概率论习题册答案中国地质大学

概率论习题册答案

第一章 随机事件及其概率

§1.1 样本空间与随机事件

一、

计算下列各题

1.写出下列随机实验样本空间：

(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；

(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；

(4) 有A,B,C三只盒子，a,b,c三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；

(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解 1（1）{3,4,5,?,18}； （2）{3,4,5,?,10}；

}；其中R,W,B分别表示红色，白色和蓝色； （3）{R,W,B,RW,RB,WB,RWB（4）{Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Bb,Ca,Ac,Ba,Cb}其中Aa表示a求放在盒子A中，可类推；

（5）{(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1}其中x,y,z分别表示三段之长。 2. 设A,B,C为三事件，用A,B,C运算关系表示下列事件：

（1）A发生,B和C不发生； （2）A与B都发生, 而C不发生； （3）A,B,C均发生； （4）A,B,C至少一个不发生； （5）A,B,C都不发生； （6）A,B,C最多一个发生； （7）A,B,C中不多于二个发生； （8）A,B,C中至少二个发生。 解 （1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）A?B?C；（5）ABC； （6）ABC?ABC?ABC?ABC；（7）ABC；（8）AB?AC?BC

3．下面各式说明什么包含关系？

(1) AB?A ； (2) A?B?A； (3) A?B?C?A 解 （1）A?B； （2）A?B； （3）A?B?C

4. 设??{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A?{2,3,4}, B?{3,4,5}, C?{5,6,7}具体写出下列各事件： (1) AB， (2) A?B， (3) A B， (4) ABC， (5)A(B?C). 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；

(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。

5．如下图，令Ai表示“第i个开关闭合”, i?1,2,3,4,5,6，试用A1, A2, ?,A6表示下列事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。

系统Ⅰ 系统 Ⅱ

1 5 2 3 1 2 3 4 L1 4 R1 L2 6 R2

解 (1) A1?A2A3?A4 (2) A1A5?A1A2A3A4?A6A3A4?A6A2A5。

§1.2 事件的频率与概率

一．填空题

1．设事件A,B的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB的概率P(AB)? 0 ； 2．设随机事件A,B及其和事件A?B的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B表示B对立事件，那么积事件AB 的概率P(AB)? 0.3 ；

3. 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3,

(1) 当A,B互不相容时, P(A+B)== 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当B+A时, P(A+B)== 0.4 ; P(AB)= 0.3 ； 4. 若P(A)??,P(B)??,P(AB)??,P(A?B)?1-g;P(AB)?b-g;

P(A?B)=

1????。

二、选择题

1. 若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则（C） （A）A和B不相容； （B）AB是不可能事件； （C）AB未必是不可能事件； （D）P(A)=0或P(B)=0. 2. 对于任意二事件A和B有P(A?B)? (C ) (A) P(A)?P(B); （B）P(A)?P(B)?P(AB); （C）P(A)?P(AB); （D）P(A)?P(B)?P(B)?P(AB).

3. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D） (A) A与B不相容; (B)A与B相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A). 4. 当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）

(A)P(C)?P(A)?P(B)?1;(B)P(C)?P(A)?P(B)?1;

(C)P(C)?P(AB); (D)P(C)?P(A?B).三、计算下列各题

1. 已知P(A)?P(B)?P(C)?生的概率。

解P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?31?3 ?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?1??????48?8

11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?，求事件A,B,C全不发4162 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。

解 设A，B，C分别表示读甲，乙，丙报纸

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?0.2?0.16?0.14?0.08?0.05?0.04?0.02?0.35

3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？

解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70

即该学生这门课结业的可能性为70%。

4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。

解 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸这个事件，则

P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.

四、证明题

?P（A）?P（B）?2P（AB）试证P（AB?AB）.

证 P（AB?AB）?P（AB)?P(AB)?P(ABAB)?P(A?B)?P(B?A) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB) 。

§1.3 古典概型与几何概型

一、填空题

1．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为

1 ； 122．一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个，其中恰有个m个次品的概

mn?mnCn率是 CM?M/CN ；

3．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ；

4．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于

6 ”的概率为 0.68 ； 55. 将C、C、E、E、I、N、S七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 1/1260 ；

6.在区间?0,1?中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于二、选择题

13的概率为。 241. n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率

是（B）

1k?1Cnk?mCmCnm?m (A) k; (B) 1?k; (C) ; (D) kCnCnCnrCm. ?kCr?1nk2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B）

） （A1113; B ( () C) ; ; ( D). 3244三、计算下列各题

1．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。

解 （1） p1?C822C1028?; (2)452C21p2?2?

C1045 (3)11C8C216144p3??; (4) p?1?p?1??. 422454545C102. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 所求概率p?6!?5!1?. 10!42 3. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？

解 (1)1?1?p1?8???;

7?7?68?6?p2?8???; (3)7?7?88 (2)1?1?p3?1?8?1???。

7?7?84．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求： （1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p； （2）取的至少有3个电话号码相同的概率q。 解 (1)p?12C10C4A92104?0.432；

111C1C3A04?9C10?0.0 37 (2)q?410

5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p。

解 可以认为一批100个产品中有5个次品,

505149基本事件总数?C100, 有利的基本事件数?C95?C5C955149C95?C5C95所求概率 p?50C100 。

6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p（2）3名优秀生在同一个班的概率q。

解 基本事件总数有

15！种 5！ 5！ 5！(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分3！ 12！12！3！ 12！ 4！ 4！?25. 法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =4！15！914！ 4！ 4！4！ 4！ 4！5！ 5！ 5！ (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中

3?12！3?12！12！！ 5！ 5！?6。 分法总数为, 共有种, 所以 q =215！912！ 5！ 5！2！ 5！ 5！5！ 5！ 5！7. 随机的向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与X轴的夹角小于

