自动化车床管理

自动化车床管理

摘要

本文讨论了自动化车床连续加工零件的工序定期检查和刀具更换的最优策略，属于优化问题。我们根据原始数据利用EXCEL软件进行统计分析，得出刀具正常工作时间长的函数，建立了以期望损失费用为目标函数的数学模型。

对于问题一，我们假设所有的检查都为等间距检查，以检查到的零件是否为次品来判定工序是否正常，出现了故障进行维修并使其恢复正常，若一直未出现故障则当加工到定期换刀时刻就换刀，利用概率论的相关知识，求出一个周期内的期望损失费用E?L?，再求出期望零件个数E?T?，建立了以每个零件的期望损失费用L为目标函数的随机优化模型，利用MATLAB求解得出检查间隔t0?27，换刀间隔t1?270，每个零件的期望损失费用L?5.7742。

对于问题二，根据题目信息，不管工序是否正常都有可能出现正品和次品，在问题一的基础上，利用概率知识调整了检查间隔中的不合格品所带来的损失费用，同时加上了因误检停机而产生的费用，求出一个周期内的期望损失费用

E?L?，再求出零件个数E?T?，建立了以每个零件的期望损失费用L为目标的随

机优化模型，利用MATLAB求解得出检查间t0?46，换刀间隔t1?276，每个零件的期望损失费用L?10.3945。

对于问题三，在问题二的基础上，我们利用概率论的相关知识，将工序正常工作的时间长由开始的近似等于刀具无故障工作的时间长，改进为刀具无故障工作时间长的95%，其它的故障近似服从均匀分布，求出一个周期内的期望损失费用E?L?，再求出零件个数E?T?，建立了以每个零件的期望损失费用L为目标的随机优化模型，利用MATLAB求解得出检查间t0?30，换刀间隔t1?600，期望损失费用L?10.4212。

最后我们对模型进行了改进与推广，其中模型的推广对多道工序和多个零件的复杂车床管理系统的生产有一定的指导意义。

关键字：期望损失费用 随机优化模型 检查间隔 换刀间隔

一、问题重述

1.1 问题背景

随着现代工业化的发展，自动化设备越来越多地在人们的生活、生产中得到应用。在工厂中，自动化车床的使用非常普遍，许多工序用自动化车床连续加工某种零件等。自动化车床生产有很多优点，只需要人工进行控制，定期检查进行维修即可。生产的产品一般比人工生产的更快更精确。一般的车床生产都与刀具有关，刀具的好坏直接影响到产品的优劣。由刀具引起的故障占机器故障的大部分，及时地发现刀具故障对减少损失有重大的意义，同时如何制定有效的换刀策略是另外一个增加收益的方法。

1.2 该工序的相关信息

现有一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于各种因素的影响该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障占5%。假定在生产任一零件时出现故障的机率均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。生产过程中的部分费用如下：

故障时产出的零件损失费用 f=200元/件； 进行检查的费用 t=10元/次；

发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)； 未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。

附:100次刀具故障记录(完成的零件数) 459 612 926 527 775 402 699 447 621 764

362 452 653 552 859 960 634 654 724 558

624 434 164 513 755 885 555 564 531 378

542 982 487 781 649 610 570 339 512 765

509 640 734 474 697 292 84 280 577 666

584 742 608 388 515 837 416 246 496 763

433 565 428 824 628 473 606 687 468 217

748 706 1153 538 954 677 1062 539 499 715

815 593 593 862 771 358 484 790 544 310

505 680 844 659 609 638 120 581 645 851

1.3需要解决的问题：

题中附录给出了100次刀具故障记录，根据生产过程中的部分费用等信息，我们需要采用数学建模的方法来帮助解决以下问题：

问题一：假定工序故障后产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品,根据相关条件，对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。

问题二：如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。根据相关条件，对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.

