一级倒立摆的PID控制设计

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一级倒立摆的PID控制设计

摘 要

本文主要研究的是一级倒立摆的PID控制问题，并用遗传算法对其PID的参数进行了优化。倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。由于在实际中有很多类似于倒立摆的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。本文首先简单地介绍了倒立摆以及倒立摆的控制方法，并对其参数优化算法做了分类介绍。然后，介绍了遗传算法的基本理论和操作方法。接着建立了一级倒立摆的数学模型，并求出其状态空间描述。本文主要采用遗传算法来对PID的参数进行优化，得到较好的PID参数。最后，用Simulink对系统进行了仿真，验证了该方法的有效性，证明遗传算法是较为理想的参数优化方法。

关键词：PID控制器；倒立摆；遗传算法；MATLAB仿真

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Abstract

This paper mainly studies the PID control problem of the single inverted pendulum and optimizes PID parameters with Genetic Algorithms. Inverted pendulum is a typical fast, multivariable, nonlinear, strong-coupling and naturally unstable system. In reality there are many systems which are similar to inverted pendulum, so the research on it has profound significance both in theory and methodology. This paper first briefly introduces the inverted pendulum and the control methods of it, and makes a classified introduction of the optimization algorithm of the parameters. The basic theory and the method of operation of the Genetic Algorithms are also introduced in this paper. Then the mathematical model of the single inverted pendulum is set up and works out the description of its state and space. This paper mainly adopts the Genetic Algorithms to optimize the parameters of PID, in order to get the better PID parameters. Finally, using Simulink to do simulation of the system verifies the validity of this method and certifies that Genetic Algorithms is a ideal optimization method of the parameter.

Keywords: PID controller; inverted pendulum; Genetic algorithm; MATLAB simulation

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目 录

1 绪论 ................................................................... 1

1.1 倒立摆简介 ........................................................... 1 1.2 倒立摆的控制方法 ..................................................... 2 1.3 PID控制器参数整定方法 ............................................... 3 1.4 本文的主要任务 ....................................................... 5

2 PID简介 ............................................................... 6

2.1 PID控制的基本原理 ................................................... 6 2.2 PID控制器的参数整定 ................................................. 7 2.3 PID控制的基本用途 ................................................... 8 2.4 PID控制的重要意义 ................................................... 9

3 遗传算法的基本理论和基于遗传算法的PID参数寻优 ................ 11

3.1 遗传算法的基本原理 .................................................. 11 3.2 遗传算法的操作方法 .................................................. 13 3.2.1 二进制编码 ................................................................................................................. 13 3.2.2 适应度函数 ................................................................................................................. 13 3.2.3 遗传操作...................................................................................................................... 15 3.3 遗传算法的应用关键 .................................................. 19 3.4 基于遗传算法的PID参数寻优 ......................................... 19 3.4.1 基于遗传算法的PID寻优优点 ................................................................................ 19 3.4.2 基于遗传算法的PID寻优方法 ................................................................................ 20

4 一级倒立摆的模型 .................................................... 22

4.1 一级倒立摆的物理模型 ................................................ 22 4.2 一级倒立摆的数学模型 ................................................ 22

5 直线一级倒立摆PID控制系统的设计及仿真 .......................... 26

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5.1 PID控制器的设计 .................................................... 26 5.2 一级倒立摆系统的SIMULINK模型及系统仿真 .............................. 26 5.2.1 MATLAB及Simulink ................................................................................................ 26 5.2.2 一级倒立摆系统的Simulink模型 ........................................................................... 26 5.2.3 仿真结果...................................................................................................................... 27 5.3 小结 ................................................................ 29

结 论 ................................................................... 30 致 谢 ................................................................... 31 参考文献 ............................................................... 32 附 录 ................................................................... 33

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1 绪论

1.1 倒立摆简介

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科：力学、数学和计算机科学进行有机的综合应用。其控制方法和思路无论对理论或实际的过程控制都有很好的启迪，是检验各种控制理论和方法的有效的“试金石”。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，目前，对倒立摆的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。

倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。由于倒立摆系统本身具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用[1]。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都有大量的优秀论文出现。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。

倒立摆主要应用在以下几个方面：

(1) 机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术——机器人的行走控制至今仍未能很好解决。

(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。 (3) 通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。

(4) 侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。

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(5) 为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。

由于倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。

1.2 倒立摆的控制方法

倒立摆有多种控制方法[2]。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。当前，倒立摆的控制方法可分为以下几类 ：

(1) 线性理论控制

将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器。PID控制、状态反馈控制、能量控制、LQR控制算法是其典型的代表。

(2) 预测控制

预测控制：是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制：是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。

(3) 智能控制

智能控制(IC)是一门新型的理论和技术，是传统控制的高级阶段，主要用来解决复杂系统的控制。近几年来国内外对智能控制的理论和应用研究十分活跃。随着智能控制技术的迅速发展，已提出了许多方法，如模糊控制、神经网络、专家系统、遗传算法等。

