数学实验实验报告

《数学实验》实验报告

2010-2011学年第1学期

学生姓名： 学 号： 院 部： 数理学院 专 业： 班 级： 任课教师：

实验报告1

实验目的：

熟悉Mathematica软件包的使用。

实验内容：

1、用两种方式编写如下自定义函数，并求其导数f’(x)在x=-2.0,x=1.0,x=5.0处的值

2、分别用

Plot3D, ParametricPlot3D

函数画出x2?y2?z2?1（0?x?1,0?y?1）的图像。

3、用Mathematica实现一个四人追逐问题，给出结果并划出追逐路线（如下图）。

实验要求：

1、撰写实验报告；

2、写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果；

实验步骤：

1、 用两种方式编写如下自定义函数，并求其导数f’(x)及f’(x)在

x=-2.0,x=1.0,x=5.0处的值

方法1

f[x_]:=E^x Sin[x]/;x<=0;f[x_]:=Cos[x]/;0E;

g[x_]=D[f[x],x];N[{g[-2.0],g[1.0],g[5.0]}]

计算结果

{-0.179379,-0.841471,-0.839072} 方法2

h[x_]:= Which[x<=0,E^x Sin[x],0E,Sin[x] Cos[x]]; g[x_]=D[f[x],x];N[{g[-2.0],g[1.0],g[5.0]}] 计算结果

{-0.179379,-0.841471,-0.839072}

2、分别用

Plot3D,ParametricPlot3D

函数画出x2?y2?z2?1（0?x?1,0?y?1）的图像。

Plot3D函数

f[x_,y_]:=Sqrt[1-x^2-y^2];

curve1=Plot3D[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1}]; curve2=Plot3D[-f[x,y],{x,0,1},{y,0,1}]; Show[curve1,curve2] 图像

10.50-0.5-100.250.50.75100.250.510.75

ParametricPlot3D函数

x[s_,t_]:=Sin[s] Cos[t]; y[s_,t_]:=Sin[s] Sin[t]; z[s_,t_]:=Cos[s];

ParametricPlot3D[{x[s,t],y[s,t],z[s,t]},{s,0,Pi},{t,0,Pi/2}] 图像

100.750.50.25010.250.50.7510.50-0.5-1

3、用Mathematica实现一个四人追逐问题，给出结果并画出追逐路线。

设正方形边长为10，以点D为圆心，DC、DA为x轴、y轴，建立平面直角坐标系。则A（0,10），B（10,10），C（10,0），D（0,0）。

设甲追乙，速度为v,t时刻甲、乙的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2），经过时间Δt,甲的坐标为

其中，

程序设计：

v=1;t=18;dt=0.02;n =t/dt;

T={{{0,10}},{{10,10}},{{10,0}},{{0,0}}}; d=Sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]; For[j=1,j<=n,j++, For[i=1,i<=4,i++,

x1=T[[i,j,1]];y1=T[[i,j,2]];

If[i!=4,x2=T[[i+1,j,1]];y2=T[[i+1,j,2]], x2=T[[1,j,1]];y2=T[[1,j,2]]];

x1=x1+v*dt*(x2-x1)/d;y1=y1+v*dt*(y2-y1)/d; T[[i]]=Append[T[[i]],{x1, y1}]]];

P=Graphics[{Line[T[[1]]],Line[T[[2]]],Line[T[[3]]],Line[T[[4]]], Line[{{0,10},{10,10},{10,0},{0,0},{0,10}}]}]; Show[P,AspectRatio->1]; 实验结果：

实验报告2

实验目的：

练习?的求解方法。

实验内容：

1、用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式求?，若要精确到40位、50位数字，试比较简单公式和Machin公式所用的项数。

2、用数值积分计算?，分别给出用梯形法和Simpson法精确到10位数字、用Simpson法精确到15位数字时所用的项数n及?的近似值

3、用计算机模拟Buffon实验，给出n=1,000、10,000、1,000,000时的模拟结果。

实验要求：

撰写实验报告

写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果

实验步骤：

1、

m=N[Pi,40] n=N[Pi,50]

T[n_,x_]:=Sum[(-1)^(k-1)*x^(2 k-1)/(2 k-1),{k,1,n}]; N[4*T[20000,1],40]

3.141592653589793238462643383279502884197

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 3.141542653589824488462545727030247513093 Print[N[16*T[30,1/5]-4*T[30,1/239],50]]

3.1415926535897932384626433832795028841971693411490 当n=20000时，简单公式结果为：

3.141542653589824488462545727030247513093 只精确到第四位。

当n=30时，Machin公式结果为：

3.1415926535897932384626433832795028841971693411490 精确到44位。

2、当n=30000时，用简单公式可精确到第9位。 i=10;s=N[Pi, 20] f[x_]:=4/(1+x^2);

s1[n_]:=(Sum[f[k/n],{k,1,n-1}]+(f[0]+f[1])/2)/n; s2[n_]:=(f[0]+f[1]+2*Sum[f[k/n],{k,1,n-1}] +

