工程力学习题答案

工程力学习题答案

第一章 静力学基础知识

思考题：1. ×;2. √;3. √;4. √;5. ×;6. ×;7. √;8. √

习题一

1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A点的约束反力方向。 解：（a）杆AB在A、B、C三处受力作用。 ?????由于力p和RB的作用线交于点O。

如图（a）所示，根据三力平衡汇交定理， 可以判断支座A点的约束反力必沿 通过A、O两点的连线。

????? （b）同上。由于力p和RB的作用线 ?????T解：（a）取杆AB为研究对象，杆除受力p外，在B处受绳索作用的拉力B，在A????????NN和E两处还受光滑接触面约束。约束力A和E的方向分别沿其接触表面的公法线，????N并指向杆。其中力E与杆垂直，

????N力A通过半圆槽的圆心O。

AB杆受力图见下图（a）。

交于O点，根据三力平衡汇交定理， 可判断A点的约束反力方向如 下图（b）所示。

2．不计杆重，画出下列各图中AB杆的受力图。 ????????NN(b)由于不计杆重，曲杆BC只在两端受铰销B和C对它作用的约束力B和C，

故曲杆BC是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B、C两点的连线，且????????NB=?NC。研究杆AB，杆在A、B两点受到约束反力NA和NB，以及力偶m的作用而

????????NN平衡。根据力偶的性质，A和B必组成一力偶。

??????TT(d)由于不计杆重，杆AB在A、C两处受绳索作用的拉力A和C，在B点受到支

??????????NTT座反力B。A和C相交于O点，

根据三力平衡汇交定理，

????N可以判断B必沿通过

B、O两点的连线。见图(d).

第二章

力系的简化与平衡

思考题：1. √;2. ×;3. ×;4. ×;5. √;6. ×;7. ×;8. ×;9. √.

1． 平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm，求此力系向O点简化的结果，并确定其合力位置。

???RR解：设该力系主矢为R?，其在两坐标轴上的投影分别为x、y。由合力投影定

理有：

Rx??xi?1.5?3=-1.5kN

Ry??yi??2 kN kN R??(?xi)2?(?yi)2?2.5sin???yi/R???0.8cos???xi/R???0.6； ??233?

由合力矩定理可求出主矩：

???M0??M0(Fi)?3?0.3?103?1500?0.2?100?80?2000?0.5??580??m

?合力大小为：R?R'?2.5kN，方向??233

位置：2．

d?M0?/R?5802500?0.232m?23.2cm，位于O点的右侧。

???25火箭沿与水平面成角的方向作匀速直线运动，如图所示。火箭的推力F1?100kN与运动方向成??5?角。F如火箭重P?200kN，求空气动力2和它与飞

行方向的交角?。

解：火箭在空中飞行时，若只研究它的运行轨道问题，可将火箭作为质点处理。这时画出其受力和坐标轴x、y如下图所示，可列出平衡方程。 ?y?0 ；F?Gcos(???)?0 2?F?Gcos30?173kN 2故空气动力

??F??90???952由图示关系可得空气动力与飞行方向的交角为。 R4． 梁AB的支承和荷载如图，CB?AB，梁的自重不计。则其支座B的反力B大小为多少？

解：梁受力如图所示：

由

???MA(F)?0得：

22?1?40??4?RBsin30??4?022 解得；RB?502?1?69.7kN ?4?2?1?10?40? 5．起重机构架如图示，尺寸单位为cm，滑轮直径为d?20cm，钢丝绳的倾斜部分平行于BE杆，吊起的荷载Q?10kN，其它重量不计。求固定铰链支座A、B的反力。

解：先研究杆AD如图(a) (a) (b) 由几何关系可知： tan????M(F)?0，YD?800?Qsin?(800?CD)?0 由?A?Qsin??YD?0

Y??5.875kN，YA??0.125kN

解得：DA3310sin??CD?4，5，sin? ?Y?0，Y再研究整体，受力如图(b),由

?Y?0，Y?Y?Q?0

?X?0，X?X?0

???M(F)?0，X?600?Q?800?300?10??0

ABABAB解得：BkN，AkN，BkN

6． 平面桁架的支座和荷载如图所示，求杆1，2和3的内力。 解：用截面法，取CDF部分，受力如图(b), Y?10.125X??18.5X?18.5 由 ?X?0 ，?F?0 32????MD(F)?0，3aF?aF2?0 2F2??FF?0，3（压） 解得：3再研究接点C，受力如图（c） aa??F??F??012M(F)?0?F23有， 4F1??F9（压） 解得：1。8.图示夹钳夹住钢管,已知钳口张角为20,问钢管与夹钳间的静摩擦因数

至少应为多少才夹得住而不至滑落?

