压杆稳定

第十章 压杆稳定

学时分配：共6学时

主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式法进行压杆稳定校核。

?，临

?cr?a?b?，使用安全系数

$10.1压杆稳定的概念

1．压杆稳定

若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳P P

2．临界压力

当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小干扰力 弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。

P P P 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用

Pc?表示。

3．曲屈

受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。

$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式

1．两端铰支压杆的临界力

选取如图所示坐标系xOy。距原点为x的任意截面的挠度为v。于是有

M??Pv

2．挠曲线近似微分方程：

将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得

?x lEIv''?M?x???Pv

k2?令 则有

PEI

v''?k2v'?0

该微分方程的通解为

v?Asinkx?Bcoskx

式中A、B——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为

x?0和x?l时，v?0

将其代入通解式，可解得

B?0，Asinkl?0

上式中，若A=0，则v?0；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有

sinkl?0

满足条件的kl值为

kl?n?(n?0,1,2,?)

则有

k?于是，压力P为

n?l

n2?2EIP?kEI?l2

2n?1得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力Pc?于是可得临界压力为

?2EIPc??2l

此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的

欧拉公式。

此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。

$10.3其他条件下压杆的临界压力

欧拉公式的普遍形式为

?2EIPcr?(?l)2

式中

?称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。?l表示把

压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。

两端铰支，??1；一端固定另一端自由??2；两端固定，??1；一端固定令一

2端铰支，??0.7。

例：试由一端固定，一端简支的细长压杆的挠曲线的微分方程，导出临界压力。 解：

x由挠曲线的微分方程可得

d2vMPR(l?x)???v? 2EIEIEIdx方程的通解为

PRBv?C1coskx?C2sinkx?固定支座的边界条件是

R?l?x? EIk2v C x 0.3l l x?0时，v?0，

dv?0 dxdv?0 dxyx?l时，v?0，

A边界条件带入上面各式得

C1?解得

RRl?0,Ccoskl?Csinkl?0,kC??0 12222EIkEIktankl?kl

作出正切曲线，与从坐标画出的45o斜直线相交，交点的横坐标为

Pcr??4.493?EI/l2

2弯矩为零的C点的横坐标xc?1.352?0.3l k

$10.4 压杆的稳定校核

1．压杆的许用压力

?P??Pcr

nst?P?为许可压力；nst为工作安全系数。

2．压杆的稳定条件

P??P?

例 平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径D?65mm，油压p?1.2MPa。活塞杆长度l?1250mm，材料为35钢，?P?220MPa，E?210GPa，ns??6。试确定活塞杆的直径。 解：

（1）轴向压力

P??4D2p???65?10?4?32?1.2?106?3980N

（2）临界压力

Pcr?nstP?6?3980?23900N

（3）确定活塞杆直径

p 活塞杆

?2EI由Pcr??23900N得出d?0.025m 2??l?（4）计算活塞杆柔度

???li?1?1.25?200

0.0254?2E?2?210?109??97 对35号钢，?1?6?P220?10因为???1，满足欧拉公式的条件。

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