《二次根式》培优试题及答案

《二次根式》提高测试

（一）判断题：（每小题1分，共5分）

1．2．3．

(?2)2ab＝－2ab．…………………（

（ 3－2的倒数是3＋2．

）【提示】

）【提示】

(?2)2＝|－2|＝2．【答案】×．

13?2＝＝－（3＋2）．【答案】×．

3?43?2(x?1)2＝|x－1|，(．两x?1)2＝x－1（x≥1）

(x?1)2＝(x?1)2．…（

2axb ）【提示】

式相等，必须x≥1．但等式左边x可取任何数．【答案】×． 4．

ab、

13a3b、?是同类二次根式．…（ ）【提示】

13a3b、?2axb化成最

简二次根式后再判断．【答案】√． 5．

8x，

12，9?x3都不是最简二次根式．（ ）

9?x2是最简二次根式．【答案】×．

（二）填空题：（每小题2分，共20分）

6．当x__________时，式子

1有意义．【提示】x何时有意义？x≥0．分式何时有意义？分母x?3＝_．【答案】－2a

【点评】注意除法法则和积的算术平方根性a．

不等于零．【答案】x≥0且x≠9． 7．化简－

1582

1025÷2712a3质的运用． 8．a－

2【提示】（a－a?1）（________）＝a2－a2?1的有理化因式是____________．

2【答案】a＋a?1． (a2?1)2．a＋a2?1．

9．当1＜x＜4时，|x－4|＋x?2x?1＝________________．

【提示】x2－2x＋1＝（ ）2，x－1．当1＜x＜4时，x－4，x－1是正数还是负数？ x－4是负数，x－1是正数．【答案】3．

【提示】把方程整理成ax＝b的形式后，a、b分别2（x－1）＝x＋1的解是____________．是多少？2?1，2?1．【答案】x＝3＋22．

ab?c2d22211．已知a、b、c为正数，d为负数，化简＝______．【提示】cd＝|cd|＝－cd．

ab?c2d22【答案】ab＋cd．【点评】∵ ab＝(ab)（ab＞0），∴ ab－c2d2＝（ab?cd）（ab?cd）．

1112．比较大小：－_________－．【提示】27＝28，43＝48．

4327111【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较，的大小，最后比较－

2848281与－的大小．

4813．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 10．方程

【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若【点评】

【答案】40． x?1＋y?3＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．

2x?1≥0，y?3≥0．当x?1＋y?3＝0时，x＋1＝0，y－3＝0．

11的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．

1

15．x，y分别为8－

11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5

之间，则其整数部分x＝？小数部分y＝？[x＝4，y＝4－11]【答案】5．

【提示】∵ 3＜

_______＜8－

【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）

16．已知x?3x＝－xx?3，则………………（ ）

（A）x≤0 （B）x≤－3 （C）x≥－3 （D）－3≤x≤0【答案】D． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A）、（C）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x＜y＜0，则

3211＜4，∴

x2?2xy?y2＋

x2?2xy?y2＝………………………（ ）

（A）2x （B）2y （C）－2x （D）－2y 【提示】∵ x＜y＜0，∴ x－y＜0，x＋y＜0．

∴

x2?2xy?y2＝

＝

(x?y)2＝|x－y|＝y－x．

x2?2xy?y2(x?y)2＝|x＋y|＝－x－y．【答案】C． ＝|a|．

）

【点评】本题考查二次根式的性质18．若0＜x＜1，则

a211(x?)2?4－(x?)2?4等于………………………（

xx22（A） （B）－ （C）－2x （D）2x

xx1111【提示】(x－)2＋4＝(x＋)2，(x＋)2－4＝(x－)2．又∵ 0＜x＜1，

xxxx11∴ x＋＞0，x－＜0．【答案】D．

xxx－

【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x＜1时，

1x＜0．

19．化简

（A）【提示】

?a3(a＜0)得………………………………………………………………（ a?a （B）－a （C）－?a （D）a

）

【答案】C． ?a?a2＝?a·a2＝|a|?a＝－a?a．

20．当a＜0，b＜0时，－a＋2ab－b可变形为………………………………………（ ）

2222（A）(a?b) （B）－(a?b) （C）(?a??b) （D）(?a??b)