4*Sum[f[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n); While[ Abs[N[s2[i],20]-s]>10^(-10),i++]; Print[i] N[s2[i],17]

3.1415926535897932385 14

3.1415926535074467

即当n=14时，用Simpson法可精确到第10位，Pi的近似值为3.1415926535 While[Abs[N[s2[i],20]-s]>10^(-15),i++]; Print[i] N[s2[i],20] 93

3.1415926535897922801

即当n=93时，Simpson法可精确到第15位，Pi的近似值为3.14159265358979 3、

a=20;l=10; s3[n_]:=

Block[{i,m=0},

For[i=n,i>0,i--,

m=m+If[Random[]*a/2<=l/2*Sin[Random[]*Pi/2],1,0]]; N[2*l*n/(a*m),20]]; s3[1000] s3[10000] s3[1000000]

3.0674846625766871166 3.1201248049921996880 3.1449310002138553080

实验报告3

实验目的：

熟悉差分方程的求解以及相关金融问题的数学建模方法。

实验内容：

1、假设住房贷款的年利率表为 贷款时间 年利率 1~5年 4.77% 5年以上（不含5年） 5.04% 试根据以上年率表，计算出每万元1~10年的月还款表。 2、小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清。

房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元。 小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的。

试通过计算两种贷款的利率水平，比较哪种贷款更优惠。 3、 试比较两种提前还款方式的优劣（附加）

A、提前还款额冲抵最后月份的本金，每月的还款额度不变，还款时间缩短；

B、提前还款额冲抵本金后，将剩余的贷款重新计算月还款额减少，还款时间不变。

实验要求：

撰写实验报告

写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果

实验步骤：

1、设：n（n=1,2,…，10）年期月还款金额为a[n]元,n年期第k（k=0,1,…12*n）个月剩余本金为b[k]元，年利率为r,则b[12*n]=0元,当n<=5时，r=0.0477,当n>5时，r=0.0504

f[A0_,r_,n_]:= A0(1+r/12)^(12 n)/((1+r/12)^(12 n)-1) r/12;For[n=

1,n<=10, n++,r=If[n<=5,0.0477,0.0504];Print[f[10000,r,n]];]; 855.021 437.685 298.677 229.253 187.66 161.235 141.527 126.79 115.366 106.261

每万元1~10年月还款如上。

2、商业贷款

FindRoot[f[100000,r,25]==880.66,{r,0.007}] 实验结果

{r->0.0960003} 即年利率为9.600% 金融机构贷款

f[A0_,r_,n_]:= A0(1+r/24)^(24 n)/((1+r/24)^(24 n)-1) r/24; FindRoot[ f[100000-4000,r,22] == 440.33,{r,0.04}] 实验结果

{r->0.0969953} 即年利率为9.699% 前者较为优惠

实验报告4

实验目的：

熟悉迭代法的基本概念，并用迭代法求解方程、方程组的根。

实验内容：

1、选用几种迭代格式求32的近似值，并比较收敛速度。 2、对方程组Ax?b，设A的对角元素aii?0， 令D?Diag(a11,a22,?,ann)为对角阵，

将方程组改写成Dx?(D?A)x?b，或x?(I?D?1A)x?D?1b 用这种迭代格式求解方程组Ax?b，其中

?2?11???1?，b=0 A??11?11?2???构造一种x?Mx?f迭代格式，进行迭代， 比较上述两种迭代格式的迭代次数和迭代精度。

实验要求：

撰写实验报告

写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果

实验步骤：

1、一般迭代格式

Iterate[f_,x0_,n_Integer] :=

Module[{t={},i,temp=x0},AppendTo[t,temp];

For[i=1,i<=n,i++,temp=f[temp];AppendTo[t,temp]];t] f[x_]:=x/2+1/x^2; Iterate[f,1.,17] 实验结果

{1., 1.5, 1.19444, 1.29814, 1.24248, 1.26901, 1.25547, 1.26217, 1.2588, 1.26048, 1.25964, 1.26006, 1.25985, 1.25996, 1.2599, 1.25993, 1.25992, 1.25992}

所以，采用一般迭代格式，213近似值为1.25992，需迭代17次。

牛顿迭代

f[x_]:=x^3-2;g[x_]=Dt[f[x],x]; h[x_]:=x-f[x]/g[x];Iterate[h,1.,5] 实验结果

{1., 1.33333, 1.26389, 1.25993, 1.25992, 1.25992}

所以，采用牛顿迭代格式，近似值为1.25992，需迭代5次。

2、x?Mx?f迭代格式

LSIterate[m_,f_List,f0_List,n_Integer] := Module[{i,var=f0,t=Table[{},i,n}]},

For[i=1,i<=n,i++,t[[i]]=var;var=m.var+f];t]

