复变函数课后习题答案(全)
更新时间:2024-04-03 12:56:01 阅读量: 综合文库 文档下载
习题一答案
1. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:
i1 (2)
(i?1)(i?2)3?2i13i821 (3)? (4)?i?4i?i
i1?i13?2i解:(1)z?, ?3?2i1332因此:Rez?, Imz??,
13131232z?, argz??arctan, z??i
3131313ii?3?i(2)z?, ??(i?1)(i?2)1?3i1031因此,Rez??, Imz?,
10101131z?, argz???arctan, z???i
310101013i3?3i3?5i(3)z??, ??i??i1?i2235因此,Rez?, Imz??,
323453?5iz?, argz??arctan, z?
232821(4)z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i
(1)
因此,Rez??1, Imz?3,
z?10, argz???arctan3, z??1?3i
2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2)?1?(4)r(cos?解:(1)i3i (3)r(sin??icos?)
?isin?) (5)1?cos??isin? (0???2?)
?cos?2?isin?2?2?e
i2?i223(2)?1?3i?2(cos??isin?)?2e
33(3)r(sin?(4)r(cos??icos?)?r[cos(??)?isin(??)]?re22?isin?)?r[cos(??)?isin(??)]?re??i
??(??)i2?
(5)1?cos??isin??2sin2??2isincos 222??i?2sin[cos22(1)(?????isin???]?2sine22????2
3. 求下列各式的值:
3?i)5 (2)(1?i)100?(1?i)100
(cos5??isin5?)2(1?3i)(cos??isin?) (3) (4)
(cos3??isin3?)3(1?i)(cos??isin?)(5)3i (6)解:(1)(51?i 3?i)5?[2(cos(?)?isin(?))]5
66??5?5??2(cos(?)?isin(?))??16(3?i)
66(2)(1?i)100?(1?i)100?(2i)50?(?2i)50??2(2)50??251
(1?3i)(cos??isin?)(3)
(1?i)(cos??isin?)?2[cos(?)?isin(?)](cos??isin?)332[cos(?)?isin(?)][cos(??)?isin(??)]44????
?2[cos(??12)?isin(??12)](cos2??isin2?)
?2[cos(2???12)?isin(2???12)]?2e(2???12)i
(cos5??isin5?)2(4) 3(cos3??isin3?)cos10??isin10???cos19??isin19? cos(?9?)?isin(?9?)(5)3i?cos3?2?isin?2
?31?i, k?0??22?311?1??i, k?1 ?cos(?2k?)?isin(?2k?)???3232?22??i, k?2??(6)1?i?2(cos??isin) 44?i?4?81?1??2e, k?04 ?2[cos(?2k?)?isin(?2k?)]???2424??42e8i, k?1?4. 设z1?z1?i, z2?3?i,试用三角形式表示z1z2与1
z22解:z1?cos?4?isin?, z2?2[cos(?)?isin(?)],所以
466??z1z2?2[cos(?)?isin(?)]?2(cos?isin),
46461212z11????15?5??[cos(?)?isin(?)]?(cos?isin) z224646212125. 解下列方程: (1)(z?i)5???????1 (2)z4?a4?0 (a?0)
5解:(1)z?i?1, 由此
z?51?i?e(2)z2k?i5?i, (k?0,1,2,3,4)
?4?a4?4a4(cos??isin?) 时,对应的4
11,1,2,3?a[cos(??2k?)?isin(??2k?)],当k?044个根分别为:aaaa(1?i), (?1?i), (?1?i), (1?i) 2222?x?iy,则6. 证明下列各题:(1)设zx?y2?z?x?y
证明:首先,显然有 其
次
z?x2?y2?x?y;
,
因
x2?y2?2xy,
固此有
2(x2?y2)?(x?y2) , 从而
z?x?y?222x?y22。
2(2)对任意复数z1,z2,有z1?z2?z1?z2?2Re(z1z2)
2证明:验证即可,首先左端?(x1?x2)而右端??(y1?y2)2,
x12?y12?x22?y22?2Re[(x1?iy1)(x2?iy2)]
?x12?y12?x22?y22?2(x1x2?y1y2)?(x1?x2)2?(y1?y2)2,
由此,左端=右端,即原式成立。 (3)若a?bi是实系数代数方程a0zn?a1zn?1??an?1z?a0?0
的一个根,那么a?bi也是它的一个根。
证明:方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,zn?(z)n,由此得到:a0(z)n?a1(z)n?1??an?1z?a0?0
由此说明:若z为实系数代数方程的一个根,则z也是。结论得证。 (4)若
a?1,则?b?a,皆有
a?b?a
1?ab证明:根据已知条件,有aa?1,因此:
a?ba?ba?b1????a,证毕。
1?abaa?ab(a?a)baa?b?1 (5)若a?1, b?1,则有
1?ab证明:
a?b?(a?b)(a?b)?a?b?ab?ab,
222 因为
1?ab?(1?ab)(1?ab)?1?ab?ab?ab,
222a?1, b?1,所以,
222 a?b?a22b?1?(1?a)(b?1)? 0,
222a?b?1,结论得证。 因而a?b?1?ab,即
1?ab7.设
其中n为正整数,az?1,试写出使zn?a达到最大的z的表达式,
为复数。
解:首先,由复数的三角不等式有
zn?a?zn?a?1?a,
nzn?a达到最大,为此,需要取z 在上面两个不等式都取等号时
na与a同向且z?1,即z应为a的单位化向量,由此,z?,
ann
z?naa 8.试用z1,z2,z3来表述使这三个点共线的条件。 解:要使三点共线,那么用向量表示时,z2?z1与z3?z1应平行,因而二
者应同向或反向,即幅角应相差0或?的整数倍,再由复数的除法运算规则知Argz2?z1应为0或?的整数倍,至此得到:
z3?z1
z1,z2,z三个点共线的条件是3z2?z1为实数。
z3?z19.写出过z1,z2 (z1?z2)两点的直线的复参数方程。
?x?x1?t(x2?x)1, ?1?y?y1?t(y2?y)解:过两点的直线的实参数方程为: 因而,复参数方程为:
z?x?iy?1x?1iy?(t2x?1x?2iy?)1iy?1(?z2t ?)zz 其中t为实参数。
10.下列参数方程表示什么曲线?(其中t为实参数)
i(1)z?(1?i)t (2)z?acost?ibsint (3)z?t?
t解:只需化为实参数方程即可。 (1)x?t,y?t,因而表示直线y?x
x2y2(2)x?acost,y?bsint,因而表示椭圆2?2?1
ab1(3)x?t,y?,因而表示双曲线xy?1
t11.证明复平面上的圆周方程可表示为 其中a为复常数,c为实常数 证明:圆周的实方程可表示为:x2zz?az?az?c?0,
?y2?Ax?By?c?0,
z?zz?z222, y?代入x?,并注意到x?y?z?zz,由此 22iz?zz?z?B?c?0, zz?A22i整理,得
A?BiA?Bizz?z?z?c?0
22记
A?BiA?Bi,则?a,由此得到 ?a22
zz?az?az?c?0,结论得证。
12.证明:幅角主值函数argz在原点及负实轴上不连续。 证明:首先,argz在原点无定义,因而不连续。 对于x0于x0时,argzz?x0?0,由argz的定义不难看出,当z由实轴上方趋
??,而当z由实轴下方趋于x0时,argz???,由此
说明limargz不存在,因而argz在x0点不连续,即在负实轴上不连续,结论得证。
12213.函数w?把z平面上的曲线x?1和x?y?4分别映成w平面中
z的什么曲线?