解:取钢管为研究对象,受力如图.列出平衡方程: ?F?F?X?0，Fcos10?Fcos10?Ncos80?Ncos80?1'1??1'1??0 ①

''N?NF?F1 ② 1,1根据结构的对称性及F?F知:1''F?fNF?fN1111钢管处于临界状态时:, ③

'cos80?f??0.176?cos10联立可解得: 既钢管与夹钳的静摩擦因数至少应为0.176才夹得住而不至滑落。

10．杆子的一端A用球铰链固定在地面上，杆子受到30kN的水平力的作用，用两根钢索拉住，使杆保持在铅直位置，求钢索的拉力

解：研究竖直杆子，受力如图示。

FT1、FT2和A点的约束力。

???M(F)?030?4?9FT2cos?sin??0由?Xi， ①

????MY(Fi)?0?6FT1?FT2cos?cos??0

，

②

?X?0，Fcos?cos??X?F?0 ③ ?Y?0，Y?Fcos?sin??30?0 ④ ?Z?0，?Fsin??Z?0 ⑤

T2AT1AT2T2Acos??由三角关系知：59?0.486sin???0.874106106， sin??0.6，cos??0.8 ⑥

将⑥代入①得：将将

FT2?45.8kN

FT2?45.8kN代入②可得：FT1?26.7kN FT1，FT2分别代入③、④、⑤可得：

XA?8.90kN，YA?16.67kN，ZA?40.00kN

???既FNA?8.90i?16.67j?40.00k（kN）

14．已知木材与钢的静滑动摩擦因数为s，动滑轮摩擦因数为自卸货车车厢提升多大角度时，才能使重的木箱开始发生滑动？

解：取木材为研究对象，受力如图所示 由

f?0.6fd?0.4，求

?X?0，F?psin??0 （1） ?Y?0，N?pcos??0 （2）

SS式中 S （3）

联立（1）、（2）、（3）可得：

F?FNtan??fS?0.6，??arctan0.6?31? 第三章 点的合成运动

判断题：

1．√；2.×;3.√

习题三

1． 指出下述情况中绝对运动、相对运动和牵连运动为何种运动？画出在图示的牵连速度。定系固结于地面；

（1）.图（a）中动点是车1， 动系固结于车2； （2）.图（b）中动点是小环M，动系固结于杆OA；

（3）.图（c）中动点是L形状的端点A，动系固结于矩形滑块M； （4）.图（d）中动点是脚蹬M，动系固系于自行车车架；

（5）.图（e）中动点是滑块上的销钉M，动系固结于L形杆OAB。 VeA M O (b)

(a) (c)

(d)

解：（1）绝对运动：向左做直线运动；相对运动：斜相上方的直线运动；牵连运动：向下直线运动。牵连速度e如图（a）。

（2）绝对运动；圆周运动；相对运动：沿OA的直线运动；牵连运动：绕O的定轴转动。牵连速度e如图（b）。

（3）绝对运动：以O为圆心，OA为半径的圆周运动；相对速度：沿BC的直线运动；牵连运动：竖直方向的直线运动；牵连运动

vvve如图（c）

（4）绝对运动：曲线运动

v（旋轮线）；相对速度：绕O的圆周运动；牵连运动：水平向右的直线运动。牵连速度e如图（d）。

（5）绝对运动：竖直方向的直线运动；相对运动：沿AB的直线运动；牵连运动：绕O的圆周运动。牵连速度e如图（e）。 (e) 4.牛头刨床急回机构如图示，轮O以角速度水平支承面往复运动。已知OA=r=15cm,刨床速度。

v?0?5rad/s转动，滑块E使刨床枕沿

OO?L?3r。试求OA水平时O1B角速度和1O1B相固连。定系与

解：（1）先求1的角速度。取滑块A为动点，动系与摇杆

机架相固连。因而有：

绝对运动：滑块A相对与机架的圆周运动； 相对运动：滑块A沿槽作直线运动；

OBO1B相对于机架作定轴转动。

??????????V?VeA?VrA

根据速度合成定理，动点A的绝对速度aA牵连运动：随摇杆

式中各参数为： 速度 大小 方向 ????VaA OA?W0 ?OA杆???VeA 未知 ???VrA 未知 沿杆?O1A 向上 由图示的速度平行四边形得： O1B VeA?VaAcos??O1A??0cos? OB故摇杆1的角速度： wo1B?VeA/o1A?w0cos?2?5?1?1.25rad/s4。