1解 这是几何概型, 样本空间占有面积为? a2,

2?的概率。 411所求事件占有面积为? a2?a2

4211? a2?a2112所以, 所求概率p?4??。

12?? a228. 设点(p,q)随机地落在平面区域D: |p|≤1, |q|≤1上, 试求一元二次方程

x2?px?q?0两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。

解 (1) 方程两根都是实数?p2?4q?0, 即 q?12p,4

12(p?1)dp??1413 方程两根都是实数的概率??.4241(2) 方程两根都是正数?p2?4q?0, p?0, q?0,012??14pdp1

方程两根都是正数的概率??.448

§1.4 条件概率

三、计算下列各题

1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。

解 令A?“任取一件是合格品，B”?“任取一件是一等 品 P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.04)?0.75?0.72。

2. 设某种动物由出生而活到20岁的概率为 0.8，活到25岁的概率为0.4，求年龄为20 岁的这种动物活到25岁的概率。

解 设A? “该动物活到20岁”，B?“该动物活到25岁” P(B|A)?P(AB)0.4??0.5。 P(A)0.83. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。

解 Ai=“第i次取到正品” i =1，2，3，4.

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

4. 比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6和0.4，若比赛进行了两局，甲以2︰0领先，求最终甲为胜利者的概率。

解 设 B=“最终甲胜”，Ai=“第i局甲胜”

?109890????0.00069100999897P(B|A1A2)?

P(BA1A2)P(A1A2A3)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4A5)?P(A1A2)P(A1)P(A2)33320.6?0.6?0.4?0.6?0.4 ? ?0.9360.62四、证明题

1. 若P(A)?0,P(B)?0，且P(A|B)?P(A)证明P(B|A)?P(B)。

P(AB) ?P(A)?P(AB)?P(A)P(B) 证 因为 P(A|B)?P(A), 则P(B)所以 P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B) 。 P(A)P(A)2. 证明事件A与B互不相容，且0

1?P（B）P(AB)P(A)。 ?1?P(B)P(B)

§1.5 全概率公式和贝叶斯公式

三、 计算下列各题

1. 三个箱子, 第一个箱子里有4个黑球1个白球, 第二个箱子里有3个黑球3个白球, 第三个箱子里有3个黑球5个白球, 求（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为白球的概率; （2）已知取出的一个球为白球, 此球属于第二个箱子的概率。

解 Ai =“在第i箱取球” i=1，2，3，B=“取出一球为白球”

11131553 (1)P(B)??P(Ai)P(B|Ai)???????353638120i?1311?P(A2)P(B|A2)3220 (2)P(A2|B)???53P(B)531202. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率。

解 设A=｛取得的产品为正品｝， Bi,i?1,2,3分别为甲、乙、丙三厂的产品

P(B1)=0.5 ，P(B2)=0.3，P(B3)=0.2，P(A|B1)?0 .9 ，P(A|B2)?0 .8 ,P(A|B3)?0.7

??P?Bi?P?ABi??0.83。 所以 P（A）i?133. 一群人中有37.5 %的为A型血型，20.9 %为B型，7.9 %为 AB型，33.7 %为 O型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血者，问输血者能成功的概率是多少？

输血者 A型 受血者 B型 × √ √ × AB型 √ √ √ × O型 √ √ √ √ A型 B型 AB型 O型 √ × × √ 解 设A=｛输血成功｝ Bi,i=1,2,3,4分别表示A,B,AB,O型血型

则P(B1)=0.375 P(B2)=0.209 P(B3)=0.079 P(B4)=0.337

P(A|B1)= P(B1)+P(B4)=0.712

同理可求出 P(A|B2)=0.288， P(A|B3)=0.663， P(A|B4)=1

（A）=则 P?P(B)?P(AB)i=1ii40.717。

4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解 B=｛从人群中任取一人是男性｝， A=｛色盲患者｝

因为 P（B）?PB?0.5 P(A|B) ?5% ， P(A|B) ?0.25% P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.5?0.05?0.5?0.0025?0.02625 所以 P(B|A) ?P(B)P(A|B)0.5?0.0520??。

P(A)0.0262521??5. 某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是A,B,C车间生产的概率。

解 A、B、C分别表示A、B、C三车间生产的螺钉，D=“表示次品螺钉”

P（A）?25% P（B）?35% P（C）?45%

P（D|A）?5% P（D|B）?4% P（D|C）?2%

P?AD??P?A?P?DA?P?D?

25?5?25

25?5?35?4?40?269=

P?A?P?DA??P?B?P?DB??P?C?P?DC?P?A?P?DA?=

同理 P（B|D）=28 ； P（C|D）=16。

69696. 某高校甲系二年级一、二、三班学生人数分别为16人，25人和25人，其中参加义务献血的人数分别为12人，15人和20人，从这三个班中随机地抽取一个班，再从该班学生中任取2人.（1）求第一次取的是已献血的学生的概率p. （2）如果第二次抽到的是未参加献血的学生，求第一次取的是已献血的学生的概率q.

解 设Ai?\抽取的学生是i班的\, i?1,2,3, Bj?\第j次抽到未献血的\, j?1,2,1121则 P(Ai)?, i?1,2,3. P(B1|A1)?, P(B1|A2)?, P(B1|A3)?,3455133443(1) p?P(B1)??P(Ai)P(Bi|Ai)?(??)?.345560i?11211241(2) P(B2|A1)?, P(B2|A2)?, P(B2|A3)?, P(B1B2|A1)???,45516155151012051 P(B1B2|A2)???, P(B1B2|A3)???,2524425246

3111137P(B1B2)??P(Ai)P(B1B2|Ai)?(??)?.