解:对于x?1,其方程可表示为z
?1?yi,代入映射函数中,得
w?u?iv?u?111?iy??, 2z1?iy1?y因而映成的像曲线的方程为 得 圆周。 对
于
1?y, v?,消去参数y,221?y1?yu2?v2?112212?u,即(u?)?v?(),表示一个21?y22x2?y2?4,其方程可表示为
z?x?iy?2cos??2isin?
代入映射函数中,得
w?u?iv?11co?s?is?in ??z2co?s?i2s?in211因而映成的像曲线的方程为 u?cos?, v??sin?,消去参数?,
2211,表示一半径为的圆周。 4214.指出下列各题中点z的轨迹或所表示的点集,并做图:
得u2?v2?解:(1)
z?z0?r (r?0),说明动点到z0的距离为一常数,因而表
示圆心为z0,半径为r的圆周。 (2)
z?z0?r,是由到z0的距离大于或等于r的点构成的集合,即圆心
为z0半径为r的圆周及圆周外部的点集。 (3)
z?1?z?3?8,说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常
?x?iy,化为实方程得
数,因而表示一个椭圆。代入z(x?2)2y2 ??1
1615(4)
z?i?z?i,说明动点到i和?i的距离相等,因而是i和?i连线的
垂直平分线,即x轴。 (5)arg(z?i)??4,幅角为一常数,因而表示以i为顶点的与x轴正向
?夹角为的射线。
415.做出下列不等式所确定的区域的图形,并指出是有界还是无界,单连通还是多连通。 (1)2?z?3,以原点为心,内、外圆半径分别为
2、3的圆环区域,
有界,多连通 (2)??argz?? (0?????2?),顶点在原点,两条边的倾角
分别为?,?的角形区域,无界,单连通 (3)
z?3?1,显然z?2,并且原不等式等价于z?3?z?2,说z?2明z到3的距离比到2的距离大,因此原不等式表示2与3 连线的垂直平分线即x?2.5左边部分除掉x?2后的点构成的集合,是一无界,多连通
区域。 (4)
z?2?z?2?1,
显然该区域的边界为双曲线
z?2?z?2?1,化为实方程为
4x2?42y?1,再注意到z到2与z到?2的距离之差大于1,因而不15z?1?4z?1,代入z?x?iy,化为实不等式,得
等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分,是一无界单连通区域。 (5)
(x?1728 )?y2?()21515178所以表示圆心为(?,0)半径为的圆周外部,是一无界多连通区域。
1515
习题二答案
1.指出下列函数的解析区域和奇点,并求出可导点的导数。 (1)(z?1) (2)z53?2iz (3)
11 (4) z?2z?3z?1解:根据函数的可导性法则(可导函数的和、差、积、商仍为可导函数,
商时分母不为0),根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式,再注意到区域上可导一定解析,由此得到:
]??5(z?1)4
332(2)z?2iz处处解析,(z?2iz)??3z?2i
12(3)2的奇点为z?1?0,即z??i,
z?11?(z2?1?)?z2?()??, z (??i 22222z?1(z?1)z(?1)1(4)z?的奇点为z??3,
z?311)??1?, (z??3) (z?2z?3(z?3)(1)(z?1)处处解析,[(z?1)(1)
55
)2.判别下列函数在何处可导,何处解析,并求出可导点的导数。
f(z)?xy2?x2yi (2)f(z)?x2?y2i
(3)
f(z)?x3?3xy2?i(3x2y?y3) (4)f(z)?21 z解:根据柯西—黎曼定理:
, v?x2y,
22 ux?y, vy?x,uy?2xy, vx?2xy
四个一阶偏导数皆连续,因而u,v处处可微,再由柯西—黎曼方程 ux? vy, uy?? vx解得:x?y?0,
因此,函数在z?0点可导, f?(0)?ux?ivxz?0?0,
(1)u?xy 函数处处不解析。
x2, v?y2,
ux?2x, vy?2y,u0,v ? y?x 四个一阶偏导数皆连续,因而u,v处处可微,再由柯西—黎曼方程 ux? vy, uy?? vx解得:x?y, 因此,函数在直线y?x上可导,
x, f?(x?ix)?ux?ivxy?x?2(2)u?
因可导点集为直线,构不成区域,因而函数处处不解析。
x3?3xy2, v?3x2y?y3,
2222v?3x?3y,u??6xy,x v ? 6xy ux?3x?3y, yy 四个一阶偏导数皆连续,因而 u,v 处处可微,并且 u,v 处处满足柯西—黎曼方程 ux? vy, x uy?? v(3)u? 因此,函数处处可导,处处解析,且导数为
f?(z)?ux?ivx? 3x2?3y2+i6xy?3z2
11x?iyxy?2, v?2 (4)f(z)??,u?2, 222x?yx?yzx?iyx?yy2?x2x2?y2, v y? ux?2, 22222(x?y)(x?y)?2xy?2xy, vx? uy?2, 22222(x?y)(x?y) 因函数的定义域为z?0,故此,u,v处处不满足柯西—黎曼方程,
因而函数处处不可导,处处不解析。 3.当l,m,n取何值时处解析? 解:u?my332f(z)?my3?nx2y?i(x?lxy)在复平面上处
?nx2y, v?x3?lxy2
ux?2nxy, vy?2lxy, uy?3my2?nx2, vx?3x2?ly2,
由柯西—黎曼方程得:
uy?3my?nx??vx??3x?ly (2) 由(1)得 n?l,由(2)得n??3, 3m??l,因而,最终有
? l?? m?1, n??222?4.证明:若f(z)解析,则有 (f(z))?(f(z))?f(z)
?x?y??222证明:由柯西—黎曼方程知,左端?(u?v)?(u2?v2)2
?x?yuux?vvx2uuy?vvy2(uux?vvx)2?(uvx?vux)2 ?()?()?222222u?vu?vu?v
ux?2nxy? vy?2lxy, (1) 2222
u2(ux?vx)2?v2(ux?vx)222?u?iv??(u?v)xx xx22u?v2?f?(z)?右端,证毕。
5.证明:若f(z)?u?iv在区域D内解析,且满足下列条件之一,则在D内一定为常数。 (1)
f(z)f(z)在D内解析 , (2)u在D内为常数,
2(3)f(z)在D内为常数, (4)v?u (5)2u?3v?1 证明:关键证明u,v的一阶偏导数皆为0!
