第4章点的运动和刚体基本运动习题解答080814

第四章 点的运动和刚体基本运动

本章要点 一、点的运动

1 点运动位置的确定的三种方法 ⅰ）矢量法：r?r(t)；

ⅱ）直角坐标法：x?x(t)，y?y(t)，z?z(t)； ⅲ）弧坐标法（轨迹已知）：s?s(t). 2 点的速度与加速度的矢量表示

dvd2rdr＝2. 速度 v?， 加速度 a?dtdtdt3 点的速度与加速度的直角坐标表示 速度在各坐标轴上的投影为

vx?dydxdz， vy?， vz?. dtdtdt速度的大小和方向余弦为

22?v?vx?v2y?vz?vyvxvz?

cos(v，i)?，cos(v，j)?，cos(v，k)??vvv?加速度在各坐标轴上的投影为

dvyd2ydvxd2xdvzd2z?2，ay??，az??d2 ax?2dtdtdtdtdtdt加速度的大小和方向余弦分别为

22?a?ax?a2y?az?ayaxaz?

cos(a，i)?，cos(a，j)?，cos(a，k)??aaa?4 点的速度与加速度的弧坐标表示

点的速度 v?dsτ， dtdvd2sτ?2τ； 切向加速度 a??dtdt 1

v2n， 法向加速度 an?ρ其中τ为切线单位矢量，指向弧坐标增加的方向；n表示主法线正向的单位矢量，指向曲率中心（即指向曲线凹的一方）。 全加速度为 a?aτ?an

aτan全加速度a的大小和它与法线间夹角的正切分别为

2，tg?a,n??a?aτ2?an

解题要领：

1 确定动点，根据题意是选择矢量法、直角坐标法还是弧坐标法，三种方法各有所长. 2 从点的运动方程出发求点的速度和加速度是对时间的求导运算；反之，也可以从加速度出发求速度和运动方程，或从速度出发求运动方程，这是积分运算，但结果都不唯一 ，积分常数需要用初始条件来确定。

3 从直角坐标形式的运动方程出发计算切向加速度、法向加速度、曲率半径、弧坐标的过程

点的速度：v?222222， 点的加速度： a?ax?ay?az， vx?vy?vz切向加速度： at?dv22， 法向加速度：an?a?at， dttv2s?vdt. 曲率半径：??， 弧坐标：?0an

二、刚体的平移

刚体在运动过程中，其上任意一条直线始终平行于它的初始位置，刚体的这种运动称为平移。具有性质：刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度和加速度也相同。刚体的平移问题可以归结为点的运动问题. 三、刚体的定轴转动 1 刚体定轴转动的整体描述

转动方程 ???(t)， 角速度 ??d?， dtd?d2??2. 角加速度 ??dtdt匀速转动（?为常量），则 ???0??t，

2

匀变速转动（?为常量），则???0??t，???0??0t?2 角速度和角加速度的矢量表示

12?t. 2ω??k， α??k，

其中k为沿转动轴方向的单位矢量。 3 转动刚体上各点的速度和加速度

距转轴距离为R的点的速度为 v?Rω，

v2?R?2 切向加速度： at?R? ， 法向加速度： an?R全加速度a的大小： a?R加速度a的方向： tg???2??4

RαRω2aτan??αω2.

用矢积表示刚体上各点的速度和加速度

点的速度 v?ω?r ，

切向加速度aτ?α?r， 法向加速度 an?ω?v.

解题要领

1 利用三角函数关系写出转动方程，对时间求导一次得到角速度，求导两次得到角加速度方程，角速度或角加速度为正，表明其转向是与角度增加的方向一致；角速度和角加速度同号（异号）表明刚体作加（减）速转动。

2 定轴转动刚体上点的切向和法向加速度的计算公式是点作曲线运动时的特例，不可混淆。

第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答

4-1 图示曲线规尺的杆长OA?AB?200mm，CD?DE?AC?AE?50mm。杆OA绕O轴转动的规律为???5trad，并且当运动开始时，角

??0，求尺上D点的运动方程和轨迹。

解： 已知??0.2?t，故点D的运动方程为

xD?200cos0.2?t mm

mm

题 4-1图

yD?100sin0.2?t

消去时间t得到点D的轨迹方程为

3

22xDyD??1（椭圆） 222001004-2 图示AB杆长l，以???t的规律绕B点转动，

?为常量。而与杆连接的滑块B以s?a?bsin?t的规

律沿水平线作谐振动，a、b为常量。求A点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系Oxy, 则A点位置坐标为x?s?lsin? ，y??lcos?，即

x?a??b?l?sin?t y??lco?st. 消去时间t得A点轨迹方程为：

题4-2图

(x?a)y2?2?1.（椭圆）

(b?l)2l4-3 套筒A由绕过定滑轮B的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l，如图所示。设绳索以等速v0拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A的速度和加速度与距离x的关系式。 解：设t?0时，绳上C点位于B处，在瞬时t,到达图示位置 则 AB?BC?2x2?l2?v0t?常量，将上式求导，得到管套