（2）求刨枕速度，即滑块E的速度 取滑块E为动点，动系与摇杆1相连接，定系与机架相固连。因而有： 绝对运动：滑块E沿滑道作水平直线运动； 相对运动：滑块E沿斜滑槽作直线运动；

OBO1B相对于机架作定轴转动。 ????????????V?VeE?VrE

根据速度合成定理：aE牵连运动：随摇杆式中各参数为： 速度 大小 方向 ????VaE ????VeE O1C?WO1B ?杆O1B偏左上 ????VrE 未知 未知 水平 E?O1 由图示速度平行四边形可得： 4?0.15?1.25O1C?wo1BV3VaE?eE??0.866m/s,方向水平相左。 sin?sin?26．L形直OAB以角速度?绕O轴转动，OA?l，OA垂直于AB；通过滑套C推动杆CD沿铅直导槽运动。在图示位置时，∠AOC=?，试求杆CD的速度。

?解：取DC杆上的C为动点，OAB为动系，定系固结在支座上。

?????????由Va?Ve?Vr，作出速度平行四边形，如图示： OAl????Ve?OC??cos?cos? l?l?sin??tan??Va?Ve?tan?cos?cos2? l?sin??2V?Vcos? CDa即：?7．

图示平行连杆机构中，O1A?O1B?100mm,O1O2?AB。曲柄O1A以匀角速度??2rad/s绕O1轴转动，通过连杆AB上的套筒C带动杆CD沿垂直于O1O2的导轨?运动。试示当??60时杆CD的速度和加速度。

?????????V?Ve?Vr

图（a）、（b）所示。图中：a则

解：取CD杆上的点C为动点，AB杆为动系。对动点作速度分析和加速度分析，如

Ve?Va?O1A?w?200(mm/s)

Va?Ve?cos??100（mm/s）

故

?????????又有：ae?aA?O1A??400(mm/s)，因aa?ae?ar

3??400?346.4(mm/s2)a?aesin?2故：a 2a?a?346.4(mm/s) CDa即：

2VCD?Va=100（mm/s）

2第四章 刚体的平面运动

思考题

1．×；2.√; 3.√;4.√;5.×. 习题四

1．图示自行车的车速v?1.83m/s,此瞬时后轮角速度w?3rad/s,车轮接触点A打滑，试求点A的速度。

解：如图示，车轮在A点打滑，以O为基点。

v0?v?1.83m/s,??3=rad/s,车轮作平面运动，

??????????vA?vO?vAO

故A点速度为：

vA?vO?R??1.83?0.6604?3??0.15m/s(方向向左)

v?1.5cm/s,求图示曲

2． 图示平面机构中，滑块B沿水平轨道向右滑动，速度B柄OA和连杆AB的角速度。

解：速度分析如图示，AB作平面运动。由速度投影定理得：

vAsin??vBcos? 1.5?10?2?25?v?vcot??6.25?10?3m/s AB60故：?OA??????????由vA?vB?vAB作出速度平行四边形如图： 6.25?10?3vA???6.25?10?3rad/s OA1vAB?vB/sina?1.625cm/s ?ABvAB?1.625?602?2522.5?10?2rad/s ABr?r2?303cm,OA????6rad/s时，曲柄O1B及齿??60l长r?75cm,AB长=150cm。试求、??90、03. 瓦特行星传动机构如图所示。齿轮Ⅱ与连杆AB固结。已知：1轮Ⅰ的角速度。

解：OABO1是四杆机构。速度分析如图。点P是AB杆和轮Ⅱ的速度瞬心，故：

?AB??0vAOA??PA2?AB 3??0vB?PB??AB2OA? 杆1的角速度为：两轮齿合点M的速度和轮Ⅰ的角速度分别为：

OB?OB?1vB?3.75r1?r2rad/s vm?PM??AB，?1?vm?6r1rad/s 6.在图所示星齿轮结构中，齿轮半径均为r?12cm。试求当杆OA的角速度

??2rad/s、角加速度??8rad/s2时，齿轮Ⅰ上B和C两点的加速度。

v?0 解：（1）B为轮Ⅰ的速度瞬心，BvA?2r?.设轮工角速度为?1

则

2r??r?1，?1?2?

