2016年天津市高考理科数学试题及答案

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

?如果事件A，B互斥，那么

?如果事件A，B相互独立，那么

P(A?B)?P(A)?P(B). P(AB)?P(A)P(B).

?圆柱的体积公式V?Sh.?圆锥的体积公式V?1Sh. 3其中S表示圆柱的底面面积， 其中S表示圆锥的底面面积， h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 学科.网 （1）已知集合A??1,2,3,4?，B?yy?3x?2,x?A，则A?B? （A）?1?

（B）?4? （D）?1,4?

??（C）?1,3?

?x?y?2≥ 0,??（2）设变量x，y满足约束条件?2x?3y?6≥ 0,则目标函数z?2x?5y的最小值为

??3x?2y?9≤ 0.? （A）?4

（B）6

（C）10

（D）17

（3）在?ABC中，若AB?13，BC?3，?C?120?， 则AC?

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为

（A）2 （B）4

（C）6

（D）8

则

（5）设?an?是首项为正数的等比数列，学科&网公比为q，“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n?1?a2n＜0”的

（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线

xy（b＞0）?2?1，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐

4b22（第4题图）

近线相交于A，B，C，D四点，学科&网四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为

x23y2x24y2x2y2x2y2??1 （B）??1 （C）?2?1（D）??1 （A）444344412（7）已知?ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE?2EF，则AF?BC的值为

（A）?51（B） 88 （C）

1 4 （D）

11 8?x2?(4a?3)x?3a,x＜0?（8）已知函数f(x)??（a＞0，学.科网且a?1）在R上单调递减，且关于x的

log(x?1)?1,x≥0??a方程f(x)?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

2

3123（C）[,]?{}

334（A）(0,]

（B）[,]

（D）[,)?{

233412333} 4

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分.

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9）已知a，b?R，i是虚数单位，若(1?i)(1?bi)?a，则

a的值为_____________. b28（10）(x?)的展开式中x7的系数为_____________.（用数字作答）

1x（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：m），学科.网则该四棱锥的体积 为_____________m.

（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，

3BE?2AE?2，BD?ED，则线段CE的长

为_____________.

（13）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间

(??,0)上单调递增.若实数a满足f(2则a的取值范围是_____________.

a?1)＞f(?2)，

?x?2pt2,（14）设抛物线?（t为参数，p＞0）的焦

?y?2pt点F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为

7B.设C(p,0)，AF与BC相交于点E.若CF?2AF，

2且?ACE的面积为32，则p的值为_____________.

三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?4tanxsin(??x)cos(x?)?3.

23?（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[?

（16）（本小题满分13分）

某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分 别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （Ⅱ）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列 和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF?平面ABCD，点G为AB的中点，AB?BE?2.

（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF； （Ⅱ）求二面角O?EF?C的正弦值； （Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH???,]上的单调性. 442HF， 3求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

（18）（本小题满分13分）

已知?an?是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为d.对任意的n?N?，bn是an和an?1的等比中项.

?22（Ⅰ）设cn?bncn?是等差数列； ?1?bn，n?N，求证：数列?（Ⅱ）设a1?d，Tn?

?(?1)b，n?N，求证?k2k?2nk?111＜2. 2dk?1Tkn（19）（本小题满分14分）

x2y2113e?1(a＞3)的右焦点为F，右顶点为A.已知设椭圆2?， ??a3OFOAFA其中O为原点，e为椭圆的离心率. 学.科.网

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF?HF，且?MOA≤?MAO，求直线l的斜率的取值范

围.

（20）（本小题满分14分）

设函数f(x)?(x?1)?ax?b，x?R，其中a，b?R. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若f(x)存在极值点x0，且f(x1)?f(x0)，其中x1?x0，求证：x1?2x0?3； （Ⅲ）设a＞0，函数g(x)?f(x)，求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于．．．314

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

一、选择题：

（1）【答案】D （2）【答案】B （3）【答案】A （4）【答案】B （5）【答案】C （6）【答案】D （7）【答案】B （8）【答案】C

第Ⅱ卷

二、填空题： （9）【答案】2 （10）【答案】?56 （11）【答案】2 （12）【答案】23 31322（13）【答案】(,) (14) 【答案】6 三、解答题 （15）

【答案】（Ⅰ）?xx?????????????（Ⅱ）在区间??,?上单调递增, 学科&网在区间??，?k?,k?Z?，?.??2?124??412??上单调递减. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：

f(x)=2sin?2x??在区间[??3，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期????根据（1）的结论，研究三角函数

??,]上单调性 44

试题解析：??? 解：f?x?的定义域为?xx??????k?,k?Z?. 2???????f?x??4tanxcosxcos?x???3?4sinxcos?x???3

3?3????1?32=4sinx?cosx?sinx?3?2sinxcosx?23sinx?3 ??2?2??=sin2x?3?1-cos2x??3?sin2x?3cos2x=2sin?2x??所以, f?x?的最小正周期T??3.

