全国大学生数学竞赛预赛试题（1-9届）

第一届全国大学生数学竞赛预赛试题

一、填空题（每小题5分，共20分）

y(x?y)ln(1?)xdxdy?__ ，其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴所围成三角形区域. 1．计算??D1?x?y2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2??f(x)dx?2, 则f(x)?____________.

02x2?y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________. 3．曲面z?24．设函数y?y(x)由方程xef(y)d2y

?eln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则2?_____.

dx

yex?e2x???enxx二、（5分）求极限lim()，其中n是给定的正整数.

x?0n

1f(x)?A，A为常数，求g?(x)并讨论g?(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)??f(xt)dt，且limx?00xe在x?0处的连续性.

四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：

5（1）?xesinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx； （2）?xesinydy?ye?sinydx??2.

2LLL

五、（10分）已知y1?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线y?ax2?bx?2lnc过原点.当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线与x轴及直线

1x?1所围图形的面积为.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

3

?e?(x)?un(x)?xe(n?1,2,?), 且un(1)?, 求函数项级数?un(x)之和. 七、（15分）已知un(x)满足unnn?1n?1x八、（10分）求x?1时, 与?xn等价的无穷大量.

??2n?01

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题

一、（25分，每小题5分）

n?1?（1）设xn?(1?a)(1?a2)?(1?a2),其中|a|?1,求limxn. （2）求lime?x?1??。

n??x???x?x2（3）设s?0，求I??e?sxxndx(n?1,2,?)。

0??2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求2?2。

?x?y?r?22?x?y?0x?2y?1z?3??（5）求直线l1:?与直线l2:的距离。 4?2?1?z?0二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且f??(x)?0,limf?(x)???0,limf?(x)???0,且

x???x???存在一点x0，使得f(x0)?0,证明：方程f(x)?0在(??,??)恰有两个实根。

?x?2t?t2三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程?(t??1)所确定，其中?(t)具有二阶导数，曲线

?y??(t)y??(t)与y??e?udu?1t223在t?1出相切，求函数?(t)。 2en四、（15分）设an?0,Sn??ak,证明：（1）当??1时，级数?k?1an收敛； （2）当??1且sn??(n??)?n?1Sn??时，级数?

an发散。 ?Sn?1n??x2y2z2五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中??????1)的直线，均匀椭球2?2?2?1，

abc222其中（0?c?b?a,密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值。

六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分

2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy22?0; （2）的值为常数。（1）设为正向闭曲线证明(x?2)?y?1,L4242????x?yx?ycc求函数?(x)；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求??c2xydx??(x)dy。 42x?y2

第三届全国大学生数学竞赛预赛试题

一．

计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）

11?cosx（1）.求lim??sinx??x?0x??； （2）.求lim?11??1； ??...??n??n?1n?2n?n??2t?x?ln1?e??d2y?（3）已知?，求。 2tdxy?t?arctane??二．（10分）求方程

?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解。

f?0?,f'?0?,f\?0?均不为0，

三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得limh?0k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2?0。

x2y2z2222四．（17分）设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0，?2:z?x?y，?为?1与?2abc的交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

?x2?3y2?1五．（16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（z?0）取上

?z?0侧，?是S在P?x,y,z?点处的切平面，??x,y,z?是原点到切平面?的距离，?,?,?表示S的

z正法向的方向余弦。计算：（1）（2）z??x?3?y??z?dSdS；?????x,y,z??SS

六．（12分）设f(x)是在实数a0，定义an

七．（15分）是否存在区间

???,???内的可微函数，且

?f、?x??mf?x?，其中0?m?1，任取

?lnf?an?1?,n?1,2,...,证明：??an?an?1?绝对收敛。

n?1?0,2?上的连续可微函数f(x)，满足f?0??f?2??1，

f、?x??1,?0f?x?dx?1？请说明理由。

3 2

第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一. 每题6分共30分

1x?11.求极限lim(n!)n； 2.求极限lim23n??x???x?sintt?costxdt；

?2x?y?3z?03.求通过直线L:?的两个相互垂直的平面?1,?2，是其中一个平面过点（4,?3,1）；

?5x?5y?4z?3?04.已知函数z?u(x,y)eax?by?2u，且?0，确定常数a和b，使函数z?z(x,y)满足方程

?x?y?2z?z?z???z?0； ?x?y?x?x5.设函数u?u(x)连续可微，u(2)?1，且?(x?2y)udx?(x?u3)udy在右半平面上与路径无关，求u(x)；

L二.（10分）计算?e?2x|sinx|dx；

0??

三.（10分）求方程x2sin

四.（12分）设函数y?f(x)二阶可导，且f??(x)?0,f(0)?0,f?(0)?0，求limx?01?2x?501的近似解，精确到0.001； xx3f(u)，其中u是3f(x)sinu曲线y?f(x)上点P(x,f(x))处切线在x轴上的截距；

五.（12分）求最小实数C，使得对满足?|f(x)|dx?1的连续的函数f(x)，都有?f(x)dx?C；

0011

六.（12分）设f(x)为连续函数，t?0，区域?是由抛物面z?x2?y2和球面x2?y2?z2?t2所围起来的上半部分，定义三重积分F(t)????f(x2?y2?z2)dv，求F?(t)；

?

七.（14分）设?an与?bn为正项级数那么（1）若lim(n?1n?1??anan?1bnn???1（1）若?)?0，则?an收敛；

bnn?1lim(an??ann?1bn??1?)?0，则若?bn发散，?an收敛。 bnn?1n?14

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、 解答下列各题（每小题6分共24分）

1.求极限lim1?sin?1?4nn???2?n??. 2.证明广义积分

?0sinxdx不是绝对收敛的 x3.设函数y?y?x?由x3?3x2y?2y3?2确定，求y?x?的极值。

4.过曲线y?3x?x?0?上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为求点A的坐标。

?3，4二、（12分）计算定积分I?

???xsinx?arctanexdx 21?cosx?f?x??1??0。证明 ：级数?f??收敛。 三、（12分）设f?x?在x?0处存在二阶导数f???0?，且limx?0x?n?n?1

四、（12分）设f?x???,f??x????0?a?x?b?，证明?sinf?x?dx?ab2 m

五、（14分）设?是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 I????x3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy。试确定曲面?，使积分I的值最小，并求该最小值。

?

六、（14分）设Ia?r????Cydx?xdy?x2?y2a?，其中a为常数，曲线C为椭圆x2?xy?y2?r2，取正向。求极限

r???limIa?r?

111????2n的敛散性，若收敛，求其和。 七（14分）判断级数?n?1?n?1??n?2??5

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