＝

【提示】∵ a＜0，b＜0，

∴ －a＞0，－b＞0．并且－a＝(?a3?a)2，－b＝(?b)2，ab＝(?a)(?b)．

、（B）不a)2＝a（a≥0）和完全平方公式．注意（A）

【答案】C．【点评】本题考查逆向运用公式(正确是因为a＜0，b＜0时，a、b都没有意义．

（四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）

21．9x2－5y2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y2＝(【答案】（3x＋5y）（3x－5y）． 5y)2．

22．4x4－4x2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(（五）计算题：（每小题6分，共24分）

（5?3?2）； 5?3?2）

【提示】将5?3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．

2【解】原式＝(5?3)2－(2)＝5－215＋3－2＝6－215． 23．（

2

2x＋1)2(2x－1)2．

24．

54?113?75(4?11)4(11?7)2(3?7)【解】原式＝－－＝4＋11－11－7－3＋7＝1．

11?79?716?11nmnabn25．（a2－）÷a2b2； mn＋

mnmmm【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a2

－

411?7－

2；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．

26．（

1mm）·22

abnn11nnmmmm＝2?－mn?＋? 22bmnmabnmabnn111a2?ab?1＝2－＋22＝． 22ababbababa?bb?ab）÷（＋－）（a≠b）． a＋

ab?bab?aaba?b－

nmabmmn＋

nm【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝

a?ab?b?abaa(a?b)?bb(a?b)?(a?b)(a?b)÷

a?bab(a?b)(a?b)a?ba?ba?ba?b÷

＝

a2?aab?bab?b2?a2?b2ab(a?b)(a?b)ab(a?b)(a?b)?ab(a?b)＝－

＝·a?b．

【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）

27．已知x＝

x3?xy23?23?2，y＝，求4的值． 3223xy?2xy?xy3?23?2【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x＝

∴

3?22＝(3?2)＝5＋26，

3?23?22y＝＝(3?2)＝5－26．

3?2x＋y＝10，x－y＝46，xy＝52－(26)2＝1．

＝

x3?xy2x4y?2x3y2?x2y3x(x?y)(x?y)x?y4626． ＝＝＝

x2y(x?y)2xy(x?y)1?105【点评】本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过

程更简捷． 28．当x＝1－

2时，求

xx?a?xx?a2222＋

2x?x2?a2x?xx?a－x），x2－x

222＋

1x?a22的值．

【提示】注意：x2＋a2＝(∴ x2＋a2－x

x2?a2)2，

＝

x2?a2x2?a2（x2?a23

x2?a2＝－x（

x2?a2－x）．

【解】原式＝

xx?a(x?a?x)2222－

2x?x2?a2x(x?a?x)

22＋

1x?a22

＝

x2?x2?a2(2x?x2?a2)?x(x2?a2?x)xx?a(x?a?x)2222222222222222222222＝x?2xx?a?(x?a)?xx?a?x=(x?a)?xx?a＝x?a(x?a?x)

xx2?a2(x2?a2?x)xx2?a2(x2?a2?x)xx2?a2(x2?a2?x)＝

1x．当x＝1－

2时，原式＝

11?2＝－1－

【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分2．

式”之差，那么化简会更简便．即原式＝

22x22x?a(x?a?x)11111＝(?)＋?)－(2x?a2?xxx2?a2x2?a2?xx2?a2七、解答题：（每小题8分，共16分）

29．计算（2

（5＋1）

22－2x?x?a＋x(x2?a2?x)1x?a22

＝

1． x111＋＋

1?22?33?4＋…＋

1）．

99?100【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（2

2?13?24?3100?99＋＋＋…＋）

2?13?24?3100?99＝（25＋1）[（2?1）＋（3?2）＋（4?3）＋…＋（100?99）] ＝（25＋1）（100?1） ＝9（25＋1）．

（5＋1）

【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为

整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x，y为实数，且y＝

1?4x＋4x?1＋

12．求

xy?2?yx－

xy?2?yx的值．

1?x???1?4x?0?4] 【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？[?]你能求出x，y的值吗？[?14x?1?0.??y?.?2?1?x???1?4x?0111?4【解】要使y有意义，必须[?，即?∴ x＝．当x＝时，y＝．

442?4x?1?0?x?1.?4?又∵

xxyxy??2?－?2?＝(yyxyx＝|x?y|－|

yxy2－xy2

)(?)xyxxy|∵ x＝1，y＝1，∴ x＜y．

?42yxyx∴ 原式＝

x?yy－y?xxx＝2x当x＝1，y＝1时，

42yy1原式＝24＝

122．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，进而求出y的值．

4

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