河北正定中学2012-2013学年高二下第三次月考数学试题

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高二下学期第三次月考数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意） 1.已知全集是U，集合M和N满足M?N，则下列结论中不成立的是 A．M?N?M

eM?N?? B．M?N?N C. M?CUN?? D．CUMU?22.设x?R则“x?1”是“复数z?x?1??x?1?i为纯虚数”的

??A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 若Sn为等差数列?an?的前n项和，S9??36， S13??104，则a5与a7的等比中项为 A.42 B . ?42 C . ?22 D. 32

333)的展开式的第二项的系数为?4.二项式(ax?，则62A.3 B.

?a?2x2dx的值为

7710 C. 3或 D. 3或? 3335.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是

31111A. B. C. D. 10122126.将函数

?f?x??2sin?2x????3的图象F向右平移，再向上平移3个单位，得到图象F?,

6若F?的一条对称轴方程是x?A. ??4,则?的一个可能取值是 C.

?6

B. ?x?3

? 2 D.

? 37.已知函数f(x)?e?x,g(x)?lnx?x,h(x)?lnx?1的零点依次为a,b,c，则 A．a?b?c

B．c?b?a C．c?a?b

D．b?a?c

8.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽为 A.3米 B.23米 C.6米 D.26米

9.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F 分别为棱AB,CC1的中点，在平面ADD1A1内且与

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平面D1EF平行的直线

A．有1条 B．有2条 C．有无数条 D．不存在

x2y210.点P在双曲线2?2?1(a?0,b?0)上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，

ab?F1PF2?90?，且?F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是

A .2

B .3 C.2 D .5

11.已知f?x??

12???x?sin??x?,f??x?为f?x?的导函数，则f??x?的图像是 4?2?????????????12. 定义域为?a,b?的函数y?f(x)图象的两个端点为A、B，向量ON??OA?(1??)OB，

其中x??a?(1??)b,??[0,1]. 若不等式MN?k恒成立， M(x,y)是f(x)图象上任意一点，

则称函数f(x)在?a,b?上满足 “k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．则定义在[1,2]上的函数y?sin

?x3与y=x?1的线性近似阀值分别是（ ） x A. 1?33333,?2 B. 1?,1?2 D. 2?2,2?2 ,?2 C. 1?22222二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

?x＋y－1≥0，?13.已知点P(x,y)在不等式组?x－y≥0，表示的平面区

?x≤3?京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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域内运动，则z?3x?4y的最小值为________.

14.执行右边的程序框图，输出的T? .15.下列命题

（1）命题“?x?R,cosx?0”的否定是

“?x?R,cosx?0”；

（2）不等式x?1?x?3?a恒成立的，则a?4； （3）已知a,b?R,2a?b?1，则

?

21??9； ab2

（4）若随机变量?服从正态分布N(2,?)且P(??4)?0.8，则P(0???2)?0.3. 其中，正确命题的序号为_________________.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位

????OP的坐标为______________. 置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，

三.解答题

?????n，其中m?(sin?x?cos?x,3cos?x), 17.（本小题满分12分）已知函数f(x)?m?京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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??n?(cos?x?sin?x,2sin?x),其中??0，若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于.

2（1） 求?的取值范围；

（2） 在?ABC中，a?a,b,c分别是角A,B,C的对边，

求?ABC的面积.

18.（本小题满分12分）为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人． （1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；（2）设X为选出的4个学生中女生的人数，求X的分布列和数学期望．

?19.（本小题满分12分）平行四边形ABCD中，AB?2,AD?22,，且?BAD?45，以BD当?最大时，f(A)?1， 3,b?c?3，

为折线，把?ABD折起，使平面?ABD?平面CBD，连AC. （1）求证：AB?DC；

（2）求二面角B?AC?D的大小； （3）求四面体ABCD外接球的体积.

[]

x2y220.（本小题满分12分）如图，椭圆C：2??1的焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1,A，

a2上顶点为B，抛物线C1、C2分别以A、B为焦点，顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线

y?2x上一点P.

（1）求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；

（2）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C相交于不同两点M、N，已知点Q?2,0，求

???????????QM?QN的最小值.

