三角函数、平面向量综合题九种类型

三角函数与平面向量综合题的九种类型

题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合

【例1】 已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.

C－3B

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.

2

题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】

3?

已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥→b．

2

α?

（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(＋)的值．

23

题型三. 三角函数与平面向量的模的综合

2?

【例3】 已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0

525?

＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

213

题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例4】（2010年高考安徽卷）已知0????4，?为f(x)?cos(2x??8)的最小正周期，

2cos2??sin2(???)a?(tan(??),?1),b?(cos?,2),a?b?m，求的值．

4cos??sin??

?→练习：设函数f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.（Ⅰ）求实数m的值；2（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.

1

题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题

【例5】 （浙江卷）如图，函数y?2sin(?x??),x?R（其中0???（Ⅰ）求?的值；

?2）的图像与y轴交于点（0，1）。

（Ⅱ）设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，求PM与PN的夹角。

题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例6】（山东卷）在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，tanC?37． （1）求cosC； （2）若CB?CA?5，且a?b?9，求c． 2

题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

【例7】（陕西卷）f(x)?a?b，其中向量a?(m,cos2x)，b?(1?sin2x,1)，x?R，且函数y?f(x)的图象经过点(?4,2)．

（Ⅱ）求函数y?f(x)的最小值及此时x值的集合。

（Ⅰ）求实数m的值；

题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法

?xπ?【例8】（湖北卷）将y?2cos???的图象向左平移π/4,向下平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为

?36??x???xπ?Ａ．y?2cos????2 Ｂ．y?2cos????2

?34??34??xπ??xπ?Ｃ．y?2cos????2 Ｄ．y?2cos????2

?312??312?题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

【例9】（湖北卷）设向量a?(sinx,cosx),b?(cosx,cosx),x?R，函数f(x)?a?(a?b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)?

2

3成立的x的取值集. 2

【专题训练】 一、选择题

→1．已知→a＝(cos40?，sin40?)，→b＝(cos20?，sin20?)，则→a·b＝

A．1

B．3

2

1C．

2

D．

2 2

（ ）

πππ

2．将函数y＝2sin2x－的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是

222

A．2cos2x

B．－2cos2x

C．2sin2x

D．－2sin2x

→→→→→→

3．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b＜0，则△ABC是 A．钝角三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．任意三角形 D．75?

314．设→a＝(,sin?)，→b＝(cos?,)，且→a∥→b，则锐角?为

23

A．30?

B．45?

C．60?

（ ）

（ ）

（ ）

3?

5．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，)，则一定有 （ ）

2

A．→a∥→b B．→a⊥→b C．→a与→b夹角为45°D．|→a|＝|→b| π6．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋?→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数?＝

12

5A． 2

3B． 2

5C．－

2

3D．－

2

→→→

7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2长度的最大值是

（ ）

D．23

（ ）

A．2 B．3 C．32 8．若向量→a＝(cos?,sin?)，→b＝(cos?,sin?)，则→a与→b一定满足

A．→a与→b的夹角等于?－?

C．→a∥→b

B．→a⊥→b

D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)

9．已知向量→a＝(cos25?,sin25?)，→b＝(sin20?,cos20?)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为 A．2

B．1

（ ） C．

2

2

1D．

2

→＝OA→＋?(AB→＋AC)→，?∈10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的

A．外心 B．内心 C．重心 二、填空题

（ ） D．垂心

1

11．已知向量→m＝(sin?，2cos?)，→n＝(3,－).若→m∥→n，则sin2?的值为____________．

2

→＝(2cos?，2sin?)，OB→＝(5cos?，5sin?)，若OA·→OB→＝－5，则S△的值12．已知在△OAB(O为原点)中，OAAOB

为_____________.

3π→→→→→→

13．已知向量m＝(1，1)向量n与向量m夹角为，且m·n＝－1.则向量n＝__________．

4

3

三、解答题

→14．已知向量→m＝(sinA,cosA)，→n＝(3,－1)，→m·n＝1，且A为锐角. (Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．

15．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量→m＝(1，2sinA)，→n＝(sinA，1＋cosA)，满?足→m∥→n，b＋c＝3a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋)的值．

6

16．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，→m＝(2b－c，a)，→n＝(cosA，－cosC)，且→m⊥→n．

(Ⅰ)求角A的大小；

?

(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值时，求角B的大小.