(4) 多种算法相结合的控制

尽管各类算法有自己的优点，但也存在不足之处。多种算法相结合就可以取长补短，达到更好的控制效果。比如神经网络与模糊算法相结合、模糊控制与PID算法相结合、免疫算法和遗传算法相结合等。

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1.3 PID控制器参数整定方法

PID控制是工业过程控制中应用最广的策略之一，因此PID控制器参数的优化成为人们关注的问题，它直接影响控制效果的好坏，并和系统的安全、经济运行有着密不可分的关系。PID控制器作为最早实用化的控制器已有50多年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID控制器简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。

PID控制器由比例单元(P)、积分单元(I)和微分单元(D)组成。其输入e(t)与输出u(t)的关系为：

1p[e(t?)? u(t)?KTie(t)?dtde(t)Td ] (1.1) dt

式中积分的上下限分别是0和t，因此它的传递函数为：

G(s)?U(s)1???Kp?1??Tds? (1.2) E(s)?Tis?

式中： KP为PID控制器的放大系数； Ti为PID控制器的积分时间常数； Td为PID控制器的微分时间常数。

目前PID参数的优化方法有很多种[3]，如：单变量的寻优技术——分割法、插值法等，多变量的寻优技术——梯度法、单纯形法等。虽然两者都具有良好的寻优特性，但却存在着一些弊端，梯度法由于每步都需要计算目标函数的梯度，所以要求目标函数连续可导，该法计算繁琐费时；单纯形法对于变量较多，目标函数形态比较复杂的情况则收敛慢，同时对初值比较敏感，容易陷入局部最优解，造成寻优失败。虽然传统的优化方法存在着一些弊端，但仍是现场人员常用的方法，它们同样具有较高的研究价值。

下面介绍几种PID优化算法： (1) 临界比例度法

临界比例度法又称稳定边界法，是目前应用较广的一种控制参数整定的方法。临界比例度就是先让控制器在纯比例作用下，通过现场试验找到等幅震荡的过渡过程，记下

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此时的比例度和等幅振荡周期，再通过简单的计算求出衰减振荡时控制器的参数。

(2) 经验凑试法

此时是根据经验先将控制器的参数放在某一数值上，直接在闭环控制系统中，通过改变设定值施加干扰试验信号，在记录仪上看被控量的过渡过程曲线形状，控制器参数凑试的顺序有两种方法：一种认为比例作用是基本的控制作用，因此，首先把比例度凑试好，待过渡过程已基本稳定，然后加积分作用以消除余差，最后加入微分作用以进一步提高控制质量。另一种整定顺序的出发点是：比例度与积分时间在一定范围内相匹配，可以得到相同递减比的过渡过程。这样比例度的减小可用增大积分时间来补偿，反之亦然。所以要预先确定一个积分时间数值，然后由大到小调整比例度以获得满意的过渡过程。

(3) 专家控制

专家系统[4]是一类包含着知识和推理的智能计算机程序，其内部包含有大量的某个领域专家水平的知识和经验，能够利用人类专家的知识和解决问题的方法来处理该领域的问题。

专家控制的实质是基于受控对象和控制规律的各种知识，以智能的方式来利用这些知识，求得受控系统尽可能地优化和实用化，它反映出智能控制的许多重要特征和功能。随着微机技术和人工智能技术的发展，出现了多种形式的专家控制器。人们自然地也想到用专家经验来建立PID参数，其中最经典的是1984年美国FOXBORO公司推出的EXACT专家式自整定控制器，将专家系统技术应用于PID控制器[5]。

通常，一个以规则为基础，以问题求解为中心的专家系统由知识库、推理机、综合数据库、解释接口和知识获取五部分组成。简单地讲，知识库就是领域知识的存储器。数据库用来存放用户提供的事实和由推理机得到的中间结果。这部分的内容是随时变化的，因此它不同于一般意义上的“数据库”。推理机实质上就是计算机的一组程序，目的是用于控制、协调整个专家系统的工作。解释接口又称为人—机界面。知识获取是将某个领域内的事实性知识和领域专家所特有的经验性知识转化为计算机程序的过程。利用专家系统对PID控制参数进行优化包括四个过程。即：系统控制性能的判别，过程响应曲线的特征识别，控制参数调整量的确定以及PID控制参数的修改等。

(4) 粒子群算法

粒子群算法[6]是由Kennedy和Eberhart等1995年提出的一种演化计算算法。它是

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对鸟群觅食过程中的迁徙和聚集的模拟，更确切地说，是由简单个体组成的群落与环境以及个体之间的互动行为。该模拟系统利用局部信息，从而可能产生不可预测的群体行为。目前已广泛应用于函数优化、神经网络训练和模糊系统控制等领域。该算法与其他进化算法相似，也是基于群体的迭代算法。粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索，类似梯度下降算法使各染色体向适应度函数最优的方向群游。

(5) 遗传算法

遗传算法是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法，它最初由美国Michigan大学J.Holland教授于1975年首先提出来的，并出版了颇有影响的专著《Adaptation in Natural and Artificial Systems》，GA这个名称才逐渐为人所知，J.Holland教授所提出的遗传算法（GA）通常为简单遗传算法（SGA）[7]。