问题三：在问题二的基础上，从改进检查方式这个角度重新考虑，再建立更优化模型，使该工序获得更高的效益。

二、问题分析

由题中信息可知，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障, 工序出现故障完全是随机的，即在生产任意一个零件时都有可能发生故障。

工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障, 如果检查过于频繁, 那么工序就会经常处于正常状态而少生产出不合格品, 然而, 这将使检查费用过高;检查间隔过长, 虽然可以减少检查费用, 但由于不能及时发现故障而可能导致大量不合格品出现, 必将提高每个零件的平均损失费用。

根据题目信息，刀具加工一定件数的零件后将定期更新刀具，从而我们可以通过确定最佳检查间隔和换刀间隔来减少损失。

2.1 对问题一的分析

根据题目要求，我们假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时生产的零件都是合格品，所以当发现零件不合格时就认为工序发生了故障，从而停机检查并使其恢复正常。若一直未发生故障，则当加工到定期更换刀具时刻，不管是否发生了故障都进行换刀。计算平均费用可分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，记平均损失费用为L1，（2）在换刀之前发生了故障，记平均损失费用为Ln。然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB等软件进行编程求解使其最小。

2.2 对问题二的分析

根据题目中所给的条件，我们还是假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时次品率为2%，发生故障时的正品率为40%，所以不能单凭是否检查到次品来判定工序是否正常，在工序正常时有可能误判，这样就会产生误检停机费用，计算平均费用分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，损失费用记为

p1，（2）在换刀之前发生了故障，损失费用记为p2，然后以每个零件的期望损

失费用为目标函数，运用MATLAB等进行编程求解使其最小。

2.3 对问题三的分析

由于刀具损坏故障占整个故障的95%，其他故障只占5%，我们在问题二的基础之上，可以认为整个工序正常工作的时间长近似等于刀具正常工作的时间长

的95%，即也服从正态分布N0.95?,?0.95???2?，其它故障近似服从均匀分布。

考虑到这点后，随着概率密度函数的改变，每个零件的期望损失费用将会改变，最佳方案就会随之改变。

三、符号说明

f：每件不合格品的损失费用；

t：

每次检查的费用；

d：发现故障进行调节使恢复正常的平均费用； k：未发现故障时更换一把新刀具的费用； ：平均检查间隔；

t0t1：定期换刀间隔；

n：一个周期内的实际检查次数；

h：工序正常而误认有故障停机产生的损失费用；

L：每个零件的期望损失费用；

f?x?：刀具寿命的概率密度函数； x：出现故障时已经生产的零件个数；

E?L?：一个周期内的期望损失总费用； E?T?：期望零件个数； s：一个周期内的最多检查次数

L1：在定期换刀之前未发生故障的损失费用 Ln：在定期换刀之前发生故障的损失费用

四、模型假设

1）检查时间和换刀时间忽略不计； 2）所有的故障都为刀具故障； 3）刀具故障服从正态分布： 4）每次只抽查一个零件检查； 5）s为整数，即mod?t1,t0??0 6）一道工序只需要一把刀具；

五、模型的建立与求解

5.1数据处理

5.1.1 刀具正常工作的时间长的概率密度函数

题中附录给出了100次刀具故障的记录，我们利用了EXCEL软件对这些数据进行了相关的统计分析。我们采用了采用6SQ统计插件中的假设检验下的安德森-达令正态性检验来对其进行正态分布的检验，在显著性水平??0.1时，发现刀具故障服从正态分布N??,?2?，其中??600,??196.63。由此可知概率密度函数f?x??12?????x???2?22e

刀具故障时生产的零件数和正态分布概率之间的关系如下图：其中横坐标为刀具故障时生产的零件数，纵坐标为正态分布概率

柱状分布图 下面我们对正态分布进行检验：

利用?2拟合检验法进行检验，我们用刀具寿命的最大值减去最小值，取100为区间长度，将其分成了11个区间，分别算它们的频数，其中由于最后两个区间的频数都为1，根据检验的原则，我们将它们合并为一个区间，再计算各数值在区间出现的概率，其中n=100,得到下表所示数据：