(1)f(z)?u?iv,因其解析,故此由柯西—黎曼方程得
ux??vy, uy?v x ------------------------(1)
f(z)的解析性,又有ux?vy, uy??vx ------------------------(2) 由(1)、(2)知,ux?uy?vx?vy?0,因此u?c1, v?c2,即
而由
(2)设u?c1,那么由柯西—黎曼方程得
2f(z)?c1?ic2为常数
vx??uy?0, vy?ux?,0
说明v与x,y无关,因而 v?c2,从而f(z)?c1?ic2为常数。
22(3)由已知,f(z)?u?v?c0为常数,等式两端分别对x,y求偏
导数,得
2uux?2vvx?02uuy?2vvy?0因f(z)解析,所以又有 ux?vy, (2) uy??v-------------------------x求解方程组(1)、(2),得 ux?uy?vx?vy?0,说明 u,v皆与x,y无关,因而为常数,从而f(z)也为常数。
2(4)同理,v?u两端分别对x,y求偏导数,得 vx?2uu y?2u ux, vy再联立柯西—黎曼方程ux?vy, uy??vx,仍有 ux?uy?vx?vy?0
(5)同前面一样,2u?3v?1两端分别对x,y求偏导数,得 2ux+3vx?0, u y2v+?3 y考虑到柯西—黎曼方程ux?vy, uy??vx,仍有 ux?uy?vx?vy?0,证毕。
6.计算下列各值(若是对数还需求出主值) (1)e?i2
----------------------------(1)
? (2)Ln(?i) (3)Ln(?3?4i)
i(4)sini (5)(1?i) (6)27
解:(1)e?i223??cos(?)?isin(?)??i
22??1(2)Ln(?i)?ln?i?arg(?i)?2k?i?(??2k)?i,
2 k为任意整数,
1 主值为:ln(?i)???i
2(3)Ln(?3?4i)?ln?3?4i?arg(?3?4i)?2k?i
4 ?ln5??(?arcta?nk?i2, ) k为任意整数
34主值为:ln(?3?4i)?ln5?(??arctan)i
3ei.i?e?i.ie?e?1?i (4)sini?2i2(5)(1?i)i?eiLn(1?i)?ei(ln2?i?2k?i)4??eiln2??2k?4?
23?e??2k?4?(cosln?2i2(ln27?2k?i)3sin, 2 ) k为任意整数
24ln27k?i33(6)27?e?e?e当k分别取0,1,2时得到3个值:
2Ln273e?9e4?i34k?i3,
9,
9e??92?(i1, 3 )9(?1?i3 )2z2z27.求e和Arge 9e?解:e,因此根据指数函数的定义,有 ?ez2z2x2?y2 e?e, Arge?2xy?2k?,(k为任意整数)
z2x2?y2?2xyi8?i3?rei?,求Re[Ln(z?1)]
解:Ln(z?1)?lnz?1?i[arg(z?1)?2k?i],因此
8.设zRe[Ln(z?1)]?lnz?1?ln(rcos??1)2?(rsin?)2 1 ?ln(1?r2c?o?sr2 )29.解下列方程: (1)ez?1?3i (2)lnz??0 (4)shz?i
?2i
(3)sinz?cosz
1解:(1)方程两端取对数得:z?Ln(1?3i)?ln2?(?2k)?i
3 (k为任意整数)
(2)根据对数与指数的关系,应有
?z?e2i?cos?isin?i
22??(3)由三角函数公式(同实三角函数一样),方程可变形为 因此z?sinz?cozs??42szin?(4?? )0?k?, 即 z?k???4,
k为任意整数
ez?e?z(4)由双曲函数的定义得 shz??i,解得
2z2 (e)?2iez?1?,即0ez?i,所以
z?Lni?(?2?2?k) i,k为任意整数
10.证明罗比塔法则:若
f(z)0)?g(0z?f(z)及g(z)在z0点解析,且
f(z)f?(z0)?,并由此求极0,? g 0 z?(,则)lim0z?z0g(z)g?(z0)sinzez?1限 lim ; limz?0z?0zz证明:由商的极限运算法则及导数定义知
f(z)?f(z0)f(z)?f(z0)limz?z0z?z0z?z0f?(z0)f(z)lim?lim??, z?z0g(z)z?z0g(z)?g(z0)g(z)?g(z0)g?(z0)limz?z0z?z0z?z0sinzcosz由此,lim?lim?1
z?0z?0z1ez?1ez? lim?e0?1 limz?0z?01z11.用对数计算公式直接验证: (1)Lnz解:记z2?2Lnz (2)Lnz??rei?,则
22i?(1)左端?Ln(re)?2lnr?(2??2k?)i,
右端?2[lnr?(??2m?)i]?2lnr?(2??4m?)i, 其中的k,m为任意整数。
显然,左端所包含的元素比右端的要多(如左端在k?1时的值为 2lnr?(2??2?)i,而右端却取不到这一值),因此两端不相等。
1Lnz 21?]?lnr?(?m??2k?)i
2211? 右端?[lnr?(??2n?)i]?lnr?(?n?)i
222 其中k,n为任意整数,而 m?0,1
不难看出,对于左端任意的k,右端n取2k或2k?1时与其对应;反之,对于右端任意的n,当n?2l为偶数时,左端可取k?l,m?0于其
(2)左端???2m?2Ln[rei对应,而当n?2l?1为奇数时,左端可取k?2l,m?1于其对应。综上所述,左右两个集合中的元素相互对应,即二者相等。 12.证明sinz证明:首先有
?sinz, cosz?cosz
ez?ex(cosy?isiny)?ex(cosy?isiny)?ex?iy?ez ,因此
eiz?e?izeiz?e?izeiz?e?ize?iz?eizsinz?()???
2i?2i?2i?2ieiz?e?iz?sinz,第一式子证毕。 ?2i 同理可证第二式子也成立。 13.证明
Imz?sinz?eizImz (即
y?sinz?e)
ye?esinz?证明:首先,
2i?iz?eiz?e?iz2e?y?eyy??e,
2 右端不等式得到证明。
其次,由复数的三角不等式又有
e?esinz?2iiz?iz?eiz?e?iz2?e?y?ey2e?e?2y?y,
ex?e?x根据高等数学中的单调性方法可以证明x?0时?x,因此接着
2y?ye?e?y,左端不等式得到证明。 上面的证明,有sinz?214.设z?R,证明sinz?chR, cosz?chR
证明:由复数的三角不等式,有
e?esinz?