3546180i?1 P(B2)??P(Ai)P(B2|Ai)?i?133112117(??)?. 345560

所以 q?P(B1|B2)?P(B1B2)37?。

P(B2)51

§1.6 事件的独立性

三、计算下列各题

1. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率。

解 A表示一个灯泡使用时数在1000小时以上

P（A）?0.2

P｛三灯泡中最多有一个坏｝=P｛三个全好｝+P｛只有一个坏｝

32= C3(0.2)3+C3(0.2)2(1–0.2)=0.104。

2. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为的命中率。

80, 求该射手81802?1?解 ?1?P(命中 0 次）?1?（1?p)4, (1?p)4????p?。

813?3?3. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？

解 设需要配置n门高射炮

?0.6 ， 则 P（A）A=“高炮击中飞机”

4P｛飞机被击中｝=P｛n门高射炮中至少有一门击中｝

=1–P｛n门高射炮全不命中｝ 1?(1?P|A|)n?1?0.4n?99% ?0.4n?0.01?n? 至少配备6门炮。

4. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率。

解 设A=｛目标一次射击中被击毁｝Bi=｛目标被击中的发数｝，（i?0，1，2，3，）

则P(B0)?0.8?0.7?0.5?0.28

P(B1)=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47

lg0?01?5?026 lg0?4P(B2)=0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22 P(B3)=0.2×0.3×0.5=0.03

P(A|B0)?0 P(A|B1)?0.2 P(A|B2)?0 .6 P(A|B3)?0.9

所以 P(A)??P?Bi?P?ABi??0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253。

i?035. . 掷一枚均匀硬币，直到出现3次正面朝上为止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率.

解 A=“正好在第6次后停止”，B=“第5次也正面朝上”.

11311?()??P(AB)2222?0.4 P(B|A)??111P(A)C52?()2?()3?2221C4?四、证明题

设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1, 证明,P(B|A)?P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件。

于和1，证 因为A的概率不等于0和1,所以A的概率不等0

P(AB)PAB()?P(A)PA() ?[1?P(A)]P(AB)?P(A)[P(B)?P(AB)]

P(B|A)?PB(A|?) ?P(AB)?P(A)P(B),即A和B独立.第二章 随机变量及其函数的概率分布

§2.1 随机变量与分布函数

§2.2 离散型随机变量及其概率分布

三、 计算下列各题

1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X表示取出5个球的最大号码，试求X的分布列。

解 X的可能取值为5，6，7，8，9，10 且P(X?k)? 所以X的分布列为

X P 5 6 7 8 9 10 Ck4?15C10, k?5,6,7,8,9,10

115555 2841825225236312. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第

44X次首次测到正品，试求X的分布列。

?1?解 X的取值为1，2，3，… 且 P(X?k)????4?k?1?33?, k?1,2,3,?. 44k 此即为X的分布列。

3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X为取出的球的号码，试求X的分布列及分布函数。 解 X的分布列为

X P 1 2 3 111 263?0, x?1?1?, 1?x?2?6 由分布函数的计算公式得X的分布函数为 F(x)??

2?, 2?x?3?3?1, x?3?4. 设随机变量X的分布律为P(X?k)?k k?1,2,3,4,5。 1515 求 (1) P(?X?), (2) P(1?x?3), (3) P(X?3).

2215121 解 (1) P(?X?)?P(X?1)?P(X?2)???,

2215155(2) P(1?x?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?1232???,1515155

453(3) P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)??? .15155

?k5. （1）设随机变量X的分布律为P(X?k)?a k?1,2,?; ??0为常数，试

k!确定a。（2）设随机变量Y只取正整数值N，且P(Y?N)与N2成反比，求Y的分布律。 解 （1）因为

?P(X?k)?1,及?k?1k?1???kk!?e??1, ??0，所以a?1. ?e?1（2）令P(Y?N)?ak6类似上题可得 。 N?1,2,?; k?N2?2所以Y的分布律为 P(Y?N)?6,?2N2N?1,2,?

6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X的概率分布

解 X=0, 1, 2, 3, Ai=“汽车在第i个路口遇到红灯.”，i=1，2，3.

P(X?0)?P(A1)=

111, P(X?1)=P（A1A2）?2? 242P(X?2)P（A1A2A3）?1111P(X?3)，=?P（AAA）?? 123238238X P 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/8

为所求概率分布

7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X的概率分布律. 解 设 Ai?\第i次出现6点\, P(Ai)?11, i?1,2,?,361111所以 X的概率分布为 P(X?k)?P(A1A2?Ak?1Ak)?(1?)k?1?, k?1,2,?3636

四、证明题

试证明： 设F1(x)和F2(x)都是分布函数，又a?0, b?0, 是两个常数，且a?b?1，F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是分布函数.

（（?0?F1x)?1, 0?aF1x)?a 解（）因为1 ??0?aF（（1x)?bF2x)?a?b?1;

（0?bF（?0?F2x)?1,2x)?b（（?aF1x1)?aF1x2) (2) ?x1?x2, 有?（（?bF2x1)?bF2x2) ?F(x1)?aF（（（（1x1)?bF2x1)?aF2x2)?bF1x2)?F(x2),所以F(x)是不减函数. （3） limF(x)?lim?aF（（（（1x)?bF2x)??alimF1x)?blimF2x)?a?b?1x???x???x???x??? limF(x)?lim?aF（（（（1x)?bF2x)??alimF1x)?blimF2x)?a?0?b?0?0x???x???x???x???

(4)F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)由于F(x)满足分布函数的四个性质，所以F(x)是分布函数.

§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数

三、计算下列各题

?x, 0?x?1?1. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??2?x, 1?x?2；求X的分布函数。

?0, 其它?解 F(x)??x???0, x?0?2?x, 0?x?1?f(x)dx ， F(x)??2 2?2x?x?1, 1?x?2?2??1, x?2?1?(1?x)e?x, x?02. 设随机变量X的分布函数为F(x)??；求(1) P(X?1); (2) X?0, x?0的密度函数。

解 (1) P(X?1)?F(??)?F(1)?1?(1?2e?1)?2e?1;

?xe?x, x ?0 (2) f(x)?F?(x)??