在显著性水平??0.05下，结果如下：

10??2?i?1fi2npi?n?105.4962?100?5.4962，?20.05?7??14.067

因为?2??20.05?7?，在可接受区间内，故服从正态分布。

5.1.2 刀具更换间隔

在定期更换刀具之前，我们采用了等间距检查的方式对零件进行检查，若出现故障则进行调节使其恢复正常，若没有检查出故障，则到了定期更换刀具时刻进行换刀，为了简化模型，我们假定在正常换刀之前进行的是整数次检查，即

mod?t1,t0??0。

5.2 模型一的建立与求解

5.2.1 模型一的建立

如果在换刀之前未发生故障，则损失包括两部分： （1）检查费用s?t； （2）更换刀具费用k；

则此种情况下总的损失为L1?s?t?k；

如果在换刀之前发生了故障，此时实际检查次数为n?1，假设前n次检查生产的都是正品，个数为x，则次品的个数为?n?1??t0?x，此时损失包括三部分： （1）检查费用为?n?1??t；

（2）发现故障进行调节使恢复正常的费用d； （3）损失费用???n?1??t0?x???f；

则此种情况下总的损失费用为Ln??n?1??t?d????n?1??t0?x???f 期望损失为： E?L????s?t0s?1L1?f?x?dx???n?0n?1nLn?f?x?dx

期望零件个数：E?T??s?t0??每个零件的期望损失费用：L?E?L?E?T?s?t0s?1f?x?dx???n?tn?0?n?1??t00?n?1??t0?f?x?dx

E?L?E?T?

即min?L??，要使期望损失费用达到最低，则等价于求最佳的t0,t1，使L达到最小。

5.2.2 模型一的求解

利用MATLAB对上述模型进行求解，可得到t0?27，t1?270，L?5.7742。即每生产27个零件检查一次，生产270个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为5.7742。

5.2.3 模型一的评价

此模型采用了等间隔检查的方式，简化了模型，其中对损失费用分两种情况讨论，简单明了，易于理解。将求解最佳检查间隔和换刀间隔转化求解最小期望损失费用，使模型的目标性更强。但此模型为等间隔检查，在两次检查中次品率可能会很高，这样次品损失费用就会增加。

5.3 模型二的建立与求解

5.3.1 模型二的建立

如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为t1，根据题中的信息，这些零件中的废品率为2%，则损失费用包括四部分： （1）检查费用：s?t；

（2）误检停机费用：h?s?2%；

（3）正常工作时的次品损失费用：t1?f?2%； （4）更换刀具费用：k；

则此种情况下总的损失费用为：L1?s?t?k?t1?f?2%?h?s?2% 如果在换刀之前已经发生故障，假设第n?1次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为：?n?1??t0，前n次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为x?x?n?t0?，发生故障后生产的零件个数为：根据题中信息，?n?1??t0?x，我们可知，正常工作时次品率为2%，发生故障时次品率为60%，则损失费用包括五部分：

（1）检查费用：?n?1??t；

（2）误检停机费用：n?h?2%；

（3）正常工作时的次品损失费用：x?f?2%； （4）发现故障进行调节使恢复正常的费用d；

（5）发生故障后次品的损失费用：???n?1??t0?x???f?60%

则此种情况下总的损失费用为：

Ln??n?1??t?h?n?2%?x?f?2%????n?1??t0?x???f?60%

期望损失为：E?L????s?t0s?1L1?f?x?dx??s?t0??n?0n?1nLn?f?x?dx

s?1期望零件个数：E?T??s?t0??每个零件的期望损失费用：L?E?L?E?Tf?x?dx???n?tn?0?n?1??t00?n?1??t0?f?x?dx

E?L?E?T?