2i由已知,
iz?iz?eiz?e?2ize?y?eye??2?y?e2y?chy,
y?z?R,再主要到x?0时chx单调增加,因此有
, sinz?chy?chR 同理,
eiz?e?ize?y?eye?y?eyeiz?e?izcosz?????chy?chR2222
证毕。
15.已知平面流场的复势f(z)为
(3)
z?dz?3(z2?1)(z2?4)
2 在积分曲线内被积函数有两个奇点?i,围绕i,?i分别做两条相互外离的小闭合曲线c1,c2,则由复合闭路原理得:
z?dz?3(z2?4)(z2?1)?2c1?11(z2?4)(z?i)(z2?4)(z?i)dz??dz
z?iz?ic211?2?i[2?2]?0
(z?4)(z?i)z?i(z?4)(z?i)z??i(4)
zdz,在积分曲线内被积函数只有一个奇点1,故此 4?z?1z?2?21z1(z2?1)(z?1)dz??dz?2?i2 4?z?1z?1(z?1)(z?1)z?1z?2?2z?2?2
??2i
1?sinzdz, 2?4z?1z?2(5)
在积分曲线内被积函数有两个奇点?1,围绕1,?1分别做两条相互外离的小闭合曲线c1,c2,则由复合闭路原理得:
1?sinzdz?2?4z?1z?2?c11?z1?zsinsinz?14dz?z?14dz
?z?1z?1c21?z?2?i[sinz?141?z?sinz?14z?1]?2?i
z??1z2ndz, n为正整数,由高阶导数公式 (6)?n(z?1)z?2
z2n2?i2n(n?dz?(z)n?(n?1)!(z?1)z?21)z?1
2n(2n?1)n(?2)n(2)! ?2?i(n?1)!(n?1)!(n?1)!1ez11. 计算积分dz,其中c为 3?2?icz(z?1)11(1)z? (2)z?1? (3)z?2
22
?2?i解:(1)由柯西积分公式
12?iz??12ez1dz?3z(z?1)2?iz??12ezez(z?1)3dz?z(z?1)3??1
z?0(2)同理,由高阶导数公式
1
2?iz?1??121ezdz?32?iz(z?1)?z?1?ezz1ezdz?()??
32!zz?11(z?1)21ez(z2?2z?2)e ??322zz?1(3)由复合闭路原理
12?iez1dz?3?z(z?1)2?iz?2c1?ezez1(z?1)3zdz dz??(z?1)3z2?ic2ez?(z?1)31eze?()????1, 2!zz?12z?0其中,c1,c2为12.
z?2内分别围绕0,1且相互外离的小闭合曲线。
?1?2cos?1积分?dz的值是什么?并由此证明?d??0
0z?25?4cos?z?11解:首先,由柯西基本定理,?dz?0,因为被积函数的奇点在积
z?2z?1分曲线外。
其次,令z2?1dz???0z?2z?1?r(cos??isin?),代入上述积分中,得
?sin??icos?d?
2?cos??isin?(?sin??icos?)(2?cos??isin?)??d? 220(2?cos?)?(sin?)2?(?sin??icos?)(2?cos??isin?)??d??0 05?4cos?2? 考察上述积分的被积函数的虚部,便得到
(?si?n?ic?os?)(2?c?ois?sin)d? ?05?4cos?2?1?2co?s ??05?4co?sd??0,再由cos?的周期性,得 2?1?2cos??1?2cos??1?2cos??05?4cos?d?????5?4cos?d??2?05?4cos?d??0
Im2?1?2cos??05?4cos?d??0,证毕。
13. 设f(z),g(z)都在简单闭曲线c上及c内解析,且在c上
) f(z)?g(z,证明在c内也有f(z)?g(z)。
证明:由柯西积分公式,对于c内任意点z0,
1f(z)1g(z)dz, g(z0)?dz, f(z0)???2?icz?z02?icz?z0 由已知,在积分曲线c上,f(z)?g(z),故此有 f(z0)?g(z0)
再由z0的任意性知,在c内恒有f(z)?g(z),证毕。 14. 设f(z)在单连通区域D内解析,且f(z)?1?1,证明 (1)在D内f(z)?0;
f?(z)dz?0 (2)对于D内任一简单闭曲线c,皆有?f(z)c证明:(1)显然,因为若在某点处f(z)?0,则由已知
0?1?1,矛盾!
即
?(也可直接证明:
f(z)?1?f(z)?1?1,因此
?1?f(z)?1?,即10?f(z)?2,说明f(z)?0)
(3)既然f(z)?0,再注意到f(z)解析,f?(z)也解析,因此由函数的
f?(z)解析性法则知也在区域D内解析,这样,根据柯西基本定理,
f(z)f?(z)dz?0,证毕。 对于D内任一简单闭曲线c,皆有?f(z)c15.求双曲线y2?x2?c (c?0为常数)的正交(即垂直)曲线族。
解:u
?y2?x2为调和函数,因此只需求出其共轭调和函数v(x,y),则 v(x,y)?c便是所要求的曲线族。为此,由柯西—黎曼方程 vx??uy??2y,因此v??(?2y)dx??2xy?g(y),再由 vy?ux??2x知,g?(y)?0,即g(y)?c0为常数,因此
v??2xy?0c,从而所求的正交曲线族为xy?c (注:实际上,本题的答案也可观察出,因极易想到
222f(z)??z?y?x?2x解析)yi px16.设v?esiny,求p的值使得v为调和函数。
解:由调和函数的定义
2pxvxx?vyy?pesiny?(?pexsiny?), 0因此要使v为某个区域内的调和函数,即在某区域内上述等式成立,必须
2 p?1?0,即p??1。
2217.已知u?v?x?y?2xy?5x?5y,试确定解析函数 f(z)?u?iv
解:首先,等式两端分别对x,y求偏导数,得
----------------------------------(1) ux?vx?2x?2y?5
uy?vy??2y?2x?5-------------------------------(2)
再联立上柯西—黎曼方程
ux?vy------------------------------------------------------(3)
uy??vx----------------------------------------------------(4) 从上述方程组中解出ux,uy,得 这样,对ux积分,得u?
ux?2x?5,u y??y2x2?5x?c(y),再代入uy中,得
c?(y)??2y, c y(?)?2y?0 c22至此得到:u?x?5x?y?c0,由二者之和又可解出 v?2xy?5y?c0,因此
f(z)?u?iv?z2?5z?c0?c0i,其中c0为任意实常数。
注:此题还有一种方法:由定理知
f?(z)?ux?ivx?ux?iuy?2x?5?2yi?2z?5 由此也可很方便的求出f(z)。
18.由下列各已知调和函数求解析函数解:(1)u?由柯西—黎曼方程,
f(z)?u?iv
x2?xy?y2, f(i)??1?i,
vy?ux?2x?y,对y积分,得
12 v?2xy?,y?(c)x
2再由vx??uy得2y?c?(x)??x?2y,因此
12? c(x)??x, c x (?)?x?c0,所以
21212 v?2xy?y?x?c0,
221因f(i)??1,说明x?0,y?1时v?1,由此求出c0?,
2至此得到:
111f(z)?u?iv?x2?xy?y2?(y2?x2?2xy?)i,
222121整理后可得:f(z)?(1?i)z?i
22y(2)v?2, f(2)?0 2x?y此类问题,除了上题采用的方法外,也可这样: f?(z)?ux?ivx?vy?ivx
(z)21 i??,所以2222)(zz)z1 f(z)???c,
z1其中c为复常数。代入f(2)?0得,c?,故此
211 f(z)??
