复利与现值

利率与现值

利率和现值是金融的两个基本概念，和投资、理财紧密相关。利率表明了资产增值的速度，现值表明了未来的资产在当前的价值，知道这两个概念及一些金融产品，可以解决很多实际问题。本文的主要内容来自罗斯著《公司理财》。

一、利率

（一）到期收益。金融学是研究跨期配置稀缺资源的经济学科，金融资产是能带来未来收益的物品，比如一年定期存款，当前的基准利率是3.25%，也就是说现在存100元的一年定期，明年这个时候就能获得100*（1+3.25%）=103.25元。再比如某个两年期债券，现在的价格是900元，两年到期时，能卖到1000元，那么它的到期收益利率就是（1000/900）- 1 = 11.11%。

（二）复利。复利就是已获得的利息也能获得利息。比如一年定期存款，如果到期时再转存一年，那么可以获得103.25 * (1 + 3.25%)= 106.6，也就是100*（1 + 3.25%）^2。如果不按复利计息，则是100 * (1 + 2*3.25%) = 106.5。

（三）计息期限。利率有实际利率和名义利率之分，比如二年期定期存款的基准利率是3.75%，这是个年化名义利率。在今天存1元的二年期定期存款，二年后的这个时候可以获得1+2*3.75%=1.075，用年化实际利率表示就是（1+r）^2=1.075，所以r=3.68%。

如果按月计息，就需要将名义年利率转化成月利率和年实际利率。比如名义年利率为12%，那么其月利率就是12%/12=1%，

其实际利率就是(1+1%)^12=12.68%。如果按日计息，则实际利率为(1+12%/365)^365=12.75%。 通过这两个例子可以发现，计息期限越短，其实际年利率越高。通式为R = (1+ r/m)^mt,其中r是名义利率，R是实际利率,t是年限。

如果是连续计息，也就是计息期限无限短，实际利率会不会无限大了？事实上是不会的，这里要用到高数的一个常用极限

.rt1xrnt1nrtrlim(1?)?e,把它用到利率中就是lim(1?)?lim(1?)?e。

x??n??n??xnn/r（四）远期利率(forward rate)。远期利率是按现在的市场行情约定的未来时点的利率。在前面的例子中，二年期定期存款可以看作先按3.25%的利率存一年，然后再按另外一个利率存第二年，也就是(1+3.68%)^2=(1+3.25%)(1+f1,2)。这里f1,2就是远期利率，表示从一年后到二年后的实际年利率，等于4.1%，要高于即期利率，一种解释是人们更偏好流动性，如果获得利息的时间更长，那么需要提供更高的利息。（远期利率与即期利率并不总是高于即期利率，这涉及到利率的期限结构，目前有无偏预期理论、流动性偏好理论、市场分割理论以及期限偏好理论，具体可参考夏普《投资学》和米什金《货币金融学》）。

二、现值及其应用

（一）概念。现值是用今天的价格去表示未来某个时点资产的价值，对于投资行为有重要的参考意义。现值Pv=FV/(1+R)，FV为未来的总收益，R为到期收益率。比如你有一份资产，可以一次性获得27万元，也可以连续3年每年年末获得10万，假设合适的年利率是5%，应该选哪种方式？这里就可以比较两种方

式的现值。Pv1=28万

,Pv2=10w/(1+5%)^3+10w/(1+5%)^2+10w/(1+5%)=26.6，因此，你选择一次性获得27万是比较合理。注意这里的利率也叫折现率，不是固定的，对不同的资产也是不同的，折现率的估计比较困难。

（二）永续年金。假如你有一种金融资产，每年末固定支付C的利息，相应的利率为r，不断的支付，这种方式称为永续年金，其现值

PV?CCCC???...? 231?r(1?r)(1?r)r这就是个无穷级数，很容易推导。我想租房也符合这个特点，房屋的价格可以看作未来所有租金的现值，因此，可以根据永续年金公式和租金来对房屋的价值进行评估。这里还有个问题是利率的估算，我想这个利率至少要与商业银行按揭贷款的利率持平，否则房主就不会把资金投入到房子上。当前的按揭贷款一般是长期贷款基准利率6.55%，假如房子的每年租金（按月交或按季交的情形可以按上面的方法把年利率折算成月利率和季利率）为9000元，那么该套住房的现价应该为9000/6.55%=13.7w。如果这个价格高于该套住房的市场价，说明房租高了。

（三）永续增长年金。永续增长年金是指每期流入的现金流按一定比例增长，其现值公式：

CC(1?g)C(1?g)2C PV????...?231?r(1?r)(1?r)r?g证明的话，可以把PV*(1+g)，就转化成了永续年金公式。 （四）普通年金。普通年金是期数有限的年金形式，比如按揭贷款，工资收入、养老金等，这种方式的现实应用非常广泛。

1?1??(1?r)nCCCCPV????...??C?1?r(1?r)2(1?r)3(1?r)nr?????? ???这个化简公式也可以用永续年金公式进行推导。 （五）普通增长年金。

CC(1?g)C(1?g)2C(1?g)n?1PV????...?231?r(1?r)(1?r)(1?r)n??1?g?n??1????1?r???

?C??r?g?????三、两个例子

（一）教育基金。假如想在子女刚出生的时候为其建立一个教育储蓄，并每年生日时存入一笔钱，1年后开始存，以支付其读大学的费用。假设子女18岁入学，大学4年每年花费3w元，当前存款基准利率3.25%，则每年需要存入多少钱？

分析：子女18岁时开始取用教育基金，因此，我们需要连续存17年（1岁-17岁），只需保证存最后一笔款时教育基金的终值与大学所需费用在那时的现值相等即可。计算步骤如下：

1、大学所需费用在入学时的现值。应用普通年金公式：

1?1??(1?3.25%)4PV?30000*?3.25%???????110769 ???2、教育基金在入学时的终值。

1?1??(1?3.25%)17FV?C*?3.25%??????*(1?3.25%)17 ???这里其实就是把17年的储蓄用年金公式折现到当前，然后再用复利公式换算成入学时的终值。

3、上述的两个值要相等，解得C=4986.1元。

这实际上高估了每年所需存的款项，因为我们可以通过存更长年限的定期存款、或者购买其他无风险债券来获得更高的年利率。

养老储蓄、以及工资收益也可以用类似的方法。

（二）住房抵押贷款。住房抵押贷款实际上就是把未来所有要支付的现金流，用贷款利率折现到贷款余额。比如贷款利率为6.55%，则月利率为6.55%/12=0.5458%。假如贷款100万，20年，等额本息的付款方式，设每个月的月供为C，则

1?1??(1?0.5458%)12*201000000?C*?0.5458%?????? ???解得C=7485。还可以计算一下，还了10年后，还需要归还多少？可以发现，前10年归还的现值要低于后10年归还的，因为前10年的每月还款额中，利息占了主要的部分。

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