轮工角加速度?????????????????????n?n?n取A为基点，对B点作加速度分析如图（b），有aB?aB?aA?aA?aBA?aBA 2vB2大小：？？2r?，2r?，2r?，r ?1?d?1d??2dtdt?2? 方向皆如图所示：

nnn22a?a?a?96(cm/s) ?2r?BABA向AB方向投影得：

?a向AB垂线方向投影得：B?0 2n22aB?(a?B)?(aB)?96(cm/s)故；B点的加速度 ?????????????????????n?n?n（2）以A为基点，对C点作加速度分析如图（c）,有aC?aC?aA?aA?aCA?aCA

大小 ？？ 2r?，2r?，2r?，4r? 方向皆如图所示

将上式分别向AB和AB垂线方向投影，得： 22?naC?6r?2，aC?4r? 故C点加速度：n2?2aC?(aC)?(aC)?480(cm/s2)

ω 8.图示小型精压机的传动机

构

，

EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速n=120r/min,求此时压头F的速度。

OA?O1B?r?0.1m,EB?BD?AD?l?0.4m。在图示瞬时，OA⊥AD，O1D和

解：速度分析如图，杆ED及AD均作平面运动，点P是杆ED的速度瞬心，故：

VF?VE?VD 由速度投影定理，有VDcos??VA r?2?nl2?r2VAVF????1.295m/s cos?60l解得：

第七章 拉伸与压缩

习题七

1=2kN 、P2=3kN，d1=12mm、d2=8mm，l=500mm。试求：1. 图示阶梯杆，P（1）绘轴力图；（2）最大正应力。

N1?P1?P2?5kN N?P2?3kN

2解：（1）

?1?(2)N1N1?4?A1?d12 5?103?4???122?44.2MPa N2N2?43?103?4 ?2??2?A?d??82=59.7 MPa 22 ??max?59.7MPa

2. 钢杆受力P=400 kN，已知拉杆材料的许用应力[s]=100MPa，横截面为矩形，如b=2a,试确定a、b的尺寸。

解：根据强度条件，应有 将b?2a代入上式，解得 ??PP?Aa?b???? P400?1032?????2?100?106m?44.72mm 由b?2a，得 b?89.44mm

所以，截面尺寸为b?89.44mm，a?44.72mm。 a?6. 图示结构中，梁AB的变形及重量可忽略不计。杆①、②的横截面积均为400mm，材

2料的弹性模量均为200GN/m。已知：L=2m, l1=1.5m, l2=1m,为使梁AB在加载后仍保持水平，载荷P的作用点C与点A的距离x应为多少？ 解：对AB杆进行受力分析 2?Px?N2?L?0 P(L?x)PxN1?N2?LL 解上二式得： ?l??l2 欲使加载后AB保持水平，应有1A?M?MB?0?0 ?N1?L?P?(L?x)?0 N1l1Nl?22EA??l2EA P(L?x)?l1P(2?x)?1.5P?x?1??L22 得： 解得：x?1.2m ?l1?7. 试校核图示联接销钉的剪切强度。已知P=100 kN，销钉直径d=30mm，材料的许用剪应力[t]=60MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？

Q? 解：（1）剪切面上的剪力。 校核销钉剪切强度 P2 100?103?4QP?4????2A2?d2???302?10?6?70.7MPa ????

所以销钉强度不合格。 （2）根据强度条件

??QP?4?A2?d2???? d?所以

8． 木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，h=4.5cm。p=40kN。试求接头的剪应力和挤压应力。

解：作用在接头上的剪力Q?P，剪切面积为bh

4?P4?100?1032??????2???60?106?32.57mm 40?103P???Pa?4?0.952MPa bh12?35?10 接头的剪切应力为作用在接头上的挤压力和挤压面积分别为P和bc ，

40?10?3P?j??bc12?4.5?10?4Pa=?7.41MPa 接头的挤压应力为 29. 由五根钢杆组成的杆系如图所示。各杆横截面积均为500mm，E=200 GPa。设沿对角