遗传算法具有很强的寻优能力，能够解决各类复杂的优化问题，且具有广泛的适应性和优良的鲁棒性。其应用前景十分广阔。根据遗传算法的特点，只要将控制器的参数构成基因型，将性能指标构成相应的适应度，便可利用遗传算法来整定控制器的最佳参数，并不要求系统是否为连续可微。

GA采用纯数值计算方法和随机进化策略，无需梯度信息，能有效解决困难的优化问题，处理问题具有灵活性、适应性、鲁棒性、全局性，不仅提高了设计的品质而且降低了设计的难度。

1.4 本文的主要任务

本论文的主要任务是研究直线型一级倒立摆的PID控制问题。主要设计思想是通过倒立摆的摆干的位置反馈给系统，从而作出参数调整，使之达到期望的结果。

首先，通过牛顿力学的分析和微分方程的计算，初步建立一级倒立摆的数学模型，并计算出一级倒立摆的状态空间描述。

然后，在给定的目标函数下，利用遗传算法的原理和搜索最优参数的方法，实现PID控制器参数整定与优化，这是一种寻求全局的优化方法，且无需对目标函数微分，可提高参数优化水平，简化优化的解析计算过程。

最后，结合MATLAB遗传算法工具箱对给定的一级倒立摆系统进行仿真，并对其结果分析。

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2 PID简介

2.1 PID控制的基本原理

工程实际中，将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，用这一控制量对被控对象进行控制，这样的控制器称PID控制器。简称PID控制，又称PID调节[8]。其系统基本原理结构如图所示：

图 2.1 PID控制系统原理结构图

PID控制器各校正环节的作用如下：

a）比例环节。

即成比例地反映系统的偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减小偏差。控制作用的强弱取决于比例系数Kp，比例系数Kp越大，控制作用越强，过渡过程越快，静态偏差也就越小；但Kp越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性。故Kp选择必须恰当，才能过渡时间少，静差小而又稳定的效果。

b）积分环节

可以消除系统稳态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。Ti越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡，但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。当Ti较小时，则积分的作用较强，这时系统过渡时间中有可能产生振荡，不过消除偏差所需的时间较短。所以必须根据实际控制的具体要求来确定Ti。

c）积分环节

微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，将有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对高阶系统非常有利，它加快

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了系统的跟踪速度。但微分的作用对输入信号的噪声很敏感，对那些噪声较大的系统一般不用微分，或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。微分部分的作用由微分时间常数Td 决定。Td 越大时，则它抑制偏差e(t)变化的作用越强；Td 越小时，则它反抗偏差e(t)变化的作用越弱。适当地选择微分常数Td，可以使微分作用达到最优。

PID算法蕴涵了动态控制过程中过去、现在和将来的主要信息，而且其配置几乎最优。比例(P)代表了当前的信息，起纠正偏差的作用，使过程反应迅速。微分(D)在信号变化时有超前控制作用，代表了将来的信息。在过程开始时强迫过程进行，过程结束时减小超调，克服振荡，提高系统的稳定性，加快系统的过渡过程。积分(I)代表了过去积累的信息，它能消除静差，改善系统静态特性。此三作用配合得当，可使动态过程快速、平稳、准确，收到良好的效果。

PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。PID控制实际中也有PI和PD控制。

2.2 PID控制器的参数整定

PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容。它是根据被控过程的特性确定PID控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小。PID控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定法。它主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数。这种方法所得到的计算数据未必可以直接用，还必须通过工程实际进行调整和修改。二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。PID控制器参数的工程整定方法，主要有临界比例法、反应曲线法和衰减法。三种方法各有其特点，其共同点都是通过试验，然后按照工程经验公式对控制器参数进行整定。但无论采用哪一种方法所得到的控制器参数，都需要在实际运行中进行最后调整与完善。现在一般采用的是临界比例法。利用该方法进行PID控制器参数的整定步骤如下：

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(1) 首先预选择一个足够短的采样周期让系统工作；

(2) 仅加入比例控制环节，直到系统对输入的阶跃响应出现临界振荡，记下这时的比例放大系数和临界振荡周期；

(3) 在一定的控制度下通过公式计算得到PID控制器的参数。

通常PID调节器的参数是由人工进行整定的。由于PID三个参数互相关联，因此PID参数的整定并非是一件容易的事，尤其当一个过程的控制需要几百个调节器参加控制时，参数的整定不仅花费时间，而且也不容易校正合适。另外，这种人工整定的方法也无法适应一些复杂系统，如时变系统、扰动噪声大的系统，非线性系统等[9]。随着控制要求的提高以及控制理论技术的发展,出现了许多智能PID控制器和新算法,因此,对PID参数的整定将会出现许多先进方法。

2.3 PID控制的基本用途

它由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数（Kp，

Ti和Td）即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个

单元，但比例控制单元是必不可少的。

首先，PID应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过对其简化可以变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样PID就可以控制了。

其次，PID参数较易整定。也就是说PID参数Kp，Ti和Td可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。

