高一数学练习（平面向量与三角函数）

高一数学练习（平面向量与三角函数）

??→1．已知a?(cos400,sin400),b?(sin200,cos200)，则→a·b＝（ ）

312

C． D． 222

3?

2．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，)，则一定有 （ ）

2

→→A．→a∥b B．→a⊥b C．→a与→b夹角为45° D．|→a|＝|→b|

A．1

B．

π

3．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋?→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数?＝（ ）

12

5353A． B． C．－ D．－

2222

→→→

4．设0≤θ≤2π时， OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则|P1P2|的最大值是（ ）

A．2 B．3 C．32 D．23 5．若向量→a＝(cos?,sin?)，→b＝(cos?,sin?)，则→a与→b一定满足 （ ） D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)

??6．已知向量a?(cos250,sin250),b?(sin200,cos200)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为（ ）

A．2

B．1

C．

→→A．→a与→b的夹角等于?－? B．→a⊥b C．→a∥b

2

2

??????7．已知a?(1,cosx),b?(1,sinx),x?(0,?)，若|a?b|?|a||b|，则tanx的值为（ ）

A.3

B.

1D．

2

2 2 C.1

D.?1

1→8．已知向量→m＝(sin?，2cos?)，→n＝(3,－).若→m∥n，则sin2?的值为____________． 2

9．已知向量a?(2cos?,2sin?),b?(3cos?,3sin?)，向量a与b的夹角为30°，则cos (?–?)的值为_______ 10．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且

2sin2α＋sin2α→→→→|AC|＝|BC|，求角α的大小；（Ⅱ）若AC⊥BC，求的值． 1＋tanα

11．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；

??→（Ⅱ）若f(x)＝→a·b，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．

44

?????25?12．已知向量a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), |a?b|?.（Ⅰ）求cos(???)的值; （Ⅱ）

5??5若0???, ????0, 且sin???, 求sin?.

2213

3?→13．已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b．（Ⅰ）求tanα的值； 2

α?

（Ⅱ）求cos(＋)的值．

23

14．设向量a?(1,cos2?),b?(2,1),c?(4sin?,1),d?(sin?,1)，其中??(0,的取值范围；（Ⅱ）若函数f(x)?|x?1|,比较f(a?b)与f(c?d)的大小.

12?4).（Ⅰ）求a?b?c?d????x?x??????x???x???15．已知a??2cos,tan????,b??2sin???,tan????.令f?x??a?b.（Ⅰ）求f?x?2?24???24??24?????的单调增区间；（Ⅱ）若x?[0,)时，f?x??m?1恒成立，求m的取值范围.

2 ????????16．已知a＝(cos?,sin?)，b＝(cos?,sin?),a与b之间有关系式ka?b?3a?kb，其中k﹥0, （Ⅰ）

??????用k表示a?b；（Ⅱ）求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角的大小．

?????????17．在直角△ABC中，已知BC＝a，∠A＝，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角

2C?????????取何值时BP?CQ的值最大 并求出这个最大值． Q

aABP高一数学练习（平面向量与三角函数）答案

1．已知?a?(cos400,sin400),?b?(sin200,cos200)，则→a·→b＝（ ）

A．1

B．32 C．12

D．

22

解：由数量积的坐标表示知→a·→b＝cos40?sin20?＋sin40?cos20?＝sin60?＝

3

2

. 2．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3?

2

)，则一定有 （ ）

A．→a∥→b

B．→a⊥→b

C．→a与→b夹角为45° D．|→a|＝|→b|

解：→a·→b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，3?2

)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a·→b＝0，∴→a⊥→b．

3．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋?→b，若C点在函数y＝sinπ

12

x的图象上,实数?＝（ A．52 B．32

C．－52

D．－32

解：→c＝→a＋?→b＝(6，－4＋2?)，代入y＝sinπ?

512x得，－4＋2?＝sin2＝1，解得?＝2

.

4．设0≤θ≤2π时， OP→1＝(cosθ，sinθ)，OP→2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则|P→

1P2|的最大值是（ ）

A．2

B．3

C．32 D．23

解：|P→1P2|＝(2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝10－8cosθ≤32. 5．若向量→a＝(cos?,sin?)，→b＝(cos?,sin?)，则→a与→b一定满足（ ）

A．→a与→b的夹角等于?－? B．→a⊥→b C．→a∥→b

D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)

解：→a＋→b＝(cos?＋cos?,sin?＋sin?)，→a－→b＝(cos?－cos?,sin?－sin?)， ∴(→a＋→b)·(→a－→b)＝cos2?－cos2?＋sin2?－sin2?＝0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)．

或：|?a|?|?b|?1??a2?b?2?(?a?b?)?(?a?b?)?0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)．

6．已知向量?a?(cos250,sin250),?b?(sin200,cos200)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为（A．2

B．1

C．2 D．122

解：|→u|2＝|→a|2＋t2|→b|2＋2t→a·→b＝1＋t2＋2t(sin20?cos25?＋cos20?sin25?)＝t2＋2t＋1＝(t＋212)2＋2

， |→u|2 1→2min＝2，∴|u|min＝2

. 7．已知?a?(1,cosx),b??(1,sinx),x?(0,?)，若|?a??b|?|?a||?b|，则tanx的值为（ ）

A.3

B.22 C.1

D.?1

） ）

1→8．已知向量→m＝(sin?，2cos?)，→n＝(3,－).若→m∥n，则sin2?的值为____________． 212sin?cos?2tan?83→解：由→m∥n，得－sin?＝23cos?,∴tan?＝－43，∴sin2?＝2＝－． 2＝2249sin?＋cos?tan?＋1

??39．已知向量a?(2cos?,2sin?),b?(3cos?,3sin?)，向量a与b的夹角为30°，则cos (?–?)的值为_______

210．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且 2sin2α＋sin2α→→→→|AC|＝|BC|，求角α的大小；（Ⅱ）若AC⊥BC，求的值．

1＋tanα

解：（Ⅰ）由已知得：(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4) 2，则sinα＝cosα，

3?