21.（本小题满分12分）已知函数f(x)?1n(?(1)若x?12ax)?x2?ax(a?0). 21是函数f(x)的一个极值点，求a的值； 2京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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(2）求证：当0?a?2时，f(x)在[,??)上是增函数；

(3）若对任意的a?(1,2),x0?[1,2],使不等式f(x0)?m(1?a)成立，求实数m的取值范围.

212请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知PE切?O于点E，割线PBA交?O于A,B两点，?APE的平分线和AE,BE分

别交于点C,D．求证：（1）CE?DE； （2）

CAPE?． CEPB23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知圆C1的参数方程为??x=cos?（?为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极

y=sin???轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为??2cos(??)．

3（1）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

[来源:] 已知函数f(x)?|x?2|?|x?5|.

(I)证明:?3≤f(x)≤3;(II)求不等式f(x)≥x2?8x?15的解集.

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高二年级第三次月考试题

数学答案

一、选择题：

DCBCD BADCD AA 二、填空题：

13.-3 14.30 15. （2）（3）（4） 16. ?2?sin2,1?cos2三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余每个小题12分，共70分） 17.解：（1）f(x)?m?n?cos2?x?sin2?x?23cos?x?sin?x ?

?cos2?x?3sin2?x?2sin(2?x?T????,即?, 222?2?6)???0?函数f(x)的周期T?2???,由题意可2??知解得0???1,即?的取值范围是{?|0???1} ????????????6分 （2）由（Ⅰ）可知?的最大值为1，

?f(x)?2sin(2x???1)?f(A)?1?sin(2A?)?，而662?6?2A??6?13?5???2A????A? 6663b2?c2?a222?b?c?bc?3,又b?c?3 由余弦定理知cosA? 2bc联立解得??b?2?b?113或? ?S?ABC?bcsinA? ???????12分

22?c?1?c?218.解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同

学，1个为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，由于事件A?B互斥，且

1112C32C2C44C3C1P(A)?22?，P(B)?242?

C4C615C4C65

∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为

P(A?B)?P(A)?P(B)?417????????5分 ??15515

（2）X可能的取值为0，1，2，3，

1731

P(X?0)?,P(X?1)?,P(X?2)?,P(X?3)?5151030京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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∴X的分布列为

X 0 1 2 3 P 1 57 153 101 30????10分

∴X的数学期望EX?7317?2??3?? ??????????12分 151030619.解：（Ⅰ）在?ABD中，

BD2?AB2?AD2?2AB?ADcos450?4,?BD?2， 易得AB?BD，

?面ABD?面BDC ?AB?面BDC ?AB?DC ?4分

（Ⅱ）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的射线为z轴，

建立如图空间直角坐标系.

z

A D B

则D（0， 0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

C y x

?????????设平面ABC的法向量为n?(x,y,z)，而BA?(0,0,2),BC?(?2,2,0)，

????????2z?0?n?BA?0由?????得：?，取n?(1,1,0) . ??2x?2y?0???n?BC?0??????????再设平面DAC的法向量为m?(x,y,z)，而DA?(2,0,2),DC?(0,2,0)，

??????????2x?2z?0?m?DA?0由???????得：?，取m?(1,0,?1)，

?2y?0??m?DC?0??????n?m1???，所以二面角B-AC-D的大小是600 ???????8分 所以cos?n,m???|n|?|m|2（Ⅲ）由于?ABC,?ADC均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心在AC中点，

又AC?23，所以球半径R?43，得VABCD??R3?43? . ???????12分

3220．解：（I）由椭圆方程得A?a,0?,B0,2，所以抛物线C1的方程可设为y?4ax，抛物线C2??京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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的方程为x?42y。……1分

2?y2?4ax??由?x2?42y，得a?4,P8,82，……3分 ???y?2x??x2y2所以椭圆C的方程为??1,抛物线C1的方程为y2?16x,抛物线C2的方程为

162x2?42y…5分

（II）由题设知，直线OP的斜率为2，所以直线l的斜率为?2，可设直线l的方程为2y??2x?b2，由

?x2y2??1??162??y??2x?b??2，消去

y，并整理，得

5x2?82bx??8b2?16??0 ……6分

因为动直线l与椭圆C交于不同的两点,所以??128b2?208b2?16?0,解得

???10?b?10…7分

82b8b2?16,x1x2?设M?x1,y1?,N?x2,y2?，则x1?x2?， 55????b2?822所以y1y2????2x1?b?????2x2?b???5……8分

????所

以

?????????QM?QN?x1?2y?x????y??xx??x?x??yy??9b2?5b?