线AC方向作用一对20 kN的力，试求A、C两点的距离改变。 解：A铰链受力如图所示， 由平衡条件 ?X?0 N?Pcos45?0 ?Y?0 Psin45?N?0 ?1?222PN2?P22解上式得 , N?N4 由于结构对称，故有3N1??N1?B铰链受力如图，由平衡条件 2P2 cos45??N1?0 N?P 解得 5N12?aN522a?4??U2EA2EA 杆系的总变形能为 5?X?0 N应用卡氏定理，A、C两点的距离改变为 P2a(2?2)?2EA 20?103a?UPa?A??(2?2)?(2?2)??PEA200?109?500?10?6 ?0.683?10?3a 10. 厚度为10mm的两块钢板，用四个直径为12mm的铆钉搭接，若在上、下各作用拉力P=20kN ，如图示，试求：（1）铆钉的剪应力；（2）钢板的挤压应力；（3）绘出上板的轴力图。

解：（1）铆钉的剪应力

P 4由题分析可得，每个铆钉剪切面上的剪力为 20?103QP?4?=??2A4??d??122?10?6?44.23MPa 所以 （2）钢板的挤压应力

?j?PAj4?td 20?103?4?10?12?10?6?41.67MPa

?Pj（3）上板的轴力图

11．求图示结构中杆1、2的轴力。已知EA、P、h，且两杆的EA相同。 解：物块A受力如图

?X?0

P?N1?N2?cos30??0 ①

由图可知系统变形协调关系为 ?L2??L1?cos30? N2?L2N1?L1?cos30?EA即 EA L2?2h，L1?3h代入上式 3N2?N14 ② 得：N?0.606P N2?0.455P 将②式代入①式，解得 1将

第八章 轴的扭转

判断题：

1. 传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩也越大。(错)

2. 扭矩是指杆件受扭时横截面上的内力偶矩，扭矩仅与杆件所收的外力偶矩有关，而与杆件的材料和横截面的形状大小无关。(对)

3圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围内成立。(错)

4. 一钢轴和一橡皮轴，两轴直径相同，受力相同，若两轴均处于弹性范围，则其横截面上的剪应力也相同。(对)

5. 铸铁圆杆在扭转和轴向拉伸时，都将在最大拉应力作用面发生断裂。(错)

6.木纹平行于杆轴的木质圆杆，扭转时沿横截面与沿纵截面剪断的可能性是相同的。(错) 7. 受扭圆轴横截面之间绕杆轴转动的相对位移，其值等于圆轴表面各点的剪应变。(错)

习题八

1．直径D=50mm的圆轴，受到扭矩T=2.15kN.m的作用。试求在距离轴心10mm处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。 3?3T??T???2.15?10?10?10?3232?????IP?35MPa ??D4??504?10?12解： 3T2.15?10?16?max??WP??0.053?87.6MPa 截面上的最大剪应力为：4．实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器连在一起，已知轴的转速n=1.67r/s，传递功率N=7.4kW，材料的[t]=40MPa，试选择实心轴的直径d1和内外径比值为1/2的空心轴的外径D2。

解：轴所传递的扭矩为 T?9550N7.4?9550?n1.67?60?705N.m

由实心轴强度条件：

?max?T16T?W???d13???? 16?7053???????40?106?44.8mm 16T16?7053?????(1??4)??40?106?(1?0.54)?45.7mm 16T可得实心圆轴的直径为 d1?3空心圆轴的外径为： D2?35．机床变速箱第Ⅱ轴如图所示，轴所传递的功率为N=5.5 kW,转速n=200r/min，材料为45钢，[t]=40MPa，试按强度条件设计轴的直径。

解：轴所传递的扭矩为 T?9549N5.5?9549n200?263N.m 由圆轴扭转的强度条件 ?max?T16?T?W???d3???? 16T可得轴的直径为 16?2633?????40?106???32.2mm 取轴径为d?33mm d?36. 某机床主轴箱的一传动轴，传递外力偶矩T=5.4N.m，若材料的许用剪应力[t]=30MPa，G=80GN/m解：由圆轴扭转的强度条件

