人教a版必修5学案：3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

材拓展

1．二元一次不等式(组)表示平面区域

(1)直角坐标平面内的一条直线Ax＋By＋C＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．

(2)若点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0的同侧(或异侧)，则Ax1＋By1

＋C与Ax2＋By2＋C同号(或异号)．

(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．

2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法

(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点．当C＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．

3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法

先证一个结论

已知点P(x1，y1)不在直线l：Ax＋By＋C＝0 (B≠0)上，证明： (1)P在l上方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)>0； (2)P在l下方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)<0. 证明 (1)∵B≠0，

AC

∴直线方程化为y＝－x－，

BB

∵P(x1，y1)在直线上方，

∴对同一个横坐标x1，直线上点的纵坐标小于y1，

AC

即y1>－x1－.(*)

BB

∵B2>0，

∴两端乘以B2，(*)等价于B2y1>(－Ax1－C)B， 即B(Ax1＋By1＋C)>0.

(2)同理，由点P在l下方，

AC

可得y1<－x1－，从而得B2y1<(－Ax1－C)B，

BB

移项整理为B(Ax1＋By1＋C)<0. ∵上述解答过程可逆，

∴P在l上方?B(Ax1＋By1＋C)>0， P在l下方?B(Ax1＋By1＋C)<0. 从而得出下列结论：

(1)B>0时，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的平面区域(不包括直线)．

(2)B<0时，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域(不包括直

线)．

(3)B＝0且A>0时，Ax＋C>0表示直线Ax＋C＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax＋C<0表示直线Ax＋C＝0左方的平面区域(不包括直线)．

(4)B＝0且A<0时，Ax＋C>0表示直线Ax＋C＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax＋C<0表示直线Ax＋C＝0右方的平面区域(不包括直线)．

法突破

一、二元一次不等式组表示的平面区域

方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．

例1 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )

A．2 B．1 11C. D. 24解析

答案 B

二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)

方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax＋By＋C＝0，根据代数式Ax＋By＋C的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．

例2 如图所示，四条直线x＋y－2＝0，x－y－1＝0，x＋2y＋2＝0,3x－y＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．

解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x＋y－2＝0的同侧，把(0,0)代入到x＋y－2，得0＋0－2<0，所以直线x＋y－2＝0对应的不等式为x＋y－2<0，

同理可得到其他三个相应的不等式为x＋2y＋2>0,3x－y＋3>0，x－y－1<0， 则可得所求不等式组为

三、和平面区域有关的非线性问题

方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．

y－b

若目标函数为形如z＝，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率．

x－a

若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P(x，y)满足

点Q(x，y)在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最大值与最小值

为( )

A．6,3 解析

B．6,2

C．5,3

D．5,2

可行域如图阴影部分，设|PQ|＝d，则由图中圆心C(－2，－2)到直线4x＋3y－1＝0的距离最小，则到点A距离最大．

由得(－2,3)． ∴dmax＝|CA|＋1＝5＋1＝6，

|－8－6－1|dmin＝－1＝2.

5

答案 B

四、简单的线性规划问题

方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将

azz

函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z

bbb

的最值．

例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工

作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？

解 依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌， 那么利润p＝15x＋20y.

x＋y≤x≥0，x∈N*y≥0，y∈N* . 其中x，y满足限制条件{4x＋8y≤

即点(x，y)的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x＋8y＝8 000(即AB)，2x＋y＝1 300(即BC)，x＝0(即OA)和y＝0(即OC)．

对于某一个确定的p＝p0满足p0＝15x＋20y，且点(x，y)属于阴影部分的解x，y就是一个能获得p0元利润的生产方案．

3

对于不同的p，p＝15x＋20y表示一组斜率为－的平行线，且p越大，相应的直线位置

4

越高；p越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p的最大值，需把直线p＝15x＋20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，当直线通过B点时，处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值．

x＋y＝1 300 ，得B(200,900)， 由{4x＋8y＝8 00

当x＝200，y＝900时，p取最大值， 即pmax＝15×200＋20×900＝21 000，

即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．

区突破

1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．

[错解]

41

把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.

33

根据条件画出图形如图所示，

41

当动直线y＝x－z通过点C时，z取最大值；

3341

当动直线y＝x－z通过点B时，z取最小值．

33

∴zmin＝4×(－1)－3×(－6)＝14； zmax＝4×(－3)－3×2＝－18.

4111

[点拨] 直线y＝x－z的截距是－z，当截距－z最大即过点C时，目标函数值z最

3333

1

小；而当截距－z最小即过点B时，目标函数值z最大．此处容易出错．

3

41

[正解] 把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.

33

41

当动直线y＝x－z通过点B时，z取最大值；

3341

当动直线y＝x－z通过点C时，z取最小值．

33

∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14； zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.

2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x，y满足条件

求S＝5x＋4y的最大值．

[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线

923?1，时，S＝5x＋4y取最大值，Smax＝18 . 5x＋4y＝S过点A??510?5

因为x、y为整数，所以当直线5x＋4y＝t平行移动时，从点A起通过的可行域中的整点是C(1,2)，此时Smax＝13.

[点拨] 上述错误是把C(1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B(2,1)，此时S＝14才是最大值．

[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B(2，1)也是可行域内的整点，由此得SB＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故Smax＝14.

温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.

题多解

例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件

和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )

A．5种 B．6种 C．7种 D．8种

解析 方法一 由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．

方法二 先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.

方法三 设购买软件x片，磁盘y盒．

则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．

落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．

答案 C

题赏析

1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0， 且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是( )

A．14 B．16 C．17 D．19

解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.

答案 B 2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )

A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] 解析

x－y≤2 ，目标函数zD．(－2,4)

a

作出可行域如图所示，直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－

2

<2，

即－4

赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/94o3.html