? 0?0, x?4x3, 0?x?13. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??；

0, 其它?（1） 求常数a，使P(X?a)?P(X?a)； （2）求常数b，使P(X?b)?0.05。 解 （1）因为 P(X?a)?P(X?a)，所以1?P(X?a)?P(X?a),故

P(X?a)??4x3dx?a4?0a11,所以a?4。 2219,20（2） 因为 P(X?b)?0.05,1?P(X?b)?0.05,P(X?b)?b4?4 所以b?

19,即b?40.95?0.9872 204. 在半径为R，球心为O的球内任取一点P，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。

解 当0?x?R时，设OP?x，则点P落到以O为球心，x为半径的球面上时，它到O点的距离均为x，因此

P(X?x)?VOPVOR?0, x?043?33?x??x??x?3所以，X的分布函数为F(x)????, 0?x?R ????，

43?R???R??R3?1, x?R??3x2, 0?x?R? X的密度函数为 f(x)?F?(x)??R3?0, x?0,x?R?5. 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,–∞

(2) P (–1

1???A?A?B?0??F(??)?0???22 1） ?????, 解 （1F(??)?1???A?B?1?B????2??11111 (2) P(?1?x?1)?F(1)?F(?1)?(?arctan1)?(?arctan(?1))?,2?2?2

1 (3) f(x)?F?(x)?,???x????(1?x2) 0?x?1?2x，6. 设随机变量X的概率密度为f（x）, 以Y表示对X进行三次独立观??0, 其它?察中{X≤

1}出现的次数,求概率P(Y=2). 211 111解 p = P (X≤)=?2f（x）dx??22xdx?, 由已知 Y~B(3, )

?? 042492123所以 P（Y?2） ?C（）?344647. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从N(50,100)；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从N(60,16)，问

（1） 要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？ （2） 要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？ 解 （1）因为 P(X1?70)??(70?5070?60)?0.9772,P(X2?70)??()?0.9938. 104所以走第二条。 （2）类似的走第一条。

§2.4 随机变量函数的分布

三、计算下列各题

1. 设随机变量X的分布律如下，求Y?X2?1的分布律。

X Pi -2 1 5 -1 1 6 0 1 5 1 1 15 2 11 30解

Y 1 2 5 Pi 1 5 7 30 17 302. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求(1) Y?eX; (2) Z??2lnX的密度函数。 解 X的密度函数为 f(x)???1, 0?x?1

?0, x?0,x?1lnxX（1）

设Y?e，则有 FY(x)?P(Y?x)?P(e?x)?P(X?lnx)?X???fX(t)dt。

所以 fY(x)?1fX(lnx)，因此当x?1及x?e时，由fX(x)?0知fY(x)?0； x?11?, 1?x?e当0?x?e时，由fX(x)?1知fY(x)?，所以所求密度函数为fY(x)??x

x?0, x?1,x?e?x?1?2?e, x?0（2） 类似的可得：fZ(x)??2

?0, x?0?3. 设X~N(0,1)，求(1) Y?eX; (2) W?|X|的密度函数。

12??x22解 （1）X的密度函数为 fX(x)?Xe (???x???)， Y?eX的分布函数为

lnyFY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)?? FY(y)?0 , y ?0

??fX(t)dt, y?0

?1?(Iny)1e2., y?0?X 所以 Y?e的密度函数为 fY(y)??2? y?0, y?0?（2） W?|X|的分布函数为 FW(y)?P(W?y)?P(|X|?y) ?P(?y?X?y)?212?y?y?e?t22dt?2?y?e0?t22dt y?0

FW(y)?0 , y ?0

?2?y2?e2, y?0 所以 W?|X|的密度函数为 fW(y)???

?0, y?0??2x?, 0?x??4. 设随机变量X的概率密度为f(x)???2；求Y?sinX的概率密度。

?0, 其它?解 当0?y?1时，FY(y)?P(Y?y)?P(sinx?y)

?P(0?X?arcsiny)?P(??arcsiny?X??)

arcsiny??02x??2dx???arcsiny?2x?2dx?2arcsiny?2,

2?, 0 ? y?1?2 所以 fY(y)???1?y

? 0,y?1?0, y ?5. 若球的直径D的测量值在[a,b]上均匀分布，求球的体积V的概率密度。 ?1, a?d?b1?解 fD(d)??b?a , V??D3,6?0, 其它????16v???FD?36v?, FV(v)?P(?D3?v)?P?D?3?????6?????1??1?2?3?2?a3?b33?6v??6v????3???b?a?9??v, 6?v?6所以 fV(v)?fD?3??????????????0, 其它a26. 将长度为2a的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的

2概率。

解 长为2a的直线分成 X, 2a?X 两部分,X 在[0,2a]上均匀分布?1?, 0?x?2a fX(x)??2a , 面积 Y?X(2a?X)?0, 其它??? ?a2a2?22?P(0?Y?)?P?0?X(2a?X)??P?\0?X?a?a\ ? \a?a?X?2a\?????22?22???1??a?2a?a?22a?22??2a??1??2? ?四、证明题

1. 设X是取正值的随机变量，若lnX~N(?,?2),试证X 的密度函数为 ?1?1?exp?(lnx??)2?,x?0?2? p(x)???x2?, 这 称为对数正态分. 布?2???0, x ?0?证 Y?lnX~N(?,?2),X?eY,x??ey,x?0,所以X的密度为

?1?1?1?exp(lnx??)2?,x?0f(lnx),x?0?Y?2? p(x)?? ???x2??2??x??0, x ? ? 0 0?0, x?2. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布, 证明Y?1?e?2x在区间(0,1)服从均匀分布。

?2e?2x， x ?0证 X服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为 f（ ??Xx） 0 ?0, x ? Y?1?e?2x, y??2e?2x?0, 函数y单调可导,其反函数为 x??ln（1?y）?1, 0?y?111?|??ln（1?y））|(?ln（1?y）

220, 其它?12?f（由公式 f（Yy）X?所以 Y?1?e?2x在区间(0,1)服从均匀分布。

第三章 多维随机变量及其分布

§3.1 二维随机变量的概率分布

三、计算下列各题

0?x?1，0?y?1?4xy，??1. 已知随机变量X和Y的联合密度为f（x，y）, 求X和Y的0， 其它?联合分布函数F(x,y)。

解 因为 F?X,Y???x?????yf(x,y)dxdy

(1)x?0或y?0时，由f(x,y)?0,得F(x,y)?0(2) 0?x?1， 0?y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?x2y200xy(3) x?1, 0?y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?y2001y(4) 0?x?1, y?1时, F(x,y)??dx?4xydy?x200x1

(5) x?1, y?1时, F(x,y)?1 x?0或y?0?0, ?220?x?1， 0?y?1?xy, ?所以 F(x,y)??y2, x?1, 0?y?1

?20?x?1, y?1?x, ?1, x?1, y?1?