第三，PID控制器在实践中也不断的得到改进，下面就是两个改进的例子。 在工厂，总是能看到许多回路都处于手动状态，原因是很难让过程在“自动”模式下平稳工作。由于这些不足，采用PID的工业控制系统总是受产品质量、安全、产量和能源浪费等问题的困扰。PID参数自整定就是为了处理PID参数整定这个问题而产生的。现在，自动整定或自身整定的PID控制器已是商业单回路控制器和分散控制系统的一个标准。

在一些情况下针对特定的系统设计的PID控制器控制得很好，但它们仍存在一些问题需要解决：

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如果自整定要以模型为基础，为了PID参数的重新整定在线寻找和保持好过程模型是较难的。闭环工作时，要求在过程中插入一个测试信号。这个方法会引起扰动，所以基于模型的PID参数自整定在工业应用不是太好。

如果自整定是基于控制律的，经常难以把由负载干扰引起的影响和过程动态特性变化引起的影响区分开来，因此受到干扰的影响控制器会产生超调，产生一个不必要的自适应转换。另外，由于基于控制律的系统没有成熟的稳定性分析方法，参数整定可靠与否存在很多问题。

因此，许多自身整定参数的PID控制器经常工作在自动整定模式而不是连续的自身整定模式。自动整定通常是指根据开环状态确定的简单过程模型自动计算PID参数。

PID在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，工作地不是太好。最重要的是，如果PID控制器不能控制复杂过程，无论怎么调参数都没用。

虽然有这些缺点，但PID控制器是最简单的有时却是最好的控制器。

2.4 PID控制的重要意义

自蒸汽机调速机采用比例控制以来，工业过程的自动控制理论和技术已经有很大的发展，特别是现代控制理论和微处理技术的发展，更促进了工业自动化的发展。尽管如此，工业过程控制的基础仍离不开PID技术。曾有调查结果表明：在当时使用的控制方式中，PID型占84.5%、优化PID型占6.8%。现代控制型占1.6%，手动控制型占6.6%，人工智能(AI)型占0.6%。如果把PID型和优化PID型两者加起来，则占90%以上。这说明PID控制方式占绝大多数。随着工业现代化的发展和其它各种先进技术的发展，自动化技术将会有更加新的发展。但是，可以毫不夸张地说，PID控制技术仍然不过时，它还是占据着主导地位[10]。

迄今为止，PID控制技术是最通用的控制方法。在现代工业过程控制中，目前采用最多的控制方式依然是PID方式，即使在工业较先进的国家，PID控制的使用率也达到84.5%。这一方面是由于PID控制器具有简单而固定的形式，在很宽的操作条件范围内都能保持较好的鲁棒性；另一方面是因为PID控制器允许工程技术人员以一种简单而直接的方式来调节系统[11]。

虽然PID控制器产生于19世纪初，其后许多先进的控制方法也不断推出，但由于其结构简单、可靠性较高、具有一定鲁棒性及易于操作等优点，仍被广泛应用于化工、

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冶金、电力、机械、航天等工业过程控制中。目前全世界大约有90％的过程控制仍在使用PID控制器及其改进型来完成反馈回路的控制[12]。

随着计算机技术和现代控制理论的发展，许多新型算法的实现成为可能。这些算法在理论上已被证明优于传统的PID控制算法。然而，在实际的工业过程中，占主导地位的控制器还是PID控制器，高级控制算法的应用十分有限，它的优越性也得不到充分的体现。原因主要有：1） PID控制器已经成为过程控制领域的一种标准控制器；从工程观点看，PID控制器不需要精确的数学模型；2） PID控制参数的物理意义清楚；3） PID控制器容易在线调整[13]。

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3 遗传算法的基本理论和基于遗传算法的PID参数寻优

3.1 遗传算法的基本原理

遗传算法(Genetic Algorithms)，简称GA，是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机优化搜索算法，是一种近似算法[14]。

既然遗传算法效仿于自然选择的生物进化，是一种模仿生物进化过程的随机方法。下面给出几个生物学的基本概念与术语，这对于理解遗传算法是非常重要的。

染色体：是遗传物质的主要载体，由多个遗传因子基因组成。 遗传因子：染色体中一定位置的基本遗传单位，也称基因。 基因型：遗传因子组合的模型，是性状染色体的内部表现。 表现型：由染色体决定性状的外部表现。 基因座：遗传基因在染色体中占据的位置。

等位基因：同一基因座它可能有的全部基因称为等位基因。 个体：指染色体带有特征的实体。

种群：染色体带有特征的个体组成了种群。群体中个体数目大小称为群体大小，也叫群体规模。

适应度：各个体对环境适应程度。

选择：指决定以一定概率从种群中选择若干个体的操作。一般而言选择过程是一种基于适应度的优胜劣汰的过程。

交叉：两个染色体之间通过交叉而重组形成新的染色体。

变异：染色体的某一基因发生变化，产生新的染色体，表现出新的性状。 编码：遗传编码可看成是从表现型向基因型的映射。 解码：是基因型向表现型的映射。

引用了这些术语，可以更好的描述遗传算法，遗传算法也就是从代表问题的可能潜在解集的一个种群出发，而一个种群则由基因编码的一定数目个体组成。每个个体其实是染色体带有特征的实体。染色体作为遗传物质的主要载体，即多个基因的集合，其内部表现是某种基因的组合，它决定了个体的外部表现形状。因此，在一开始要实现从表现型到基因型的编码工作。由于仿照基因编码工作很复杂，往往采取简化形式，如二进