A的速度和加速度为

dx?v0 vA??dtx22dvAv0l??3， x?l， aA?dtx22

题4-3图

负号表示vA,aA的实际方向与x轴相反。

4-4 如图所示，半径为R的圆形凸轮可绕O轴转动，带动顶杆BC作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A点，偏心距OA?e，???t，其中?为常量。试求顶杆上B点的运动方程、速度和加速度。 解：以O点为原点建立坐标系，由余弦定理可得

AB2?OA2?OB2?2OA?OB?cos?t

其中OA=e ，AB=R ，设OB?yB代入上式

22可以得到 yB?2eyBcos?t?e?R?0，

2

题4-4图

解出

2ecos?t?(2ecos?t)2?4(e2?R2) yB?

2

4

222?ecos?t?R?esin?t dyesin2?t) vB?B??e?(sin?t?222dt2R?esin?tdvBecos2?te2sin2?t aB???e?(cos?t??). 3222dtR?esin?4(R2?e2sin2?t)24-5 若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M，其余条件不变。试求物块上B点的运动方程、速度和加速度。 解：由右图所示

yB?R?ecos?t，

vB? aB?dyB??e?sin?t， dtdvB?e?2cos?t. dt题4-5图

4-6 图示a、b、c三种机构，已知机构尺寸h和杆OA与铅直线的夹角???t，其中?为常量，分析并比较它们的运动：

1）穿过小环M的杆OA绕O轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度。

2）绕O轴转动的杆OA，推动物块M沿水平面滑动，求物块M上一点的速度和加速度。 3）杆OA绕O轴转动时，通过套在杆上的套筒M带动杆MN沿水平轨道运动，求MN上一点的速度和加速度。

a) b) c)

题 4-6图

解：经分析图a)、b) 、c) 中M点速度和加速度相同。以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。对图在a)、 b) 、c) 中M点都有

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2h?2sin?th?????x， a??. x?h?tg??h?tg?t， v?xcos3?tco2s?t4-7 图示滑道连杆机构。已知BO?0.1m；OA?0.1m，滑道连杆BC绕轴B按??10t的规律转动（?以rad计）。试求滑块A的速度和加速度。 解： 如右图所示。以B为极点和BO为极轴建立极坐标系，则A点的运动方程为

??2?OA?cos?10t? ， ??10t. A点的速度为

题4-7图

v??d?d???20?OA?sin?10t?，v????20?OA?cos?10t?， dtdt22v??v??20OA2?2ms.

v? A点的加速度为

d2?d?a??2??()2??400?OA?cos?10t?，

dtdt a?? a?1d2d?(?)??4?OA?sin?10t?. ?dtdt22a??a??40ms.

也可以用直角坐标法求解，并求出A点地切向和法向加速度。

4-8 如图所示，一直杆以???0t绕其固定端O转动，其中?0为常量。沿此杆有一滑块以匀速v0滑动。设运动开始时，杆在水平位置，滑块在O点，试求滑块的轨迹（以极坐标表示）。 解： 以O为极点，水平方向为极轴，点M的运动方程为

??v0t， ???0t

消去时间t，得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为

题4-8图

??v0?0?.

4-9 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为

6

x?2sin?3t?m?

y?4?4sin?3t?m?，

设t?0时，s?0；坐标s的起点和t?0时点的位置一致，s的正方向相当于x增大的方向。试求轨迹的直角坐标方程y?f (x)、点沿轨迹运动的方程s?g (t)、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。

解：由运动方程消去t，得轨迹方程：

（?2?x?2） y?2x?4，

t?0时，由 ds?dx?dy? s?4.472sint；

22?3?20?cos?t3dt，积分得点的运动方程

?3 点的速度和加速度在轨迹切线上的投影为：

??4.683cos v?s?3t????4.904sint ?ms2?. ?ms?， at?v3x4-10 点沿平面曲线轨迹y?e向x、y增大的方向运动，其中x、y的单位皆为m，速度大小为常量v?12m/s。求动点经过y?1m处时，其速度和加速度在坐标轴上的投影。 解：点的切向加速度和法向加速度为

v2dv； at??0， an??dtd2ydy(1?y?)xx????y?e式中 ??， y ?e， ?2dxdxy??322??1 ??1，?当y?1时， x?0，yy有 ??22， ??arctany?45，an?'o

v2??362ms

? 当y?1m时点的速度和加速度在坐标轴上的投影为： vx?vy? ax??2v?62ms 222an??36ms2，ay?an?36ms2 22 7

4-11 如图所示，曲柄CB以等角速度

?0绕C轴转动，其

转动方程为???0t。通过滑块B带动摇杆OA转动。设OC?h，

CB?r。求摇杆转动方程。

解：由题图所示：

rsin???h?rcos??tan?