2???. 2????解：令z?2x?3,函数y?2sinz的单调递增区间是???由????2?2k?,???2k??,k?Z. 2??2?2k??2x??3??2?2k?,得??12?k??x?5??k?,k?Z. 12 设A?????5??????????,?,B??x??k??x??k?,k?Z?，易知A?B???,?.

12?124??44??12?所以, 当x???????????????,?学.科网时,f?x? 在区间??,?上单调递增, 在区间??，??上单调递减. ?44??124??412?考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】（Ⅰ）【解析】

2试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：C10，再确定选出的2人参加义工活动112次数之和为4所包含基本事件数：C3，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为C4?C41（Ⅱ）详见解析 30,1,2.学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望

试题解析：解：(?)由已知，有

112C3C4?C41P?A???, 2C103

所以，事件A发生的概率为

1. 3(?)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

2C32?C32?C4P?X?0??2C101111C3C3?C3C4P?X?1??2C1011C3C4P?X?2??2C10?4， 15?7， 15?4. 15所以，随机变量X学.科网分布列为

X 0 1 2 4 15474?1. 随机变量X的数学期望E?X??0??1??2?151515P 考点：概率，概率分布与数学期望 【结束】 (17)

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】

7 154 1537（Ⅲ） 321试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值

????????????试题解析：依题意，OF?平面ABCD，如图，以O为点，分别以AD,BA,OF的方向为x轴，y轴、z轴

的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，

A??1,1,0?,B(?1,?1,0),C(1,?1,0),D(11，,0),E(?1,?1,2),F(0,0,2),G(?1,0,0).

??????????????????n1?AD?0（I）证明：依题意，AD?(2,0,0),AF??1,?1,2?.设n1??x,y,z?为平面ADF的法向量，则??????，???n1?AF?0

?????????????2x?0即? .不妨设z?1，可得n1??0,2,1?，又EG??0,1,?2?，可得EG?n1?0，又因为直线?x?y?2z?0EG?平面ADF，所以EG//平面ADF.

????????????（II）解：易证，OA???1,1,0?为平面OEF的一个法向量.依题意，EF??1,1,0?,CF???1,1,?2.设

????????????x?y?0?n2?EF?0CEF为平面的法向量，则，即 .不妨设x?1，可得n2??x,y,z????????????x?y?2z?0??n2?CF?0???n2??1,?1,1?.

?????????????????????OA?n263因此有cos?OA,n2?????，于是sin?OA,n2??，所以，二面角O?EF?C的正弦值??????33OA?n2为

3. 3????????2?????224?22（III）解：由AH?HF，学.科网得AH?AF.因为AF??1,?1,2?，所以AH?AF??,?,?，

355?555???????????????????BH?n27?284??334?进而有H??,,?，从而BH??,,?，因此cos?BH,n2????????.所以，直线BH和???21?555??555?BH?n2平面CEF所成角的正弦值为7. 21

考点：利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】

222试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：bn?anan?1，从而cn?bn?1?bn?an?1an?2?anan?1?2dan?1，因

此根据等差数列定义可证：cn?1?cn?2d?an?2?an?1??2d（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利

2用分组求和化简Tn?n???1?k?12nn2bn2???b12?b2????b32?b42????b22n?1?b22n??2d2n?n?1?，再利用裂项相

11n11n?11?1?1?消法求和??????1???，易得结论. 2?2??2?2dk?1k?k?1?2dk?1?kk?1?2d?n?1?k?1Tk222试题解析：（I）证明：由题意得bn?ana?n1，有cn?bn?1?bn?an?1an?2?anan?1?2dan?1，因此

cn?1?cn?2d?an?2?an?1??2d2，所以?cn?是等差数列.

222222（II）证明：Tn??b1?b2??b3?b4??b2n?1?b2n

???????2d?a2?a4???a2n??2d?nn?a2?a2n??2d2n?n?1?

211n11n?11?1?1?1所以??. ????1????2?2??2?2T2dkk?12dkk?12dn?12d?????k?1kk?1k?1?考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （19）

x2y266??1（Ⅱ）(??,?【答案】（Ⅰ）]?[,??) 4344【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由

113c113c??，得??再利用|OF||OA||FA|caa(a?c)，

a2?c2?b2?3，可解得c2?1，a2?4（Ⅱ）先化简条件：?MOA??MAO?|MA|?|MO|，即M

再OA中垂线上，xM?1，

再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H，最后

根据BF?HF，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设F(c,0)，由

113c113c，即??，可得a2?c2?3c2，又??|OF||OA||FA|caa(a?c)2x2y2?1. a?c?b?3，所以c?1，因此a?4，所以椭圆的方程为?432222（2）（Ⅱ）解：设直线l的斜率为k（k?0），则直线l的方程为y?k(x?2).设B(xB,yB)，由方程组