2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以X和Y分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X和Y的概率分布律。

1111C10C9C2C4510 解. P(X?0,Y?0)?11?, P(X?1,Y?0)?110?,. 166C12C1166C12C111111C10C2C2C101 P(X?0,Y?1)?11?, P(X?1,Y?1)?111?C12C1166C12C1166

?2g(x2?y2)?, 0?x,y?????3. 给定非负函数g(x),它满足?g(x)dx?1,又设f(x,y)???x2?y2,

0???0, 其它问f(x,y)是否是随机变量X和Y的联合概率密度?说明理由。

解 f(x,y)是X和Y的联合概率密度只要满足f(x,y)≥0与

??????????f(x,y)dxdy?1

由于0?x,y??, x2?y2?0, g(x)非负, 所以g(x2?y2)?0, 故f(x,y)?0,

??????????f(x,y)dxdy?????????2g(x2?y2)???x2?y2dxdy?2???20d????0g(r)rdr?1 r所以f(x,y)是随机变量X和Y的联合概率密度。

4. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为（fx，y）????k?6?x?y?, 0?x?2,2?y?4，求：

??0, 其它（1）系数k； （2）P?X?1,Y?3?； （3）P?X?1.5?； （4）P?X?Y?4?。

1f(x,y)dxdy?dyk(6?x?y)dx?8k?1?k?. ???????2?083113（2）P?X?1,Y?3???dy?(6?x?y)dx?.

208841.5127(6?x?y)dx?. （3）P?X?1.5???dy?2083244?y12(6?x?y)dx?. （4）P?X?Y?4?=P?X?1.5???dy?2083解：（1） ????42??a(1?x2?y2), x2?y2?1??5. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为f（x，y）, ??0, 其它1求 (1) 系数a, (2) 概率P（X2?Y2?）。

4解 (1) ??????????f(x,y)dxdy??d??a(1?r)rdr?0022?1?a3?1?a?.3?1201 (2) P(X?Y?)?42??2f(x,y)dxdy??d??1402?X?Y2?31(1?r)rdr ?.?2

（X,Y） （1，2） （1，4） （3，2） （3，4） P(X?x,Y?y) 0.18 0.12 0.42 0.28

X?Y X?Y 3 5 5 7 –1 –3 1 –1 57?1??3??3?1??W?X?Y所以 Z?X?Y的分布律为?,的分布律为?0.180.540.28??0.120.460.42??

????2. 设X,Y独立, X~N(?,?2),Y在[??，?]服从均匀分布, Z?X?Y，求Z的概率密度.(用标准正态分布函数?(x)表示)。

解 由已知X的密度函数为 fX(x)?12??e?(x??)22?2, ???x???

?1?, ???y??Y在[-π,π]服从均匀分布, 则fY(y)??2?, X和Y独立, 由公式

?0, 其它?f（??f（Zz）Xz?y）f（Yy）dy?????????12??e2（z?y??）?22??z?y??1dy，令t?2???12??z?????z?????12?e?t22dt?12?[?（z????z????）??（）]??22

3．设随机变量X,Y相互独立，且X~N(?1,?1),Y?N(?2,?2)求X?Y的概率密度。

解 ∵X,Y独立，

∴f(x,y)?12??1?2e1?(x??1)2(y??2)2?????22??22???1?

22??X?Y~N又∵X~N(?1,?1),Y?N(?2,?2)=> Z??12??2,?12??2?，

令Z?|，则 ?X?Y?|Z??z?F??z??F???z?,当z?0时，FZ?z??P?Z?z??PZZZ(?z??1??2)??(z??21??22)?2??1??2?2??12??22?1?fZ?z??fZ??z??fZ???z??e?e22?2???1??2???当z?0时，fZ?z??0.2(?z??1??2)2????(z??21??22)?221??e2??1??2??e2??1??2??，z?0,??即fZ?z???2???2??2??12??????0,z?0.?22????.???

1?2(x2?y2)e4. 已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布, 其联合密度为f（x,y)?, 2?1???x???, ???y???, 求随机变量Z?(X2?Y2)的概率密度函数。

3?1? 解 FZ(z)?P?(X2?Y2)?z????f(x,y)dxdy?3?1(X2?Y2)?z31?z3z?r212?22当 z?0时, FZ(z)?0, 当z?0时, FZ(z)?d?erdr?1?e,??00 2??0, z?0?所以 fZ(z)??3?3z2?e, z?0?2

135. 已知随机变量X与Y相互独立，且都服从?0,a?区间上的均匀分布，求Z?X率密度函数。

解：∵X与Y相互独立，且X,Y~U?0,a?，

Y的概

?1?,0?x?a,0?y?a?f?x,y??fX?x?fY?y???a2?其它.?0,?X? ?FZ?z??P??z????f?x,y?dxdyY??x?zy当z?0时,FZ?z??0,ax111当z?1时，FZ?z???dx?2dy??dx?x2dy?1?,0xa02zzaazy1z当0?z?1时,FZ?z???dy?2dx?.00a2