M = {{3,-1,1},{1,2,1},{1,1,-1}};f={0,0,0};f0={0,0, 0};LSIterate[M,f,f0,10] 实验结果：

{{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}} Jacob迭代格式

JacobIterate[a_,b_List,x0_List,n_Integer]:= Module[{ad=Length[a],i,j,k,var=var1=x0}, For[i=1,i<=ad,i++,

If[a[[i,i]] == 0,Print[\ For[i=1,i<=n,i++,Print[var]; For[j=1,j<=ad,j++, var[[j]]=

N[(b[[j]]-Sum[a[[j,k]]*var[[k]],{k,ad}])/a[[j,j]]+var[[j]], 20]]; var = var1;];]

a={{2, -1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, -2}};b={0,0,0};x0={0, 0, 0};JacobIterate[a,b,x0,10] 实验结果： {0, 0, 0} {0, 0, 0} {0, 0, 0} {0, 0, 0} {0, 0, 0} {0, 0, 0} {0, 0, 0} {0, 0, 0} {0, 0, 0} {0, 0, 0}

实验报告5

实验目的：

了解有关分形和混沌的基本理论，能够用Mathematica软件绘制出一些简单的分形和混沌图形。

实验内容：

1、用Mathematica软件绘制一个分形的图形，图形类别自选

?p1?0.5?1(z)?sz?12、令?，其中s?0.5?0.5I，绘制出相应的IFS吸引子图

p?0.5?(z)?sz?12?2形，并取不同的s，观察图形的变化。

3、用Mathematica软件绘制一个混沌的图形，图形类别自选 4、谈谈你所认识的分形和混沌

实验要求：

撰写实验报告

写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果

实验步骤：

1、Koch雪花曲线

redokoch[ptlist_List]:=

Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]}, For[i=1,i

tmp,{ptlist[[i]], ptlist[[i]]*2/3+

ptlist[[i+1]]/3,(ptlist[[i]]+ptlist[[i+1]])/

2+{ptlist[[i]][[2]]-ptlist[[i+1]][[2]],

ptlist[[i+1]][[1]]-ptlist[[i]][[1]]}*Sqrt[3]/6, ptlist[[i]]/3+ptlist[[i+1]]*2/3,ptlist[[i+1]]}]];tmp] lnko01={{0, 0}, {1, 0}};Show[

Graphics[Line[Nest[redokoch,lnko01,5]],AspectRatio->Sqrt[3]/6]]

2、

s=0.5+0.5*I;p1=0.5;w1[z_]:=s*z+1;p2=0.5;w2[z_]:=s*z-1; w[z_]:=Block[{tmp},tmp=Random[];

Which[tmp

showIFS[z0_,shrange_List,divi_List,nmax_]:=

Block[{i,j,z=z0,a=divi[[1]],b=divi[[2]],temp1,temp2,mumax=0}, For[i=a,i>=1,i--,For[j=b,j>=1,j--,mu[i,j]=0]]; For[i=nmax,i>=1,i--, temp1=Floor[

divi[[1]]*(Re[z]- shrange[[1]][[1]])/(shrange[[2]][[1]]- shrange[[1]][[1]])]+1; temp2=Floor[

divi[[2]]*(Im[z]-shrange[[1]][[2]])/(shrange[[2]][[2]]- shrange[[1]][[2]])]+1;mu[temp1,temp2]++;z= w[z];];

For[i=a,i>=1,i--,

For[j=b,j>=1,j--,mumax=Max[mumax,mu[i,j]]]];

mu1=Table[GrayLevel[1-N[mu[j,i]]/mumax],{i,a},{j,b}]; Show[Graphics[RasterArray[mu1]]]]

showIFS[0+I 0,{{-0.1,-0.1},{1.1,1.1}},{150,150},100000] 实验结果：

3、

Feigenbaum[n_Integer,x0_]:=

Module[{A ={},a,i,temp,B={}}, For[a=1,a<=n,a++,temp=x0;A={};

For[i=1,i<=50,i++,temp=4*a*temp*(1-temp)/n]; For[i=51,i<=100,i++,temp=4*a*temp*(1-temp)/n; AppendTo[A,{4*a/n,temp}]]; AppendTo[B,

ListPlot[A,PlotStyle->{PointSize[0.005]}, DisplayFunction->Identity]]];

Show[B,DisplayFunction->$DisplayFunction]]; Feigenbaum[1000,0.5] 实验结果：

10.80.60.40.2 4、分形：分形具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持相似属性。 混沌：对初值非常敏感，不是随机的。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c1cr.html