?x2y2?1??，消去y，整理得(4k2?3)x2?16k2x?16k2?12?0. 3?4?y?k(x?2)?8k2?68k2?6?12ky?x?解得x?2，或x?，由题意得，从而. BB2224k?34k?34k?39?4k212k,).由BF?HF，得由（Ⅰ）知，F(1,0)，设H(0,yH)，有FH?(?1,yH)，BF?(24k?34k2?39?4k29?4k212kyH?2?0，解得yH?.因此直线MH的方程为BF?HF?0，所以212k4k?34k?319?4k2y??x?.

k12k?19?4k220k2?9?y??x?设M(xM,yM)，由方程组?.在?MAO中，k12k消去y，解得xM?212(k?1)?y?k(x?2)?20k2?9?MOA??MAO?|MA|?|MO|，即(xM?2)?y?x?y，化简得xM?1，即?1，解212(k?1)22M2M2M得k??66或k?. 4466]?[,??). 44所以，直线l的斜率的取值范围为(??,?考点：学.科网椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】

（20）

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：f'(x)?3(x?1)?a，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当a?0时，有f?(x)?0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(??,?).②当a?0时，存在三个单调区间

22（Ⅱ）由题意得(x0?1)?af(x1)?f(x0)及单调性可得结论（Ⅲ）实

，计算可得f(3?2x0)?f(x0)再由3|f(3a3a|,|f(?)|33的大小即可，分三种情况研究①

，

②

当

质研究函数g(x)最大值：主要比较f(1),f(?1)，

当

a?3时，

1?3a3a?0?2?1?333?a?34时，

1?323a3a3a23a3a3a，③当0?a?时，0?1??0?1??1??2?1??1??2.

433333332试题解析：（Ⅰ）解：由f(x)?(x?1)?ax?b，可得f'(x)?3(x?1)?a. 下面分两种情况讨论：

（1）当a?0时，有f'(x)?3(x?1)?a?0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(??,??). （2）当a?0时，令f'(x)?0，解得x?1?23a3a，或x?1?.

33当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f'(x) f(x) (??,1?＋ 3a3a3a3a3a3a (1? (1?) 1?,1?) 1?,??) 3333330 极大值 － 单调递减 0 极小值 ＋ 单调递增 单调递增 所以f(x)的单调递减区间为(1?3a3a3a3a,1?)，单调递增区间为(??,1?)，(1?,??). 33332（Ⅱ）证明：因为f(x)存在极值点，所以由（Ⅰ）知a?0，且x0?1，由题意，得f'(x0)?3(x0?1)?a?0，即(x0?1)?2a， 3

2aax0??b. 338a3(1?x0)?2ax0?3a?b 又f(3?2x0)?(2?2x0)?a(2?2x0)?b?32aa??x0??b?f(x0)，且3?2x0?x0，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足f(x1)?f(x0)，且

333进而f(x0)?(x0?1)?ax0?b??x1?x0，因此x1?3?2x0，所以x1?2x0?3；

（Ⅲ）证明：设g(x)在区间[0,2]上的最大值为M，max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况同理：

（1）当a?3时，1?3a3a，由（Ⅰ）知，f(x)在区间[0,2]上单调递减，所以f(x)在?0?2?1?33区间[0,2]上的取值范围为[f(2),f(0)]，因此

M?max{|f(2)|,|f(0)|}?max{|1?2a?b|,|?1?b|} ?max{|a?1?(a?b)|,|a?1?(a?b)|}

?a?1?(a?b),a?b?0，所以M?a?1?|a?b|?2. ??a?1?(a?b),a?b?0?（2）当

323a3a3a23a?a?3时，1?，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，?0?1??1??2?1?4333323a3a23a3a)?f(1?)，f(2)?f(1?)?f(1?)，

33333a3a),f(1?)]，因此 33f(0)?f(1?所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(1?M?max{|f(1??max{|?3a3a2a2a)|,|f(1?)|}?max{|?3a?a?b|,|3a?a?b|} 33992a2a3a?(a?b)|,|3a?(a?b)|} 99?2a23313a?|a?b|???3??. 9944433a3a时，0?1??1??2，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 433（3）当0?a?

f(0)?f(1?23a3a23a3a)?f(1?)，f(2)?f(1?)?f(1?)， 3333学.科网所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(0),f(2)]，因此

M?max{|f(0)|,|f(2)|}?max{|?1?b|,|1?2a?b|} ?max{|1?a?(a?b)|,|1?a?(a?b)|}

?1?a?|a?b|?1. 41. 4综上所述，当a?0时，g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/olc6.html