2?q=0.5[], /m，试计算轴的直径。

?max?T16?T?W???d13???? 可得轴的直径为 d1?316?5.43???????30?106?9.7mm 16T由圆轴刚度条件 Q?32T180T180???G?d24????? GIP?4可确定圆轴直径 180?T?32180?5.4?3242?G??????80?109??2?0.5?16.7mm 所以取直径d?16.7mm d2?7．驾驶盘的直径f=520mm，加在盘上的力P=300N，盘下面竖轴的材料许用应力[t]=60MPa。（1）当竖轴为实心轴时，试设计轴的直径；（2）如采用空心轴，且试设计轴的内外直径；（3）比较实心轴和竖心轴的重量。

a=d0.，D=8

解：方向盘传递的力偶矩

m?P???300?520?10?3?156N.m

（1）由实心轴强度条件 ?max?得轴的直径： T16T?W??d3???? d?316?1563???????60?106?23.6mm 16T(2)空心轴的外径为： 16T16?1563?????(1??4)??60?106?(1?0.84)?28.2mm d?D???28.2?0.8?22.6mm D?3W实W（3）空

?A实A空?d2实D2空?d2空?1.96 max8．直杆受扭转力偶作用如图所示，做扭矩图并写出T解：（1）

。 NAB?20?10?5?5kN.m NBC??10?5??15kN.m NCD??5kN.m Tmax?15（2）

kN.m T1??20kN.m

T2??20?10??10kN.m T3?20kN.m Tmax?20kN.m 第九章 梁的弯曲 判断题：

1. 梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。（对） 2. 最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。（错）

3梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。而与外力偶无关；其弯矩值等于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和。（对）

4. 两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图也不一定相同。（错）

5. 纯弯曲时，梁变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。（错） 6. 平面弯曲时，中性轴垂至于载荷作用面。（对）

7. 若梁上某一横截面上弯矩为零，则该截面的转角和挠度必也为零。（错）

8. 若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零，则该段梁的挠曲线必定是一直线段。（对） 9. 两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同，而材料不同，则两梁的挠曲线方程相同。（错）

10. 不论载荷怎样变化，简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。（错）

习题九

1．设P、q、M0、l、a均为已知，如图所示试列出各题的剪力方程和弯矩方程式，绘出Q、M图并出Qmax值和M（a）解：AB段： max值。 Q(x)??P (0?x?L) M(x)??Px (0?x?L) BC段： Q(x)??P (L?x?2L) M(x)?2PL?Px (L?x?2L) max （b）解：AB段 Q(x)??qx Qmax?PM?PL (0?x?L)2 1M(x)??qx22 L(0?x?)2 9Q(x)??qx?qL8 BC段 L3L(?x?)22 199M(x)??qx2?qLx?qL22816 L3L(?x?)2 25qL1Qmax?Mmax?qL28 8 2．绘出图示各梁的剪力图和弯矩图，求出Qmax和M（a）解：根据平衡方程求支反力 max，并用微分关系对图形进行校核。

RA?163 kN， 26RB?3kN 做剪力图， 弯矩图 Qmax?Mmax203kN， 64?9kN.m （b）解：根据平衡条件球求支反力 RA=2p3 RB=做剪力图、弯矩图

p3 Qmax=2p3 Mmax=pa 3．（a） (b) 1． 4. 已知图示各梁的载荷P、q，M和尺寸。和|Mmax值。 （a） (b) (c) (d) 1）作剪力图和弯矩图；（2）确定Qmax值（ (e) Qmax=75pMmax=pa2 2 =(f) Qmax=30kn Mmax (g) Qmax=qa 1k5n m Mmax=12qa2 (h) 5. 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。 (a) Qmax=qa1Mmax=qa22 8 (b)

b2?6. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m, h3,q=10kN/m, ????10MPa,试确定此梁横截面尺寸。

解：梁的最大弯矩发生在固定端截面上，

121ql=(创1042)=80knm22 m80′103s== [s]1wbh26梁的强度条件 Mmax=6创80106￡[s]3创680 10332223h×hb=hh3()m63代入上式得32创1010将， 2b=h=277mm3所以 h=416mm， 8．T字形截面梁的截面尺寸如图所示，若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩

M=30kNm,试求：（1）截面上的最大拉应力和压应力；（2）证明截面上拉应力和压应力之和，而其组成的合力矩等于截面的弯矩。

解：（1）计算T字形截面对形心轴的惯性矩 50?1503150?5032??50?150?50??50?150?502IZ1212 44?5312.5?10mm 最大拉应力发生在截面最下边缘 ?tmaxM?y130?103?75?10?3??Iz5312.5?104?10?12?42.35MPa M?y230?103?125?10?3??Iz5312.5?104?10?12?70.59MPa 最大压应力发生在截面最上边缘 ?cmax（2）证明：①中性轴上侧压力之和为