6

17．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，

（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；

??→（Ⅱ）若f(x)＝→a·b，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．

44

18．设函数f(x)?a?(b?c)，其中向量a?(sinx,?cosx),b?(sinx,?3cosx)，

c?(?cosx,sinx),x?R．

（Ⅰ）求函数f?x?的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数y?f?x?的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小

的d．

19．已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?),?（Ⅰ）若a?b，求?； （Ⅱ）求a?b的最大值．

4

?2????2．

【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型

【例1】【解】（Ⅰ）∵→p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)， 33?则sin2A＝，又A为锐角，所以sinA＝，则A＝. 423

?

(π－－B)－3B

3C－3B13?

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B

2232231????5????

sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝， 2262666623ymax＝2.

→2、【解】 （Ⅰ）∵→a⊥→b，∴→a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， ＝

4→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα

3

13?14＝．∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－． 2223

3?α3?4α1αα5α

（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos

2243222252

25＋1525α?α?α?25153

＝－，∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－

523232352521024→3、【解】 (Ⅰ)∵|→a－→b|＝5，∴→a2－2→a·b＋→b2＝，将向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)代入上式得

5543

12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)＝. 55

34512??

(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，

22551313

33∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.

654、【解答】因为?为f(x)?cos(2x?又a?b?cos??tan(???8)的最小正周期，故???．因为a?b?m，

?4)?2，故cos??tan(???4)?m?2．

2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2?)?由于0???，所以

4cos??sin?cos??sin??1?tan?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)??2cos???

cos??sin?1?tan?cos??sin??cos??tan(???4)?m?2．

???→练习解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.

222??

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋)＋1，当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－2.

445、【解答】（I）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin??1,即sin??1. 2 5

因为0????2，所以???6.

115)及其图像，得M(?,0),P(,?2),N(,0), 663611所以PM?(?,2),PN?(,?2),从而

22（II）由函数y?2sin(?x??cos?PM,PN??6、【解答】（1）

1515PM?PN?，故?PM,PN??arccos. 1717|PM|?|PN|sinC1?37,又sin2C?cos2C?1，解得：cosC??， cosC81tanC?0，?C是锐角，?cosC?．

855?a2?b2?41，（2）CB?CA?， ?abcosC?，?ab?20，又a?b?9，?a2?2ab?b2?81，

22tanC?37，??c2?a2?b2?2abcosC?36，?c?6．

7、【解答】（Ⅰ）f(x)?a?b?m(1?sin2x)?cos2x由已知f()?m(1?sin??24)?cos?2?2，得m?1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin(2x?∴当sin(2x?由sin(2x??4)

?4)??1时，y?f(x)的最小值为1?2，

?3???)??1，得x值的集合为?x|x?k??,k?Z?． 48??????xπ???x??8、【解答】∵a???,?2?，∴平移后的解析式为y?2cos?????2?2cos????2，选A．

?4??3612??34?9、【解答】（Ⅰ）∵f(x)?a?(a?b)?a?a?a?b?sinx?cosx?sinxcosx?cosx

2221132??1?sin2x?(cos2x?1)??sin(2x?)

222242?32?? ∴f(x)的最大值为?，最小正周期是222332?3（Ⅱ）要使f(x)?成立，当且仅当?sin(2x?)?，

22242??3??,k?Z, 即sin(2x?)?0?2k??2x??2k????k???x?k??44883?3???即f(x)?成立的x的取值集合是?x|k???x?k??,k?Z?．

288??

6

【专题训练】参考答案 一、选择题

3→1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a·b＝cos40?sin20?＋sin40?cos20?＝sin60?＝. 2πππ?

2．D 【解析】y＝2sin2x－→y＝2sin2（x＋）－＋，即y＝－2sin2x.

2222→→→→

AB·ACa·b

3．A 【解析】因为cos∠BAC＝＝→→＜0，∴∠BAC为钝角.

→→

|b||AB|·|AC||a|·

31

4．B 【解析】由平行的充要条件得×－sin?cos?＝0，sin2?＝1，2?＝90?，?＝45?.

233?→→5．B 【解析】→a·b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a·b＝0，∴→a⊥→b． 2π5?

6．A →c＝→a＋?→b＝(6，－4＋2?)，代入y＝sinx得，－4＋2?＝sin＝1，解得?＝.

12227．C 【解析】|P1P2|＝(2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝10－8cosθ≤32.