?????????838因为?10?b?10，所以当b??时，QM?QN取得最小值，最小值为?……12分

99

a2?212ax(x?)?a'2a. ?2x?a?21解：f(x)?2111?ax?ax22京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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1a2?2（Ⅰ）由已知得：f'()?0,且?0, ?a2?a?2?0,?a?0.?a?2.??3分

22aa2?21a2?a?2(a?2)(a?1)（Ⅱ）当0?a?2时，?????0,

2a22a2a11a2?2a2?2?0. ??,故当x?时，x?22a22a2ax?1??0,?f'(x)?0,故f(x)在?,???上是增函数. ????7分 又

1?ax?2?11（Ⅲ）当a??1,2?时，由(2)知，f(x)在?1,2?上的最小值为f(1)?ln(?a)?1?a,故问

22112题等价于：对任意的a??1,2?，不等式ln(?a)?1?a?m(a?1)?0恒成立.

22112记g(a)?ln(?a)?1?a?m(a?1),(1?a?2)．

221a'?1?2ma?则g(a)??2ma?(1?2m)?, 1?a1?a2上递减，此时，当m?0时，2ma?1?2m?0?区)间?1,?,'g(a?)0?,g在a(g(a)?g(1?) 0?m?0时不可能使g(a)?0恒成立，故必有m?0,

2ma?1??g'(a)?a?(?1). ??1?a?2m?1?1?(1,min?1?)上递减，在此区间上，有g(a)?g(1)?0,g(a)?1?1,若可知在区间?2,2m?2m?1?1?1,此时g'(a)?0,g(a)在(1, 2) 上递增，且恒有与g(a)?0恒成立矛盾，故2mg(a)?g(1)?0,满足题设要求， ?m?011???1,即m?，即实数m的取值范围为[,??).?????12分

?1?144??2m22.（Ⅰ）证明：?PE切⊙O于点E，??A??BEP ?PC平分??A??CPA??BEP??DPE

??ECD??A??CPA,?EDC??BEP??DPE，

??ECD??EDC,?EC?ED ??????5分

（Ⅱ）证明：??PDB??EDC,?EDC??ECD,?PDB??PCE

??BPD??EPC,??PBD∽?PEC，?PEPC ?PBPD同理?PDE∽?PCA，??PECA ?PBDEPCCA ?PDDE?DE?CE,?CAPE ??????10分 ?CEPB京翰教育网：http://www.zgjhjy.com/

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?x=cos?22

23.解：（Ⅰ）由?得x＋y＝1，

?y=sin?π

又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－3sinθ，

3∴ρ＝ρcosθ－3ρsinθ.

13222

∴x＋y－x＋3y＝0，即(x?)2?(y?)?1 ??????5分

22132（Ⅱ）圆心距d?(0?)2?(0?)?1?2，得两圆相交

222

?x＋y＝1

由?2

?x＋y2－x＋3y＝0

22

13得，A(1,0)，B(?,?)，

22132∴ |AB|?(1+)2+(0+)=3 ??????10分

22x?2,??3,?24. 【答案】解:(I)f(x)?|x?2|?|x?5|??2x?7,2?x?5,

?3,x?5.?当2?x?5时,?3?2x?7?3. 所以?3?f(x)?3.

(II)由(I)可知,当x?2时,f(x)?x?8x?15无解;

当2?x?5时,f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?3?x?5}; 当x?5时,f(x)?x?8x?15的解集为{x|5?x?6}. 综上,不等式f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?3?x?6}.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h7k6.html