??0,z?0??1?fZ?z???,0?z?12??1?2z,z?1.??2aa 0?x?1, 0?y?x?3x，??6. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f（x，y）, 0, 其它?求Z?X?Y的概率密度。

?0, z?0?zx1x31? 解 FZ(z)?P(X?Y?z)???dx?3xdy??dx?3xdy?z?z3, 0 ?z?1

00zx?z22? 1??1, z ??332??z, 0?z?1. 所以, Z的密度函数为 fZ(z)??22? 其它?0, 7. 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，Y的概3?10?y?1率密度为fY?y???，记Z?X?Y

0其它?（1）求P?Z???1?X?0? 2?（2）求Z的概率密度。

1P(X?0,Y?)111112?P(Y?)??21dy? 解：(I) P(Z?X?0)?P(X?Y?X?0)?022P(X?0)22(II) FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}

?P{X?Y?z,X??1}?P{X?Y?z,X?0}?P{X?Y?z,X?1} ?P{Y?z?1,X??1}?P{Y?z,X?0}?P{Y?z?1,X?1} ?P{Y?z?1}P{X??1}?P{Y?z}P{X?0}?P{Y?z?1}P{X?1}

1?P{Y?z?1}?P{Y?z}?P{Y?z?1}? 31??FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)? 3??11?,?1?z?2所以 fZ(z)??fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1)???3

3??0,其它8. 设二维变量(x,y)的概率密度为 f(x,y)??0?x?1,?0y?1?2?x?y

其他?0(I)求P{X?2Y}；

(II)求z?X?Y的概率密度。

解：

（Ⅰ）P?X?2Y??区域；

求此二重积分可得P?X?2Y?? ???(2?x?y)dxdy，其中D为0?x?1,0?y?1中x?2y的那部分

D?dx?0111x20(2?x?y)dy

52(x??08x)dx 7 ?

24（Ⅱ）FZ(z)?P?Z?z??P?X?Y?z?

当z?0时，FZ(z)?0；

当z?2时，FZ(z)?1；

13(2?x?y)dy??z?z2 ?003111352 当1?z?2时，FZ(z)?1??dx?(2?x?y)dy?z?2z?4z?

z?1z?x33?2z?z2,0?z?1?2 于是fZ(z)??z?4z?4,1?z?2

?0,其他? 当0?z?1时，FZ(z)?zdx?z?x9. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为

?的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电

路正常工作时间T的概率分布。

解 以Xi表示第i个元件无故障工作时间，则X1,X2,X3独立且分布函数为

t???1?e?，t?0FX（t）?, i?1, 2, 3, T?min{X1,X2,X3}. ?i??0, t?03t??3??1?e?,t?0F（t）?. 所以T服从参数为的指数分布 1?(1?F(t))?T??Xi3i?1??0, t?0?1?2,?1?x?0??110. 随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2?4?0,其他??令Y?X2,F?x,y?为二维随机变

量(X, Y)的分布函数， (Ⅰ)求Y的概率密度fY?y?； (Ⅱ)F??解：

?1?,4?。 2???0,y?0?(1)式,0?y?1?2（Ⅰ）FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)??

?(2)式,1?y?4??1,4?y (1)式?P(?y?X?1y)??dx?2?y1y)??dx?2?10013dx?y； ?440yy (2)式?P(?y?X??0111dx??y. 424?3?8y,0?y?1??1'所以：fY(y)?FY(y)??,1?y?4

?8y?0,其他??（Ⅱ）

1F(?,4)21111?P(X??,Y?4)?P(X??,X2?4)?P(X??,?2?X?2)?P(?2?X??)2222??11。 dx??24?112?te?t,t?0,11. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为f?t???

0,t?0.?设各周的需求量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需求量的概率密度。 解：设某种商品在第i周的需求量为Xi?i?1,2,3?，由题意得X1,X2,X3相互独立，且有

?te?t,t?0, fXi?t??f?t???0,t?0.?（1）记两周需求量为Z，即Z?X1?X2，则Z的概率密度为

z???0f?x?f?z?x?dx,z?0fZ?z???f?x?f?z?x?dx?????0,其它? 3?zz?ze??z?x??x?dx,z?0?,z?0??0xe?z?x?e ????3!?0,其它?0,?其它???（2）记三周需求量为W，即W?Z?X3，又Z?X1?X2与X3相互独立，则W的概率密度为

u??f?x?fX3?u?x?dx,u?0fW?u???fZ?x?fX3?u?x?dx???0Z???0,其它?

?ux3e?x?u5e?u??u?x?,u?0??u?x?edx,u?0?? ???03!?5!?0,其它?其它??0,??

第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望 §4.2 方差

二、计算下列各题

1. 设球直径的测量值在?a,b?上服从均匀分布,求球体积V的数学期望。 ?1,a?x?b?解 设球的直径为X,其概率密度为f(x)??b?a

?0，? 其它?x3则球的体积Y?g(x)?,6

b?1?1E(Y)?E?g(x)???x3?dx??x4a6b?a6?b?a?4ba??a?b?a2?b2?24??

?11?2. 设随机变量X服从??,?上的均匀分布，y?g?x???22??lnx,x?0,求 ?0, x?0?Y?g(x)的数学期望和方差。

11??1,??x?解 X的概率密度f(x)??22，

?0, 其它?E(Y)?E?g?x???12?120lnxdx??1?ln2, 2?ln2?1, D?Y??1?ln2?2?1ln2?3。 424EY????20ln22?ln2?xdx?23. 在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。

解: 以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置， ∴ X,Y?U(0,a)，

?1?1?1?,x?(0,a)?,y?(0a,)?,x,y?(0,a)， fY(y)??a，f(x,y)??a2， fX(x)??a????0, 其它?0, 其它?0, 其它令Z?X?Y,则Z取值于(0,a)， 这时 FZ(z)?P??z?X?Y?z??1212dxdy?z?z 22??aaa?z?x?y?z?22??z,0?z?a∴ fZ(z)??aa2

??0, 其它E(Z)??a02121113z(?2z)dz?2(z2?z)aaa2a3a02a2a???。 a634. 某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。

解 Ak?“第K次命中目标”,K?1,2?

