????bb2?10??1?2?1??b1??a1? ? ? ?? b ?a1 1 ? a ???b?? ??1??1?由归一化条件 ?1?/2?1/2?1，得

a**?1?(a1,a1)??a???1 ?1?即 2a1?1 ∴ a1?212 b 1 ? 12

对应于本征值

?1?1???的本征函数为 ?1/2? ??22?1??a2???设对应于本征值?的本征函数为 ??1/2???? b2?2??a2????????由本征方程 S x?1/2?1/2???2?b2??b2???a2?? ??a??????b???b2??a2

?2??2?由归一化条件，得

?a2? (a,?a)???a???1

?2?*2*2即 2a22?1 ∴ a2?12 b 2 ? ?12

对应于本征值??1?1??的本征函数为 ??1/2???1?? 22???的本征值为??。其相应的本征函数分别为 同理可求得Sy2??121?1?1?1????? ???1????22?i?2??i?23 求自旋角动量(cos?,cos?,cos?)方向的投影

??S?co??co??co? Ss?Ss?Ss nxyz本征值和所属的本征函数。

?有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出 在这些本征态中，测量Sz?的平均值是多少？ 现？Sz? 表象，S?的矩阵元为 解：在Szn01???0?i???10???????????Scos??cos??cos? n??????10i00?12?2?2????cos????Sn??2?cos??icos?其相应的久期方程为

cos??icos??? ??cos???(cos??icos?)22?cos???2?(cos??icos?)2?0

??cos???2?2?22cos??(cos2??cos2?)?0 即：??44?2???0 (利用cos2??cos2??cos2??1)

42?? ???

2?的本征值为??。 所以Sn2设对应于Sn??a???的本征函数的矩阵表示为?1(Sn)??，则 ??22?b?cos??icos???a???a?????b???2??b?? ?cos??????cos????2??cos??icos??a(cos??icos?)?bcos??b

b?cos??icos?

1?cos?由归一化条件，得

?a?22? 1??1??1?(a*,b*)??a?b?b?22??cos??icos?2a?a?1

1?cos?2222a?1

1?cos?取 a?1?co?sco?s?ico?s ，得 b? 22(1?co?s)?1?cos????1? ?1(Sn)???cos??icos??2??2(1?cos?)???(Sn)?121?cos?2?1?cos??icos???0???2(1?cos?)???0???1?????1?cos?cos??icos??1??122(1?cos?)?22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6fm6.html