2013届高三湖南省示范学校三校联考文科数学试卷

2013届高三第四次月考联考测试卷

文科数学试题

（命题：蓝山二中高三数学备课组 总分：150分 时量：120分钟）

温馨提示：只收答题卷并按试卷题号填入对应的答题卡内！

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合A?xx?0，且A?B?B，则集合B可能是 （ ） A．?1,2? B.xx?1 C.??1,0,1? D.R 2.“m?1”是“函数f(x)?x2?2x?m有零点”的 （ ）

A．充要条件

B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件

????C．充分非必要条件

3.已知向量a,b，满足(a?2b)(a?b)??6，且a?1,b?2，则a与b的夹角为（ ）

2???? B. C. D.

34363?1?4．已 知tan(???)?,tan(??)?,那么tan(??)= A.

5646( )

A．

1 6B．

7 23C．

13 18D．

13 221x2?3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） 5．已知曲线y?24A、3

B、2

C、1

D、

1 2x26．二次曲线

42, A、[25 C、[,2

y2??1，当m?[?2,?1]时该曲线的离心率e的取值范围是（ ） m335] B、[,] 222636D、[] ,]

2221

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为 A.

8?10? B.3π C. D.6π 33

????????????28．在?ABC中，若AB?BC?AB?0,则?ABC是 ( )

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D. 等腰直角三角形 9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ） A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1） C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2） D．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）

二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（一） 选做题（请考生在第10、11两题中任选一题作答，如果全做，则按第一题

计分） 10．已知圆C的圆心是直线??x?t(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线

y?1?t?x+y+3=0相切，则圆C的标准方程为______.

11．已知一种材料的最佳加入量在10 g到110 g之间，若用0.618法安 排实验，则第二次试点的加入量可以是________ g.

2

（二） 必做题（12～16题）

开始 a1?i?12．设a是实数，且是实数，则a? ． 1?i2输入n 13．阅读上边的程序框图，若输入的n是100，则输出 的变量S和T的值依次是 ． ?2x?y?2?02214．已知??x?2y?4?0，则x?y的取值范围是 ?3x?y?3?0? ．

15．过点（4，0）的直线与抛物线y2?4x交于 两点，则两点纵坐标的平方和最小值为____ . 16.对于实数x?[0,?]，定义符号[x]表示不超过 S?0，T?0 是 n?2? 否 S?S?nn?n?1 T?T?n 输出S，T x的最大整数，则方程[2sinx]?[3] 的解集是 ；又方程[2sinx]?[x]的解集是 ． 三．解答题：（本大题共6小题，共75分） 16．(本小题满分12分)

结束 n?n?1 ??0,a?0,b?0)周已知定义在R上的函数f(x)?asin?x?bcos?x,(??,f()?3，f(x)最大值为2

4（1）写出f(x)的表达式

（2）求函数f(x)在区间??????,?上的单增区间。 22??

18．(本小题满分12分)某高校2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示。 ⑴求第3、4、5组的频率； ⑵为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ ⑶在⑵的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？

3

19．(本小题满分12分)如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为弧AC的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC=2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求证：

（1）平面ABE⊥平面ACDE； （2）平面OFD∥平面BAE

20．（本小题满分13分）2012年中秋、国庆长假期间，由于国家实行6座及以

下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象。长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午6点到中午12点，车辆通过该收费站的用时y（分钟）与车辆到达该收费站的时刻．．t之间的函数关系式可近似地用以下函数给出：

629?1332?t?t?36t?,6?t?9?844??t288,9?t?10y=f(t)???

?63t??3t2?66t?345,10?t?12??求从上午6点到中午12点，通过该收费站用时最多的时刻。

4

x2y2621．（本小题满分13分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,短轴

ab3一个端点到右焦点的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。

??x3?x2?bx?c,x?122．（本小题满分13分）已知函数f(x)?? 的图像过坐

?alnx,x?1标原点O，且在点(?1,f(?1))处的切线斜率为?5。 (1) 求实数b,c的值；

(2) 求函数f(x)在区间[?1,1]上的最小值；

(3) 若函数y?f(x)的图像上存在两点P,Q，使得对于任意给定的正实数且三角形斜边中点在ya都满足?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，轴上，求点P的横坐标的取值范围。

5

2013届高三第四次月考联考测试卷

文科数学答题卷

学校 班级 考号 姓名 一、选择题：(本大题45分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二、填空题：（本大题35分）

10 ； 11 ； 12 ； 13 ； 14 ； 15 ； 16 、 。 三、解答题（本大题75分） 17．（本小题满分12分） 18．（本小题满分12分） 19．（本小题满分12分）

6

20．（本小题满分13分）

21．（本小题满分13分）

7

8

22．（本小题满分13分）

9

2013届高三第四次月考联考测试卷

文科数学试题答案

一、选择题：(本大题45分) 题号 答案 A 1 C 2 B 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 9 二、填空题：（本大题35分） 10．(x?1)2?y2?2 11． 48.2 ； 12． 1 13 ． 2550 ; 2500. 14． ?,13? 15． 32

?5?16．(1)[?4????5????,)?(,], (2) [0,)?(1,)?(,2) 6226622。

三、解答题（本大题75分）

（1）?=2---------------------------------------------1分 17．17、解：

?a2?b2?4?a?3??----------------------5分 ??????b?1?asin?bcos?3??22?f(x)?3sin2x?cos2x-----------------------------6分

(2)f(x)?2sin(2x??????6)??????????????7分

?5?7??x??-,??2x???-,6?66??22??当

?2x??????7???5???-,??和?,6?62??26??,和???3?时，也即

??x??-??2????时,，

??6函

??2数单调递减。

--------------------------------------------------10分

10

当x??-18.