即min?L??，要使平均损失费用达到最低，则等价于求最佳的t0,t1，使L达到最小。

5.3.2 模型二的求解

利用MATLAB对上述模型进行求解，可得到t0?46，t1?276，L?10.3945。即每生产46个零件检查一次，生产276个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为10.3945。

5.3.3 模型二的评价

此模型考虑了工序正常工作和工序出现故障时产生的次品率，利用概率的相关知识，对模型简化，最后将求解最佳检查间隔和换刀间隔转化求解最小期望损失费用，使模型的目标性更强。但模型考虑的是等间隔检查，当发现次品时就停机检查，误检停机费用会增加，发现正品时就继续生产，次品损失费会增加。

5.4 模型三的建立与求解

5.4.1 模型三的建立

在前两个模型中，我们都认为所有的故障都为刀具故障，即整个工序正常工作的时间长近似等于刀具正常工作的时间长，而事实上刀具故障只占整体故障的95%，在这个基础上，我们认为整个工序正常工作的时间长是刀具正常工作时间

长的95%，即它服从正态分布N0.95?,?0.95??布。

?2?。而其它故障近似服从均匀分

假设此时工序正常工作的时间长的概率密度函数为P?x?，则根据模型二中的相关知识，建立的模型如下：如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为t1，根据题中的信息，这些零件中的废品率为2%，则损失费用包括四部分：

（1）检查费用：s?t；

（2）误检停机费用：h?s?2%；

（3）正常工作时的次品损失费用：t1?f?2%； （4）更换刀具费用：k；

则此种情况下总的损失费用为：L1?s?t?k?t1?f?2%?h?s?2%

如果在换刀之前已经发生故障，假设第n?1次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为：?n?1??t0，前n次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为x?x?n?t0?，发生故障后生产的零件个数为：?n?1??t0?x，根据题中信息，我们可知，正常工作时次品率为2%，发生故障时次品率为60%，则损失费用包括五部分：

（1）检查费用：?n?1??t； （2）误检停机费用：n?h?2%；

（3）正常工作时的次品损失费用：x?f?2%； （4）发现故障进行调节使恢复正常的费用d；

（5）发生故障后次品的损失费用：???n?1??t0?x???f?60%

则此种情况下总的损失费用为：

Ln??n?1??t?h?n?2%?x?f?2%????n?1??t0?x???f?60%

期望损失为：E?L????s?t0s?1L1?P?x?dx???n?0n?1nLn?P?x?dx

期望零件个数：E?T??s?t0??期望损失费用：L?E?L?E?T?s?t0s?1P?x?dx???n?0?n?1??t0n?t0?n?1??t0?P?x?dx

?

即min?L?E?L?E?T?，要使平均损失费用达到最低，则等价于求最佳的t0,t1，使L达到最小。

5.4.2模型三的求解

利用 MATLAB 对上述模型进行求解，可得到t0?30，t1?600，L?10.4212。即每生产 30 个零件检查一次，生产 600个零件后进行定期换刀，期望损失费用为 10.4212。

5.4.3 模型三的评价

此模型考虑到了工序出现故障并不是完全由刀具故障引起的，对概率密度函数进行了修正，最后将求解最佳检查间隔和换刀间隔转化求解每个零件的最小期望损失费用，使模型的目标性更强。但此模型未将其它故障的概率算入工序发生故障的概率中，实用价值较差。

六、模型的优缺点

6.1 模型的优点

1、本文建模思想易于理解，模型操作性强；

2、对零件的检查采取了等间隔抽查，简化了模型，使模型便于建立和求解； 3、将每个零件的平均损失费用作为目标函数，建立了评估体系，既有利于求出模型的最优解，又比较符合实际生产中企业取舍方案的标准；

6.2 模型的缺点

1、我们没有对模型进行模拟仿真：

2、在模型一和模型二中，我们忽略了其他导致故障发生的原因，只考虑了刀具故障。

七、模型的改进与推广

7.1模型的改进

对于问题二, 由于工序正常时产出的零件仍有2% 为不合格品, 而工序故障时产生的灵件有40% 为合格品, 这样工作人员在通过定期检查单个零件来确定工序是否出现故障的检查方式必然会导致两种误判（1）正常工序时因检查到不合格零件而误认为出现故障；（2）工序发生故障后检查到的仍是合格品而认为工序正常, 这两种情况都将造成很大损失. 我们建议采取不等间距的检查方式，分为以下几种情况：