2zy(3)v?arctan, (x?0)
x同上题一样,f?(z)?ux?ivx?vy?ivx
x?yz1 ?2?2i??, 22x?yx?yzzz 因此f(z)?lnz?c0,
x2?y22xy?2?222(x?y)(x?y
其中的lnz为对数主值,c0为任意实常数。 (4)u?e
(xcosy?ysiny),f(0)?0
vx??uy?ex(xsiny?siyn?ycyo,对sx积分,得
xv?siny?exxdx?ex(siny?ycosy)?c(x)
x?sinyx(?e1)?ex(syi?nyyc?ocsx)
x ?e(xsiny?ycosy?)c (x再由vy?ux得c?(x)?0,所以c(x)?c0为常数,由f(0)?0知, x?y?0时v?0,由此确定出c0?0,至此得到:
x v?e(xsiny?ycos y)f(z)?u?iv? ex(xcosy?ysiny)?iex(xsiny?ycosy),
z整理后可得 f(z)?ze
19.设在z?1上f(z)解析,且f(z)?1,证明 f?(0)? 1
证明:由高阶导数公式及积分估计式,得
f?(0)?12?iz?1?f(z)1dz?z2?z?1?f(z)1ds?z2?z?1?f(z)ds
20.若
1?2?1ds?2??1,证毕。 ?2?z?1f(z)在闭圆盘z?z0?R上解析,且f(z)?M,试证明柯西不n!(n)等式 f(z0)?nM,并由此证明刘维尔定理:在整个复平面上有界
R且处处解析的函数一定为常数。
证明:由高阶导数公式及积分估计式,得
f(n)n!(z0)?2?if(z)n!dz?n?1?2?(z?z0)z?z0?Rf(z)ds n?1?(z?z0)z?1,
?n!2?Rn?1?z?1f(z)ds?n!M2?Rn?1?z?1ds?n!Mn!M2?R?2?Rn?1Rn柯西不等式证毕;下证刘维尔定理: 因为函数有界,不妨设
f(z)?M,那么由柯西不等式,对任意
z0都有f?(z0)?R???,得
M,又因f(z)处处解析,因此R可任意大,这样,令 Rf?(z0)?0,从而f?(z0)?0,即 f?(z0)?0,再由z0的任意性知
f?(z)?0,因而f(z)为常数,证毕。
习题四答案
1. 考察下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.
1(1)zn?in?
n解:因为limin不存在,所以limzn不存在,由定理4.1知,数列?zn?不收敛.
n??n??i(2)zn?(1?)?n
2i51(cos??isin?),其中??arctan,则 解:1??222?5?zn??(cos??isin?)??2?n?n?2?????cosn??isinn??. ?5?nn?2??2?因为lim?,,所以?0limcosn??isinn??1????cosn??isinn???0 n??n???5??5?由定义4.1知,数列?zn?收敛,极限为0.
?i1?n2(3)zn?e
n解:因为e?n?i2?i1?n21?0 ?1,lim?0,所以limen??nn??n由定义4.1知,数列?zn?收敛,极限为0.
z(4)zn?()n
zz解:设z?r(cos??isin?),则zn?()nc因为limcos2n?,os?2nis2?i?n?,
n??z limsin2n?都不存在,所以limzn不存在,由定理4.1知,数列?zn?不收敛.
n??n??
2. 下列级数是否收敛?是否绝对收敛?
?in(1)? n?1n!?inin1?,由正项级数的比值判别法知该级数收敛,故级数?收敛,解:
n!n!n?1n!且为绝对收敛. ?in(2) ?
n?2lnn解:?i??n?2lnnn?2?n?cosn?n??sin2?i2,
?lnnn?2lnnn?2??1?1?1?1?是交错级数,因为?根据交错级数的莱lnnln2ln4ln6ln8n?2布尼兹审敛法知该级数收敛,同样可知,
n?sin?2?1?1?1?1?1? ?ln3ln5ln7ln9n?2lnn?in也收敛,故级数?是收敛的.
n?2lnn?cos又?n?2????11in111,因为?发散,故级数?发散,从??,?n?1lnnlnnn?2lnnlnnn?1n?2n?2?in而级数?条件收敛.
lnnn?2?cosin(3) ?n
2n?0nn?n?cosin?e??en?ee??解:?n??,因级数?n?1?n1??n12222n?0n?0?n0?n0?cosin发散. ?n2n?0?en发散,故?n?12n?0?(4)
?n?0?n?0??3?5i?n!n
n解:?级数?n?0??3?5i?n!??n?0?34,由正项正项级数比值判别法知该级数收敛,故n!n?3?5i?n!n收敛,且为绝对收敛.
3. 试确定下列幂级数的收敛半径. (1)
??1?i?n?0?nzn
解:limn??cn?11?1?i?2,故此幂级数的收敛半径R?. cn2n(2)
?nn?0?n!zn
cn?1(n?1)!nn11?lim??lim?解:lim,故此幂级数的收敛半径
n??cn??(n?1)n?1n!n??1en(1?)nnR?e.
(3)
?en?1?i?nzn
cn?1en?1解:lim?lim??1,故此幂级数的收敛半径R?1.
n??cn??inen(4)
2n?12n?2z ?n2n?12??i?2n?12n?2?2n?1n?1??nZ 解:令z?Z,则?nz22n?1n?12n?1?n?1cn?112n?12lim?lim?,故幂级数?nZn?1的收敛域为Z?2,即
n??cn??2n?122n?1n2n?2n?12从而幂级数?nz2n?2的收敛域为z?2,收敛半径为R?2. z?2,
2n?14. 设级数??n收敛,而??n发散,证明??nzn的收敛半径为1.
n?0n?0nn?0??
?证明:在点z?1处,??nz???n,因为??n收敛,所以??nzn收敛,
n?0n?0?n?0n?0????故由阿贝尔定理知,z?1时,??nz收敛,且为绝对收敛,即??nzn收
nn?0n?0?敛.
z?1时,??nz???n,因为??n发散,根据正项级数的
nn?0n?0n?0???比较准则可知,??nz发散,从而??nzn的收敛半径为1,由定理4.6,
nn?0n?0????n?0?nzn的收敛半径也为1.