8．D 【解析】→a＋→b＝(cos?＋cos?,sin?＋sin?)，→a－→b＝(cos?＋cos?,sin?－sin?)，∴(→a＋→b)·(→a－→b)＝

cos2?－cos2?＋sin2?－sin2?＝0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)． 21→9．C 【解析】|→u|2＝|→a|2＋t2|→b|2＋2t→a·b＝1＋t2＋2t(sin20?cos25?＋cos20?sin25?)＝t2＋2t＋1＝(t＋)2＋，

22

12 →|→u|2 ＝，∴|u|＝. minmin22

→＋AC→＝2AD→，又由OP→＝OA→＋?(AB→＋AC)→，AP→＝2?AD→，所以AP→与10．C 【解析】设BC的中点为D，则AB

→共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心． AD二、填空题

8312sin?cos?2tan?83

11．－ 【解析】由→m∥→n，得－sin?＝23cos?,∴tan?＝－43，∴sin2?＝2＝－． 2＝249249sin?＋cos?tan?＋153→OB→＝－5?10cos?co?s＋10sin?sin?＝－5?10cos(?－?)＝－5?cos(?－?)＝－1，∴sin12． 【解析】OA·223→＝2，|OB|→＝5，∴S△＝1×2×5×3＝53． ，又|OA|AOB

2222

3π→→→→→→→

13．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1 ①，由m与n夹角为，有m·n

4

3π? x=﹣1? x＝0→→→→→

＝|m|·|n|cos，∴|n|＝1，则x2＋y2＝1 ②，由①②解得?或? ∴即n＝(－1，0)或n＝

4? y=0? y＝－1

(0，－1) ． 三、解答题

??1→14．【解】(Ⅰ)由题意得→m·n＝3sinA－cosA＝1，2sin(A－)＝1，sin(A－)＝， 662

???

由A为锐角得A－＝，A＝. 663

113

(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，

222

13

因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值．

22

∠AOB＝

7

→

3

当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，]．

2

1

15．【解】(Ⅰ)由→m∥→n，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝或cosA＝－1.

2

?

∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A＝. 3

3

(Ⅱ)∵b＋c＝3a，由正弦定理，sinB＋sinC＝3sinA＝，

2

2?2?3

∵B＋C＝，sinB＋sin(－B)＝，

3323333?

∴cosB＋sinB＝，即sin(B＋)＝． 22262

→16．【解】(Ⅰ)由→m⊥→n，得→m·n＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，

由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0

∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，

1?∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，故A＝. 23

???

(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos＋cos2Bsin 666

31?

＝1＋sin2B－ cos2B＝1＋sin(2B－).

226

2???7?

由(Ⅰ)得，0＜B＜，－＜2B－＜，

3666

???

∴当2B－＝，即B＝时，y取最大值2.

62317．【解】（Ⅰ）假设→a∥→b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，

1＋cos2x11－cos2x

∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·＋sin2x＋＝0，

222即sin2x＋cos2x＝－3，

??

∴2(sin2x＋)＝－3，与|2(sin2x＋)|≤2矛盾，

44故向量→a与向量→b不可能平行．

→（Ⅱ）∵f(x)＝→a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x ＝2(

22?cos2x＋sin2x)＝2(sin2x＋)， 224

????3????

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2；

44444428???当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．

444

18．解：(Ⅰ)由题意得，f(x)?a?(b?c)?(sinx,?cosx)?(sinx?cosx,sinx?3cosx)

?sin2x?2sinxcosx?3cos2?2?cos2x?sin2x?2?2sin(2x?最大值为2?

3?)， 所以，f(x)的42，最小正周期是2???. 28

（Ⅱ）由sin(2x?3?3?k?3?)?0得2x??k?，即x??,k?Z， 4428于是d?(k?3?k?3?2?,?2)，d?(?)?4,k?Z． 2828因为k为整数，要使d最小，则只有k?1，此时d?(??8,?2)即为所求．

19．解：（Ⅰ）若a?b，则sin??cos??0，由此得：tan???1,(?所以， ????2????2)，

?4．

（Ⅱ）由a?(sin?,1),b?(1,cos?),得：

a?b?(sin??1)2?(1?cos?)2?3?2(sin??cos?)

?3?22sin(??) 4当sin(??

??4)?1时，a?b取得最大值，即当???4时，a?b的最大值为2?1．

9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/flia.html