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制编码，初代种群产生后，按照适者生存和优胜劣汰的原理，逐代演化出越来越好的近似解。在每一代，根据问题域中个体的适应度大小选择个体。并借助于自然遗传学的遗传算子进行组合交叉和变异产生出代表新的解集的种群。这个过程将导致种群象自然进化一样，后生代种群比前代更加适应于环境，末代种群的最优个体经过解码，可以作为问题的近似最优解。

下面是简单遗传算法的求解步骤： 1）初始化种群；

2）计算种群上每个个体的适应度值；

3）按由个体适应度值所决定的某个规则将进入下一代的个体； 4）按概率Pc进行交叉操作； 5）概率Pc进行突变操作；

6）没有满足某种停止条件，则转第2）步，否则进入7）； 7）输出种群中适应度值最优的染色体作为问题的满意解或最优解。

程序的停止条件有两个：完成了预定的进化代数；种群中的最优个体在连续若干代没有改进或平均适应度在连续若干代基本没有改进。遗传算法流程如图3.1所示：

图 3.1 遗传算法结构图

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3.2 遗传算法的操作方法

3.2.1 二进制编码

在遗传算法中如何描述问题的可行解，即把一个问题的可行解从其解空间转换到遗传算法所能处理的搜索空间的转换方法称为编码。编码是应用遗传算法时要解决的首要问题，也是设计遗传算法时的一个关键步骤。编码方法除了决定了个体的染色体排列形式之外，它还决定了个体从搜索空间的基因型变换到解空间的表现型时的译码方法，编码方法也影响到交叉操作数、变异操作数等遗传操作数的运算方法。由此可见，编码方法在很大程度上决定了如何进行群体的遗传进化运算以及遗传算法进化计算的效率。好的编码方法，有可能会使得交叉运算、变异运算等遗传操作可以简单的实现和执行。遗传算法编码方式有多种形式，本文采用适用于多种问题的一类多变量二进制编码形式。二进制编码是遗传算法中最常用的一种编码方法，它使用的编码符号集是由二进制符号0和1所组成的二值符号集{0，1}，它所构成的个体基因型是一个二进制编码符号串。二进制编码符号串的长度与问题所要求的求解精度有关。参数的二进制字符串表示值和实际值之间的关系为：

a?amin?binamax?amin (3.1)

2n?1其中，bin是参数a的二进制编码；[amax,amin]是参数a的取值范围，n为二进制编码的长度，总共能够产生2n种不同的编码。 3.2.2 适应度函数

在研究自然界中生物的遗传和进化现象时，生物学家使用适应度这个术语来度量某个物种对于其生存环境的适应程度。遗传算法中也使用适应度这个概念来度量群体中各个个体在优化计算中有可能达到或接近于或有助于找到最优解的优良程度。适应度较高的个体遗传到下一代的概率就较大；而适应度较低的个体遗传到下一代的概率就相对小一些。度量个体适应度的函数称为适应度函数(Fitness Function)。因此，适应度函数的确定直接关系到遗传算法的寻优效率以及效果。

1.适应度函数的作用

在选择操作时会出现以下问题：

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(1) 在遗传进化的初期，通常会产生一些超常的个体，若按照比例选择法，这些异常个体因竞争力太突出而控制了选择过程，影响算法的全局优化性能。

(2) 在遗传进化的后期，即算法接近收敛时，由于种群中个体适应度差异较小时，继续优化的潜能降低，可能获得某个局部最优解。

上述问题，通常称为遗传算法的欺骗问题。适应度函数设计不当，可能造成这种问题的出现，因此适应度函数的设计是遗传算法设计的一个重要方面。

2.适应度函数的设计

适应度函数设计主要满足以下条件： (1) 单值、连续、非负、最大化。

(2) 合理、一致性的要求适应度值反映对应解的优劣程度，这个条件的达成往往比较难以衡量。

(3) 计算量小的适应度设计应尽可能简单，这样可以减少计算时间和空间上的复杂性，降低计算成本。

(4) 通用性强的适应度对某类具体问题，应尽可能通用，最好无需使用者改变适应度函数中的参数。

衡量控制系统的性能可用稳定性、可控性、可观性、稳态特性和动态特性来表征，用稳定裕量、稳态指标、动态指标以及综合指标评价。在控制系统中，由于其本身特有的惯性、滞后等特点，一般采用偏差积分指标来衡量控制系统性能的优良程度。偏差积分指标是过渡过程中被调节量偏离其新稳态值的偏差沿时间轴的积分。无论是偏差幅度大，还是过渡过程时间长，都会使得误差积分指标增大。因此，偏差积分指标是一类综合指标，希望越小越好。