?5. 如果级数?cnzn在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛,证明它在
n?0收敛圆所围的闭区域上绝对收敛.
证明:z?z0时,由阿贝尔定理,?cnzn绝对收敛.
n?0? z?z0时,?cnz??cnz0,由已知条件知,?cnz0n收敛,
nnn?0n?0n?0???即?cnz收敛,亦即?cnzn绝对收敛.
nn?0n?0??6. 将下列函数展开为z的幂级数,并指出其收敛区域.
1(1) 22(1?z)1解:由于函数的奇点为z??i,因此它在z?1内处处解析,可以在
(1?z2)2此圆内展开成z的幂级数.根据例4.2的结果,可以得到
1?1?z2?z4??(?1)nzn?,z?1. 21?z将上式两边逐项求导,即得所要求的展开式
11'124n?12n?2=()(??)?1?2z?3z??(?1)nz?,z?1. 222(1?z)1?z2z1(a?0,b?0) (2)
(z?a)(z?b)1(a?0,b?0)的奇点为z?a,因此它解:①a?b时,由于函数
(z?a)(z?b)在z?a内处处解析,可以在此圆内展开成z的幂级数.
111'11'??()??()
(z?a)(z?b)(z?a)2a?za1?za1zzn11n?(1???n?)'===?(??nzn?1?)aaaaaa1nn?1??z?,z?a. a2an?11(a?0,b?0)的奇点为z1?a,z2?b,因此②a?b时,由于函数
(z?a)(z?b)它在z?min{a,b}内处处解析,可以在此圆内展开成z的幂级数. 111111?(???)
zz(z?a)(z?b)a?b?a1?b1?ab11zzn1zzn(????n?1???2??) =
a?baa2abbbn?1=
1111111[??(2?2)z??(n?1?n?1)zn?],z?min{a,b}. a?bbababa(3)cosz2
解:由于函数cosz2在复平面内处处解析,所以它在整个复平面内可以展开成z的幂级数.
2nz4z82nzcosz?1????(?1)?,z???. 2!4!(2n)!(4)shz
解:由于函数shz在复平面内处处解析,所以它在整个复平面内可以展开成z的幂级数.
2n?1(iz)3(z)3(z)2n?1n(iz)shz??isiniz??i(iz???(?1)?)?z????3!(2n?1)!3!(2n?1)!(5)sin2z
解:由于函数sin2z在复平面内处处解析,所以它在整个复平面内可以展开成z的幂级数.
2n1?cos2z1(2z)22n?1(2z)sinz??(1?1???(?1)?)
222!(2n)!,z???
z4z2n?解:函数的零点是z?0,因ze?z(1?z???2!n!2质5.4知,z?0是z2ez的2级零点. (3)sinz(ez?1)z2
解:函数的零点是z0?0,z1?k?,z2?2k?i,k?0,
2z222),所以由性
记f(z)?sinz(ez?1)z2,f'(z)?cosz(ez?1)z2?sinz[ezz2?2z(ez?1)] ① z?0时,z?0是sinz的1级零点,,ez?1的1级零点,z2的2级零点,所以z?0是sinz(ez?1)z2的4级零点.
②z1?k?,k?0时,f(z1)?0,f'(z1)?0,由定义5.2知,z1?k?,k?0是f(z)的1级零点.
③z2?2k?i,k?0时,f(z1)?0,f'(z1)?0,由定义5.2知,z2?2k?i,
k?0是f(z)的1级零点.
3. z?0是函数(sinz?shz?2z)?2的几级极点?
chz?2,f''(z)??sinz?shz,答:记f(z)?sinz?shz?2z,则f'(z)?cosz?
f'''(z)??cosz?chz,f(4)(z)?sinz?shz,f(5)(z)?cosz?chz,将z?0代入,得:
f(0)?f'(0)?f''(0)?f'''(0)?f(4)(0)?0,f(5)(z)?0,由定义5.2知, z?0是函数f(z)?sinz?shz?2z的5级零点,故是(sinz?shz?2z)?2的10级极点. 4. 证明:如果z0是f(z)的m(m?1)级零点,那么z0是f'(z)的m?1级零点. 证明:因为z0是f(z)的m级零点,所以
f(z0)?f'(z0)?f''(z0)??fm?1(z0)?0,
?(f'(z0))m?2?0,(f'(z0))m?1?0,由定
fm(z0)?0,即f'(z0)?(f'(z0))'?义5.2知,z0是f'(z)的m?1级零点.
5. 求下列函数在有限孤立奇点处的留数.
z?1(1)2
z?2z解:函数的有限孤立奇点是z?0,z?2,且z?0,z?2均是其1级极点.由定理5.2知,
z?11Res[f(z),0]?limzf(z)?lim??,
z?0z?0z?22z?13Res[f(z),2]?lim(z?2)f(z)?lim?.
z?0z?0z21?z4(2)2
(z?1)3解:函数的有限孤立奇点是z??i,且z??i是函数的3级极点,由定理5.2,
111?z4''112?12z233''Res[f(z),i]?lim[(z?i)f(z)]?lim()?lim??i,
2!z?i2z?i(z?i)32z?i(z?i)58111?z4''112?12z233''Res[f(z),?i]?lim[(z?i)f(z)]?lim()?lim?i. 35z??iz??iz??i2!2(z?i)2(z?i)81?e2z(3)4
z解:函数的有限孤立奇点是z?0, 1?e2z1(2z)2(2z)n222232nzn?4???)??3???? 因4?4(?2z?zz2!n!z2!z23!zn!1?e2z4所以由定义5.5知,Res[4,0]??.
z31(4)z2sin
z解:函数的有限孤立奇点是z?0, 因
11(?1)n1(?1)n221zsin?z(????)?z????zz3!z3(2n?1)!z2n?13!z(2n?1)!z2n?1
11所以由定义5.5知,Res[z2sin,0]??.
z61(5)cos
1?z解:函数的有限孤立奇点是z?1,因
11(?1)ncos?1???? 22n1?z2!(1?z)(2n)!(1?z)1所以由定义5.5知,Res[cos,1]?0.
1?z1(6)
zsinz解:函数的有限孤立奇点是z?k?,k?Z. ①k?0,即z?0, 因为
z3zn?zzn?n2nzsz?zz??????z????? i3n?n?1所以z?0是的2级极点.由定理5.2,
zsinz11'z'zRes[,0]?lim[z2]?lim()?lim?0.
z?0z?0sinzz?02coszzsinzzsinz②z?k?,k?0时,记g(z)?zsinz,则g'(z)?sinz?zcosz,
因为g(k?)?0,g'(k?)?0,所以由定义5.2知,z?k?,k?0是g(z)的1级
1零点,故它是的1级极点.由定理5.3,
zsinz1111Res[,k?]?'??(?1)k,k?0.
zsinzg(k?)k?cosk?k?6. 利用留数计算下列积分(积分曲线均取正向).