????,?时，函数单调递增。----------------------------12分 ?36?

19．

证明：（1）∵BC是半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点AC

∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB

∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，AB?平面ABC ∴由两个平面垂直的性质得，AB⊥平面ACDE ∵AB?平面ABE

∴平面ABE⊥平面ACDE．

??????????????????5分

（2）如图，设OF∩AC=M，连接DM，OA

∵F为弧AC的中点 ∴M为AC的中点． ∵AC=2DE，DE∥AC ∴DE∥AM，DE=AM

11

∴四边形AMDE为平行四边形． ∴DM∥AE

∵DM?平面ABE，AE?平面ABE ∴DM∥平面ABE ∵O为BC中点

??????????????????9分

∴OM为三角形ABC的中位线 ∴OM∥AB

∵OM?平面ABE，AB?平面ABE ∴OM∥平面ABE

∵OM?平面OFD，DM?平面OFD，OM∩DM=M ∴由两个平面平行的判定定理可知，

??????????????????12分

平面OFD∥平面ABE．

20．解：当t?[6,9)时，f(t)??t?2得：f?(t)??t?18332629t?36t? 44333t?36??(t?12)(t?8)

828故：f(t)在(6,8)单调递增，在(8,9)单调递减，

75因此，f(t)max?f(8)?；?????????????.4分

4t288t288t288, 当t?[9,10]时，f(t)???2??8。当且仅当?63t63t63t即：t?24?[9,10]。 因此f(t)在[9,10]单调递减，

73所以，f(t)max?f(9)?。???????????????8分

62当t?(10,12]时，f(t)??3t?66t?345，对称轴为t?11，

故f(t)max?f(11)?18。 ????????????????12分

12

?75?4,6?t?9??73综上所述：f(t)max??,9?t?10。

?6?18,10?t?12??故通过收费站用时最多的时刻为上午8点。?????????????..13分

?c6，??21．解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3?a?3，?分

?b?1，?????.2

x2?所求椭圆方程为?y2?1．?????????????????..4分

3（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x?m，此时A,B两点关于x轴对称，又以

|AB|为直径的圆过原点，设A(m,m)代人椭圆方程得：

m?3????????.6分 2②当AB与x轴不垂直时，

?x22??y?1设直线AB的方程为y?kx?m．联立?3，

?y?kx?m?整理得(3k?1)x?6kmx?3m?3?0，

2223(m2?1)?6km?x1?x2?2，x1x2?．????????????????.823k?13k?1分

又

3k2(m2?1)?6k2m2m2?3k22??m?。 y1y2?kx1x2?km(x1?x2)?m?2221?3k1?3k1?3k22 13

????????由以|AB|为直径的圆过原点，则有OA?OB?0。???????????..10

分

3(m2?1)m2?3k2??0 得： 即：x1x2?y1y?20 故满足：221?3k1?3k4m2?3?3k2

所以m2=

32(k?1)。又点O到直线AB的距离为：431?k2|m|3d??2? 。

2221?k1?k综上所述：点O到直线AB的距离为定值3。???????????13分 222．解：（1）当x?1时，f(x)??x3?x2?bx?c，?f?(x)??3x2?2x?b

依题意f?(?1)??5，?3(?1)2?2(?1)?b??5,?b?0 又f(0)?0,?c?0 故b?0,c?0 ...............3分 （2）当x?1时，f(x)??x?x,f?(x)??3x?2x 令f?(x)?0,有x1?0,x2?增；

在(,1)单调递减。又f(0)?0,f(1)=0 , 所以当x?[?1,1]时，f(x)min?f(0)?0 ????????6分 （3）设P(x1,f(x1))，因为PQ中点在y轴上，所以Q(?x1,f(?x1)) 又?OP?OQ,?32222，故f(x)在(?1,0)单调递减；在(0,)单调递3323f(x1)f(?x1)???1 ① x1?x1（ⅰ）当x1?1时，f(x1)?0，当x1??1时，f(?x1)?0。故①不成立??7分

14

（ⅱ）当?1?x?1时，f(x1)??x13?x12,f(?x1)?x13?x12代人①得：

?x13?x12x13?x12 ???1,?(?x13?x12)(x13?x12)?x12，

x1?x1?x14?x12?1?0 无解 ???8分

（ⅲ）当x1?1时，f(x1)?alnx1,f(?x1)?x13?x12代人①得：

alnx1x13?x121???1??(x1?1)lnx1 ② x1?x1a设g(x1)?(x1?1)lnx1(x1?1)?g?(x1)?lnx1?数。

x1?1则g(x1)是增函?0，

x1?g(1)?0,?g(x1)的值域是(0,??)。???????????10分

所以对于任意给定的正实数a，②恒有解，故满足条件。

（ⅳ）由P,Q横坐标的对称性同理可得，当x1??1时，f(x1)??x13?x12

aln(?x1)?x13?x121代人①得：f(?x1)?aln(?x1)，???1??(?x1?1)ln(?x1)

?x1x1a③

设h(x1)?(?x1?1)ln(?x1)(x1??1)，得h?(x1)??ln(?x1)?是减函数，

又因为h(?1)?0,?h(x1)的值域为(0,??)。

所以对于任意给定的正实数a，③恒有解，故满足条件。??????12分

综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为

x1?1则h(x1)?0，

x1(??,?1)?(1,??)..........13分

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c8z6.html