（1）连续两次检查都为正品时，我们认为工序正常，继续生产；

（2）连续两次检查都为次品时，我们认为工序发生故障，进行维修使其恢复正（3）常后再生产；

（4）连续两次检查中一次为正品，另一次为次品时，继续第三次检查，再进行

判断；

这样虽然会相应地增加检查费用, 但大大降低了因误检而造成的损失, 从而使系统工序获得更高的效益.

7.2 模型的推广

本文所建立的模型针对的是单道工序加工单一零件的情况，但可以扩展到多道工序和多个零件的复杂车床管理系统。在多道工序中，我们可以通过统计分析各道工序发生故障的概率，为工序的检查确定优先级，有效的控制故障发生的次数。当生产多个零件时，可以采用随机检查一组零件的方式，把这组零件当做一个整体来考虑，再综合利用以上模型，就可以求解出最优的检查间隔和换刀间隔。

八、参考文献

[ 1 ] 盛 骤 谢式千《概率论与数理统计》 高等教育出版社. [ 2 ] 蔡 俊 《可靠性工程学》 黑龙江科学技术出版社.

[ 3 ] 沈玉波 冯敬海《可修系统的最优检测更新模型》《数学的实践与认识》 [ 4 ] 朱道元 《数学建模案例精选》 科学出版社

[ 5 ] 戴朝寿 孙世良《数学建模简明教程》 高等教育出版社

[ 6 ] 楼顺天 陈生潭 雷虎明《MATLAB5.X程序设计语言》西安电子科技大学出版社

[ 7 ] 宋来忠 王志明《数学建模与实验》 科学出版社

九、附录

模型一求解的MATLAB源代码： k=1;

for a=84:600 for b=1:a-1 if mod(a,b)==0

p=normcdf(a,600,196.62917); c=1000+a/b*10; d=0;

for i=1:a/b+1

q=normcdf(i*b,600,196.62917)-normcdf((i-1)*b,600,196.62917); d=d+(i*10+3000+q*b*200); end

e(k)=(c*(1-p)+q*d)/a; f(k)=(c*(1-p)+q*d); g(k)=a; h(k)=b; k=k+1; end end end

[z n]=min(e(1:k-1)) g(n),h(n)

结果：z =5.7742 ans = 270 ans =27

模型二求解的MATLAB源代码 k=1;

for a=84:600 for b=1:a-1 if mod(a,b)==0

p=normcdf(a,600,196.62917); c=1000+a/b*40+a*4; d=0;

for i=1:a/b+1

q=normcdf(i*b,600,196.62917)-normcdf((i-1)*b,600,196.62917); d=d+(i*10+3000+q*b*120+(a-b*i+i)*0.6); end

e(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;

f(k)=(c*(1-p)+q*d); g(k)=a; h(k)=b; k=k+1; end end end

[z n]=min(e(1:k-1)),g(n),h(n) 结果：

z =10.3945 ans = 276 ans =46

模型三求解的MATLAB源代码： k=1;

for a=84:600 for b=1:a-1 if mod(a,b)==0

p=normcdf(a,570,186.7975); c=1000+a/b*40+a*4; d=0;

for i=1:a/b+1

q=normcdf(i*b,570,186.7975)-normcdf((i-1)*b,570,186.7975); d=d+(i*10+3000+q*b*120+(a-b*i+i)*0.6); end

e(k)=(c*(1-p)+q*d)/a; f(k)=(c*(1-p)+q*d); g(k)=a; h(k)=b; k=k+1; end end end

[z n]=min(e(1:k-1)),g(n),h(n) 结果：

z =10.4212 ans =600 ans =30

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h8kp.html