P?x?k??P(A1A2?Ak?1Ak)=P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?(1?0.8)k?1?0.8

?k?1E(x)??k?0.2k?1?0.8?0.8?k?0.2k?1,

k?1?取 S(x)??kxk?1?k?1????k??x?1??,??x????1?x??2??1?x??k?1??x?1,

??0.8122k?1??1.25, E(x)??k?0.2?0.8?0.8?k2?0.2k?1, 所以 E(x)?20.8(1?0.2)k?1k?1取 g(x)??k2xk?1k?1???x???k?1??xkx??????2??k?1???1?x???1?x??,3???1?x?x＜1

故 E?x2??0.8?1?0.2?1?0.2?3?1.875, 从而 D?x??Ex2??Ex??0.3125。

2??x2???2?2,x?05. 设轮船横向摇摆的振幅X的概率密度为f?x???Axe??0, x?0 ，?为常数

试确定常数A,并求E(X)、D(X)和P?X?E(X)?。

?????x22?2解

???f?x?dx?A?xe0dx??A?e2?x22?2??0?A?2?1,A?x22?2??01 ?2x22?2E(X)?1?21?2???0x2e?x22?dx???xde0???x22?2??xe???e0???dx?2???2??2EX2??????0x3e?x22?2dx2x2令t?2?22?2?te?tdt??2?2?tde?t?2?200????

D?X??EX2??E?X???2?2????2??????2???222????2??P?X?E(X)??1?P?X?E(X)??1??f(x)dx?1????201xe2??x22?2dx?e??46. 设?X、Y?的联合分布为右表 (1) 求E?X?、E?Y? (2) 设Z?Y/X、求E?Z?

2 (3) 设W??X?Y?、求E?W?。

Y X 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 ?1 0 1 解 E(Y)??0.2?0.1?0????1???0.1?0?0.3??0??0.1?0.1?0.1??1?0

E(X)??0.2?0.1?0.1??1??0.1?0?0.1??2??0?0.3?0.1??3?2

Z P 1111

23230.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 -1 - ? 0 1 W P 0 1 4 9 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0 11?1?E(Z)?0.2???1??0.1?????0.1?1?0.1??0.1???0.0667

32?2?E(W)?0.1?0?0.2?1?0.3?4?0.4?9?0?16?5。

7. 设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，

求随机变量X?Y的方差。

1?z2解 令Z?X?Y,则Z?N(0,1) fZ(z)?e

2?E(Z)??2??2??zfZ(z)dz???zfZ(z)dz????0??0zfZ(z)dz?2? E(Z)?E(Z2)??????z21?z2edz?1 2?22D(X?Y)?D(Z)?E(Z)?E2(Z)?1?2?。

8. 箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则E(X|Y?1)为多少？ 解：条件期望E(X|Y?1)的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望E(X|Y?1)，先要求得Y?1条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故

P{X?0|Y?1?}P{X? 1Y?|，?21C?C3， 31 P{X?2|Y?1}??34C4 P{X?3|Y?1C?}33C431， ?4319由此可算得Y?1下的条件期望E(X|Y?1)?2??3??。

4449. 某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中

的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。 解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为层下电梯，则有P?Ak??1?i?2,3,?,10?，设Ak表示第k人在第i918,P?Ak?? (k?1,2,?,25)， 99又?A1,?,A25相互独立，因此第i层无人下电梯（电梯不停）的概率为

?25?25?8?P??Ak???P?Ak????

?9??k?1?k?1设Xi??25?1,第i层有人下，i?2,?,10，则

?0,第i层无人下2525?8??8?P?Xi?0???? ,P?Xi?1??1??? ,i?2,3,?,10

?9??9?因此，电梯停的总次数为X??Xi?210i，

??8?25??10?10EX?E??Xi???E?Xi??9?P?Xi?1??1?9?1???? 。

?i?2?i?2???9???10. 设随机变量X的概率密度为

?ax2?bx?c,0?x?1 f(x)??

0,其他.?已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系数a、b、c。

解：由密度函数性质及已给条件，知有

ab??c，?2a?3b?6c?6，

??032?11abc?E(X)??xf(x)dx??xax2?bx?cdx???，?3a?4b?6c?6，

??02432?212abc22 E(X)??xf(x)dx??xax?bx?cdx???，

??05431???f(x)dx??ax2?bx?cdx?1??????

22 0.15?D(X)?E(X)?E(X)?abc1???，?12a?15b?20c?24， 5434b??12,c?3。

三个方程，三个变量，解之可得：a?12,211. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从N?,?，设Z?max?X,Y?，求E?Z?。

??解：设U?X???,V?Y???，则X??U??,Y??V??，由于X与Y相互独立

?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?

?Z?max?X,Y??max??U??,?V?????max?U,V???

?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?，则有T?U?V~N?0,2? ?E?T???????t1e2??2?t22?2dt?2?

而max?U,V??1?U?V?U?V?，则有 2E??max?U,V????11EU?EV?EU?V??。 ?2?因此E??max?X,Y?????E??max?U,V??????四、证明题

设随机变量X和Y相互独立，试证明

???。 ?D(X?Y)?D(X)D(Y)?E2(X)D(Y)?E2(Y)D(X)．

证明：D(X?Y)?E?(XY)?E(XY)??E(XY)2?2XYE(XY)?E2(XY)

?E(XY)2?2E(XY)E(XY)?E2(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)， 因为X和Y相互独立，所以有E(X?Y)?E(X)?E(Y)，又

E(X2Y2)??????22xyf????2???(x,y)dxdy????2??2xfX(x)dxyfY(y)dy??????E(X2)E(Y2)，

从而有 D(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)

22?E(Y2)?E2(X)E(Y2)?E2(X)E2(Y) ??E(X)?E(X)??22? ?D(X)E(Y2)?E2(X)??E(Y)?E(Y)?22??D(X)E2(Y)?E2(X)D(Y) ?D(X)?E(Y)?E(Y)???D(X)D(Y)?E2(X)D(Y)?E2(Y)D(X)。

§4.3 协方差和相关系数 §4.4 原点矩与中心矩

.

