2011届高考数学人教A版一轮复习课时练习-第十一章 第二节--古典

第十一章 第五节 古典概型[理]

课下练兵场

命 题 报 告 难度及题号 知识点 简单的古典概型问题 复杂事件的古典概型问题 一、选择题 1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是 ( ) 3

A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为 411

C．淋雨的可能性为 D．淋雨的可能性为 24

解析：基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷1

未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为.

4答案：D

2．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励. 假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是 ( ) 1111A. B. C. D. 6432

解析：“20”，“08”，“北京”三字块的排法共有“2008北京”、“20北京08”、“0820北京”、“08北京20”、“北京2008”、“北京0820”6种情况，而得到奖21励的情况有2种，故婴儿能得到奖励的概率为＝.

63答案：C

x2y2

3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e

ab＞

3

的概率是 ( ) 2

容易题 (题号) 1、2、5 3 中等题 (题号) 7、8、9、10 4、6 稍难题(题号) 11、12 第 1 页 共 7 页

1511A. B. C. D. 183663解析：e＝

b23b1

1－2＞?a＜?a＞2b，符合a＞2b的情况有：当b＝1时，有a＝ a22

6

＝6×6

3,4,5,6四种情况；当b＝2时，有a＝5,6两种情况，总共有6种情况．则概率为1. 6答案：C

4．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角π

为θ，则θ∈(0，]的概率是 ( )

25175A. B. C. D. 122126解析：cosθ＝m－nm2＋n2·2

，

π

∵θ∈(0，]，∴m≥n.

2

61

满足条件m＝n的概率为＝，

366155

m＞n的概率为×＝.

2612π157

∴θ∈(0，]的概率为＋＝. 261212答案：C

5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2XY＝1的概率为 ( ) 1511

A. B. C. D. 636122解析：由log2XY＝1得Y＝2X，满足条件的X、Y有3对，而骰子朝上的点数X、Y共有6×6＝36对， 31∴概率为＝.

3612答案：C

6．[理]电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 ( ) 1111A. B. C. D. 180288360480解析：电子钟显示时刻可设为AB∶CD，

其中A＝0,1,2，B＝0,1,2,3，?，9，C＝0,1,2,3，?，5，D＝0,1,2,3，?，9.

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(1)当A＝0时，B，C，D可分别为9、5、9一种情况；

(2)当A＝1时，B，C，D可分别为9、4、9或9、5、8或8、5、9三种情况； (3)当A＝2时，不存在．∴符合题意的只有4种， 显示的所有数字和数为： A＝0时，10×6×10＝600； A＝1时，10×6×10＝600； A＝2时，4×6×10＝240. ∴P＝

41＝. 1 440360

答案：C

1

[文]已知一组抛物线y＝ax2＋bx＋1，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7

2中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线互相平行的概率是 ( ) 1765A. B. C. D. 12602516

解析：抛物线只有4×4＝16(条)，从中任取两条有120(种)不同取法，∵y′＝ax＋b在x＝1处的斜率为a＋b.故符合a＋b＝3，只有0对，a＋b＝5共有1对，a＋b＝7有314对，a＋b＝9有6对，a＋b＝11有3对，a＋b＝13只有1对，∴共有14对，P＝＝1207. 60答案：B 二、填空题

7．在5个数字1、2、3、4、5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)． 答案：

3 10

8．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为__________． 解析：将3人排序共包含6个基本事件， 1

由古典概型得P＝. 61

答案：

6

9．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是__________．

解析：∵26＝64,27＝128,28＝256,29＝512,210＝1 024， ∴满足条件的正整数只有27,28,29三个，

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31

∴所求的概率P＝＝. 900300答案：

1 300

三、解答题

10．[理]某考生参加一所大学自主招生考试，面试时从一道数学题，两道自然科学类题，三道社科类题中任选两道回答，且该生答对每一道数学、自然科学、社科类试题的概率依次为0.6、0.7、0.8.

(1)求该考生恰好抽到两道社科类试题的概率；

(2)求该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率． C2313解：(1)P＝2＝＝.

C6155

C122(2)该考生抽到一道数学题，一道自然科学类题的概率为P1＝2＝；

C615该考生抽到一道数学题，一道社科类试题的概率为

1C33P2＝2＝；

C615

11C2·C36

该考生抽到一道自然科学类题，一道社科类试题的概率为P3＝2＝. C615

故该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率为P＝×0.6×0.8＋

6

×0.7×0.8＝0.376. 15

23×0.6×0.7＋1515

[文]为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下： 5,6,7,8,9,10.

把这6名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数；

(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解：(1)总体平均数为 1

(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5. 6

(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结

果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果．事件A包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．

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所以所求的概率为P(A)＝

7. 15

11．(2010·银川模拟)把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，

??ax＋by＝3，

第二次出现的点数为b，试就方程组?解答下列各题：

?x＋2y＝2，?

(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率． 解：事件(a，b)的基本事件有36个．

???ax＋by＝3，?(2a－b)x＝6－2b，

?由方程组可得? ?x＋2y＝2，???(2a－b)y＝2a－3.

(1)方程组只有一个解，需满足2a－b≠0，

即b≠2a，而b＝2a的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个，所以方程组只有一个解的概率 为P1＝1－

311

＝. 3612

(2)方程组只有正数解，需2a－b≠0且

?x????y???2a?b?2a?b,?0,??33??2a?b即 ?a?或 ?a?,

2a?322???0,??2a?b?b?3?b?3.6?2b其包含的事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)， (6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)． 13

因此所求的概率为.

36

12．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4，}，

分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b. (1)求函数y＝f(x)有零点的概率；

(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．

解：(a，b)共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4),15种情况． (1)若函数y＝f(x)有零点，则需Δ＝b2－4a≥0. 有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4),6种情况， 所以函数y＝f(x)有零点的概率为

62

＝. 155

b

≤1. 2a

(2)若函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，需对称轴x＝

有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，

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