FC??0.1250中性轴下侧拉力之和为 M?yM?0.050.125M?0.05?dy?ydy??3.90625?10?4?0IZIZIZ Ft???0.02500.075M?yM?y?0.05dy???0.15?dy0.025IZIZ 0.075M?0.0250.05ydy?0.15ydy????0?0.025?IZ? M??3.90625?10?4IZ ?Fc?Ft 所以截面上拉力之和等于压力之和。

②截面上合力矩为 ?0.1250220.125My0.075MyMy2?0.05?dy??0.05dy??0.15dy00.025IzIzIz ?M?0.05?10?9?1062500Iz 0.05?10?9?1062500?M?5312.5?104?10?12?M 所以合力矩等于截面上的弯矩。 9. T形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示，材料的许用拉应力??t??40MPa，许用压应力??c??80MPa，试求梁的许可载荷?p?

解：梁的弯矩图如图， 弯矩的两个极值分别为 ?1?0.8P， ?2?0.6P 截面对形心轴的惯性矩为 ?50?2003?150?5032Iz???50?200?53.6??50?150?71.42?12?12?mm4 ?10180cm4 根据弯曲正应力强度条件 ?max?由A截面的强度要求确定许可荷载。 由抗拉强度要求得 6?81??t?Iz140?10?10180?10P????0.8y10.89.64?10?2N?52.8KN

Mymax????Iz 由抗压强度要求得 P?1??c?Iz180?106?10180?10?8???0.8y20.815.36?10?2N?66KN

由C截面的强度要求确定许可载荷： 由抗拉强度得：

6?81??t?Iz140?10?10180?10P????0.6y20.615.36?10?2N?44.1KN

显然C截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。

许用载荷为 P?44.1KN

10．矩形截面的变截面梁AB如图示，梁的宽度为b,高度为2h（CD段）和h(AC、DB段许用应力为???，为使截面C、E、D上的最大应力均等于???，加强部分的长度2a应取多少？

解：由题意可得C,D,E截面的弯矩值

MC?MDPLME??22 ?PL?(?a)22 ?max?MCME?WZ1WZ2截面上最大应力值为 欲使截面C,D,E上最大应力相等，则有

MWZ PLPL(?a)?2222?12bbh(2h)26即 6 3L2a?4 解得 EIz200?109???7.54?10?8????77.4m M4?103?64跨度中点C的挠度。 yC????2?LAC2?77.4?77.42?0.752?3.6mm 13．用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。

l2m()plpl32fA1????fA2??24EI8EI 2EI解：（a）查表得 ，pl2mlpl2QB1?QA??QB2????8EI，EIEI 3由叠加原理有 pl39pl2????fA?fA1?fA26EI QB?QB1?QB28EI f?fA1?fA2 （b）由图可知 A5ql4fA1?f?fA2，查表得 384EI 因A5ql41fA?fA1?(?)2768EI所以， 由图可知 QB?QB1?QB2，QB?QB2 2ql3ql31QB?QB1?QB1?(?)2384EI，所以 384EI而 第十章 组合变形

1. 已知单元体应力状态如图示（应力单位为???），试求：（1）指定斜截面上的正应力和剪应力；（2）主应力的大小、主平面位置；（3）在单元体上画出平面位置和主应力方向；（4）最大剪应力. ?解：（1）??30斜截面上的应力： 30?5030?50?cos(2?30?)?(?20)sin(2?30?)22 =52.3??? 30?50 ???sin(2?30?)?20cos(2?30?)2 =?18.7??? ???（2）主应力和主平面 30+5030+502?()?20222 ?62.36??? 30+5030-502?min??()?20222 ?17.64??? 2?(?20)tg2??????230?50 ????31.72? ??62.36??? （3）图 1?max??2?17.64??? （4）2.图示起重机的最大起重吊重量为P=40 kN，横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235，许用应力[?]=120Mpa ，试校核横梁的强度。