三、计算下列各题

1. 若随机变量?X,Y?在区域D上服从均匀分布D???x,y?0?x?1,0?y?x?, 求随机变量X,Y的相关系数。

解 A???dxdy??dx?dy?D001x1x1,2?2,(x,y)?D f(x,y)??0,(x,y)?D?E(x)?2?xdx?dy?001x1x2112,Ex2?2?x2dx?dy?,D(x)?Ex2??E(x)??003218????1x111?1?1E(y)?2?dx?ydy?,Ey2?2?dx?y2dy?,D(y)?????,0000366?3?181x11211E?xy??2?xdx?ydy?,Cov(x,y)?E(xy)?E(x)E(y)????.004433361cov(x,y)136?XY???。

1/181/182D(x)D(y)??2

2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为 f(x,y)?Asin(x?y) 0?x??? , 0?y? 22求：（1）系数A;(2)E(x),E(y),D(x),D(y);（3）协方差及相关系数。

解 (1)??f?x,y?dxdy?A??????????20dx?sinx(?y)dy?2A?1,A?0.5；

0?211?(2)E(x)??2dx?2xsin?x?y?dy??2x?cosx?sinx?dx?020204???12122?2?222 E(x)??dx?xsin?x?y?dy??x?cosx?sinx?dx???20202082 2??2 D(x)?E(x2)??E?x?????2;162??2?由X与Y的对称关系,知E(Y)?,D(Y)???2.41621?(3)E?xy???2dx?2xysin?x?y?dy??10202??2 于是cov?x,y??E?xy??E?x?E?y???1?, ?xy?216?????cov?x,y?D?x??2?8??16??2.??8??32D?y?

3. 设随机变量X的概率密度为f?x??1?xe,???x???.求： 2（1）E?X?,D?X?；（2）X与X的协方差，并问X与X是否不相关； （3）问X与X是否独立？为什么？

??11xxedx??xe?xdx?0， 解：（1）E?X?????202??x2EX?edx?2,DX?2?0?2. ?????x2?12??1?x（2）令Y?X,则EY??xedx?1.

??20E?XY??E?X?X?0 ?Cov,?Y?0?0? 0?X?X与Y不相关.（3）对于任意实数a?0，0?P?X?a??1a?xedx?1有 ???2P?X?a,X?a??P?X?a??P?X?a?P?X?a?

?X与X不相互独立.

4. 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??相关系数。

解 E(X)??dx?x(2?x?y)dy?00111151, E(X2)??dx?x2(2?x?y)dy?

001240?x?1, 0?y?1?2?x?y, , 求X,Y的

0, 其它?1?5?11511D(X)?????, 由对称性 E(Y)?, D(Y)?,41214412144?? 1111E(XY)??dx?xy(2?x?y)dy?, Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??006144所以 X和Y的相关系数为:?XY?Cov(X,Y)DXDY??1 11。

25. 设随机变量X服从[??,?]上的均匀分布，令Y?sinX,Z?cosX，求?YZ。 ?解 X的密度函数为 f)??1?2?, ???x??X(x??0, 其它 E(Y)????1??2?sinxdx?0, E(Z)????1??2?cosxdx?0,E(YZ)????1??2?sinxcosxdx?0, cov(Y,Z)? E(YZ)?E(Y)E(Z)?0,

所以 ?covY,Z)YZ?D(Y)D(Z)?0. 6.二维随机变量(X,Y)的分布律为

X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 a b 问a,b取何值时，X与Y不相关？此时X与Y是否独立？

解 （1）

68?a?b?1?a?b?218?4， E(Y)??1?38?28?0?18?a?b?a?b?28， E(X)??1?38?0?(18?a)?1?(218?b)?b?8，

E(XY)?1218?b?8?b?8 ，

若X与Y不相关，则b?18?(b?18)(a?b?28)?b?18,a?18; （2）P?X?1,Y?1??19?P?X?1?P?Y?1??不独立。 8647. 已知随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,32),N(0,42), 且X与Y的相关系数

?XY??．设Z?12XY?， 求（１）Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；（２）X与Z32的相关系数?XZ；（３）问X与Z是否相互独立？为什么？

XYE(X)E(Y)101?)?????， 3232323XYXYD(X)D(Y)1??cov(X,Y) D(Z)?D()?D()?2cov(,)?3232943解：(1) E(Z)?E(324211?1?????XY?D(X)?D(Y)?1?4???3?4?3， 94332 由于X与Y分别服从正态分布，所以Z也服从正态分布N(,3)；

131X2XY(2) 因为E(X)?1,E(Z)?,E(XZ)?E(?)，注意到

332E(X2)?D(X)?E2(X)?32?12?10，且

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??XY?D(X)?D(Y)，

E(XY)??XY?D(X)?D(Y)?E(X)E(Y)??所以 E(XZ)?3?4?1?0??6， 2111061E(X2)?E(XY)???， 3232311由协方差定义：cov(X,Z)?E(XZ)?E(X)E(Z)??1??0,??XZ?0；

3312(3)由于X与Z均服从正态分布N(1,3),N(,3)，故“相关系数为零”等价于“相

3互独立”，因此X与Z相互独立。

8. 设E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,D(X)?D(Y)?D(Z)?1，?XY=求E(X?Y?Z)和D(X?Y?Z)。

解：E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1?1?1?1；

D(X? ?E111，?XZ=?，?YZ=，222Y?)Z??E(2X??Y)Z?(E?X)? ?Y222Z??X?E(X)???Y?E(Y)???Z?E(Z)?

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