由此解出杆的转动方程为

??arctan题4-11图

rsin?0t

h?rcos?0t4-12 已知图示机构的尺寸如下：O1A?O2B?AM?r?0.2m；O1O2?AB。如轮O1按??15πt（?单位为rad）的规律转动，求当t?0.5s时，杆AB上的点M的速度和加速度。 解： 点M与点A有相同的速度和加速度， 即

vA?vM??r?15??0.2?9.42ms aA?aM??2r?(15?)2?0.2?444.15ms2

4-13 机构如图所示，假设AB杆以匀速u运动，开始时??0。试求当??速度。

解： OC杆转角?满足tan??题4-12图

?4时，摇杆OC的角速度和角加

vt， 对时间t求导得 lvl??cos2?，?????sin2??? ? 将 ??vl?4代入得

题4-13图

v2v??， ???2.

2l2l负号表示?与?方向相反。

4-14 纸盘由厚度为a的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速v拉纸条。求纸盘的角加速度（以半径r的函数表示）。

题4-14图

8

解： 设纸盘在t=0时刻的初始半径为R，则在t时 刻纸盘减少的面积为 ?R??r?avt v?r? 将以上两式分别对时间求导，得

22dr?av dtdrd? 0? ??rdtdt ?2?rd?av2纸盘的角加速度 ??. ?dt2?r34-15 图示滚子传送带，已知滚子的直径d?0.2m，转速为n?50r/min。求钢板在滚子上无滑动运动的速度和加速度，并求在滚子上与钢板接触点的加速度。

解： 设钢板上的M'点与滚子上的M点接触，钢板平动速度

题4-15图

v?vM'?vM?钢板加速度 a?2?nd?0.524m/s 2?60dv?0 dt滚子上M点的加速度

aM?0， a?nM2v2m??2.742 m/s2

d4-16 图示机构中，杆AC以匀速v0沿水平导槽向右运动，通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O轴与导槽相距h。试求杆OB的角速度和角加速度。

解： OA杆转角?满足tan??导得

v0t， 对时间t求h

题4-16图

vv??0cos2?，?????0sin2??? ?hh其中

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cos2??h2h2?v22 ，sin2??2v0ht2v22 0th?0t3? ?????hv02hv0th2?v22， ??. 0t(h2?v2220t)4-17 小环A沿半径为R的固定圆环以匀速v0运动，带动穿过小环的摆杆OB绕O轴转动。试求OB的角速度和角加速度。若OB?l，试求B点的速度和加速度。 解： 设角ADC为?，由题义知

v0????R，???v0R 因D为圆心，有角AOC=12ADC，设角AOC为?，则OB杆的角速度为

?=?=?02?v2R 角加速度??0 求B点速度和加速度:

vB?l???l???lv02R a?B??l?l???l???lv02R?0,v0?const?lv20? 2??anvB?2R?v20B?l?l?4R2l以O为原点取直角坐标系，B坐标为

xB?lcos?, yB?lsin?

B点的速度为

x?v0B?-lsin??2R, y??v0B?lcos?2R

v?x?2B?y?2v0B?2RlB点的加速度为

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题4-17图

22v0v0??B?-lcos????B?-lsin??x, y24R4R2

2v022?B???B?a??xyl24R4-18 长度为OA?l的细杆可绕O轴转动，其端点A紧靠在物块B的侧面上。若B以匀速v0向右运动，试求杆OA的角速度和角加速度。

题4-18图

解： 设初始位置OA杆为垂直位置，在t时刻OA杆与水平线夹角为?，由图示几何关系有 cos??对上式求导得

v0t lv0, l?? -sin????- ?v0v0 ?-1222lsin?(l-v0t)23v0t再求导得角加速度为

??(l?vt)22203

24-19 提升重物的绞车机构如图。主动轴Ⅰ转动时，通过齿轮传动使轴Ⅱ转动而提升重物P。如小齿轮和大齿轮的齿数分别是z1和z2，鼓轮的半径是R，主动轴Ⅰ的转动方程是

?1?πt2rad，其中t以s为单位。试求重物的运动方程、速度和加速度。

解： 由于

z1?22? ?1??t z2?1?2?z1?1 z22将?1??t代入上式可以得到

?2?z12?t z2

题4-19图

由于S??2R ，得到重物的运动方程

S??Rz1t2z2

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重物的速度和加速度分别为

v = S =

2?Rz1t2?RZ1 a?S= z2Z2 12

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