解：（1）外力分析：取AC为研究对象，受力如图，小车位于AC中点，平衡条件 ?max?(30?502)?2022?22.36Mpa ?MC(F)?0: NABsin30??3.5?P?1.75?0 NAB?P?40kN ?FY?0: YC?NABsin30??P?0 PYC?2?20kN ?FX?0: XC?NABcos30??34.64kN （2）内力分析：见轴力图，弯矩图。AC梁为压，弯组合变形，危险截面位于AC中点。

Mmax?20?1.75 ?35kN.m

（3） 应力分析 18号槽钢 WZ?2?152.2cm3 A?29.29?2cm2 363???34.64?10/(29.29?2?100)?35?10/(2?152.2?10)?max?????max?121??? （4）强度分析： ??121?120??120?8.3?10?3?0.83%?5% 满足要求 ??3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径d=30mm,材料为Q235钢，试按第三强度理论求最大起重载荷Q。

解：（1）轴的外力 Q向轴简化为Q—弯曲 力偶nQ—扭轴 （2）内力—见图 危险截面位中点： ????80Mpa，M?200Mn?200Q QL4 Q?600??150Q 4Mmax?轴发生弯曲与扭转组合变形 （3）强度计算： M2n?M2max?xd3?WZ 22(200?150)?Q?????0.1?303 30.1?30?80Q?1502?2002 ?860N ?最大起重载为860N. 4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮C直径为试用第四强度理论求轴的直径。 解：（1）外力分析， 将

dc=300mm,其上作用着铅直切向力P1=5 dPkN，齿轮D的直径为D=150mm,其上作用着水平切向力2=10kN。若[?]=100Mpa，P1， P2向AB轴简化，如图 m?P1?dc300?5?22 ?750KN.mm （2）内力分析： 在m作用下轴发生扭转，在变形。 P1、P2作用下轴发生弯曲变形，所以AB轴为弯曲组合

MZ: MC1?3P1?1504 ?562.5KN.mm 1MD2??562.53 ?187.5KN.mm 3M?P2?150D1My4 : ?1125KN.mm 1MC2??11253 ?375KN.mm 22M?562.5?375C M: ?676.1KN.mm 22M?1125?187.5D ?1140.5KN.mm (3) 强度运算： ?xd4?MD2?Mn2????WZ 223(1140.5?750?10)?32d?3??100?51.8mm 5．已知应力状态如图所示（应力单位为：MPa）。

（1）分别用图解法和解析法求（a）、(b)中指定斜截面上的应力； （2）用图解法求（c）、（d）、（e）、（f）上主应力的大小与方向 ，在单元体上画出主平面的位置，求最大剪应力。 （1）（a）解析法解： ????45MPa 50?30???sin60??8.66MPa 2 解析法求解： 50?3050?30?cos60?22 ?45???5MPa 50?45??sin90??20cos90?2 ?25MPa 5050?cos90??20sin90?22

（2）图解法： ???????1?OA?50??a????????3?OB??50??a ?max?OD1?50MPa 主平面位置 （d）解：作应力图 ?????1?OA?55MPa ?????3?OB??35MPa ??????max?CD1?45MPa 2?0?27? （e）解：作应力图 ??????OA?45MPa 1?????3?OB??45MPa ?????max?OD?45MPa 2?0?27? ??????OA?5MPa （f）1?????3?OB??85MPa ?????max?CD1?45MPa 6.图示一钢质圆杆，直径D=200mm,已知A点在与水平线60方向上的正应变?2?0?27? ?60?4.1?10?4，试求载荷P。已知E?210GN/m2, ??0.28。 ?解：（1）绕A点取一单元体， 应力状态如图： ?60????30?3cos120???224 ??1??cos(?60?)??224 ???（2）由广义虎克定律得： ?60??1??60?????30????E ?2.72???3????4E4E （3）载荷P： 4?210?103?4.1?10?4??2.72 ?126.6??? 126.6???2002?126.6??P???A?39.78?105? 443M?2.5?10??m作用在直径D=60mm的钢轴上，若E?210GN/m2, n7．扭矩?D2??0.28，试求圆轴表面上任一点在与母线成??30?方向上的正应变。

解：（1）绕A点取一单元体， 应力状态如图： （2）2.5?103?103?60??????603 ??58.9??? ?30????sin2?30? ?58.9sin60??51??? ???60????sin??2?(?60)????51??? 1?30????30????60?E（3） 51?0.28?(?51)??0.311?10?3 210?103

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