!e2zdz (1)?z?2(z?1)2e2z解:z?1是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点,且为2级极点,2(z?1)由定理5.2,
e2ze2z'22z2Res[,1]?lim[(z?1)]?lim2e?2e, 22z?1z?1(z?1)(z?1)由定理5.1知,
e2ze2z2dz?2?iRes[,1]?4?ei. 2?z?2(z?1)2(z?1)ezdz (2)?32z?2(z?1)(z?3)ez解:z?1是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点,且为1
(z?1)(z?3)2级极点,
所以由定理5.1及定理5.2,
ezez?z?32(z?1)(z?3)2dz?2?iRes[(z?1)(z?3)2,1]
ezez?ei?2?ilim((z?1))?2?ilim?.
z?1z?1(z?3)2(z?1)(z?3)28(3)?zdz
z?1sinzz在积分区域内的有限孤立奇点, sinzzz因为lim的可去奇点, ?1,所以由性质5.1知z?0是函数
z?0sinzsinzz从而由定理5.1,Res[,0]?0,由定理5.1,
sinzzzdz?2?iRes[,0]?0. ?z?1sinzsinz1(4)?dz
z?1zsinz1解:z?0是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点,且为2级极点,
zsinz由定理5.2,
11'zRes[,0]?lim(z2)?lim?0,
z?0z?0zsinzzsinz2cosz11dz?2?iRes[,0]?0. 由定理5.1,?z?1zsinzzsinzsinzdz (5)?1zz?2z(1?e)解:z?0是被积函数
sinz在积分区域内的有限孤立奇点,由性质5.6
z(1?ez)知是函数的1级极点,z?0szinzsinzszinRse[?z,0?]?li?m?() z?zzz?0)ze01??ez(?ez1z?e(?)z01sinzsizndz?2?iRes[,?0?]?i.2 由定理5.1, ?1zzz??e)z(?1e)2z(1解:z?0是被积函数
lci(6)?z?3tan?zdz
解:被积函数tan?z在积分区域z?3内的有限孤立奇点为:
1zk?k?,k??3,?2,?1,0,由定理5.3,这些点均为tan?z的1级极点,且
2sin?zk1?nzkz,?]?? Res[ta??sin?zk?由定理5.1,?z?36tan?zdz?2?i?Res[tan?z,zk]?2?i?(?)??12i.
k??32?1dz,其中n为正整数,a?1,b?1,a?b.
z?1(z?a)n(z?b)n1解:记f(z)?,则f(z)的有限孤立奇点为z?a,z?b,且为n(z?a)n(z?b)n级极点,分情况讨论如下:
①a?b?1时,z?a,z?b均在积分区域内,由定理5.1,
7. 计算积分??
z?1f(z)dz?2?iRes[f(z),a]?2?iRes[f(z),b]
1(2n?2)!n?1?2n?1lim[(z?a)nf(z)](n?1)?(?1)(a?b)(n?1)!z?a((n?1)!)21(2n?2)!lim[(z?b)nf(z)](n?1)?(?1)n?1(b?a)?2n?12(n?1)!z?b((n?1)!)Res[f(z),a]?Res[f(z),b]?
1dz?0.
z?1(z?a)n(z?b)n②1?a?b时,z?,a?z故有?b不在积分区域内,所以均
1?z?1(z?a)n(z?b)ndz?0.
③a?1?b时,z?a在积分区域内,z?b不在积分区域内, (?1)n?1(2n?2)!i所以?f(z)dz?2?iRes[f(z),a]?
z?1[(n?1)!]2(a?b)2n?1习题五
8.判断z??是下列各函数的什么奇点?求出在?的留数。 解:(1)因为
111???, ? z0???|| z22!z43z!61?z12?z2所以,z??是e的可去奇点,且Res?e,????c?1?0。
??(2)因为
z2z4zn2nz??1????(1)?,z ? ?? | | cos2!4!n(2)!1 ez?1?2z3z5zn2?1nz?z????(?1)?, z |? ?|? sin3!5!n(?21)!所以
n2z2z3z4zn?21nzncosz??1z??????(1)??(1)?z,? ?? |2!3!4!n(2)!n?(21)!|于是,z??是cosz?sinz的本性奇点,且Res?cosz?sinz,????c?1?0。 (3)因为
z2z3 e?1?z???2!3! 111?11??1???1?z2?z2?1z2z42??z?1?2??z?所以
?ezz2z3??1?z??? 2z?1?2!3!z, |z|??? ????1?2z11?4?6, ? z1???|| zz??111??2?4?6?zz??z??, 1?|z|??? ?ez容易看出,展式中由无穷多z的正幂项,所以z??是2的本性奇点。
z?1?ez?e1?e?1?11? Res?2,????c?1???1????????sh 1。
z?13!5!2????(4)因为
1? 0 limz??z(z?14)(z?4)1所以z??是的可去奇点。 4z(z?1)(z?4)??????111, ????Res?, 0? Res?442?1?1?1?z?z(z?1)(z?4)????1?(?4)??z?z?z???z4,? ?0。 0 ??Re?s4?z4)????1?z?(1?9.计算下列积分:
解:(1)
?z15C?z2?1??z?2?223edz?2?i??1z??15z? Re?sC内部奇点,234??z2??1z?2???????15z??2?i?Res?,??2324??z?1??z?2????