常用的偏差积分指标如下： 1) 误差积分：

IE??e(t)dt (3.2)

0?2) 误差平方和积分：

ISE??e2(t)dt (3.3)

0?这种性能指标着重权衡大的偏差，在大的起始偏差时有迅速减小偏差的倾向，因此系统响应速度快，有振荡，超调量大，稳定性较差。

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3) 平方误差的矩的积分：

?4) 平方误差的二阶矩的积分：

?0te2(t)dt (3.4)

?5) 绝对误差的积分：

?0t2e2(t)dt (3.5)

IAE??e(t)dt (3.6)

0?该性能指标是一种容易应用的指标，其最佳性能时，表明系统具有适当的阻尼和令人满意的瞬态响应，因此系统将有较快的输出响应，超调量略大。

6) 绝对误差的矩的积分：

ITAE??te(t)dt (3.7)

0?这是绝对误差积分指标的一种改进，它对阶跃响应的起始的大的偏差考虑较少，而是着重权衡瞬间响应后期的偏差。该指标的特点是瞬态响应超调量小，振荡有足够阻尼。

7) 绝对误差的一阶矩的积分：

??0t2e(t)dt (3.8)

采用不同的积分公式意味着估计整个过渡过程优良程度的侧重点不同。控制系统的设计往往也要求同时满足多个性能指标，这些性能指标可能包括优化目标和对系统性能的约束条件等，是根据对控制系统的要求预先给定的。有时候，这些指标之间往往含有相互矛盾的因素，由于控制目标具有一定的模糊性，约束指标常常也存在着一定的柔性。在一定条件下难以满足较高的性能指标时，适当放宽要求，对整个控制系统可能是有利的。性能指标的设计本身就是控制系统设计中的一个重要环节。无论是对系统性能指标的“硬约束”或“软性能期望”，都可以统一地通过定义一个满意度函数方式描述，以综合满意度函数反映对系统总体性能的综合评价，只是具体的函数形式的区别。 3.2.3 遗传操作

遗传操作是模拟生物基因遗传的操作，在遗传算法中，通过编码组成初始群体后，遗传操作的任务就是对群体的个体，按照它们环境适应程度施加一定操作，从而实现优胜劣汰的进化过程，从优化搜索而言，遗传操作可使问题的解，一代又一代的优化，并

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逼近最优解。

简单遗传算法的遗传操作包含三个基本遗传算子：选择(Selection)、交叉(Crossover)、变异(Mutation)。

这三个遗传算子有如下特点：这三个遗传算子的操作都是在随机扰动情况进行，换句话说，遗传操作是随机操作，因此群体中个体向最优解迁移的规则是随机的。遗传操作效果和上述三个遗传算子所取操作概率、编码方法、群体大小、初始群体以及适应度函数设定密切相关。三个基本遗传算子的操作方法或操作策略随具体求解问题的不同而相异，更具体地讲，是与个体的编码方式直接相关。

1.选择

从群体中选择优胜个体，淘汰劣质个体的操作叫选择。选择算子有时又称为再生算子。选择的目的是把优胜的个体直接传到下一代或通过交叉配对再遗传到下一代。选择操作是建立在群体中个体适应度评估的基础之上，即个体适应度越高，其被选择的机会就越多，日前常用的选择算子有：适应度比例方法、最优保留法、期望值方法、排序选择方法、联赛选择方法、排挤方法。

选择过程的第一步是计算适应度。被选择的每个个体具有一个选择概率，这个概率取决于种群中个体的适应度及其分布。

按比例分配的适应度分配是个体选择概率的常用分配方法。按比例分配的适应度分配，可称为蒙特卡罗法，是利用比例于各个个体适应度的概率决定其子孙的遗留可能性。若某一个个体i其适应度为fi，则其被选取的概率表示为：

Pi?fik?fi?1Mki (3.9)

从上式就可以看出：

适应度高的个体，繁殖下一代的数目比较多。

适应度低的个体，繁殖下一代的数目比较少，甚至被淘汰。

这样，就产生了对环境适应能力比较强的后代。对于问题求解角度来讲，就是选择出和最优解比较接近的中间解。当选择的概率确定后，产生[0，1]区间的均匀随机数来决定哪一个个体参加交配。显然选择概率大的个体能多次被选中，它的遗传因子就会在种群中扩大。上述方法以适应度为基础进行选择。

2.交叉

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4 一级倒立摆的模型

4.1 一级倒立摆的物理模型

倒立摆的物理构成可以表述为：光滑的导轨，可以在导轨上自由移动的小车，和一个质量块的摆杆。它们的铰接方式决定了它们在竖直平面内运动。水平方向的驱动力F使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而达到倒立摆系统的平衡。其模型如图4.1所示。

