2016 - 2017学年高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法学业分层

1.4 数学归纳法

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3≥n(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( ) A.n＝1 C.n＝3

B.n＝2 D.n＝4

n3

【解析】 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立. 【答案】 C

1111

2.已知f(n)＝＋＋＋?＋2，则( )

nn＋1n＋2n11

A.f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ 23111

B.f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 234112

C.f(n)共有n－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ 231112

D.f(n)共有n－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

234

【解析】 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，?，n的连续1112

自然数共有n－n＋1个，且f(2)＝＋＋.

234

【答案】 D

3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋?＋n＝在n＝k的基础上加上( )

A.k＋1 B.(k＋1)

（k＋1）＋（k＋1）C. 2

D.(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋?＋(k＋1)

【解析】 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋?＋k，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋?＋k＋(k＋1)＋?＋(k＋1)，故选D.

【答案】 D

4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k成立时，总可推出

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

n4＋n2

2

，则当n＝k＋1(n∈N＋)时，等式左边应

f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )

1

A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k成立 B.若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k成立 C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

【解析】 对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k成立.”

【答案】 D

5.已知命题1＋2＋2＋?＋2

2

2

2

2

22

2

2

n－1

＝2－1及其证明：

1

n(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2－1＝1，所以等式成立. (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋2＋?＋2

k＋1

2

k－1

＝2－1成立，则当nk＝k＋1时，1＋2＋2＋?＋2

2k－1

1－2k＋1

＋2＝＝2－1，所以n＝k＋1时等式也成立.

1－2

k由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述( ) A.命题、推理都正确 B.命题正确、推理不正确 C.命题不正确、推理正确 D.命题、推理都不正确

【解析】 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.

【答案】 B 二、填空题

6.若f(n)＝1＋2＋3＋?＋(2n)，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________. 【解析】 ∵f(k)＝1＋2＋3＋?＋(2k)，

2

2

2

2

2

2

2

2

f(k＋1)＝12＋22＋32＋?＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，

∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)， 即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)＋(2k＋2). 【答案】 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)＋(2k＋2)

11111

7.用数学归纳法证明：2＋2＋?＋.假设n＝k时，不等式成立，则2>－23（n＋1）2n＋2当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________.

111111

【解析】 当n＝k＋1时，目标不等式为：2＋2＋?＋. 2＋2>－23（k＋1）（k＋2）2k＋3【答案】

111111

2＋2＋?＋2＋2>－

23（k＋1）（k＋2）2k＋3

2

2

2

2

2

2

2

8.用数学归纳法证明1＋2＋?＋(n－1)＋n＋(n－1)＋?＋2＋1＝由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________.

2222222

n（2n2＋1）

3

时，

【解析】 当n＝k时，左边＝1＋2＋?＋(k－1)＋k＋(k－1)＋?＋2＋1. 当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋?＋k＋(k＋1)＋k＋(k－1)＋?＋2＋1， 所以左边添加的式子为(k＋1)＋k. 【答案】 (k＋1)＋k 三、解答题

9.用数学归纳法证明：1＋3＋?＋(2n－1)＝n(n∈N＋). 【证明】 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋?＋(2k－1)＝k，

那么，当n＝k＋1时，1＋3＋?＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k＋[2(k＋1)－1]＝k＋2k＋1＝(k＋1).

这就是说，当n＝k＋1时等式成立.

根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.

111

10.用数学归纳法证明：1＋＋＋?＋n1).

232－1

11

【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立.

23111

(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋?＋k

232－11111111111×2

＋＋?＋k＋k＋k＋?＋k＋1

由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.

[能力提升]

1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x＋y能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )

A.假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确 B.假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确 C.假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确 D.假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确 【解析】 ∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成： 假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出n＝2k＋1时正确.故选B. 【答案】 B

nnk2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222222

3

2.对于不等式n＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，1＋1≤1＋1，不等式成立；

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，（k＋1）＋（k＋1）＝k＋3k＋2<

（k＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）

＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法( ) A.过程全都正确 B.n＝1验证不正确 C.归纳假设不正确

D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

【解析】 n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求.故选D.

【答案】 D 3.用数学归纳法证明3

1)＋1

4n＋2

2

2

2

2

2

2

2

＋5

2n＋1

能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，3

4(k＋1)＋2

＋5

2(k＋

应变形为__________. 【解析】 当n＝k＋1时，3

4(k＋1)＋2

＋5

2(k＋1)＋1

＝81·3

4k＋2

＋25·5

2k＋1

＝25(3

4k＋2

＋5

2k＋1

)＋

56·3

4k＋2

.

4k＋2

【答案】 25(3＋5

2k＋1

)＋56·3

4k＋2

4.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值；

(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；

(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明. 【解】 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0?f(0)＝0. (2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，

f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9， f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.

(3)猜想f(n)＝n，下面用数学归纳法证明. 当n＝1时，f(1)＝1满足条件.

假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k＋1＋2k＝(k＋1)，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有

2

2

2

2

f(n)＝n2.

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bcha.html