?? 1??151z?2?i?Res?,0?232??1???1?z??2?1??4?2??zz????????11?2?i?Res?,0?2324??1?z??1?2z?z????1??2?iz???1?2?ilim?zz?0?22431?z1?2z????? (2)在2<|z|???内将函数展为洛朗级数
z31f(z)?ez1?z
111111 ?z2(1??2?3?)(1????zzzz2!z23!z3从上式可知,
111 Res[f(z? ?),?]??(??)1?12!3!3所以
z3112 ?ezdz??2?i????i。
1?z33c
)10.求下列各积分之值:
1i?z2?1?i?(1)解:设z?e,则dz?ied??izd?,sin??(e?e)?。于是
2i2iz2?1112d???dz??05?3sin??|z|?1z2?1iz?|z|?110iz?3z2?3dz5?32iz
2121? ??dz??2?i?i?3|z|?1?3(z?3i)z??i23?z??(z?3i)3??1i?z2?1?i?i?i?(2)解:设z?e,则dz?ied??izd?,cos??(e?e)?。于是
22zi?i?1112dz?dz?0?|z|?1z2?1izi?|z|?1z2?2az?1a?2z21 ??dzi|z|?1?z?a?2??a2?1?2?1d??a?cos?2 ?i?|z|?1?z?a??a?1z?a?a?1?z??a?a2?12??12?dz
21 ??2?iiz?a?a2?1?2?a2?1(3)解:显然,R(z)?1?1?z?22满足分母的次数至少比分子的次数高二次,
且在实轴上没有奇点,积分是存在的。R(z)在上半平面内只有i一个奇点,
且为2级极点。于是
d?1??21 Res[R(z),i]?lim??lim?z?idz(z?i)2?z?i(z?i)34i????11?dx?2?iRes[R(z),i]?2?i? ???1?x224i2??(4)解:
???0x21??x2dx??dx 1?x42??1?x4z2显然,R(z)?满足分母的次数至少比分子的次数高二次,且在实轴上
1?z42222?i和??i没有奇点,积分是存在的。R(z)在上半平面内只有2222二个奇点,且都为1 级极点。于是
?z2?221?22?Res[R(z),?i]??3????2?2i?? 224z224??z??i??22?z2?22Res[R(z),??i]??3?22?4z?z?所以
??22?i221?22?????i?? 4?22??x21??x2?01?x4dx?2???1?x4dx
??????1122122? ??2?i???i???i???????22?2???4?2???4?2?221(5)解:显然,R(z)?2满足分母的次数至少比分子的次数高一
z?4z?5次,且在实轴上没有奇点,R(z)在上半平面内只有?2?i一个奇点,且为1 级极点。于是
?eiz?1?1Res[R(z)e,?2?i]???e(cos2?isin2) ?z?2?i2i??z??2?i????eizeizdz?2?iRes,?2?i?z2?4z?5????z2?4z?5??iz1?1e(cos2?isin2)??e?1(cos2?isin2)2i????cosxeiz?1???x2?4x?5dx?Re???z2?4z?5dz??ecos2
z(6)解:显然,R(z)?满足分母的次数至少比分子的次数高一次,21?z且在实轴上没有奇点,R(z)在上半平面内只有i一个奇点,且为1 级极点。于是
?zeiz?1?1izRes[R(z)e,i]???e ?z?i2??z?i ?2?i?
?zeiz?zeiz1?1dz?2?iRes,i?2?i?e?i?e?1 ?1?z2????1?z22????iz??zexsinx?1???1?x2dx?Im???1?z2dz??e
11.利用对数留数计算下列积分:
1解:(1)?dz?2?i(N?P)?2?i(1?0)?2?i,这里N为函数f(z)?z在
|z|?1z|z|?1内的零点数,P为f(z)?z在|z|?1内的极点数。
111dz??dz??dz (2)?|z|?3z(z?1)|z|?3z|z|?3(z?1)???2?i?(N1?P1)?2?i(N2?P2)??2?i(1?0)?2?i(1?0)?0这里N1为函数f(z)?z在|z|?3内的零点数,P1为f(z)?z在|z|?3内的极点数;N2为函数f(z)?z+1在|z|?3内的零点数,P2为f(z)?z+1在|z|?3内的极点数。
z1(z2?1)?1dz?dz??2?i(N?P)??i(2-0)?2?i,这里 (3) ?|z|?3z2?12?|z|?3z2?12N为函数f(z)?z2?1在|z|?3内的零点数,P为f(z)?z2?1在|z|?3内的极点数。
(cosz)?dz??2?i(N?P)??2?i(2-0)??4?i, (4) ?tanzdz???|z|?3|z|?3cosz这里N为函数f(z)?cosz在|z|?3内的零点数,P为f(z)?cosz在|z|?3内的极点数。
112.证明方程z4?6z?1?0有三个根在环域?|z|?2内
2证明:令f(z)?6z?1,g(z)?z4。因为当|z|?2时,有
6?|?1 1 |f(z)?||z
z|?| 16 |g(z)?|4所以,方程z4?6z?1?0与z4?0在|z|?2内根的数目相同,即4个。
1 又当|z|?时,有
2 |f(z)?||z6?|?1
1 |g(z)?|z4|?|
161所以,方程z4?6z?1?0与6z?1?0在|z|?内根的数目相同,即1个。
21 综合上述得到,z4?6z?1?0在环域?|z|?2内有3个根。
2413.讨论方程z?5z?1?0在|z|?1与1?|z|?2内各有几个根。 解:令f(z)??5z?1,g(z)?z4。因为当|z|?1时,有 |f(z)?||z5?|?1
z|?| 1 |g(z)?|4所以,方程z4?5z?1?0与?5z?1?0在|z|?1内根的数目相同,即1个。
又当|z|?2时,有
|f(z)?||z5?|?1 1z|?| 16 |g(z)?|4所以,方程z4?5z?1?0与z4?0在|z|?2内根的数目相同,即4个。
根据上述还可以得到,z4?5z?1?0在环域1?|z|?2内有3个根。 14.当|a|?e时,证明方程ez?azn?0与?azn?0在单位圆|z|?1内有n个根。
证明:令f(z)??azn,g(z)?ez。因为当|z|?1时,有
|nz?|a |f(z)?|a |sins|co|?s?i??e|?|c?oe |g(z)?|ez|?e |所以,当|a|?e时,方程ez?azn?0与?azn?0在|z|?1内根的数目相同,
即n个。
习题七答案
1.试证:若f(t)满足傅氏积分定理的条件,则有
f(t)????0A(?)cos?td?????0B(?)sin?td?
其中A(?)=1??????f(?)cos??d?,B(?)=1??????f(?)sin??d?
证明:根据付氏积分公式,有
1?????f(t)?f(?)e?i??d??ei?td????????2??????1?? ?f(?)?ei?(t??)d?d? (交换积分次序)???2?????1?? ?f(?)??cos?(t??)?isin?(t??)?d?d???2??????1?? ??f(?)?cos?(t??)d?d? (利用函数的奇偶性)???0 ? ???11
??????f(?)???????0?cos?tcos???sin?tsin???d?d????0???0??0f(?)cos??d?cos?td????01??????f(?)sin??d?sin?td? ??A(?)cos?td???B(?)sin?td?其中A(?)=??1????f(?)cos??d?,B(?)=??1????f(?)sin??d?2.求下列函数的傅氏变换:
??1, ?1?t?0,?et, t?0,?(1)f(t)??1, 0?t?1, (2)f(t)??
?0, t?0;?0, 其他;??0, t?0,?1?t2, |t|?1,(3)f(t)???t (4)f(t)??
?esin2t, t?0;?0, |t|?1.解:(1)
F???f(t)? ????f(t)e?i?tdt???e?i?tdt??e?i?tdt?100111?i?t011?e??e?i?t??1?ei??e?i??1?f(t)
?10i?i?i?2i ???1?cos?? ?(2)
F?
???f(t)? ????f(t)e?i?tdt??ete?i?tdt??e(1?i?)tdt????0??001 ??e(1?i?)t1?i?(3)
1?1?i?
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