该系统的被控变量分别为：?1为摆杆偏离垂直方向的角度，x为小车相对参考点(导轨的最左端位置)的相对位移。摆杆的中心坐标为(x1,y1)。

实际上，倒立摆系统要保持竖直方向的稳定状态，前提是摆杆与竖直方向所成的角度必须在一定的范围之内。一般情况下，要求不得小于5?。

图 4.1 直线一级倒立摆的物理模型

4.2 一级倒立摆的数学模型

利用牛顿力学方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后， 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图4.2所示。

我们不妨做以下假设： M 小车质量

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m 摆杆质量 b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设： 1.摆杆及小车都是刚体。

2. 皮带轮与皮带之间无相对滑动，传动皮带无伸长现象。

3. 小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，而且无滞后，忽略交流伺服电机电枢组中的电感。

4. 实验过程中的库仑摩擦、各种动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。

对摆杆进行受力分析，建立一级倒立摆系统的数学模型。

对摆杆的受力分解如图4.2所示。图中?1为摆杆与竖直方向的夹角。F11'为小车对摆杆的水平分力，F12'为小车对摆杆的竖直分力。

图 4.2 对摆杆的受力分析

水平方向的方程为：

d2x1d2?lcos?)????F11'?F22?m12?m12(x?l1sin?1)?m1(x111 (4.1) dtdt??cos??m????m1l1??m1?x1111l1sin?1

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竖直方向的方程为：

d2y1d2?sin?)?m1g?F12'?F21?m1?m12(l1cos?1)?m1(?l1?112 (4.2) dtdt??sin??ml????m1l1?11111cos?1将两个方程合并：

???mglsin?co? I?ml2????ml?xs (4.3) 当摆杆与垂直向上方向之间的夹角相比很小时，则可以进行如下处理：

???2?0为了得到控制理论的习惯表达，即u为一般控制量，用u代cos???1,sin????,?表控制量的输入力F，线性化得到数学模型方程为：

?????mgl? (4.4) I?ml2???ml?x??bx??ml???u (4.5) ?M?m??xx

将式(4.4)，(4.5)进行拉普拉斯变化为：

???I?ml???s?s

22?mgl??s??mlX?s?s2?ml??s?s2?U?s??M?m?X?s?s2?bX?s?s (4.6)

整理后得以u为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数，将上式整理得：

ml2s??s?q (4.7) G1?s???222U?s?bI?ml3?M?m?mglsbmglss4?s??qqq??其中q??M?m?I?ml2??ml?

2????

由现代控制理论可知，控制系统的状态空间方程为：

??AX?BuX (4.8)

Y?CX?Du

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??解代数方程，得如下状态空间方程： ?,? 方程组对?x?0????x?????0x???????0???????????0?1?(I?ml2)bI(M?m)?Mml20?mlbI(M?m)?Mml20mgl2I(M?m)?Mml20mgl(M?m)I(M?m)?Mml220?0??2x?????I?ml0?????x?I(M?m)?Mml2? (4.9) ???u??1?????0?ml?????0????2????I(M?m)?Mml??

?x????0?x??1000??x????u? (4.10) y????????????0010?????0????????}，?,?,?以小车加速度作为输入的系统状态方程，设摆杆长为0.25m，设X?{x,x?则有： u???x???0?x?????0x ?????????0?????????0100000029.40??x??0??x???1?0???????u (4.11) 1?????0???????0?????3??x????0?x??1000??x????u? (4.12) y????????????0010?????0???????辽宁科技大学本科生毕业设计 第26页

5 直线一级倒立摆PID控制系统的设计及仿真

5.1 PID控制器的设计

本文采用的方法是在得到被控对象有效模型的基础上，通过评价MATLAB仿真控制系统的性能指标对控制器参数进行优化的。由于一级倒立摆是一个多输入多输出的多变量系统，而PID是一个单输入单输出的控制器，所以这里用两个PID控制器分别对一级倒立摆的两个变量进行控制。这两个变量分别是小车的位移，一级摆的角度。

由于应用遗传算法来整定PID参数其中有一个步骤是在利用遗传算法对PID参数的比例系数Kp、积分系数Ti和微分系数Td进行搜索时，可先根据经验粗略地选择一个搜索范围，然后可利用搜索结果缩小搜索范围再进行搜索，直至获得一个较合适的搜索范围和Kp，Ti，Td为止。

5.2 一级倒立摆系统的Simulink模型及系统仿真

5.2.1 MATLAB及Simulink

MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件[16]，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

而Simulink是MATLAB最重要的组件之一[17]，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。

5.2.2 一级倒立摆系统的Simulink模型

本文采用的方法是在得到被控对象有效模型的基础上，通过评价MATLAB仿真控制系统的性能指标对控制器参数进行优化的。由于一级倒立摆是一个多输入多输出的多变量系统，而PID是一个单输入单输出的控制器，所以这里用两个PID控制器分别对一级倒立摆的两个变量进行控制。这两个变量分别是小车的位移和一级摆的角度。

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由于应用遗传算法来整定PID参数其中有一个步骤是在利用遗传算法对PID参数

的比例系数Kp、积分系数Ti和微分系数Td进行搜索时，可先根据经验粗略地选择一个搜索范围，然后可利用搜索结果缩小搜索范围再进行搜索，直至获得一个较合适的搜索范围和Kp，Ti，Td为止。