因为α∈(－π，0)，∴α＝－. 4

37

（Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得sinα＋cosα＝，平方，得sin2α＝－.

416

2sin2α＋sin2α2sin2αcosα＋2sinαcos2α7

而＝＝2sinαcosα＝sin2α＝－．

161＋tanαsinα＋cosα

11．已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；

??→（Ⅱ）若f(x)＝→a·b，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．

44→解：（Ⅰ）假设→a∥b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，

2∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，tanx?tanx?2?0?x??，故向量→a与向量→b不可能平行．

→（Ⅱ）∵f(x)＝→a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝2(22?

cos2x＋sin2x)＝2(sin2x＋)， 224

????3????

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2；

44444428???

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．

444

???25?12．已知向量a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), |a?b|?.（Ⅰ）求cos(???)的值; （Ⅱ）

55, 求sin?.

2213????解：（Ⅰ）?a?(cos?,sin?), b?(cos?,sin?), ?a?b??cos??cos?，sin??sin??.

若0???, ??????0, 且sin?????25 ?a?b?, ?5即2?2cos???????cos??cos????sin??sin??43, ?cos??????. 5522?25, 5????或：|a|?|b|?1,a?b?cos(???)

??25??24?2???2443，(a?b)??a?2a?b?b??2cos(???)?2??cos(???)? |a?b|?55555（Ⅱ）?0????2,??2???0,?0??????,

35412?cos??????, sin????sin??????，cos??

513513?sin??si?n????????????sin????co?s??co?s???4123?5??i?n???????s5135?1?333. 653?→13．已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b．（Ⅰ）求tanα的值； 2α?

（Ⅱ）求cos(＋)的值．

23→→→→解：（Ⅰ）∵a⊥b，∴a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

41由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．

32

3?14

∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

2233?α3?

（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．

224

34α5α25

由tanα＝－，求得cos??，由半角公式，得sin＝，cos＝－，

32525525＋15α?α?α?25153

∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－ 232323525210

14．设向量a?(1,cos2?),b?(2,1),c?(4sin?,1),d?(sin?,1)，其中??(0,的取值范围；（Ⅱ）若函数f(x)?|x?1|,比较f(a?b)与f(c?d)的大小.

12?4).（Ⅰ）求a?b?c?d??????????2 c?d?2sin??1?2?cos2?，∴a?b?c?d?2cos2?， 解：（Ⅰ）∵a?b?2?cos2?，???????∵0???，∴0?2??，∴0?2cos2??2，∴a?b?c?d的取值范围是(0,2)．

42?????2（Ⅱ）∵f(a?b)?|2?cos2??1|?|1?cos2?|?2cos?，f(c?d)?|2?cos2??1|?|1?cos2?|?2sin2?，

?????∴f(a?b)?f(c?d)?2(cos2??sin2?)?2cos2?，

∵0????4，∴0?2???2?????，∴2cos2??0，∴f(a?b)?f(c?d)

????x?x??????x???x???15．已知a??2cos,tan????,b??2sin???,tan????.令f?x??a?b.（Ⅰ）求f?x?2242424??????????的单调增区间；（Ⅱ）若x?[0,解：（Ⅰ）当

?2)时，f?x??m?1恒成立，求m的取值范围.

x????k??时， 有： 242x?x???x???x??f?x??22sin????cos?tan????tan???

2?24??24??24?

??????x???x??2?sin(x?)?sin??cot???tan???44???42??42????2sin(x?)?1?1?2sin(x?)

44???3???x?2k??. 令??2k??x???2k?，得2k??24244x???又由??k??，得x?2k??.

24223???????? ? f?x?的单调增区间是：?2k??,2k???,?2k??,2k????k?Z?

42??24??（Ⅱ）当x?[0,?2)时，x?此时f?x?min????????16．已知a＝(cos?,sin?)，b＝(cos?,sin?),a与b之间有关系式ka?b?3a?kb，其中k﹥0, （Ⅰ）

??????用k表示a?b；（Ⅱ）求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角的大小． 解：（Ⅰ）?ka?b??3?2????[,)，则sin?x??有最小值 44424???1，故由题意得 1?m?1?m?0.

?3a?kb两边平方，得|ka?b|2?3|a?kb|2，

22(3?k)a?(3k?1)b

8kk2?122. ?a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),?a?1,b?1.a?b?4k1k2?12k122??,∴a?b的最小值为, （Ⅱ）?k?0,?(k?1)?0,从而k?1?2k,24k4k2a?b1?,??60?,即a与b夹角为60?. 此时cos??|a|?|b|2?k2?b2?2ka?b?3(a?2kb?a?k2b)，即a?b?17．在直角△ABC中，已知BC＝a，∠A＝

?????????，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角22222?????????取何值时BP?CQ的值最大 并求出这个最大值．

????????????????????????????????????????????????解:?AB?AC,?AB?AC?0.?AP??AQ,BP?AP?AB,CQ?AQ?AC

?????????????????????????BP?CQ?(AP?AB)?(AQ?AC)????????????????????????????????????????????????2??a?AP?AC?AB? AP?AP?AQ?AP?AC?A?BA?QA?B?????????????????1???2??a?AP?(AB?AC)??a?PQ?BC??a2?a2cos?.

2????????????????故当cos??1，即??0（PQ与BC方向相同）时，BP?CQ最大，其最大值为0.

2CQa

ABP

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