图5.1为一级倒立摆系统的Simulink模型

图 5.1一级倒立摆系统的Simulink模型

5.2.3 仿真结果

以下为仿真结果：Kp1??2.3412；Ti1?0；Td1??2.6235；Kp2?27.6471；Ti2?0；

Td2?4.2314；Kp7?1；Kp8?1。

对小车位移进行控制的PID控制器的参数，经遗传算法优化后值如下：

Kp1??2.3412；Ti1?0；Td1??2.6235

小车的位移响应曲线如图5.2所示：

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图5.2 小车位移响应曲线

对摆角角度进行控制的PID控制器的参数，经遗传算法优化后值如下：

Kp2?27.6471；Ti2?0；Td2?4.2314。

小车的摆角响应曲线如图5.3所示：

图5.3 小车摆角响应曲线

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5.3 小结

经过上面的仿真及结果分析，此种遗传算法在参数优化上有较好的寻优能力，对一级倒立摆的控制效果很好，精度也很高。经过遗传算法优化PID参数后得出的响应结果好，系统稳定而且无论是系统的响应速度还是超调量都有明显改善，符合要求。

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结 论

传统的非线性系统分析方法需要非线性系统的精确模型，而现实世界上存在的大量复杂的多变量非线性系统则表现为参数的不确定性和结构的不确定性。PID控制理论为解决这类复杂多变量非线性系统开辟了一条新途径。本文围绕一级倒立摆系统，采用自动控制理论中的经典控制理论研究了倒立摆控制问题。用Simulink进行了倒立摆的PID控制系统仿真研究，并且结合计算机控制技术研究了倒立摆实物系统的控制问题。通过该系统的设计，说明了PID控制系统设计的一般步骤，对PID控制系统设计具有借鉴意义。

本文围绕一级倒立摆系统，采用遗传算法对PID参数进行优化的方法研究了倒立摆控制问题，文中设计了倒立摆系统的PID控制器，然后利用遗传算法进行PID参数寻优。

通过实验研究，得到了一些结论：

(1) 对于具有非线性、多变量等特点的倒立摆系统进行系统分析，推导出其非线性数学模型，分析其非线性因素，扰动对倒立摆系统的影响。

(2) 详细叙述了以经典控制论为基础的PID控制理论，针对倒立摆系统为控制对象设计了PID控制器及相关的控制方法。以倒立摆摆角为被控量，PID控制器结构简单，实施行好。

(3) PID控制方法实现了倒立摆的良好控制。运用经典控制的基本理论和方法，即可实现对PID参数的最佳自动调整，这就是PID控制。通过实验可知，这种控制方法可以取得良好的控制效果。

(4) 在倒立摆系统仿真试验的基础上，实现了倒立摆的实物控制。将自己设计的控制器嵌入到固高公司设计的倒立摆控制中，进行编译、连接、运行，实现对倒立摆的实时控制。在本课题中，基本达到开题时预定的研究目标，但是在实际调试过程中，若有系统方法精确的计算出控制参数，将大大节省调试时间。但是实时控制唯一不足之处在于PID控制器只能控制摆杆的角度，不能控制小车的位移，这种方法有待于进一步研究。

(5) 此外，我运用了《自动控制理论》课程中的一些内容，如数学模型的建立，PID控制器的设计，从而加深了对所学内容的理解，也培养了理论联系实际的能力。

由于时间和知识水平有限，本文中难免存在错误和不足的地方，还请各位老师批评指正。

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致 谢

在本论文结束之际，我要真心感谢所有关心、支持、帮助过我的老师和同学，有了他们的指导、鼓励和帮助，才使我的毕业设计顺利完成。

首先也是我主要感谢的就是我的导师李小华教授。李老师知识渊博，治学严谨，经验丰富，为人和蔼。在大三大四期间给了我很多的帮助。我的设计工作与论文撰写都是在李老师精心的指导和帮助下完成的。她忘我的工作热情以及严谨的治学态度给了我很大鼓励。这篇论文从题目选择到最终成文，每次我遇到问题，李老师都是不厌其烦地给我讲解，直到我明白为止。通过这次毕业设计，使我对自动化专业的认识有了很大的提高。在经过大量的实验后我把理论同实践结合起来，对我将来的工作有很大的帮助。此次毕业设计我不但完成了设计的任务，也从中得到了训练，这些都与李老师的悉心指导和帮助分不开。在此，我对辛勤培育我的导师致以最崇高的敬意和衷心的感谢！

其次，在这次毕业设计中，我还得到了电信学院其他老师和同学们提供的帮助，谨在此对他们表示衷心的感谢！

我还要感谢我的父母和朋友们，是他们在我一次次失败中鼓励我不要放弃，勇往直前！大学四年结识了很多良师益友，感谢他们对我的谆谆教导和无私帮助，这是我大学期间积累的宝贵人生财富！

最后，衷心感谢各位评审老师在百忙之中评阅我的论文，请接受我最诚挚的敬意！

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